Анализ и синтез линейной системы автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра электропривода и автоматизации промышленных установок

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Теория автоматического управления»

2015

Содержание

1. Анализ системы автоматического управления

1.1 Исследование заданной системы на устойчивость двумя критериями

1.2 Определение ошибки заданной САУ в установившемся режиме

2. Синтез системы автоматического управления

2.1 Определение требуемого коэффициента передачи синтезируемой САУ

2.2 Синтез корректирующих устройств методом логарифмических частотных характеристик

3. Проверка результатов синтеза

3.1 Определение запасов устойчивости скорректированной САУ

3.2 Оценка качества скорректированной системы аналитическим методом

Список литературы

1. Анализ системы автоматического управления

Исходные данные:

Рассмотрим структурную схему VI изображенную в табл. П-1-1.

Таблица 1

Параметры структурной схемы заданной линейной САУ
0,27	10	8,5	2,6	0,26	0,041	0,018	0,08

1.1 Исследование заданной системы на устойчивость двумя критериями

Под устойчивостью понимается способность системы возвращаться в исходное или близкое к нему состояние, после снятия внешнего воздействия с системы.[4]

Для определения характеристического уравнения нужно получить передаточную функцию замкнутой системы.

Сначала определим передаточную функцию разомкнутой системы. Для получения замкнутой передаточной функции по управляющему воздействию, возмущающее воздействие приравнивается к нулю (F(p)=0).

Для получения передаточной функции разомкнутой системы размыкается главная обратная связь и точка разрыва считается входом и выходом системы. Затем преобразуем структурную схему САУ. По правилу определения передаточной функции нескольких последовательно соединенных звеньев найдем результирующую передаточную функцию. Она равна произведению передаточных функций отдельных звеньев.

Введем обозначения:

;

;

;

;

Структурная схема примет вид:

Структурная схема САУ в простейшем случае строится из элементарных динамических звеньев. Но несколько элементарных звеньев могут быть заменены одним звеном со сложной передаточной функцией. Для этого существуют правила эквивалентного преобразования структурных схем.

Так как звенья и соединены последовательно, то по правилу преобразования структурных схем результирующее звено будет равно произведению этих звеньев.

Структурная схема линейной САУ, с последовательно соединенными звеньями W2 и W3.

Затем размыкаем местную обратную связь по правилу:

По правилу определения передаточной функции звеньев охваченных отрицательной обратной связью найдем результирующую передаточную функцию. Она равна произведению передаточных функций отдельных звеньев.



Подставим значения и получим:

Восстанавливаем главную обратную связь. Для получения замкнутой передаточной функции по управляющему воздействию.

Так как это единичная обратная связь, то для нахождения передаточной функции по управляющему воздействию в замкнутом состоянии воспользуемся формулой:

(p)=

Допустим, что

,

следовательно

,

тогда получим:

Исследование заданной системы на устойчивость будем проводить по двум критериям:

а) Критерий Гурвица.

Критерий Гурвица относится к алгебраическим критериям устойчивости. Алгебраические критерии устойчивости позволяют определить устойчивость системы по коэффициентам характеристического уравнения.

Формулировка критерия Гурвица:

Для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы при a0>0 все диагональные миноры определителя Гурвица были положительными. [4]

Для того, чтобы определить устойчивость по критерию Гурвица, необходимо составить определитель.

Правила составления определителя:

· По главной диагонали выписываются коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а1.

· Столбцы таблицы, начиная от главной диагонали, заполняются вверх коэффициентами характеристического уравнения с возрастающими индексами, вниз с убывающими.

· Все коэффициенты с индексами меньше нуля и больше n заменяются нулями (n - степень характеристического уравнения).

Запишем характеристическое уравнение САУ в замкнутом состоянии. Для нахождения характеристического уравнения САУ в замкнутом состоянии необходимо приравнять к нулю знаменатель передаточной функции замкнутой системы.

Зная характеристическое уравнение, мы можем составить Определитель Гурвица и его главные диагональные миноры.

Условие устойчивости:



Запишем коэффициенты характеристического уравнения:

a0=

a1=

a2=

a3=

a4=

Подставим значения и получим:

Условия устойчивости критерия Гурвица выполняются (для устойчивости линейной САУ необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его главные диагональные миноры были положительными), следовательно, данная САУ является устойчивой.

б) Критерий Найквиста (в логарифмических координатах).

Данный критерий позволяет определить устойчивость замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой системы.

Для определения устойчивости необходимо рассмотреть логарифмические амплитудно-частотные характеристики и логарифмические фазо-частотные характеристики. По их взаимному расположению судят об устойчивости замкнутой системы.

Формулировка критерия Найквиста в логарифмических координатах: Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости заданной САУ необходимо и достаточно, чтобы ЛФЧХ при изменении частоты от 0 до ? пересекала линию 180 град справа от частоты среза (точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс). [4]

Преобразуем структурную схему САУ в одноконтурную, состоящую из последовательно соединённых типовых динамических звеньев. Часть преобразований мы проделали при нахождении передаточной функции . автоматический корректирующий логарифмический частотный

Преобразуем звено в типовое звено:

Введем обозначения:

Тогда звено примет вид:



Преобразованная схема:

Проверим коэффициент демпфирования колебательного звена

Так как коэффициент демпфирования () больше 1, то звено нужно разложить на 2 апериодических звена.

Преобразуем уравнение:

Теперь мы можем разложить звено на два последовательно соединенных апериодических звена с коэффициентами:

31,25 , .

Тогда структурная схема примет вид.

У нас получилась система, состоящая из 3 апериодических и 1 интегрирующего звена.

Построение ЛАЧХ:

1) Определим коэффициент усиления:

2) Затем проводим через точку (0; ) асимптоту с наклоном -20дБ /дек, так как у нас присутствует интегрирующее звено. Каждая асимптота проводится до следующей по величине частоты сопряжения. Ее наклон изменяется на -20 дБ/дек для апериодических звеньев.

Находим

3) Определяем частоты сопряжения:

4) Находим :



Полученные величины откладываем на оси абсцисс.

5)ЛАЧХ будет состоять из четырех участков:

Т.к в схеме есть интегрирующее звено и степень астатизма н=1, то первый участок будет с наклоном -20 дБ/дек

Участка с наклоном -20 дБ/дек - 20дБ/дек =- 40дБ /дек (апериодическое звено)

Участка с наклоном - 40дБ /дек -20дБ/дек = - 60 дБ/дек (апериодическое звено)

Участка с наклоном -60 дБ/дек -20дБ/дек = - 80 дБ/дек (апериодическое звено)

Построение ЛФЧХ:

Для построения ЛФЧХ по оси ординат откладывают величину фазы ц в градусах, а по оси абсцисс логарифм частоты в декадах. В этом случае фазовая характеристика звена определяется выражением:

- для апериодического звена,

- для интегрирующего звена

Подставив значения частот получим следующие результаты:

Расчет произведем в программе MathCAD.

Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ построены на рисунке 1.1.9.

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости заданной САУ необходимо и достаточно, чтобы ЛФЧХ при изменении частоты от 0 до ? пересекала линию 180 град справа от частоты среза (точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс w=0,74). Данное условие выполняется, следовательно система устойчивая. [2]

1.2 Определение ошибки заданной САУ в установившемся режиме

Если на вход системы подать единичный сигнал , то в установившемся режиме (р=0), если система устойчива, ошибка будет определяться следующим образом:



САУ обладает астатизмом. В этом случае присутствует скоростная ошибка, т.к. используется специальный режим движения с постоянной скоростью.G(t)=Vt (V=1 c-1)

Kv-добротность системы (коэффициент усиления/передачи разомкнутой исходной САУ)

Kv=Kраз=9,23

а) Заданная САУ устойчива по критерию Гурвица и устойчива по критерию Найквиста (в логарифмических координатах).

б) Скоростная ошибка больше допустимой, это не удовлетворяет заданному условию, следовательно необходимо добавить в схему дополнительный усилитель.

в) Чтобы САУ удовлетворяла заданным требованиям, необходимо ввести корректирующее устройство в систему.

2. Синтез системы автоматического управления

Синтез - это выбор структуры и параметров системы так, чтобы она удовлетворяла заранее поставленным требованиям, при этом предъявляются как общеинженерные требования в отношении веса, габаритов, надёжности, стоимости и т. д., так и специфические требования в отношении динамических свойств системы.

При проектировании автоматических систем приходиться решать такие задачи, как обеспечение устойчивости и качества процесса регулирования, имеющие противоречивый характер. Удовлетворительное решение первой задачи, соответствующее нужному запасу устойчивости, может привести к неудовлетворительным характеристикам в переходном процессе или в установившемся режиме. Возможен и противоположный случай, когда реализация требуемых характеристик качества, например связанная с повышением точности в установившемся типовом режиме, сопровождается чрезмерным понижением запаса устойчивости. Противоречие между двумя задачами особенно наглядно проявляется, если делается попытка решить их одним и тем же способом. Например, уменьшение ошибок в установившемся режиме методом повышения коэффициента усиления в разомкнутой системе, как правило, приводит к уменьшению запаса устойчивости. Метод, используемый для повышения статической точности,- повышение порядка астатизма - также неблагоприятно сказывается на устойчивости, уменьшая запас устойчивости и увеличивая колебательность процесса.

Удовлетворительное решение задачи реализации, как требуемого запаса устойчивости, так и качества процесса регулирования может быть достигнуто при одновременном использовании упомянутых методов и изменении структуры системы или включении корректирующих устройств в прямую цепь, либо цепь внутренней обратной связи. Основное назначение корректирующего устройства - изменение динамических свойств системы в направлении желаемых характеристик, что проявляется в изменении усиления по отдельными гармоникам или только в той области частот, которая оказывается существенной для формирования той или иной динамической характеристики. Влияние корректирующего устройства на динамические свойства системы проявляется также и в изменении фазовой характеристики.

Использование корректирующих устройств наряду с изменением коэффициента усиления в разомкнутой цепи и изменением порядка астатизма приводит в конечном итоге к деформации частотных характеристик, что и определяет коррекцию динамических свойств системы.[3]

Исходные данные:

Допустимая скоростная ошибка не более,	Допустимое время регулирования не более,	Допустимое максимальное перерегулирование не более
0,0062	2,4	25

2.1 Определение требуемого коэффициента передачи синтезируемой САУ

Для астатических систем требуемый коэффициент передачи, обеспечивающий дополнительную ошибку в установившемся режиме, определяется как:

>Краз

где Краз=9,23

161,3>9,23

Так как , следовательно, в контур САУ необходимо включить дополнительный усилитель:

Дополнительный коэффициент усиления включим сразу после сумматора. Структурная схема САУ примет следующий вид.

2.2 Синтез корректирующих устройств методом логарифмических частотных характеристик

Одним из наиболее распространенных способов улучшения динамических свойств САУ является охват дополнительной, местной обратной связью, одного или нескольких звеньев неизменяемой части системы. Звенья, с помощью которых осуществляются эти связи, называются параллельными корректирующими устройствами. Параллельное корректирующее устройство изменяет динамические свойства тех звеньев прямого канала системы, которые оно охватывает, и таким образом обеспечивает необходимое изменение динамических свойств всей системы. Для коррекции САУ применим параллельное корректирующее устройство, осуществляющее гибкую обратную связь, т.к. гибкие обратные связи действуют только в переходном режиме и не влияют на точность системы в установившемся режиме. Поэтому они находят наибольшее применение для улучшения динамических свойств системы.[4]

Включим корректирующее устройство следующим образом:

структурная схема САУ примет следующий вид:

Процесс синтеза включает в себя следующие операции:

1.Строится низкочастотная область асимптотической нескорректированной ЛАЧХ системы в разомкнутом состоянии.

Построения проводятся с учетом . То есть низкочастотная асимптота проводится через точку (0; 20lgKтр)=(0; 44,2) с наклоном -20дБ /дек

2. Строится асимптотическая желаемая ЛАЧХ -

Построения будем вести позонно, начиная со среднечастотной зоны.

Для построения СЧЗ необходимо определить частоту среза желаемой ЛАЧХ и ординаты начала и конца зоны.

Определим :

Для этого воспользуемся номограммами В.В. Солодовникова [1].

При заданном определяем . По и графику, находится по формуле соотношение между временем регулирования и частотой среза желаемой ЛАЧХ

,

При заданном допустимом времени регулирования () найдем частоту среза :

Определим ординаты начала и конца среднечастотной зоны. Ординаты начала и конца СЧЗ ориентировочно берутся равными требуемому запасу устойчивости по модулю с разными знаками. Требуемые запасы устойчивости определяем по номограмме В.В.Солодовникова [1].

Получаем при требуемый запас устойчивости , по фазе Среднечастотная асимптота проводится под наклоном -20 дБ/дек через точку на осиабсцисс, имеющую частоту в логарифмическом масштабе . Начальную и конечную ординаты принимаем равными .

Низкочастотная и среднечастотная зоны соединяются асимптотой с наклоном -40дБ/дек. А высокочастотная зона проводится так, чтобы не усложнялось корректирующее устройство. В данном случае, сохраним наклон -40дБ/дек.

3. Строится асимптотическая ЛАЧХ неохваченных звеньев - .

Передаточная функция неохваченных звеньев имеет вид:

Неохваченными являются, одно интегрирующее и одно апериодическое звено. В этом случае для построения,достаточно рассчитать:

По этим параметрам строится Lнз ().

4.Определяется ЛАЧХ параллельного корректирующего устройства .

Характеристикунаходим графическим вычитанием ординат из ординат .



5.Определяется электрическая схема, передаточная функция и соотношение параметров корректирующего устройства.

По виду выберем корректирующее устройство. Оно изображено на рисунке 1.1.9.

Запишем передаточную функцию корректирующего устройства:

Параметры корректирующего устройства:

Т1к=1,26(с-1)

Определим дополнительный коэффициент корректирующего устройства:

Т.к. требуемый коэффициент передачи больше исходного, в схему необходимо включить дополнительный усилитель, также это позволит уменьшить астатическую ошибку. Для коррекции исходной САУ также необходимо включить параллельное корректирующее устройство. Использование корректирующего устройства наряду с изменением коэффициента усиления в разомкнутой цепи приводит к деформации частотных характеристик, что и определяет требуемую коррекцию динамических свойств системы.

3. Проверка результатов синтеза

3.1 Определение запасов устойчивости скорректированной САУ

Система автоматического регулирования должна обладать некоторым запасом устойчивости, обеспечивающим работоспособность ее в различных условиях эксплуатации. Введение запаса устойчивости имеет значение еще и потому, что обеспечивает работу системы со значительно меньшей колебательностью процесса регулирования, чем в случае работы ее в режиме, близком к границе устойчивости.[2]

Передаточная функция LЖ(w) будет равна:

,

Для построения ЛФЧХ по оси ординат откладывают величину фазы ц в градусах, а по оси абсцисс логарифм частоты в декадах. В этом случае фазовая характеристика звена определяется выражением:

- для апериодического звена,

-для форсирующего звена,

- для интегрирующего звена.

Подставив значения частот получим следующие результаты:

Расчет произведем в программе MathCAD.



График ЛФЧХ представлен на рисунке 1.1.9.

Требуемый запас устойчивости по модулю Lтр = 15дБ, по фазе тр = 40 град.

Запас устойчивости по фазе определяется как расстояние от ЛФЧХ при частоте среза желаемой ЛАЧХ до прямой -1800. Из графика: Д=62.

Запас устойчивости по модулю L определяется как расстояние от ЛАЧХ до оси абсцисс при частоте пересечения ЛФЧХ с прямой -1800. Из графика видно что ЛФЧХ не пересекает линию -1800 следовательно САУ обеспечивает неограниченный запас по модулю и является абсолютно устойчивой.

3.2 Оценка качества скорректированной системы аналитическим методом

Для оценки качества скорректированной системы методом математического моделирования необходимо построить переходную характеристику h(t). В программе MATLAB , смоделируем полученную ранее скорректированную систему с целью последующего определения показателей качества.

Для определения времени регулирования и величины перерегулирования была собрана схема, представленная на рисунке 3, с помощью которой был получена переходная характеристика.

Рисунок 3- Схема скорректированной САУ.

Рассчитаем и построим пятипроцентную зону (±5% от уровня установившегося режима) и определим время, за которое переходная характеристика входит в пятипроцентную зону и более из нее не выходит.

Рисунок 3.2.1- Переходная характеристика скорректированной САУ.

Рисунок 3.2.2- Увеличенный участок переходной характеристики скорректированной САУ.

Трег=2,4 с. Трег.доп=1,3 с (найденное по характеристике). Следовательно скорректированная САУ отвечает заданным параметрам.

Максимальное перерегулирование - это максимальное отклонение управляемой переменной, выражаемое в процентах от установившегося значения.[4 ]

Согласно графику и формуле

,

что не превышает заданное .

Заданные параметры, такие как: запас устойчивости по фазе, запас устойчивости по модулю, скоростная ошибка, время регулирования и максимальное перерегулирование меньше требуемых, САУ является устойчивой. САУ скорректировано верно.

Список литературы

Теория автоматического управления: метод, указания к лаб. работам №1-5 для студентов III-IV курсов электромеханического факультета всех форм обучения /Новосиб. гос. уехн. ун-т; [сост.: В.Н. Аносов, В.В. Наумов]. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. - 61с.

Теория систем автоматического регулирования Ч. 1./ Под. ред. А.А. Воронова -М: Изд-во Высш. школа,1977.- 304 с.

Л.С. Гольдфарб. Теория систем автоматического регулирования.-М: Изд-во Высш. школа,1976.- 402 с.

Воронов А.А. Основы теории автоматического регулирования и управления/ А.А. Воронов, В.К. Титов, Б.Н. Новогранов. - М: «Высш.школа», 1977.- 519с.

Размещено на Allbest.ru

...