Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство Высшего и Среднего Специального Образования Республики Узбекистан

Ташкентский Государственный Технический Университет им.Абу Рейхана Беруний

Кафедра «Информационные технологии в управлении»

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по курсу «ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»

Р.Н. Измайлова

Ташкент - 2016

Содержание

Техническое задание

Введение

1. Анализ неизменяемой части системы

1.1 Составление модели системы управления

1.2 Определение коэффициента передачи регулятора

1.3 Анализ устойчивости исходной системы

1.4 Частотные характеристики разомкнутой системы

1.5 Качество исходной САР

1.6 Постановка задачи синтеза

1.7 Построение низкочастотного участка желаемой ЛАЧХ

1.8 Построение среднечастотного участка желаемой ЛАЧХ

1.9 Построение высокочастотного участка желаемой ЛАЧХ

1.10 Расчет параметров КУ

1.11 Коэффициенты ошибок скорректированной САР

2. Анализ переходного процесса

3. Анализ системы с учетом нелинейностей

3.1 Отработка ступенчатых сигналов

3.2 Исследование возможных автоколебаний в системе

4. Анализ дискретной реализации корректирующего устройства

4.1 Структурная схема системы с цифровым корректирующим устройством

4.2 Определение передаточной функции цифрового корректирующего устройства

4.3 Временные характеристики цифрового корректирующего устройства

Заключение

Литература

Приложения

Техническое задание

Основные требования к системе

1. Коэффициент ошибки при воспроизведении сигнала с постоянной скоростью () - не более 0.006; эффективная полоса частот () - 0.8 Гц; Время регулирования () - не более 0.12 с;

2. Перерегулирование (%) - не более 23 %.

Параметры неизменяемой части системы

1. Зона линейности усилителя мощности по входу - ± 6 В;

2. Максимальное выходное напряжение усилителя - 100 В;

3. Коэффициент передачи объекта управления - 0.35;

4. Коэффициент передачи датчика - 17;

5. Постоянная времени T_a - 0.01 с;

6. Постоянная времени T_b - 0.008 с;

7. Постоянная времени T_c - 0.007 с;

Описание неизменяемой части системы

Система содержит последовательно включенные усилитель мощности (УМ), объект управления с исполнительным приводом (ОУ) и датчик обратной связи (ДОС).

Рисунок ТЗ.1 - Функциональная схема неизменяемой части системы

Усилитель мощности предполагается безынерционным и с ограниченной зоной линейности



Рисунок ТЗ.2 - Нелинейная характеристика элемента

Передаточные функции ОУ и ДОС считаются известными:

,

.

Введение

Проектирование любой системы начинается с анализа исходных данных. В техническом задании на рисунке ТЗ.1 приведена функциональная схема располагаемой неизменяемой части системы. Она представляет собой последовательную цепь, составленную из УМ, ОУ и ДОС, причем в характеристике УМ присутствует нелинейность, что вызовет дополнительные трудности при анализе.

Выходом системы является сигнал Y.

Управление представляет собой целенаправленное воздействие на систему. Т.е. предполагает наличие цели - значения выходной величины, которого система должна достигнуть, минуя переходный процесс. Логичнее всего, чтобы это требуемое значение и подавалось на вход проектируемой САР. В дальнейшем это требуемое значение будем называть - задание. На вход неизменяемой части системы должен подаваться сигнал ошибки, представляющий собой разность между заданием и текущим положением ОУ, характеризуемым ДОС. Следовательно, проектируемая САР должна иметь структурную схему, соответствующую замкнутой системе с отрицательной обратной связью (рис. 1.1).

Для управления качеством проектируемой САР необходимо предусмотреть в ее цепи корректирующее устройство - регулятор. Его следует включить перед УМ. На вход регулятора подается сигнал ошибки системы.

Для исследования проектируемой САР и проведения расчетов удобно пользоваться ЭВМ, позволяющей моделировать многие процессы в системе, быстро получать необходимые параметры и характеристики.

1. Анализ неизменяемой части системы

1.1 Составление модели системы управления

Функциональная схема проектируемой САР имеет вид замкнутого контура с отрицательной обратной связью.

Рисунок 1.1 - Функциональная схема САР

Разомкнутая система содержит корректирующее устройство (КУ), усилитель мощности (УМ), объект управления (ОУ) и датчик обратной связи (ДОС). Параметры и характеристики каждого звена приведены в техническом задании. Входным воздействием САР является сигнал задания.

Целью данной работы является подбор корректирующего устройства, обеспечивающего заданные требования по качеству системы, иными словами, синтез регулятора. Рассчитаем значение коэффициента усиления усилителя мощности.

.(1.1)

Коэффициент передачи датчика:

регулятор частотный дискретный автоколебание



Рисунок 1.2 - Структурная схема линейной САР

Передаточные функции звеньев ОУ и ДОС приведены в техническом задании. Полученная система является линейной односвязной. В передаточной функции (ПФ) ОУ присутствует один нулевой полюс, вследствие чего полученная линейная система является астатической с порядком астатизма н = 1.

Линейная модель проектируемой системы (рис. 1.2) имеет не единичную обратную связь. Стандартные методики анализа и синтеза ориентированны на каноническую структуру системы в виде соединения с единичной обратной связью. Кроме того, эффективным измеряемым выходным сигналом в системе является не Y, а сигнал с датчика обратной связи - U_ДОС. Поэтому структурную схему полученной линейной системы необходимо преобразовать к следующему виду:

Рисунок 1.3 - Преобразованная структурная схема линейной САР

Нижняя ветвь структурной схемы, соответствующая сигналу Y, в большинстве случаев может не учитываться, поскольку анализ и синтез ведется преимущественно по отношению к сигналу с ДОС. Относительно этого выхода заданы все показатели качества.

Для дальнейшего анализа необходимо знать передаточные функции полученной САР по отношению к основным выходам.

ПФ разомкнутой системы:

,(1.3)

где .(1.4)

ПФ замкнутой системы по ошибке:

.(1.5)

ПФ замкнутой системы по выходу Y:

.(1.6)

ПФ замкнутой системы по выходу ДОС:

.(1.7)

Полученные соотношения позволяют исследовать свойства рассматриваемой САР, анализировать ее реакции на произвольное входное воздействие, получаемые на разных выходах САР.

1.2 Определение коэффициента передачи регулятора

В техническом задании требования к точности системы указаны в виде максимального значения коэффициента ошибки С₁, соответствующего скорости изменения входного сигнала.

Коэффициентами ошибок называются коэффициенты разложения передаточной функции системы по ошибке в ряд по степеням s.

,(1.8)

где - коэффициенты ошибок.(1.9)

Найдем коэффициент C₁ исследуемой САР. Взяв первую производную выражения (1.5) в точке s = 0, согласно формуле (1.9) получим:

.(1.10)

Т.е данный коэффициент ошибки зависит только от коэффициента усиления разомкнутой системы. В техническом задании присутствует следующее ограничение по точности:

, где .(1.11)

Следовательно, минимальное значение коэффициента усиления разомкнутой системы, обеспечивающее заданную точность, составляет

.(1.12)

Коэффициент передачи регулятора, соответствующий найденному минимальному значению, найдем по формуле (1.4).

.(1.13)

При значениях коэффициента передачи регулятора, не меньших полученного значения, будут обеспечены заданные требования по точности системы в установившемся режиме.

Т.е. какое бы корректирующее устройство не рассматривалось, его коэффициент передачи должен быть большим или равным значения, полученного в формуле (1.13).

В противном случае, требования технического задания будут нарушены.

Однако следует учитывать, что при больших значениях коэффициента усиления разомкнутой системы возможна потеря устойчивости замкнутой системы.

Очевидно, что это недопустимо. Поэтому, примем коэффициент передачи регулятора, равным минимальному значению (1.13) и исследуем устойчивость замкнутой системы.

1.3 Анализ устойчивости исходной системы

Для исследования устойчивости системы воспользуемся алгебраическим критерием Гурвица. Для применения этого критерия необходимо получить характеристическое уравнение исследуемой САР. Характеристическое уравнение замкнутой системы можно получить, если сложить полиномы числителя и знаменателя ПФ разомкнутой системы (1.3). Таким образом, характеристическое уравнение системы с пропорциональным регулятором

.(1.14)

Вычислим коэффициенты характеристического уравнения для рассматриваемого варианта системы.

Таблица 1.1 Коэффициенты характеристического уравнения

a0	a1	a2	a3	a4
			1	K = Kmin
5.6 • 10-7	2.06 • 10-4	0.025	1	166.66

Все полученные коэффициенты характеристического уравнения положительные, что позволяет говорить о выполнении необходимого условия устойчивости.

Согласно критерию устойчивости Гурвица у устойчивой системы все главные определители матрицы Гурвица положительные. Матрица Гурвица для системы четвертого порядка имеет вид

.(1.15)

Вычислим все главные определители матрицы Гурвица.

,,

,.

Все главные определители Гурвица положительные. Следовательно, рассматриваемая система устойчива.

Таким образом, при выборе коэффициента передачи разомкнутой системы равным найденному по формуле (1.12) минимальному значению K_min мы получим устойчивую систему, удовлетворяющую требованиям по точности. Однако помимо точности присутствуют и требования на качество переходного процесса. Для интереса можно построить переходную функцию данной САР.

Рисунок 1.4 - Переходная характеристика исходной САР

Очевидно, что такой переходный процесс не удовлетворяет требованиям технического задания даже в грубом приближении. Следовательно, использование пропорционального регулятора не позволяет получить требуемого качества проектируемой системы. В самом деле, увеличение коэффициента передачи разомкнутой системы приведет к еще большему росту колебательных свойств, отраженных на графике переходной функции недопустимо большим значением перерегулирования (80 %). Уменьшение коэффициента передачи позволит уменьшить перерегулирование, однако будет потеряна требуемая точность, что также недопустимо.

1.4 Частотные характеристики разомкнутой системы

В теории автоматического управления анализ и синтез систем часто ведется не во временной, а в частотной области. По частотным характеристикам системы могут определяться ее показатели качества, устанавливаться ряд особенностей, не очевидных из анализа во временной области. При этом могут рассматриваться характеристики как разомкнутой, так и замкнутой систем.

Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) исследуемой САР, если выходом считать выход ДОС, имеют вид (рис. 1.5):

Рисунок 1.5 - ЛАЧХ и ЛФХ разомкнутой системы

Графики частотных характеристик строятся при помощи среды MatLab, имеющей свои стандарты обозначений.

На основе ЛЧХ разомкнутой системы в дальнейшем осуществляется синтез корректирующего устройства.

Другой формой представления частотных характеристик, помимо ЛЧХ, является годограф амплитудно-фазо-частотной характеристики W(jw) - АФЧХ. В случае разомкнутой системы он также носит название годографа Найквиста. Рассмотрим годограф Найквиста исследуемой САР.

Рисунок 1.6 - Годограф Найквиста рассматриваемой системы

По частотным характеристикам разомкнутой системы можно анализировать устойчивость замкнутой системы. Рассматриваемая система устойчива в разомкнутом состоянии, в чем нетрудно убедиться при рассмотрении ее ПФ - формула (1.3). Однако система является астатической, а в этом случае применение критерия Найквиста в приведенной выше формулировке затруднено. В самом деле, из анализа годографа Найквиста (рис. 1.6) не ясно: охватывает годограф критическую точку или нет. В этом случае предлагается считать, что нулевой полюс является левым. Для этого в комплексной плоскости корней характеристического уравнения рассматриваемой системы нулевой полюс обходят по дуге бесконечно малого радиуса справа. При переходе на плоскость АФЧХ эта дуга отражается дугой бесконечно большого радиуса, которой дополняется годограф Найквиста в окрестности нулевой частоты.

Таким образом, годограф Найквиста необходимо дополнить дугой бесконечно большого радиуса, которая начинается на действительной положительной полуоси и заканчивается на бесконечно удаленном конце годографа, соответствующем нулевой частоте.

1.5 Качество исходной САР

Существует множество критериев, по которым можно характеризовать качество САР, например, быстродействие, точность, помехоустойчивость, простота реализации и ряд других.

Кроме того, качество САР можно анализировать на основе различных видов ее описания: временные характеристики, частотные характеристики, нули и полюса ПФ и т.д.

Если анализируемая система представлена своими временными характеристиками, то можно определять прямые показатели качества. По частотным характеристикам САР устанавливаются частотные показатели качества.

По расположению корней характеристического уравнения САР на комплексной плоскости можно судить о корневых показателях качества.

Основными частотными показателями качества являются:

1) Запасы устойчивости по амплитуде и фазе - и ,

2) Частоты среза разомкнутой и замкнутой систем - и ,

3) Показатель колебательности - M,

4) Частоты амплитудного и фазового резонансов - и ,

5) Граничная частота полосы пропускания - .

Запасы устойчивости по амплитуде и по фазе удобно определять по ЛЧХ разомкнутой системы. В этом случае справедливы следующие формулы:

и .(1.16)

Используя эти формулы или рисунок 1.5 можно найти запасы устойчивости исследуемой системы. Среда MatLab производит автоматическое определение этих параметров. Найденные таким способом запасы устойчивости указаны на рисунке 1.5 (Gm и Pm).Частоты, указанные в скобках, соответствуют частоте среза и критической частоте.

По величине запаса устойчивости по амплитуде можно определить критический коэффициент усиления разомкнутой системы, при котором замкнутая система попадет на границу устойчивости. Анализируя ЛЧХ разомкнутой системы (Рисунок 1.5), заметим, что вертикальный параллельный сдвиг ЛАХ вверх на величину запаса устойчивости по фазе обеспечит попадание системы на границу устойчивости. Этот сдвиг можно осуществить увеличением коэффициента передачи разомкнутой системы. Следовательно, критический коэффициент передачи можно найти, умножив текущий коэффициент передачи, выбранный нами в соответствии с формулой (1.12), на абсолютную величину запаса устойчивости по амплитуде.

.(1.17)

Коэффициент передачи регулятора, соответствующий этому максимальному значению, составляет:

.(1.18)

Таким образом, при использовании в проектируемой САР пропорционального регулятора, его коэффициент передачи должен лежать в диапазоне , определяемом требованиями устойчивости и заданной точности. Этот диапазон достаточно мал и соответствует низкому качеству в переходных процессах. Поэтому применение пропорционального регулятора в проектируемой САР не обеспечивает требований по качеству, приведенных в техническом задании.

1.6 Постановка задачи синтеза

Задача синтеза всегда имеет множество решений. Требуется провести синтез корректирующего устройства (получить его ПФ), включаемого последовательно в разомкнутую цепь системы (рис. 1.1) и обеспечивающего выполнение следующих условий:

1) все требования по качеству САР, указанные в техническом задании,

2) простота структуры синтезируемого КУ.

Решение поставленной задачи синтеза можно получить различными способами. В данной работе используется метод синтеза по частотным характеристикам, как наиболее простой и эффективный в теоретическом плане, а также наглядный. Затем строится ЛЧХ желаемой системы, которая должна удовлетворять всем обозначенным требованиям. ЛЧХ корректирующего устройства в случае последовательного его включения находятся как разность между ЛЧХ желаемой и располагаемой систем. По полученным ЛЧХ КУ восстанавливается его ПФ.

Центральным вопросом в методике синтеза КУ по частотным характеристикам является построение ЛАХ желаемой системы. Необходимо так провести желаемую ЛАХ, чтобы обеспечить систему определенным качеством. Обычно рассматриваются ЛЧХ разомкнутой системы, а показатели качества задаются по отношению к замкнутой системе. Таким образом, встает вопрос об отражении заданных показателей качества в плоскость рассматриваемых ЛЧХ разомкнутой системы.

1.7 Построение низкочастотного участка желаемой ЛАЧХ

Низкочастотный участок ЛАЧХ строится, исходя из соображений по обеспечению точности системы.

Рассматриваемая САР имеет первый порядок астатизма. Вследствие этого, низкочастотная асимптота имеет наклон -20 дБ/дек. В ТЗ также приведена эффективная полоса частот F_max = 1.7 Гц, в которой сосредоточен спектр входных сигналов. Эта полоса определяет диапазон частот, в котором должна обеспечиваться заданная точность. Можно вычислить координаты контрольной точки, определяющей границу запретной области по точности, в которую не должна заходить ЛАЧХ желаемой системы.

дБ, где рад/с.(1.19)

Таким образом, запретная зона по точности образуется линией с наклоном -20 дБ/дек, пересекающей ось ординат в точке 20lgK^min и заканчивающейся в контрольной точке, а также перпендикуляром, опущенным из контрольной точки на ось абсцисс.

Таким образом, положение низкочастотного участка желаемой ЛАХ определено. Можно найти коэффициент передачи желаемой разомкнутой системы.

.(1.20)

Кроме того, можно найти базовую частоту, при которой отрезок с наклоном -40 дБ/дек пересечет ось абсцисс.

рад/с.(1.21)

Конечная точка отрезка низкочастотного участка с наклоном -40 дБ/дек будет определена позже из условия сопряжения со среднечастотным участком.

Названную точку проходит продолжение низкочастотной асимптоты. Таким образом, в области низких частот асимптоты нескорректированной и желаемой ЛАЧХ совпадают. Для статической системы низкочастотная асимптота имеет нулевой наклон.

1.8 Построение среднечастотного участка желаемой ЛАЧХ

Среднечастотный участок ЛАХ определяет качество системы в переходных режимах. В ТЗ приведены ограничения на прямые показатели качества переходного режима - перерегулирование у и время регулирования t_ркг.

Среднечастотная часть желаемой ЛАЧХ строится исходя из заданных перерегулирования [%] и длительности переходного процесса tp.



Рисунок 1.7 - Области низких, средних и высоких частот логарифмической амплитудно-частотной характеристики системы

Поскольку задано, то вычисляется частота среза. Прежде всего определяется частота среза желаемой ЛАЧХ. Для ее определения рекомендуется использовать графики (рис. 1.8). По заданной величине определяется максимальное значение вещественной частотной характеристики Рмах по графику , далее по полученному значению Рмах определяется время переходного процесса (по графику)

,

где коэффициент b определяется на оси ординат для .

- это значение откладывается на оси абсцисс ЛАЧХ. Среднечастотная асимптота проводится через эту точку с наклоном -20 дб/дек.



Рисунок 1.8 - Графики для определения Рмах и Рmin

Рисунок 1.9 - Графики для определения

Границы среднечастотной асимптоты левую и правую определяем по графикам (рис. 1.9) по заданной величине определяется -L и L. По этому графику можно определить ожидаемый запас устойчивости по фазе .

На графике ЛАЧХ откладываются две ординаты -L и L и проводятся горизонтальные прямые до пересечения со среднечастотной асимптотой. Точка пересечения прямых со среднечастотной асимптотой определяют ее границы. Сопряжения среднечастотной асимптоты с низкочастотной производим асимптотой с наклоном -20 -60 дб/дек.

Исходя из условия наиболее простой реализации корректирующего устройства высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ оставляется такой как у нескорректированной системы либо параллельный ей.

При построении желаемой ЛАЧХ необходимо стремится, чтобы ЛАЧХ корректирующего устройства имела меньше изломов, что обеспечивало бы его более простую техническую реализацию. Это достигается тогда, когда изломы нескорректированной и желаемой ЛАЧХ будут в сопрягающих частотах. Кроме того допустимы в некоторых пределах изменение желаемой ЛАЧХ, например, расширение среднечастотной асимптоты, незначительное увеличение частоты среза.

Далее определяется ЛАЧХ корректирующего устройства вычитанием ординат ЛАЧХ исходной системы из ЛАЧХ желаемой.

Параметры передаточной функции определяются непосредственно по ЛАЧХ корректирующего звена (по точкам излома).После включения корректирующего звена в систему строится переходный процесс и анализируется качество регулирования.

1.9 Построение высокочастотного участка желаемой ЛАЧХ

Высокочастотный участок ЛАЧХ практически не влияет на точность системы и незначительно влияет на качество переходных процессов. В основном он определяет свойства помехоустойчивости САР.

Выбор высокочастотного участка желаемой ЛАЧХ основан на максимально возможном приближении его к аналогичному участку располагаемой ЛАЧХ. В этом случае КУ получается наиболее простым. По крайней мере, последние высокочастотные асимптоты желаемой и располагаемой систем

При построении высокочастотного участка желаемой ЛАЧХ необходимо помимо требования близости желаемой и располагаемой ЛАХ, рассмотреть еще одно требование. Это требование позволяет обеспечить нужный запас по фазе в среднечастотном диапазоне. Вывод приведенного ниже условия изложен в:

,(1.22)

где постоянные времени T_i, соответствуют однократному излому i-го отрезка ЛАЧХ.

Постоянную времени T₃ определили ранее. Постоянную времени T₅ удобно выбрать равной T_C, исходя из требований простоты проектируемого КУ. Оставшуюся постоянную T₄ необходимо определить по формуле (1.22). В результате получим T₄ ? 0.005.

1.10 Расчет параметров КУ

Передаточная функция разомкнутой цепи скорректированной САР (желаемой):

.(1.23)

Передаточная функция синтезированного корректирующего устройства:

.(1.24)

Передаточная функция неизменяемой части САР:

.(1.25)

Параметры приведенных выше передаточных функций представим в виде таблицы.

Таблица 1.2 Параметры ПФ и ЛАХ скорректированной САР.

T, с	w, рад/с	w, рад/с	K
T1 = 0.37448	w1 = 2.6704	wр*ср = 37.664 wр*кр = 113.39 w0 = 17.729	K* = 117.71 K*Р = 18.677
T2 = 0.12612	w2 = 7.9288
T3 = Tb = 0.008	w3 = wb = 125
T4 = 0.006	w4 = 166.67
T5 = Tc = 0.0017	w5 = wc = 588.24
Ta = 0.066	wa = 15.152

Таким образом, нами решена задача синтеза КУ.

Система с включенным в ее состав синтезированным регулятором - скорректированная система удовлетворяет всем требованиям к качеству, указанным в ТЗ.

КУ - регулятор следует включить перед усилителем мощности в маломощную цепь ошибки (рис. 1.1).

1.11 Коэффициенты ошибок скорректированной САР

Первым требованием к проектируемой нами системе согласно ТЗ является требование по точности при воспроизведении сигнала с постоянной скоростью.

Это требование накладывает ограничение на коэффициент ошибки C₁, соответствующий такому входному сигналу.

Исследуем точность скорректированной системы.

Точность системы можно определять по коэффициентам ошибок. Коэффициенты ошибок характеризуют влияние каждой производной входного сигнала на вынужденную составляющую ошибки системы. Коэффициенты ошибки определяются по формуле:

заданные условия

здесь - ошибка по состоянию, - ошибка по скорости и др. Ф(p) - передаточная функция по ошибке замкнутой системы:

Разлагая Ф(p) в ряд Фурье, получим:

здесь С_i коэффициенты по ошибке, которые определяются по формуле:

Рассчитываем ошибки скорректированной системы для различных входных сигналов:

а)

б)

в)

Анализируя скорректированную систему, можно сделать вывод о том, что она - астатическая система относительно входного сигнала. Все найденные значения коэффициентов ошибок зависят от коэффициента передачи разомкнутой системы. Кроме того, от него будут зависеть и коэффициенты ошибок большего порядка, причем характер зависимости - обратный. В связи с этим наиболее эффективный способ повышения точности системы - увеличение коэффициента передачи разомкнутого контура. Зависимость коэффициента C₂ от постоянных времени носит прямой порядок. Т.е. инерционность системы неблагоприятно влияет на ее точность.

2. Анализ переходного процесса

Самым распространенным входным воздействием является ступенчатый сигнал. Он позволяет исследовать качество переходных и установившихся режимов работы системы. В начальный момент времени ошибка в системе становится максимальной, и начинается переходный процесс. Этот процесс легко анализировать, учитывая, что установившейся значение соответствует входной ступеньке. По параметрам отклонения от этой ступеньки в течение переходного режима можно делать выводы о качестве переходного режима. После того, как переходный процесс завершился можно установить точность системы на основе разницы уровней текущего установившегося значения и требуемого, которое определяется амплитудой ступеньки и коэффициентом передачи замкнутой системы.

Для расчета переходных характеристик будем использовать встроенный метод среды MatLab. Его входными данными являются передаточная функция системы и интересующий нас интервал времени, на котором будет построена переходная характеристика. На выходе получаем готовый график переходной характеристики, построенный по заданному количеству точек.

Рисунок 2.1 - Переходная характеристика САР по выходу Y



Рисунок 2.2 - Переходная характеристика САР по выходу ДОС

Рисунок 2.3 - Переходная характеристика САР по выходу УМ

3. Анализ системы с учетом нелинейностей

3.1 Отработка ступенчатых сигналов

В данном пункте будем рассматривать нелинейную систему. Заданной нелинейностью является насыщение УМ. Эта нелинейность подробно описана в ТЗ.

В начале рассмотрим отдельно влияние насыщения УМ на характеристики проектируемой САР. Для этого построим переходные характеристики системы с учетом указанной нелинейности при различных величинах амплитуды ступенчатого воздействия.

Рисунок 3.1 - Переходные характеристики системы “вход-выход ДОС”

Как видно из рисунка 3.1, при росте амплитуды входного сигнала увеличивается время регулирование. Заметим, что в линейных системах такое невозможно. В линейных системах амплитуда входного воздействия не влияет на быстроту протекания переходных процессов. В нелинейных системах такое свойство нарушается.



Рисунок 3.2 - Переходные характеристики системы “вход-выход УМ”

На рисунке 3.2 изображены реакции нелинейной системы на входное ступенчатое воздействие, снятые с выхода УМ. Ограничение на выходную величину у УМ составляет 110 В. Как видим, графики срезаны по этому уровню. Воздействие с амплитудой 1 В, в отличие от других сигналов, имеет характеристику, всего один раз пересекающую нулевой уровень.

3.2 Исследование возможных автоколебаний в системе

Исследование режима автоколебаний в системе будет осуществлять методом гармонического баланса. Мы имеем два нелинейных безынерционных звена определенных в ТЗ. Если на вход такого звена подается синусоидальных сигнал, то на выходе в общем случае будет несинусоидальная функция.

Однако ее можно разложить в ряд Фурье, а затем применить гармоническую линеаризацию - оставить только первую гармонику. Причем эта гармоника будет иметь частоту входного сигнала. В этом случае в системе установится режим одночастотных колебаний. Порядок исследования нелинейной САУ следующий. Структурную схему необходимо привести к расчетной схеме, содержащей нелинейный элемент и собранную в единый блок линейную часть (рис. 3.3). При выполнении этого преобразования положить равным нулю задающее воздействие, так как автоколебания являются свободными колебаниями.

Рисунок 3.3 - Структурная схема нелинейной САР

Вывести выражение для эквивалентного коэффициента передачи нелинейного элемента, выполнив построение выходного сигнала этого элемента при входном синусоидальном сигнале и необходимые операции интегрирования.

Эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента

БНЗ при осуществлении гармонической линеаризации заменяется комплексным коэффициентом передачи, определяемым амплитудными и фазовыми искажениями входного сигнала.

,(3.1)

где q(A) - коэффициент линеаризации по синфазной составляющей, q₁(A) - коэффициент линеаризации по квадраторной составляющей.

Периодический режим в гармонически линеаризованной системе может существовать, если она находится на колебательной границе устойчивости. При этом обычно используют необходимые условия нахождения на границе устойчивости. Например, на основе критерия устойчивости Найквиста можно записать

.(3.2)

Из этого условия можно найти параметры A_П и w_П, соответствующие режиму автоколебаний в системе.

Исследуем возможность автоколебаний при действии нелинейности с насыщения УМ. Для такого вида нелинейности получено соотношение для комплексного коэффициента передачи. Заметим, что если нелинейность однозначная, то этот коэффициент вещественный.

,(3.3)

где а - ограничение на зону линейности. Формула (3.3) рассматривается при A ? a. Согласно ТЗ a = 3 В. Будем считать, что коэффициент наклона нелинейной характеристики УМ равен 1, а коэффициент передачи УМ будем рассматривать отдельно, как часть линейной системы. Для исследования возможных автоколебаний воспользуемся методом решения уравнения (3.2). Преобразуем его к виду

,(3.4)

где M(A) - обратный комплексный коэффициент передачи. Для проверки равенства (3.4) построим годографы левой и правой части (рис. 3.4). Поскольку статическая характеристика нелинейности однозначна, то



Рисунок 3.4 - Годографы БНЗ и ЛДС при анализе автоколебаний

Как видим из рисунка, нет точек пересечения годографом, а значит, равенство (3.4) не выполняется не при каких значениях частоты и амплитуды. Т.е. при наличии насыщения в УМ режим автоколебаний не возможен. Однако его можно достичь, изменив параметры системы, а именно увеличив коэффициент передачи разомкнутой системы до критического значения.

4. Анализ дискретной реализации корректирующего устройства

4.1 Структурная схема системы с цифровым КУ

В последнее время на практике широкое распространение получили цифровые устройства обработки информации. Они заменяют традиционные аналоговые электронные устройства во многих отраслях хозяйственной деятельности.

В результате выполнения всех этапов преобразования исходная функциональная схема принимает вид соединения дискретных звеньев (ДЗ) и содержит лишь дискретные сигналы. Выполнив такое преобразование исходной функциональной схемы САР, получим расчетную схему дискретной модели САР.

Рисунок 4.1 - Расчетная структурная схема САР с ЦКУ.

Прежде всего, необходимо определить шаг дискретизации по времени ЦКУ, при котором нет существенной потери точности и быстродействия. Для определения периода T₀ воспользуемся методом аналогового прототипа. Структурная схема рассматриваемого ЦКУ имеет вид

Рисунок 4.2 - Функциональная схема ЦКУ

Выбор периода T₀ осуществляется исходя из условия уменьшения запаса устойчивости по фазе на 10 %.

Фазовые искажения, вносимые звеном запаздывания, определяются по формуле

.(4.1)

Запас устойчивости по фазе непрерывной системы составляет . Тогда уменьшению запаса устойчивости по фазе на 10% будут соответствовать фазовые искажения . Заметим, что запас устойчивости по фазе находится на частоте среза. Из формулы (4.1), с учетом вышеуказанных моментов, найдем значение периода дискретизации, при котором запас устойчивости по фазе уменьшается на 10%.

.(4.2)

Как видим, полученный шаг дискретизации имеет порядок постоянных времени системы (наиболее близок к постоянной времени T₄).

4.2 Определение передаточной функции цифрового корректирующего устройства

Найдем передаточную функцию ЦКУ.

ПФ ЦКУ можно найти следующим образом. Ранее нами получена ПФ непрерывного КУ. Согласно формуле (1.24) она имеет вид

.

Если в данной формуле выполнить замену

,(4.3)

то получим искомую ПФ ЦКУ. Она имеет следующий вид

,(4.4)

где , ,(4.5)

.(4.6)

4.3 Временные характеристики цифрового корректирующего устройства

Зная ПФ ЦКУ, можно определить его временные характеристики, а именно - весовую функцию и переходную характеристику. Для весовой функции в теории дискретных систем справедлива формула, имеющая место при рассмотрении непрерывных систем, которая устанавливает простую связь между весовой функций системы и ее ПФ.

.(4.7)

Обратное Z-преобразование данной функции выполним в среде MatLab. В результате получим:

,(4.8)

где - импульсная решетчатая функция.(4.9)

Построим график весовой функции ЦКУ и сравним его с аналогичным графиком для непрерывной системы (рис. 4.3).

Рисунок 4.3 - Весовая функция ЦКУ

Переходную характеристику вычислим аналогично весовой функции.

.(4.10)

Выполнив обратное Z-преобразование в среде MatLab получим:

,(4.11)

где - единичная ступенчатая решетчатая функция.(4.12)

Построим график переходной характеристики ЦКУ и сравним его с аналогичным графиком для непрерывной системы (рис. 4.4).

Рисунок 4.4 - Переходная характеристика ЦКУ

Сравним графики весовой функции и переходной характеристики ЦКУ.



Рисунок 4.5 - Весовая функция и переходная характеристика ЦКУ

Из сравнения данных графиков следует выделить то, что они удовлетворяют теоретическим соотношениям:

или ,(4.13)

что свидетельствует правильности их получения. Данные графики в случае дискретных систем начинаются из одной точки.

Для получения разностного уравнения, соответствующего ЦКУ можно рассмотреть ПФ в форме Z. Как отмечалось, ПФ можно рассматривать как отношение полинома правой части разностного уравнения ДЗ к полиному левой части. Представим ПФ ЦКУ (4.4) как отношение многочленов.

.(4.13)

Для того чтобы получить разностное уравнение, базирующееся на применении оператора обратного сдвига, которое более удобно для построения итерационного алгоритма решения, необходимо привести полученную ПФ к виду с отрицательными степенями z. Для этого достаточно разделить числитель и знаменатель ПФ на квадрат z.

.(4.14)

Откуда получим изображение разностного уравнения

.(4.15)

Применяя к полученному соотношению обратное Z-преобразования перейдем к разностному уравнению ЦКУ:

.

Полученное разностное уравнение представляет собой аналог дифференциального уравнения непрерывного звена. Для решения полученного уравнения удобно преобразовать его к следующему виду:

.

Заключение

В результате проделанной работы для заданной в ТЗ системы было синтезировано КУ - регулятор, позволяющий достичь требуемого качества. Синтез регулятора осуществлялся на основе двух независимых методик. По результатом сравнения полученных КУ был выбран лучший регулятор, имеющий более простую структуру и высокие показатели качества. После выполнения синтеза КУ скорректированная САР всевозможными образами исследовалась на качество. Были рассмотрены частотные, корневые, прямые показатели качества. По всем из них система удовлетворяет требованиям, определенным в ТЗ.

Проектируемая система испытывалась при отработке типовых входных воздействий, перечисленных в ТЗ. Эти воздействия образуют базис наиболее часто используемых сигналов. Более сложные сигналы могут рассматриваться как суперпозиция типовых сигналов. Однако здесь следует заметить, что при рассмотрении нелинейных систем принцип суперпозиции не справедлив.

Для проектируемой САР были построены области устойчивости и заданного качества. Данные области позволяют рационально подходить к выбору параметров системы, влияющих на ее качество.

При рассмотрении нелинейностей была исследована реакция нелинейной системы с насыщением УМ на входной ступенчатый сигнал. Были отмечены отличия нелинейной системы от линейной при воспроизведении этого сигнала. Для эффективного и надежного использования спроектированной САР была указана рекомендация по работе системы в зоне линейного усиления. При наличии нелинейностей были исследованы возможные режимы автоколебаний. Было показано, что насыщение УМ лишь в частном случае может вызвать такой режим. Люфт, напротив, в большинстве случаев позволяет получить в САР режим одночастотных автоколебаний.

К сожалению, не удалось в полной мере исследовать спроектированную систему и рассмотреть ее дискретную реализацию. Однако определенный объем работы проделан, и при том не маленький.

Литература

1. Методы классической и современной теории автоматического управления / Под ред. К.А.Пупкова. Учебник. Том 1-5. - М.: МГТУ им. Баумана, 2004 г.

2. Власов К.П. Теория автоматического управления. Учеб. пособие. Харков. Изд-во Гуманитарный центр, 2007, -526 с.

3. Юсупбеков Н.Р, Игамбердиев Х.З., Маликов А.В. Технологик жараёнларни автоматлаштириш асослари: Ў?ув ?ўлланма. 1,2-?исм. - Т.: ТошДТУ, 2007.

4. Юсупбеков Н.Р., Мухамедов Б.Э., Гулямов Ш.М. Технологик жараёнларни бош?ариш системалари. Дарслик. -Т.: Ў?итувчи. 1997. - 768 б.

5. Н.Р.Юсупбеков, Х.З.Игамбердиев, А.Маликов. Основы автоматизации технологических процессов. Учебное пособие, Част I, II.-Т.:, ТашГТУ, 2007.

6. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. Учебник. -СПб.: Профессия, 2003. - 752 с.

7. Анхимюк В.Л., Опейко О.Ф., Михеев Н.Н. Теория автоматического управления. Учеб. Пособие. - Мн.: Дизайн ПРО, 2000. - 352 с: ил.

8. http://www.toehelp.ru/theory/tau/contents.html.

9. http://www.zdo.vstu.edu.ru/html/course.html.

10. http://ziyonet.uz/uzc/library/libid/030100

11. http://ziyonet.uz/uzc/library/libid/010000

12. http://titli.uz/index.php/ru/axborot-resurslari1/qollanma/tekstil-im%20(72).html

Приложения

Приложение 1. Текст программы для среды MatLab

clc

clear all

% Исходные данные

% Структура под заданные показатели качества и тестовые сигналы

Zad = struct();

Sig = struct();

% Показатели качества

Zad.C1 = 0.012;

Zad.F_max = 1.7;

Zad.t_reg = 0.32;

Zad.sig = 0.26;

% Параметры тестовых сигналов

Sig.A = 15;

Sig.B = 25;

% Параметры САР

U_vhmax = 3;

U_vihmax = 110;

Ku = U_vihmax / U_vhmax;

K0 = 0.015;

Kdos = 0.2 * 180 / pi;

Km = 5;

Ta = 0.066;

Tb = 0.008;

Tc = 0.0017;

% ПФ неизменяемой части

Wou = K0 * tf(1,[1 0]) * tf(1,[Ta 1]) * tf(1,[Tb 1]); % ПФ ОУ

Wdos = Kdos * tf(1,[Tc 1]); % ПФ ДОС

Wum = Ku; % Линеаризованная ПФ УМ

% 1 - Синтез линейной системы

% 1.1 - Анализ неизменяемой части

% Структура для параметров располагаемой системы

RS = struct();

K_min = 1 / Zad.C1; % Минимальный коэффициент усиления разомкнутой системы 'вход-выход ДОС'

Kr_min = K_min / Ku / K0 / Kdos; % Минимальный коэффициент усиления регулятора

RS.Kr = Kr_min;

RS.K = K_min;

% Частоты сопряжения (постоянные времени)

RS.T(1) = Ta; RS.wc(1) = 1 / RS.T(1); RS.lgwc(1) = log10(RS.wc(1));

RS.T(2) = Tb; RS.wc(2) = 1 / RS.T(2); RS.lgwc(2) = log10(RS.wc(2));

RS.T(3) = Tc; RS.wc(3) = 1 / RS.T(3); RS.lgwc(3) = log10(RS.wc(3));

% Частотные характеристики разомкнутой системы

RS.WR = RS.Kr * Wum * Wou * Wdos;

[RS.L_z, RS.Phi_z, RS.wpi, RS.wsr_R] = margin(RS.WR);

RS.L_z = abs(20*log10(abs(freqresp(RS.WR,RS.wpi))));

% Критический коэффициент усиления

RS.K_max = RS.K * 10^(RS.L_z / 20);

RS.Kr_max = RS.K_max / Ku / K0 / Kdos;

% Частотные характеристики замкнутой системы

RS.WZdos = feedback(RS.WR,1);

RS.WZy = feedback(RS.Kr * Wum * Wou, Wdos);

RS.WZe = feedback(1, RS.WR);

% 1.2 - Синтез регулятора

% Структура для параметров желаемой системы

ZHS = struct();

% Контрольная точка запретной зоны

wk = 2*pi * Zad.F_max / 4;

Lk = -20*log10(Zad.C1*wk);

ZHS.K = K_min * 10^(3/20);

Zad.M = 1.25;

% Методика Бесекерского

ZHS.L1 = 20*log10(Zad.M / (Zad.M - 1));

ZHS.L2 = 20*log10(Zad.M / (Zad.M + 1));

% Находим все частоты сопряжения желаемой ЛАХ (и постоянные времени)

ZHS.wc(1) = wk; ZHS.T(1) = 1 / ZHS.wc(1); ZHS.lgwc(1) = log10(ZHS.wc(1));

ZHS.w0 = sqrt(ZHS.K * ZHS.wc(1));

ZHS.wc(2) = 10^( (20*log10(ZHS.K * ZHS.wc(1)) - ZHS.L1) / 40 ); ZHS.T(2) = 1 / ZHS.wc(2); ZHS.lgwc(2) = log10(ZHS.wc(2));

ZHS.wsr_R = 10^( ZHS.L1 / 20 + ZHS.lgwc(2) );

%ZHS.wc(3) = 10^( (ZHS.L1 - ZHS.L2) / 20 + ZHS.lgwc(2));

ZHS.wc(3) = RS.wc(2); ZHS.T(3) = 1 / ZHS.wc(3); ZHS.lgwc(3) = log10(ZHS.wc(3));

ZHS.wc(5) = RS.wc(3); ZHS.T(5) = 1 / ZHS.wc(5); ZHS.lgwc(5) = log10(ZHS.wc(5));

ZHS.T(4) = 1 / ZHS.wsr_R * 10^(ZHS.L2 / 20) - ZHS.T(3) - ZHS.T(5);

ZHS.T(4) = 0.006; ZHS.wc(4) = 1 / ZHS.T(4); ZHS.lgwc(4) = log10(ZHS.wc(4));

% Вводим пробный вариант желаемой системы

ZHS.WR = ZHS.K * tf(1,[ZHS.T(1) 1]) * tf([ZHS.T(2) 1],[ZHS.T(3) 1]) * tf(1,[ZHS.T(4) 1]) * tf(1,[ZHS.T(5) 1]) * tf(1,[1 0]);

% Замыкание ОС

ZHS.WZdos = feedback(ZHS.WR, 1);

% Подобранный регулятор

ZHS.Kr = ZHS.K / Ku / K0 / Kdos;

ZHS.Wku = ZHS.Kr * tf([ZHS.T(2) 1],[ZHS.T(1) 1]) * tf([RS.T(1) 1],[ZHS.T(4) 1]);

% Пф по остальным выходам

ZHS.WZy = feedback(ZHS.Wku * Wum * Wou, Wdos);

ZHS.WZum = feedback(ZHS.Wku * Wum, Wou * Wdos);

ZHS.WZe = feedback(1,ZHS.WR);

% 1.3 - Анализ скорректированной системы

% Запасы устойчивости

[ZHS.L_z, ZHS.Phi_z, ZHS.wpi, ZHS.wsr_R] = margin(ZHS.WR);

ZHS.L_z = abs(20*log10(abs(freqresp(ZHS.WR, ZHS.wpi))));

% Критический коэффициент усиления

ZHS.K_max = ZHS.K * 10^(ZHS.L_z / 20);

ZHS.Kr_max = ZHS.K_max / Ku / K0 / Kdos;

% Коэффициенты ошибок

ZHS.C(1) = 1 / ZHS.K;

ZHS.C(2) = (ZHS.K * (ZHS.T(1)-ZHS.T(2)+ZHS.T(3)+ZHS.T(4)+ZHS.T(5)) - 1) / ZHS.K ^ 2;

Ch = struct();

Ch.a(1) = 1;

Ch.a(2) = ZHS.T(1) + ZHS.T(3) + ZHS.T(4) + ZHS.T(5);

Ch.a(3) = ZHS.T(1)*ZHS.T(3) + ZHS.T(1)*ZHS.T(4) + ZHS.T(1)*ZHS.T(5) + ZHS.T(3)*ZHS.T(4) + ZHS.T(3)*ZHS.T(5) + ZHS.T(4)*ZHS.T(5);

Ch.a(4) = ZHS.T(1)*ZHS.T(3)*ZHS.T(4) + ZHS.T(1)*ZHS.T(3)*ZHS.T(5) + ZHS.T(1)*ZHS.T(4)*ZHS.T(5) + ZHS.T(3)*ZHS.T(4)*ZHS.T(5);

Ch.a(5) = ZHS.T(1)*ZHS.T(3)*ZHS.T(4)*ZHS.T(5);

Ch.wr = sqrt(Ch.a(2) / Ch.a(4));

Данная программа используется лишь для получения параметров всех элементов проектируемой системы. На основе формируемых ее данных можно осуществлять точные расчеты, анализировать свойства закономерности и т.д. Для построения ЧХ разомкнутой системы достаточно написать в командной строке среды MatLab:

bode(ZHS.WR);

Приложение 2. Варианты

№	Параметры УМ	Параметры непрерывной части системы	Требования к системе
	Uвх	Uвых	Коб	К ДОС	Та	Тв	Тс				%
1	10	50	0,01	20	0,03	0,005	0,007	0,002	3	0,32	25
2	9	60	0,02	19	0,04	0,006	0,008	0,003	2,5	0,31	24
3	8	70	0,03	18	0,05	0,007	0,009	0,004	2,4	0,3	23
4	7	80	0,04	17	0,06	0,008	0,002	0,005	2,3	0,29	22
5	6	90	0,05	16	0,07	0,009	0,003	0,006	2,2	0,28	21
6	5	100	0,06	15	0,08	0,001	0,002	0,007	2,1	0,27	20
7	4	110	0,07	14	0,09	0,002	0,003	0,008	2,9	0,26	19
8	3	120	0,08	13	0,01	0,003	0,004	0,009	2,8	0,25	18
9	2	130	0,09	12	0,02	0,004	0,005	0,01	2,7	0,24	17
10	1	140	0,1	11	0,03	0,001	0,006	0,011	2,6	0,23	16
11	10	150	0,11	10	0,04	0,002	0,007	0,002	1,9	0,22	15
12	9	160	0,12	9	0,05	0,003	0,008	0,003	1,8	0,21	30
13	8	170	0,13	8	0,06	0,004	0,009	0,004	1,7	0,2	29
14	7	180	0,14	7	0,07	0,005	0,002	0,005	1,6	0,19	28
15	6	190	0,15	6	0,08	0,006	0,003	0,006	1,5	0,18	27
16	5	200	0,16	5	0,09	0,007	0,004	0,007	1,4	0,17	26
17	4	210	0,17	20	0,01	0,008	0,005	0,008	1,3	0,16	25
18	3	220	0,18	19	0,02	0,009	0,006	0,009	1,2	0,15	24
19	2	90	0,19	18	0,03	0,005	0,007	0,01	1,1	0,14	23
20	1	160	0,2	17	0,04	0,006	0,008	0,011	0,9	0,13	22
21	10	90	0,21	16	0,05	0,007	0,009	0,002	0,8	0,12	21
22	9	160	0,22	15	0,06	0,008	0,002	0,003	0,7	0,11	20
23	8	220	0,23	14	0,07	0,009	0,003	0,004	0,6	0,1	19
24	7	210	0,24	13	0,08	0,001	0,004	0,005	0,5	0,23	18
25	6	200	0,25	12	0,09	0,002	0,005	0,006	0,4	0,22	17
26	5	190	0,26	11	0,01	0,003	0,006	0,007	0,3	0,21	16
27	4	180	0,27	10	0,02	0,004	0,007	0,008	0,2	0,2	15
28	3	170	0,28	9	0,03	0,001	0,008	0,009	1,6	0,19	30
29	2	160	0,29	8	0,04	0,002	0,009	0,01	1,5	0,18	29
30	1	150	0,3	7	0,05	0,003	0,002	0,011	1,4	0,17	28
31	10	140	0,31	6	0,06	0,004	0,003	0,002	1,3	0,16	27
32	9	130	0,32	5	0,07	0,005	0,004	0,003	1,2	0,15	26
33	8	120	0,33	19	0,08	0,006	0,005	0,004	1,1	0,14	25
34	7	110	0,34	18	0,09	0,007	0,006	0,005	0,9	0,13	24
35	6	100	0,35	17	0,01	0,008	0,007	0,006	0,8	0,12	23
36	5	90	0,36	16	0,02	0,009	0,008	0,007	0,7	0,11	22
37	4	80	0,37	15	0,03	0,006	0,009	0,008	0,6	0,1	21
38	3	70	0,38	14	0,04	0,007	0,007	0,009	2,3	0,28	20
39	2	60	0,39	13	0,05	0,008	0,008	0,01	2,2	0,27	19
40	1	50	0,4	12	0,06	0,009	0,009	0,011	2,1	0,26	18

Размещено на Allbest.ru

...