Банки фильтров и их оценка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение. Постановка задачи

1. Решение задачи аппроксимации и теоретические расчеты

1.1 Расчет параметров набора цифровых полосовых фильтров

1.2 Решение задачи аппроксимации в классе КИХ-цепей

1.3 Разработка и оптимизация структуры цифровой системы анализа-синтеза сигналов на основе МОС

2. Моделирование и экспериментальные исследования в среде MATLAB

2.1 Моделирование прямой формы реализации

2.2 Моделирование полифазной формы реализации

2.3 Моделирование прямой формы с применением цифровой гребенчатой фильтрации

3. Сравнительный анализ эффективности исследуемых форм реализации цифровой системы анализа-синтеза сигналов

Заключение

Список использованной литературы

аппроксимация цифровой фильтр сигнал



Введение. Постановка задачи

Поиск эффективных методов построения цифровых полосовых фильтров и их наборов (систем частотной селекции сигналов) является одной из актуальных проблем цифровой обработки сигналов. Стоит сказать, что эта проблема имеет широкое прикладное значение. Можно назвать такие области применения фильтров частотной селекции, как панорамные радиоприемники и анализаторы спектра, полосные вокодеры и системы скрытой связи, трансмультиплексоры и корректоры каналов, чтобы показать ту значимость, которую они приобретают в современных радиотехнических системах и системах связи. Многоскоростная обработка сигналов (multirate processing) предполагает, что в процессе линейного преобразования цифровых сигналов возможно изменение частоты дискретизации в сторону уменьшения или увеличения и, как следствие, требуемой скорости обработки. Это приводит к более эффективной обработке сигналов, так как открывается возможность значительного уменьшения требуемой вычислительной производительности проектируемой цифровой системы. В последние годы в области многоскоростной обработки сигналов достигнуты громадные успехи. Многоскоростная фильтрация и особенности ее применения стали предметом исследований многочисленных научных работ по ЦОС. Совершенно уникальные возможности дает использование многоскоростной обработки в системах адаптивной и нелинейной фильтрации, сжатия, анализа и восстановления речи, звука и изображений.

Рассмотрим задачу проектирования цифрового низкочастотного фильтра (НЧФ). Пусть требуется построить цифровой фильтр, воспроизводящий частотную характеристику с заданными требованиями частотной избирательности (Рисунок 1).



Рисунок 1 ? Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) фильтра

Здесь: щс1 - частота среза полосы пропускания (щ = 2рfT - приведенная круговая частота (щ = 0,2р, T - период дискретизации)); щс2 - частота среза зоны непрозрачности; е1доп - допустимая неравномерность (спад) амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) в полосе пропускания; е2доп - допустимый уровень боковых лепестков (степень подавления) АЧХ в зоне непрозрачности; H(щ) - АЧХ идеального фильтра (желаемая АЧХ); HВ (щ) - воспроизводимая АЧХ фильтра.

Фазочастотную характеристику обычно задают максимально близкую к линейной, чтобы исключить фазовые искажения. Поэтому дальнейший синтез структуры фильтра будет проводиться в классе КИХ-цепей.

Кратко рассмотрим некоторые формы реализации данного фильтра.

Прямая форма реализации

Для оценки требуемого порядка N КИХ-фильтров используем следующее выражение:

(1)

где: (2)

(3)

б - показатель прямоугольности АЧХ фильтра (обычно б = 0.5ч10), в - показатель узкополосности фильтра (в = 10ч104), L - логарифмический показатель частотной избирательности (L = 1ч5).

Показатель узкополосности является определяющим фактором всех затрат на реализацию КИХ-фильтра. Таким образом, с целью значительного уменьшения требуемых вычислительных затрат на его реализацию желательно снять линейную зависимость вычислительных затрат и памяти данных от показателя узкополосности в. Многоскоростная обработка сигналов с понижением и последующим повышением частоты дискретизации является тем инструментом, который эффективно решает поставленную задачу.

Двухступенчатая форма реализации

В соответствии с методом на основе децимации и интерполяции структура узкополосного фильтра принимает следующий вид (Рисунок 2).

Рисунок 2 ? Структурная схема узкополосного фильтра на основе децимации и интерполяции преобразуемого сигнала

Согласно данной схеме, проектируемый фильтр с желаемой функцией передачи H(jщ) используется дважды: сначала как фильтр-дециматор, затем как фильтр-интерполятор. Отметим, что общие вычислительные затраты уменьшаются в н/2 раз. При этом максимально возможный коэффициент децимации связан с параметрами частотной избирательности б и в выражением вида:

(4)

Если б >> 1, то . Это значит, что с увеличением в пропорционально увеличивается коэффициент децимации н, а значит вычислительные затраты почти не зависят от показателя узкополосности в. Однако, если б >> 1, то сохраняется пропорциональная зависимость всех затрат от показателя прямоугольности б. Поэтому дальнейшая модификация данной структуры привела к двухступенчатой реализации с подключением дополнительного формирующего фильтра (Рисунок 3а).

Рисунок 3 ? Двухступенчатая форма построения оптимального фильтра: а -- структурная схема; б -- АЧХ фильтров

На первой ступени фильтр-дециматор с функцией передачи H1(jщ) понижает частоту дискретизации входного x(nT1) сигнала в н раз. На второй ступени основной фильтр с функцией передачи H0(jщ) формирует требуемые свойства избирательности всей системы в переходной зоне АЧХ фильтра-дециматора, а фильтр-интерполятор с функцией передачи H1(jщ) восстанавливает промежуточные отсчеты сигнала y(nT2), повышая частоту его дискретизации в н раз.

Гребенчатая фильтрация

Структуру проектируемого НЧ фильтра N-го порядка с желаемой характеристикой H(щ) представим в виде последовательного соединения гребенчатого фильтра ЦГФ с периодической частотной характеристикой HГФ(щ), составляющие которой в диапазоне рабочих частот 0 ? щ ? 2р повторяют н раз свойства частотной избирательности узкополосного НЧ фильтра, и цифрового сглаживающего фильтра (ЦСФ) с функцией передачи HСФ(щ), который выделяет основной лепесток, расположенный в окрестности нулевой частоты, из совокупности боковых составляющих на выходе ЦСФ.

Поскольку на один отличный от нуля отсчет импульсной характеристики ЦГФ приходится (н - 1) нулевых отсчетов, реализация входного фильтра потребует в н раз меньшее число арифметических операций, чем некаскадная реализация проектируемого НЧ фильтра. В то же время затраты на реализацию сглаживающего фильтра тем меньше, чем меньше значение коэффициента прореживания н, вследствие возможности пропорционального уменьшения порядка ЦСФ с увеличением относительной ширины полосы пропускания и переходной зоны его АЧХ.



1. Решение задачи аппроксимации и теоретические расчеты

1.1 Расчет параметров набора цифровых полосовых фильтров

Исходные данные имеют вид:

частота дискретизации fкв1 = 16 кГц;

число частотных каналов M = 32;

уровень неравномерности АЧХ в полосе пропускания е1 = 0,5 дБ;

уровень подавления в зоне непрозрачности е2 = 60 дБ;

показатель прямоугольности АЧХ б = 20.

Расчет основных частотных параметров:

= 128 Гц

Частотный план каналов изображен на Рисунке 4.

Рисунок 4 - План частот каналов

В Таблице 1 представлено распределение частот каналов.

Таблица 1

n	f0n	f0n - fc1	f0n - fc2	f0n + fc1	f0n + fc2
1	250	128.	122	372	378
2	500	378.	372.	622	628
3	750	628.	622.	872	878
4	1000	878.	872.	1122	1128
5	1250	1128.	1122.	1372	1378
6	1500	1378.	1372.	1622	1628
7	1750	1628.	1622.	1872	1878
8	2000	1878.	1872.	2122	2128
9	2250	2128.	2122.	2372	2378
10	2500	2378.	2372.	2622	2628
11	2750	2628.	2622.	2872	2878
12	3000	2878.	2872.	3122	3128
13	3250	3128.	3122.	3372	3378
14	3500	3378.	3372.	3622	3628
15	3750	3628.	3622.	3872	3878
16	4000	3878.	3872.	4122	4128
17	4250	4128.	4122.	4372	4378
18	4500	4378.	4372.	4622	4628
19	4750	4628.	4622.	4872	4878
20	5000	4878.	4872.	5122	5128
21	5250	5128.	5122.	5372	5378
22	5500	5378.	5372.	5622	5628
23	5750	5628.	5622.	5872	5878
24	6000	5878.	5872.	6122	6128
25	6250	6128.	6122.	6372	6378
26	6500	6378.	6372.	6622	6.628
27	6750	6628.	6622.	6872	6878
28	7000	6878.	6872.	7122	7128
29	7250	7128.	7122.	7372	7378
30	7500	7378.	7372.	7622	7628
31	7750	7628.	7622.	7872	7878
32	8000	7878.	7872.	8122	8128

2.2 Решение задачи аппроксимации в классе КИХ-цепей

Рассчитаем показатель узкополосности фильтра:



при

Расчет порядка эквивалентного НЧФ:

, где

= 1.651

Расчет максимально допустимого коэффициента децимации:

Расчет оценки приведенных вычислительных затрат и памяти данных прямой формы реализации (без децимации):

Расчет оценки приведенных вычислительных затрат и памяти данных одноступенчатой реализации на основе децимации (интерполяции):

Оптимизация параметров двухступенчатой структуры преобразуемого сигнала:



Расчет порядков фильтра-дециматора (интерполятора) и формирующего фильтра:

Расчет оценки приведенных вычислительных затрат и памяти данных двухступенчатой оптимальной структуры на основе децимации (интерполяции) преобразуемого сигнала:

2.3 Разработка и оптимизация структуры цифровой системы анализа-синтеза сигналов на основе МОС

Для оптимизации затрат памяти данных имеем:

Перебираем все целочисленные значения параметров и при условии, что и

Для оптимизации вычислительных затрат имеем:



Перебираем все целочисленные значения параметров и с условием, что - целое число,.

Сведём в Таблицу 2 результаты оптимизации.

Пара коэффициентов с минимальным расчетным количеством ячеек памяти представлена в таблице под № 48.

Пара коэффициентов с минимальными расчетными вычислительными затратами представлена в таблице под №47.

Таблица 2

Коэффициент децимации, н1	Коэффициент децимации, н2	Количество ячеек памяти, S*1.0e+003	Вычислительные затраты, RT*1.0e+007
1	1	1.4212	2.7769
2	1	0.8128	1.3906
3	1	0.6551	0.9293
4	1	0.6101	0.6993
5	1	0.6101	0.5618
6	1	0.6327	0.4706
7	1	0.6681	0.4058
8	1	0.7116	0.3577
9	1	0.7604	0.3205
10	1	0.8130	0.2912
11	1	0.8684	0.2675
12	1	0.9258	0.2480
13	1	0.9848	0.2319
14	1	1.0450	0.2183
15	1	1.1062	0.2069
16	1	1.1682	0.1972
17	1	1.2308	0.1889
18	1	1.2941	0.1818
19	1	1.3578	0.1758
20	1	1.4219	0.1707
21	1	1.4863	0.1663
22	1	1.5510	0.1627
23	1	1.6160	0.1597
24	1	1.6812	0.1573
25	1	1.7466	0.1554
26	1	1.8122	0.1540
27	1	1.8779	0.1531
28	1	1.9438	0.1527
29	1	2.0098	0.1526
30	1	2.0760	0.1530
31	1	2.1422	0.1538
32	1	2.2085	0.1551
2	2	0.4754	1.3907
4	2	0.4417	0.6982
6	2	0.5208	0.4682
8	2	0.6280	0.3539
10	2	0.7465	0.2860
12	2	0.8706	0.2413
14	2	0.9981	0.2099
16	2	1.1276	0.1869
18	2	1.2586	0.1696
20	2	1.3906	0.1564
22	2	1.5235	0.1461
24	2	1.6574	0.1381
26	2	1.7923	0.1320
28	2	1.9291	0.1275
30	2	2.0718	0.1244
3	3	0.3560	0.9294
6	3	0.4842	0.4682
9	3	0.6626	0.3154
12	3	0.8541	0.2398
15	3	1.0515	0.1953
18	3	1.2548	0.1664
21	3	1.5094	0.1465
4	4	0.3589	0.6994
8	4	0.5888	0.3538
12	4	0.8499	0.2397
5	5	0.3977	0.5619
10	5	0.7172	0.2858
6	6	0.4519	0.4707
7	7	0.5183	0.4060
10	5	0.7427	0.2964
6	6	0.4686	0.4884
7	7	0.5358	0.4212
8	8	0.6744	0.3711

Расчет оптимальной трехступенчатой структуры

Для оптимальных значений параметров , рассчитываются порядки фильтров - дециматоров (интерполяторов):

формирующего фильтра:

Число операций умножения в единицу времени:

Число ячеек памяти данных:

при и .

Для оптимальной трехступенчатой структуры рассчитываются частоты среза полосы пропускания и зоны непрозрачности первого фильтра - дециматора (интерполятора):



при коэффициенте прямоугольности АЧХ первого фильтра - дециматора (интерполятора):

Частоты среза полосы пропускания и зоны непрозрачности второго фильтра - дециматора (интерполятора):

при коэффициенте прямоугольности АЧХ второго фильтра - дециматора (интерполятора):

Частоты среза полосы пропускания и зоны непрозрачности формирующего фильтра:

Расчет прямой формы с применением цифровой гребенчатой фильтрации

Для построения гребенчатого фильтра выбираются оптимальные значения параметров децимации , и рассчитываются порядки:

цифровых гребенчатых фильтров:

сглаживающего фильтра:

Число операций умножения в единицу времени:

Число ячеек памяти данных:

Частоты среза полосы пропускания и зоны непрозрачности первого гребенчатого фильтра:

Частоты среза полосы пропускания и зоны непрозрачности второго гребенчатого фильтра:

при коэффициенте прямоугольности АЧХ второго гребенчатого фильтра:

Частоты среза полосы пропускания и зоны непрозрачности сглаживающего фильтра

при коэффициенте прямоугольности АЧХ второго гребенчатого фильтра:



2. Моделирование и экспериментальные исследования в среде MATLAB

2.1 Моделирование прямой формы реализации

В экспериментальной части было произведено моделирование нескольких КИХ-фильтров, параметры избирательности которых были рассчитаны в пункте 2. Результаты моделирования представлены ниже на соответствующих рисунках.

Рисунок 5 - АЧХ 1-го фильтра прямой реализации

Рисунок 6 - АЧХ 9-го фильтра прямой реализации

Рисунок 7 - АЧХ 17-го фильтра прямой реализации



Рисунок 8 - АЧХ 25-го фильтра прямой реализации

В качестве тестового сигнала используется сумма синусоид со следующими частотами:

250 Гц;

1250 Гц;

2250 Гц;

3250 Гц;

4250 Гц;

5250 Гц;

6250 Гц.

Частота дискретизации составляет 16 кГц.

Рисунок 9 - Тестовая модель

Пронаблюдаем за изменением спектра после выхода каждого из фильтров.



Рисунок 10 - Спектр исходного сигнала

Рисунок 11 - Спектр сигнала после прохождения через 1-й фильтр

Рисунок 12 - Спектр сигнала после прохождения через 2-й фильтр

Рисунок 13 - Спектр сигнала после прохождения через 3-й фильтр



Рисунок 14 - Спектр сигнала после прохождения через 4-й фильтр

Рисунок 15 - Спектр сигнала после прохождения через 5-й фильтр

Рисунок 16 - Спектр сигнала после прохождения через 6-й фильтр

Рисунок 17 - Спектр сигнала после прохождения через 7-й фильтр

2.2 Моделирование полифазной формы реализации

Второй подход к построению системы цифровой частотной селекции сигналов в рамках прямой параллельной формы, использующий дополнительное преобразование по выходу с помощью алгоритма ДПФ. Идея метода базируется на полифазной форме построения каждого из фильтров-демодуляторов M -канальной системы с последующим структурным преобразованием, использующим свойства периодичности демодулирующих функций и идентичность структуры отдельных частотных каналов.

Рисунок 18 - Полифазная форма М-канальной системы

Вычислительные затраты и затраты памяти данных для комплексного входного сигнала (н = M) в случае произвольного числа каналов M и применения простого ДПФ-преобразования составят:

а в случае, когда число каналов M кратно степени двойки и для разделения частотных каналов применяется алгоритм БПФ-преобразования, оценка затрат производится по выражениям:



при порядке N фильтров-демодуляторов для заданных параметров частотной избирательности:

Полифазная форма построения системы отличается наибольшей эффективностью с позиции минимизации вычислительных затрат.

2.3 Моделирование прямой формы с применением цифровой гребенчатой фильтрации

В ходе выполнения работы был выполнен расчет базовых НЧ фильтров, требуемых для синтеза гребенчатых фильтров, а также расчет сглаживающего фильтра. Полученные АЧХ представлены на нижеследующих рисунках.

Рисунок 19 - АЧХ 1-го базового НЧ фильтра

Рисунок 20 - АЧХ второго базового НЧ фильтра



Рисунок 21 - АЧХ сглаживающего НЧ фильтра

С помощью скрипта, указанного в листинге 1, на основании базовых НЧ фильтров синтезируются два гребенчатых фильтра, АЧХ которых указаны на рисунках.

Листинг 1

Рисунок 22 - Импульсная характеристика первого гребенчатого фильтра



Рисунок 23 - Импульсная характеристика второго гребенчатого фильтра

Рисунок 24 - АЧХ первого гребенчатого фильтра

Рисунок 25 - АЧХ второго гребенчатого фильтра

Модель гребенчатого НЧ фильтра представлена на Рисунке 26.



Рисунок 26 - Модель гребенчатого НЧ фильтра

Через фильтры будет проходить сигнал, состоящий из синусоид с частотами:

250 Гц;

1250 Гц;

2250 Гц;

3250 Гц;

4250 Гц;

5250 Гц;

6250 Гц.

Частота дискретизации составляет 16 кГц.

В ходе моделирования были получены следующие результаты:

Рисунок 27 - Исходный сигнал (сверху) и сигнал после фильтрации (снизу)

Рисунок 28 - Спектр сигнала на входе

Рисунок 29 - Спектр сигнала после фильтрации



3. Сравнительный анализ эффективности исследуемых форм реализации цифровой системы анализа-синтеза сигналов

В ходе курсовой работы были получены результаты расчетов вычислительных затрат и затрат памяти для различных реализаций. Данные представлены в Таблице 3.

Таблица 3? Результаты расчетов для различных видов реализации.

Реализация	Вычислительные затраты, RT Ч103 умн./с.	Число ячеек памяти, S
Одноступенчатая (без децимации)
Одноступенчатая (с децимацией, интерполяцией)
Двухступенчатая
Трехступенчатая
Гребенчатая
Полифазная



Заключение

В процессе выполнения данной курсовой работе были рассмотрены различные способы реализации банка фильтров. Произведена оценка затрат для каждого рассмотренного способа реализации:

одноступенчатый (без децимации);

одноступенчатый (с децимацией, интерполяцией);

двухступенчатый;

трехступенчатый;

гребенчатый;

полифазный.

При подведении итогов выяснилось, что наименьший объем памяти требуется для двухступенчатой реализации с использованием децимации (интерполяции),а

наименьшие вычислительные затраты также при двухступенчатой форме реализации.

Так же, в курсовой работе было произведено моделирование некоторых форм реализации фильтров, чем была показана их работоспособность. Избирательные свойства промоделированных фильтров соответствуют требованиям задания, что подтверждается спектрами тестового сигнала до фильтрации и после нее.



Список используемой литературы

1. Витязев В.В., Зайцев А.А. Основы многоскоростной обработки сигналов: Учеб. пособие. Ч. 1.

2. Витязев В.В., Зайцев А.А. Основы многоскоростной обработки сигналов: Учеб. пособие. Ч. 2.

3. Витязев В.В. Многоскоростная обработка сигналов: ретроспектива и современное состояние.

4. Витязев В.В., Лекции по курсу ЦОС и СП.

Размещено на Allbest.ru

...