6.1.1 Определение порога по критерию идеального наблюдателя

По критерии идеального наблюдателя, выбираем порог для того, чтобы гарантировать его среднюю вероятность ошибки.

Рис.6.1. Выбор порога при когерентном приеме

(6.1)

(6.2)

По этой формулы рассчитаем средную вероятность ощибки, вот таким образом:

(6.3)

Формулы (6,1 ) и (6,2) являются Гоусовким распределением плотности, при котором выполняется Гипотез Н1 либо Гипотез Н0.

Рис.6.2 Распределения вероятностей величины у в случае когерентного приема

Собственно найдем средную вероятность ошибки

Где

Вероятность ошибки 1 и 2 рода при когерентном приёме

Р₀ и Р_{1 -} априорные вероятности гипотез Н₀ и Н₁. Смотреть стр 6

Определение скорости передачи информации при наличии помех

Формулы для расчета некогерентного приёма точно такие же, как и для когерентного.

Но, т.к. изменились вероятности ошибок 1-ого и 2-ого рода, то и изменились совместные и безусловные вероятности двоичных символов.

Найдем совместные вероятности сочетаний входных и выходных символов:

Безусловные вероятности выходных символов:

Найдем совместную энтропию входа и выхода канала:

Теперь находим энтропию выходного сигнала:

Находим скорость информации по цифровому каналу с учетом помех:

-байт/с (6.8)

Ниже в таблице приведены сравнения вероятности ошибок первого и второго рода, средних ошибок, при когерентном и некогерентном приеме:

Из данной таблицы видно, что вероятности ошибок 1-ого и 2-ого рода, а так же средняя вероятность ошибки при когерентном приеме меньше, чем при некогерентном; скорость передачи информации также выше при когерентном приеме, что дает нам выбор в пользу когерентного приема. Однако на практике, когерентный прием не реализуется (из-за не идеальности приемников, источников и линий связи). Следовательно, необходимо применять дополнительные меры для увеличения помехоустойчивости систем некогерентного приема.

7. Согласованный фильтр

7.1 Определение импульсной и комплексной частотной характеристики согласованного фильтра

На вход фильтра подадим смесь гауссова шума, с заданной дисперсией ?², и радиоимпульса, с известными огибающей, длительностью, частотой заполнения и начальной фазой (когерентный приём) вида:

(7.1)

С известными параметрами: а=14 В ф = 3.202Ч10^-6 с

В нашем случае, когда входной сигнал - это радиоимпульс известной амплитуды, зададимся частотой передачи щ₀: f₀=1*10⁶ Гц и

рис 7.1. Сигнал на входе согласованного фильтра

По форме входного сигнала получаем импульсную характеристику согласованного фильтра cо смещением t₀=ф:

(7.2)

рис. 7.2 Импульсная характеристика согласованного фильтра.

рис. 7.3 Сигнал и ИХ согласованного фильтра.

Через прямое преобразование фурье выражаем входной сигнал согласованного фильтра:

(7.3)

Рис.7.4. Спектральная плотность прямоугольного радиоимпульса

Принимая свойство преобразование фурье получим его КЧХ:

(7.4)

Рис. 7.5. График комплексно-частотной характеристики прямоугольного радиоимпульса

Отклик согласованного фильтра на посылку.

Отклик согласованного фильтра на посылку будет определяться сверткой:

(7.6)

Рис. 7.6. График отклика согласованного фильтра прямоугольного радиоимпульса на посылку.

7.2 Определение условной вероятности ошибки и средней вероятности ошибки

Чтобы определить условные вероятности ошибки и среднюю вероятность ошибки при когерентном приеме с использованием согласованного фильтра необходимо найти дисперсию шума на выходе и рассмотреть Гауссовы плотности распределения вероятностей.

Помеха - это квазибелый шум с нулевым средним, а, значит, имеет СПМ вида:

(7.7)

(7.8)

Учитывая, что шум на входе СФ квазибелый с полосой (-F, F), содержащей 99% энергии сигнала:

получим , тогда СПМ шума , откуда найдем

-СПМ на входе

-Дисперсия согласованного фильтра на выходе

- СКО согласованного фильтра на выходе

Найдем плотности распределения вероятности шума и смеси сигнала с шумом.

Условная ПРВ для гипотезы H₀ - только шум на выходе согласованного фильтра:

(7.8)

Условная ПРВ для гипотезы H₁ - шум/сигнал на выходе согласованного фильтра:

(7.9)

Рис.7.7 плотностьвероятности согласованного фильтра

Найдем условные вероятности ошибок:

- пороговое значение

Рассчитаем Вероятность первого и второго рода согласованного фильтра:

Средняя вероятность ошибки равна:

Условные вероятности первого и второго рода:

Найдем совместные вероятности сочетаний входных и выходных символов согласованного фильтра:

Безусловные вероятности выходных символов согласованного фильтра:

Найдем совместную энтропию входа и выхода канала согласованного фильтра:

энтропия выходного сигнала согласованного фильтра:

скорость передачи информации согласованного фильтра:

-Байт/с (7.10)

7.3 Распределение выигрыша в отношении сигнал/шум за счет согласованного фильтра

Отношение сигнал/шум по мощности на выходе согласованного фильтра:

(7.11) (7.12)

(7.13)

Выигрыш в отношении сигнал/шум по сравнению со случаем однократного отсчета равен:

(7.14)

8. Помехоустойчивое кодирование

Рис. 10: Обобщённая структурная схема системы связи, использующая помехоустойчивое (канальное) кодирование.

8.1 Кодирование двоичной информации последовательности (7,4)-кодом Хемминга

Реализовать помехоустойчивое кодирование можно с помощью кода Хемминга. Особенность кода Хемминга заключается в том, что путем введения дополнительных проверочных символов можно не только обнаружить ошибку, но и исправить её.

Коды Хэмминга представляют собой (n,k)-коды, удовлетворяющие условию.

(8.1)

Для (7,4)-кода порождающая матрица будет иметь вид:

Закодируем фразу составленную в «задании 2.3» с помощью кода Хемминга:

Необходимо разбить фразу по 4 символа:

Составим матрицу Х, содержащую полученные информационные блоки в качестве строк и, помножив ее на порождающую матрицу G₁, получим матрицу кодовых слов Q₀.

Q₀=X G₁ (8.2)

8.1.2 Расчет вероятностей однократной и двукратной ошибок в пределах одного кодового слова

Расчет вероятностей однократной и двукратной ошибок в пределах одной кодовой комбинации длины n можно выполнить по формуле биномиального распределения вероятностей (формула Бернулли):

(8.3)

где k следует положить равным соответственно 1 и 2. В качестве p подставим среднюю вероятность ошибки при приеме одного символа р_ош найденную в пункте.

По методу комбинаторике вычисляем вероятности таким образом:

8.2 Декодирование последовательности, содержащей одиночную ошибку, согласно заданию 2.6

Случай однократной ошибки. Запишем полученную матрицу Q₀ кодовых слов из пнкта 8.1. Совершим ошибку в первой строке (0000000) в третьем символе, то получается (0010000). Запишем полученную матрицу:

Проверить наличие ошибки можно с помощью проверочной матрицы Н₁₁:

Если при умножении вектора-строки на транспонированную матрицу в результате получится вектор, являющийся нулевым, то ошибки нет. Иначе присутствуют ошибки.

Теперь смотрим на выделяемую строку и справляем нужный символ, на нашем случае в третьем символе:

Первая строка получилась не нулевая (110), что соответствует третьему столбцу проверочной матрицы Н₁₁, то есть ошибка была допущена во втором символе первого столбца .

8.3 Декодирование последовательности, содержащей одиночную ошибку, согласно заданию 2.7

Для двукратной ошибки, Совершим еще одну ошибку в первой строке (0000000) в седьмом символе, то получается (0010001). Запишем полученную матрицу:

Проверяем ошибку аналогично:

Первая строка получилась не нулевая (111), что соответствует второму столбцу проверочной матрицы Н₁₁, то есть ошибка была допущена во втором символе, что на самом деле является неверно.

Отсюда анализируем что Наличие ошибок было определено в обоих случаях. Однако в случае однократной ошибки ошибочный 3-й символ был определен верно, что дает возможность его исправить, а в случае двукратной ошибки синдром указывает на ошибку в 2-м символе, хотя было допущено 2 ошибки во 3-ом и 7-ом символе и подобное решение не является верным. Из полученных результатов сделаем вывод, что код Хемминга (7,4) обнаруживает однократные и двукратные ошибки, но исправляет только однократные.

Теперь Выполним процедуру декодирования полученной последовательности в соответствии с кодом Хемминга, для случая двукратной ошибки. Декодирование может заключаться в отбрасывании проверочных символов, но это не обеспечит обнаружения и исправления ошибок. Произведем подобную процедуру. Зная, что ни одна кодовая комбинация не является началом какой-либо другой кодовой комбинации, произведем декодирование статистического кода:

Ошибки в пределах одной кодовой последовательности исказят часть сообщения, и это приведет к выбору ошибочных символов.

9. Заключение

В этой работе мы рассмотрели модель для передачи информации, которая дает возможность распространять ее на любую реальную систему передачу дискретных сообщений. Наша цель - сократить избыточность источника для повышения скорости передачи на канале, введение дополнительной избыточности канальным кодированием для помехоустойчивости.

Исходя из полученных результатов в ходе работы, можно сделать следующие выводы:

1). Когерентный приём обеспечивает более высокую скорость передачи информации при сравнительно небольшой вероятности ошибки (в сравнении с некогерентным). В данных случаях способов приёма (когерентный и некогерентный) результаты, полученные из расчёта вполне естественны. При наличии известных параметров - формы сигнала, частоты заполнения и начальной фазы - у когерентного приема вероятность ошибки меньше, чем при некогерентном, когда мы знаем о сигнале лишь форму огибающей.

2). Согласованная фильтрация применяется для повышения отношения сигнал/шум на выходе сигнала. Это, в свою очередь, увеличивает помехоустойчивость системы (вероятность безошибочного решения). Согласованный фильтр нужен для наиболее надежного принятия решения о наличии или отсутствии сигнала на входе приемника. Согласованный фильтр даёт возможность обнаружения сигнала, которая зависит от его энергии, а не от формы. В частности, всегда можно добиться надёжного обнаружения сигнала малой амплитуды, если соответствующим образом увеличить длительность импульса. Однако при этом, естественно, будет снижаться скорость передачи информации по радиоканалу.

Оптимальный порог для принятия решения определяется точкой пересечения ПРВ для двух гипотез. Этим обеспечивается оптимальные (минимальные) значения вероятностей ошибок второго рода, а, следовательно, и минимум средней вероятности ошибки.

Использование согласованного фильтра при когерентном приёме является более выгодным, по сравнению с другими методами и устройствами, но задача построения такого фильтра не такая простая, как может показаться на первый взгляд. Ведь в такой системе нужно устройство, которое будет обеспечивать когерентный отсчёт (точную синхронизацию), то есть решение о присутствии сигнала должно приниматься точно в заданный момент времени t₀.

3). Наибольшей потенциальной помехоустойчивостью обладает тот код, для которого средняя вероятность ошибки меньше и в котором ошибкам подвержены преимущественно кодовые комбинации в одном разряде.

(7,4)-код Хемминга обнаруживает одно- и двукратные ошибки и исправляет однократные, но в тоже время он увеличивает избыточность кода, следовательно, уменьшает скорость передачи информации.

10. Список использованной литературы