Сигналы и их преобразования при цифровой обработке

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сигналы и их преобразования при цифровой обработке

Математическое описание дискретных сигналов

Сигнал - это физический процесс (например, изменяющиеся во времени токи и напряжения), содержащий в себе некоторую информацию. Любой сигнал можно описать математической функцией.

Существуют аналоговые, дискретные и цифровые сигналы. Аналоговые сигналы описываются непрерывной во времени функцией x(t), которая может принимать любые значения в определенном интервале; дискретные сигналы x(nT) представляют собой последовательности или отсчеты функции x(t), взятые в определенные дискретные моменты времени nT; цифровыми являются сигналы, которые в дискретные моменты времени nT принимают конечные дискретные значения - уровни квантования, которые затем кодируются двоичными числами.

Если в цепь микрофона (рис. 1.1), где ток i(t) является непрерывной функцией времени, встроить ключ и периодически на короткие мгновения замыкать его, то ток в цепи будет иметь вид узких импульсов с амплитудами, повторяющими форму непрерывного сигнала. Последовательность этих импульсов, которые называют отсчетами непрерывного сигнала, и представляет собой, не что иное, как дискретный сигнал.

Рис. 1.1

В отличие от непрерывного сигнала i(t) дискретный сигнал можно обозначить id(t). Однако, чаще его обозначают i(nT), заменяя непрерывное время t дискретными моментами nT, следующими строго через интервал T. Используются и более краткие обозначения: i[n] и in. Причем, во всех этих записях n - целое число, принимающее как положительные, так и отрицательные значения. Так, на рис. 1.1 при n <0 дискретный сигнал id(t)=i(nT)?0. При n = 0 значение i(0T) равно значению сигнала i(t) в момент времени t=0. При n>0 отсчеты i(nT) повторяют форму сигнала i(t), т.к. их амплитуды равны значениям непрерывного сигнала в моменты времени nT.

Дискретные сигналы можно задавать графиками, как это показано на рис. 1.1, формулами, например, id(t)=sin(2рfnT), в виде таблиц дискретных значений или в виде комбинации этих способов. Рассмотрим примеры некоторых дискретных сигналов, полученных из типовых аналоговых сигналов. дискретный математический аналоговый

Рис. 1.2

Пример 1.1. Единичный ступенчатый аналоговый сигнал 1(t) приведен на рис. 1.2.

Соответствующий ему дискретный сигнал u[n] называется ступенчатой последовательностью. Он определяется следующим образом:

Такая последовательность приведена на рис. 1.2.

Пример 1.2. Импульс Дирака или д -функция в аналоговой области приведена на рис. 1.3.

Рис. 1.3

Рис. 1.4

Дельта-последовательность или дискретная д -функция определяется выражением

Последовательность д[n], приведенная на рис. 1.3, принимает единственное значение, равное 1, при n = 0. Этот сигнал можно сдвинуть на k интервалов:

Тогда математическая запись любого дискретного сигнала имеет вид

где x[k]-отсчеты исходного аналогового сигнала.

Этот сигнал можно получить из аналогового (рис. 1.4) периодическим замыканием ключа на очень короткое время в моменты t = k.

Интервал времени T, через который отсчитываются значения непрерывного сигнала i(t), называется интервалом дискретизации. Обратная величина 1/T (обозначим ее fd) называется частотой взятия отсчетов или частотой дискретизации.

Рис. 1.5

Отсчеты непрерывного сигнала следует брать с такой частотой (или через такой интервал времени), чтобы успевать отследить все, даже самые быстрые, изменения сигнала. Иначе, при восстановлении этого сигнала по дискретным отсчетам часть информации будет потеряна и форма восстановленного сигнала будет отличаться от формы исходного (рис. 1.5). Если обратиться к схеме рис. 1.1, то это означает, что звук на приеме будет восприниматься с искажениями.

Для сигналов с ограниченным спектром, т.е. для тех сигналов, у которых спектральная плотность локализована в определенной полосе частот, существуют более конкретные рекомендации по выбору интервала дискретизации Т (или, что тоже, частоты дискретизации fd). Эти рекомендации будут даны позже.

Общая структура системы цифровой обработки аналоговых сигналов

Получение, передача и обработка непрерывных сигналов (например, речевые сигналы в телефонии и радиовещании, телевизионные сигналы) может осуществляться в аналоговой форме.

На рис.1.6 показана RC-цепь, у которой импульсная характеристика, как известно, равна

.

Если задано напряжение на входе цепи uвх(t) и нужно найти напряжение на ее выходе uвых(t), мы можем сделать это, воспользовавшись интегралом свертки:

(1)

Это известный материал, и мы лишь напомним его. При передаче аналоговых сигналов необходимо учитывать влияние помех и нестабильность параметров цепи, т.е. их зависимость от времени, температуры, влажности и т.д. Особенно сильно это влияние сказывается на очень низких частотах (меньше 1 Гц) и на частотах выше 20 кГц. В диапазоне сигналов звуковых частот характеристики аналоговых и дискретных цепей и сигналов сопоставимы, и выбор типа сигнала определяется прогрессом в технологии изготовления и применения современных средств микроэлектроники, а они, в свою очередь, ориентированы на цифровые устройства.



Рис. 1.6

Заменим непрерывные сигналы в схеме рис. 6 и формуле (1) их дискретными отсчетами. Чтобы не вносить путаницы, время t заменим дискретными значениями nT, а время ф - дискретными значениями mT. Тогда интеграл придется заменить суммой и выражение (1) запишется в виде:

(2)

Вместо непрерывного сигнала uвх(t) мы будем иметь дело с дискретным сигналом uвх(mT) и вместо непрерывной импульсной характеристики h(t) - с дискретной импульсной характеристикой

Поскольку любой отсчет сигнала - это число, то формулу (2) можно запрограммировать на ЭВМ. Останется лишь ввести в ЭВМ числа, соответствующие всем дискретным отсчетам uвх(mT) и h[(n-m)T], и она вычислит отсчеты выходного напряжения uвых(nT). Выражение (2) на языке вычислительной техники называется алгоритмом вычисления выходного сигнала.

Пример 1.3. Рассчитаем отсчеты выходного напряжения uвых(nT) в цепи, приведенной на рис. 1.6.

Для расчета воспользуемся формулой (2), подставляя в нее соответствующие дискретные отсчеты входного сигнала uвх(nT) и дискретные отсчеты импульсной характеристики h[(n-m)T], графики которых приведены на рис. 1.6.

;

;

Рис. 1.7

Аналогичным образом рассчитываются uвых(4T)=68; uвых(5T)=80,5; uвых(6T) = 91; uвых(7T) = 100,3; uвых(8T) = 108,6; uвых(9T) = 83,4; uвых(10T) = 59 и т.д.

График последовательности uвых(nT) приведен на рис. 1.7.

Таким образом, дискретные сигналы удобны тем, что их можно обрабатывать с помощью ЭВМ. Однако, не следует думать, что дискретные сигналы вносятся в ЭВМ лишь с клавиатуры. Их можно вводить в ЭВМ и выводить из нее непосредственно.

На рис. 1.8 показано, как это делать. Непрерывный сигнал uвх(t) подается на ключ, на выходе которого образуются дискретные отсчеты uвх(nT). Но их еще нельзя ввести в машину. Сначала нужно перевести амплитуды отсчетов в двоичный код - ведь только такой код понимает ЭВМ. Выполняет эту операцию кодер. Скажем, если отсчет имеет величину 30 В, то запись числа 30 в двоичном 8-разрядном коде будет такой: 00011110. Закодированные в двоичном коде отсчеты на рисунке обозначены .

Вычислительные средства (ВС) могут представлять собой универсальную большую ЭВМ, специализированную микро-ЭВМ, микропроцессорное устройство или что-нибудь в этом роде. Главное состоит в том, что в памяти ЭВМ записана программа вычисления, например, выражение (2), и отсчеты импульсной реакции, скажем, RC-цепи. Следовательно, в результате работы программы, ЭВМ будет выдавать закодированные в двоичном коде отсчеты . Декодер преобразует код в амплитуду, и на его выходе появляются дискретные отсчеты выходного напряжения uвых(nT). Интерполятор (Инт) восстанавливает функцию между отсчетами. В итоге на выходе системы мы имеем аналоговый сигнал uвых(t).

Рис. 1.8

Устройство, состоящее из ключа и кодера и преобразующее непрерывный (аналоговый) сигнал в двоичный код (или, что то же, в цифровой сигнал), называют аналого-цифровым преобразователем (АЦП). Обратное преобразование выполняет цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП), содержащий декодер и интерполятор.

Как видим, ЭВМ может сыграть роль реальной цепи. И хотя самой физической цепи может и не быть в наличии, а задана она будет лишь в виде отсчетов импульсной реакции и программы вычислений, мы будем наблюдать на выходе описанной системы такое же выходное напряжение uвых(t), как и на выходе реальной цепи.

Спектр дискретного сигнала

Комплексная спектральная плотность X(jf) непрерывного сигнала x(t) (в дальнейшем для краткости будем говорить: спектр сигнала) вычисляется по формуле прямого преобразования Фурье

. (3)

Сигнал x(t) может быть восстановлен по спектру X(jf) с помощью обратного преобразования Фурье, или интеграла Фурье

. (4)

В соответствии с принципом неопределенности сигнал, имеющий ограниченную протяженность во времени, обладает неограниченным по полосе спектром (рис. 1.9, а). И наоборот, сигнал с ограниченным спектром имеет бесконечную протяженность во времени (рис. 1.10, а). Как следует из этих рисунков, непрерывный сигнал, и ограниченной и бесконечной протяженности во времени, имеет сплошной спектр.

Если сигнал x(t) является периодическим, то спектр его - дискретный, т.е. теперь вместо X(jf) используют отсчеты X[n]. Эта ситуация показана на рис. 1.9, б. Период сигнала равен длительности сигнала Tc. Интервал дискретизации спектра по частоте F определяется, как известно, периодом сигнала, в данном случае F=1/Tc. Формулы для прямого и обратного преобразований Фурье получаются из (3) и (4) путем замены непрерывной частоты f на дискретные значения nF. При этом следует учесть известную связь между амплитудами гармоник X[n] периодического сигнала и отсчетами X[jnF] спектральной плотности X(jf) непрерывного сигнала:

Спектр X[n] периодического сигнала вычисляется по формуле

. (5)

Рис. 1.9

Рис. 1.10

Сигнал x(t) можно восстановить по его дискретному спектру, воспользовавшись формулой

. (6)

Рис. 1.11

Рис. 1.12

В соответствии с принципом дуальности можно сказать: если периодическим является спектр, то дискретным будет сигнал (рис. 1.10, б). Обозначая период повторения спектра fd, получим интервал дискретизации сигнала T=1/fd.

Формулы прямого и обратного преобразований Фурье для дискретных сигналов имеют вид

; (7)

. (8)

В формулах (7) и (8) использовано обозначение x[n]=x(nT).

Пример 4.1. Рассчитаем спектр дискретного сигнала, состоящего из одного отсчета x[n] = [a; 0; 0; 0;…].

Воспользуемся формулой (7), в которую подставим значения x[n] заданного сигнала

.

Пример 4.2. Рассчитаем спектр экспоненциальной дискретной функции x[n]=0,5n, n ? 0.

График дискретной функции x[n] приведен на рис. 1.11, а ее отсчеты можно записать в виде последовательности x[n]={1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; ...}.

Спектр дискретной экспоненты рассчитаем по формуле (7)

где для суммирования ряда использована формула

Получим выражение для расчета спектра амплитуд X(f), используя формулу Эйлера

ejx = cosx+jsinx

.

Для построения графика будем задавать значения f от 0 до 1/Т с шагом 0,1/T и рассчитывать X(f). График спектра амплитуд X(f) экспоненциальной дискретной функции x[n]=0,5n приведен на рисунке 1.12. Как видно из графика, спектр дискретного сигнала сплошной и периодический с периодом fd = 1/T.

Явление наложения спектров

Обратимся вновь к рис. 1.9. В случае, когда дискретизации подвергается спектр (рис. 1.9, б), это приводит к периодическому повторению сигнала. На рис. 1.9, б и 1.13, а, б показаны случаи выбора разных интервалов дискретизации спектров. При слишком редкой дискретизации и происходит наложение сигналов из разных периодов друг на друга (рис. 1.13, б). При этом форма периодической последовательности будет отличаться от формы одиночного сигнала.

Рис. 1.13

Рис. 1.14



Рис. 1.15

Если дискретизации подвергается сигнал (рис. 1.14, а, б и 1.15 а, б), то периодически повторяется спектр сигнала. При неудачном выборе интервала дискретизации будет иметь место наложение друг на друга спектров из разных периодов повторения, т.е. искажение формы спектра (рис. 1.14, б и 1.15, б).

Вывод: все наложения (сигналов или спектров) происходят из-за неудачного - слишком редкого - интервала дискретизации (соответственно, спектра или сигнала). Это приводит к появлению ошибок наложения, или, другими словами, искажений формы сигнала (либо спектра) на каждом периоде.

Условия выбора частоты дискретизации

На рис. 1.8 устройство, восстанавливающее непрерывный сигнал из дискретного, было названо интерполятором. Оно по известным (отсчетным) значениям непрерывной функции вычисляет все промежуточные значения. В математике подобная операция называется интерполяцией.

Можно взглянуть на эту проблему и, с другой стороны. Спектр дискретного сигнала содержит (в самом первом периоде) спектр исходного, недискретизированного сигнала (рис. 1.10, б, 1.14, а и 1.15, а). Пропустим дискретный сигнал x[n] через фильтр нижних частот с граничной частотой полосы пропускания Fгр. Такой фильтр подавит все "боковые" спектры и не внесет никаких изменений в "основной" спектр. Значит, на его выходе появится непрерывный сигнал x(t). Таким образом, фильтр нижних частот с частотой среза Fгр может играть роль интерполятора.

В 1933 году в работе "О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи" В.А. Котельников доказал теорему, ставшую основополагающей в теории и технике цифровой связи. Она гласит: если непрерывный сигнал x(t) имеет спектр, ограниченный частотой Fгр, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени T=1/2Fгр, т.е. с частотой fd=2Fгр.

Мы не приводим полную математическую формулировку теоремы, а также ее доказательство, а лишь ограничиваемся указанием сути теоремы. Однако, справедливость ее легко усматривается из рис. 1.10, б и 1.15, а. Частота дискретизации непрерывного сигнала не должна быть меньше удвоенной ширины спектра: fd ? 2Fгр иначе произойдет наложение спектров (рис. 1.15, б) и будет невозможно с помощью фильтра нижних частот выделить спектр исходного непрерывного сигнала.

Рис. 1.16

Пример 7.1. Рассчитаем интервал дискретизации и минимально допустимую частоту дискретизации сигнала, спектральная плотность которого равна нулю при значениях частоты выше 100 кГц.

Из условия задачи следует, что граничная частота спектра Fгр, равна 100 кГц. Тогда в соответствии с теоремой Котельникова имеем интервал дискретизации

 мкс.

Минимально допустимая частота дискретизации fd=2Fгр = 2 • 100 = 200 кГц.

Пример 7.2. Определим дискретные отсчеты сигнала длительностью tu= 3 мс, приведенного на рис. 1.16, а, если в качестве граничной частоты спектра Fгр принять значение 3/tu, выше которого все значения спектральной плотности уменьшаются более чем в 10 раз по сравнению с максимальным.

Хотя сигнал конечной длительности имеет бесконечный спектр частот, однако почти всегда можно определить граничную частоту спектра таким образом, чтобы отсекание частот, превышающих Fгр, привело к пренебрежимо малым изменениям энергии исходного сигнала. Такое условие задано в примере 7.1.

Граничная частота спектра: кГц.

Интервал дискретизации: мс.

Берем отсчеты сигнала, приведенного на рис. 1.16, а, через интервал времени T = 0,5 мс и получаем последовательность u[n] = {0; 2; 3,2; 4; 1; 0,3; 0}, изображенную графически на рис. 1.16, б.

Использование дискретного преобразования Фурье

Мы уже отмечали, что развитие вычислительной техники привело к появлению цифровых систем обработки сигналов. При этом как сигнал, так и его спектр необходимо перед вводом в вычислительное устройство представлять в виде отсчетов, т.е. в виде чисел.

В формулах (5) и (6), или (7) и (8), один из компонентов уже является дискретным. Остается только заменить в этих формулах оставшуюся непрерывную переменную (t или f) дискретными значениями. Так, например, если в формулах (5) и (6) время t заменим на nT, то получим формулы (9) и (10)

Рис. 1.17

, (9)

. (10)

Следует заметить, что при этом периодический сигнал x(t) стал дискретным сигналом x(nT), или x[n], а значит дискретный спектр X[m] начал периодически повторяться (рис. 1.17). Суммирование дискретных составляющих спектра X[m] в формуле (6) следует теперь вести не в бесконечных пределах, а на периоде, где укладывается N отсчетов. Значит индекс суммирования m в формуле (10) будет изменяться от m = 0 до m = N - 1.

На периоде повторения Tc дискретного сигнала x[n] также укладывается N отсчетов, включая нулевой отсчет. Интеграл в (5) заменяется суммой с индексом суммирования n, изменяющимся от n = 0 до n = N - 1. Переменная dt в этой формуле при переходе от интеграла к сумме заменяется на T, так что отношение T/Tc=1/N, т.к. Tc=NT. Частота дискретизации равна fd=NF. Отсюда вытекают соотношения:

и . (11)

Произведение FT можно заменить величиной 1/N.

Выражения (9) и (10) называются прямым и обратным дискретным преобразованием Фурье.

Вывод: Формулы дискретного преобразования Фурье (ДПФ) удобны для расчетов на ЭВМ.

Пример 8.1. Рассчитаем ДПФ дискретного периодического сигнала, заданного тремя отсчетами x[n]= {0; 1; 2}.

Для расчета воспользуемся формулой ДПФ (9).

.

Поскольку

, ,

то ,

.

Графики заданного дискретного периодического сигнала x[n] и рассчитанного дискретного периодического спектра амплитуд X[m] приведены на рис. 1.18.

Пример 8.2. Рассчитаем значения дискретного сигнала x[n], ДПФ которого имеет вид X[m] = {0; 1; 0; 1}.

Значения дискретного сигнала x[n] будем рассчитывать по формуле (10)

;

Рис. 1.18

Рис. 1.19

График последовательности x[n] = {2; 0; -2; 0} приведен на рис. 1.19. Сигнал x[n] дискретный и периодический.

Z-преобразование дискретного сигнала

Дискретный сигнал и его спектр описываются формулами (8) и (7).

Произведем в формуле (7) замену:

.

Тогда формула примет вид:

. (12)

Выражение (12) получило название z-преобразования или z-изображения дискретного сигнала x[n]. Если начать суммирование с n = 0, то выражение

. (13)

есть одностороннее z-преобразование. Оно применяется для сигналов x[n] ? 0 при n < 0.

Можно указать на связь z-преобразования с преобразованием Лапласа дискретного сигнала

,

которое легко получить из (7), положив

j2рf=p.

Очевидно, что или .

Эти формулы устанавливают связь между точками в плоскостях

p=б+jщ и z=x+jy (рис. 1.20).

Если положить б = 0, то мы будем перемещаться по оси jw в плоскости р. При переходе в z-плоскость точки мнимой оси jw будут располагаться на единичной окружности . Причем, точка j0 на р-плоскости переходит в точку z = +1 на вещественной оси z-плоскости, а точки - в точку z = -1. Это означает, что точки отрезка р-плоскости проектируются в точки на единичной окружности z-плоскости.

Так как функция периодическая, то последующие отрезки оси jw на p-плоскости такой же длины будут вновь проектироваться на единичную окружность. Точкам левой р-полуплоскости соответствуют точки внутри единичной окружности z-плоскости, а точкам правой p-полуплоскости - точки вне этой окружности.



Рис. 1.20

Пример 9.1. Рассчитаем z-преобразование дискретного сигнала x[n], имеющего вид

Воспользовавшись формулой (13), получим

.

Пример 9.2. Найдем z-преобразование X(z) дискретного экспоненциального сигнала

.

Подставим значение x[n] в формулу (13), получим

.

Из теории рядов следует, что при выполнении условия сумма ряда X(z) равна или

.

Рис. 1.21

Z-преобразование X(z) дискретного сигнала x[n] определено только для области z, в которой степенной ряд (13) сходится. Эта область сходимости включает в себя все значения z, находящиеся вне некоторого круга на комплексной z-плоскости, радиус которого называется радиусом сходимости (рис. 21), т.е. при ряд сходится. В области сходимости существует взаимно-однозначное соответствие между X(z) и x[n], т.е. каждому x[n] соответствует одно и только одно X(z), определенное для и наоборот.

Пример 9.3. Определим радиус сходимости для z-преобразования сигнала, заданного в примере 9.2.

Как уже было установлено, z-преобразование сигнала имеет вид

.

Нуль функции X(z) будет в точке , полюс - в точке . Следовательно, радиус сходимости , а функция X(z) сходится при . Окружность, имеющая радиус сходимости , приведена на рис. 1.20. Область сходимости находится за пределами этой окружности.

Пример 9.4. Найдем z-преобразование сигнала , n ? 0. Этот дискретный сигнал показан на рис. 1.22 для трех различных значений a: а = 0,8; а = 1; а = -0,8.

В соответствии с (13) z-преобразование такого дискретного сигнала равно

. (14)

Из математики известно, что этот ряд сходится к функции

, (15)

если или .

Функция X(z) имеет нуль при z = 0, а ее полюс лежит на окружности радиусом , ограничивающей область сходимости.

Размещено на Allbest.ru

...