Автоматическое управление технологическими системами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

УО «Полоцкий государственный университет»

Радиотехнический факультет

Контрольная работа

по дисциплине «Теория автоматического управления технологическими системами»

студента заочного отделения

Федько Евгения Николаевича

группа: 10-РКз

Рецензент:

к.т.н., доцент Шестопалова Ольга Евгеньевна

Новополоцк, 2012 г.

Задача 1

автоматический управление амплитудный фазовый

По заданным дифференциальным уравнениям элементов САУ определить передаточные функции элементов. Определить типы элементарных звеньев, входящих в состав элементов.

Даны уравнения элементов схемы САУ:

Определим передаточную функцию первого элемента САУ:

1,2?p?y(p) + y(p) = 5?p?x(p);

y(p)?(1,2?p+1) = 5?p?x(p);

W1(p) = y(p)/x(p) = 5?p/(1,2?p+1).

Передаточная функция первого элемента САУ W1(p) представляет собой последовательное соединение идеального дифференцирующего звена и апериодического устойчивого звена первого порядка с коэффициентом усиления k=5 и постоянной времени T=1,2 c.

Определим передаточную функцию второго элемента САУ:

0,04?p2?y(p) + 0,6?p?y(p) + y(p) = x(p);

y(p)?(0,04?p2 + 0,6?p + 1) = x(p);

W2(p) = y(p)/x(p) = 1/(0,04?p2 + 0,6?p + 1).

Передаточная функция второго элемента САУ W2(p) представляет собой устойчивое колебательное звено с постоянной времени Т = 0,2 с и коэффициентом затухания о = 1,5 с-1.

Определим передаточную функцию третьего элемента САУ:

y(p) = 25?x(p);

W3(p) = y(p)/x(p) = 25.

Передаточная функция третьего элемента САУ W3(p) представляет собой усилительное звено с коэффициентом усиления k=25.

Задача 2

Определить передаточную функцию разомкнутой и замкнутой САУ, при необходимости использовать правила переноса узлов. Преобразовать разомкнутую систему к последовательному соединению типовых элементарных звеньев. Определить типы элементарных звеньев, входящих в состав преобразованной разомкнутой САУ.

Схема САУ имеет вид:

Разомкнутая система (система без учета общей единичной отрицательной обратной связи) представляет собой последовательное соединение блока, состоящего из параллельно соединённых первого элемента со вторым, прямой единичной связью и третьего элемента. Передаточная функция разомкнутой системы в соответствии с определенными типами соединений элементов будет иметь вид:

Wp(p) = (W1(p) + W2(p) + 1)?W3(p).

Подставим передаточные функции элементов САУ, определенные в результате решения Задачи №1, в общий вид передаточной функции разомкнутой системы. Получим:

Wp(p) = .

Передаточная функция замкнутой системы с учетом общей единичной отрицательной обратной связи определяется как

Выполним эквивалентные преобразования передаточной функции разомкнутой системы с использованием Mathcad для преобразования ее к последовательному соединению типовых элементарных звеньев.

Конечный вид выражения позволяет определить параметры типовых элементарных звеньев, входящих в состав последовательного соединения эквивалентной разомкнутой САУ:

в состав соединения входит три устойчивых апериодических звена первого порядка с постоянными времени Т1 = 1,2 с, Т1 = 0,076 с, Т1 = 0,524 с, три дифференцирующих звена первого порядка с постоянными времени Т1 = 0,079 с, Т2 = 0,453 с, Т3 = 3,468 с.

Общий коэффициент усиления k = 50.

Задача 3

Построить амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) разомкнутой системы. Рассчитать и построить логарифмические амплитудно-частотную (ЛАЧХ) и фазо-частотную (ЛФЧХ) характеристики разомкнутой САУ, приведенной к последовательному соединению типовых элементарных звеньев.

Передаточная функция разомкнутой системы, приведенная к последовательному соединению типовых элементарных звеньев, имеет вид:

Wp(p) = .

Для построения АФХ используется частотная передаточная функция системы, получаемая подстановкой в формулу передаточной функции комплексной частоты j вместо переменной Лапласа p:

Wp(jщ) =

АФХ строится для значений частоты входного сигнала от 0 до +.

Результат построения графика АФХ для разомкнутой системы имеет вид:

АФХ одновременно определяет изменения и амплитуды и фазы выходного сигнала САУ относительно входного. Рассчитаем и построим график ЛАЧХ в децибелах. Результат построения ЛАЧХ для разомкнутой системы имеет вид:

Аналогично построим график ЛФЧХ для разомкнутой САУ.

Задача 4

Рассчитать и построить асимптотическую ЛАЧХ разомкнутой САУ.

Передаточная функция разомкнутой системы, приведенная к последовательному соединению типовых элементарных звеньев, имеет вид:

Wp(p) = .

Рассчитаем параметры, необходимые для построения асимптотической ЛАЧХ разомкнутой САУ. Определим частоты сопряжения асимптотической ЛАЧХ как величины, обратные постоянным времени звеньев, входящих в состав последовательного соединения:

щ1 = 1/3,468 = 0,29 c-1; щ2 = 1/1,2 = 0,83 c-1; щ3 = 1/0,524 = 1,91 c-1;

щ4 = 1/0,453 = 2,21 c-1; щ5 = 1/0,079 = 12,66 c-1; щ6 = 1/0,076 =13,16 c-1.

Определим угол наклона проведения первой асимптоты в частотном диапазоне до первой частоты сопряжения по формуле -20 дБ/дек, где - степень астатизма разомкнутой САУ.

Степень астатизма разомкнутой САУ равна 0, поэтому угол наклона первой асимптоты составит 0 дБ/дек.

Определим высоту проведения первой асимптоты для любой частоты, меньшей первой частоты сопряжения 1, например, для частоты 0,01 с-1:

20?lg(k/)=20?lg(50/0.010)=20?lg(4,623)= 34 дБ.

В остальных частотных диапазонах угол наклона асимптоты будет определяться типом звена. Частоты среза, соответствующие дифференцирующим звеньям первого порядка изменяет наклон ЛАЧХ на +20 дБ/дек, частоты сопряжения, соответствующие апериодическим звеньям изменяют угол наклона на -20 дБ/дек.

Результат построения асимптотической ЛАЧХ имеет вид:

Как видно, результат построения асимптотической ЛАЧХ достаточно близко совпадает с результатом точного расчета и построения ЛАЧХ, выполненного в Задаче 3.

Задача 5

Оценить устойчивость замкнутой САУ по теореме Ляпунова.

Согласно теореме Ляпунова, для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения имели отрицательную действительную часть.

Передаточная функция разомкнутой системы, приведенная к последовательному соединению типовых элементарных звеньев, имеет вид:

Wp(p) = .

Запишем характеристический полином замкнутой САУ:

Аз(р) = .

Решим его:

Множество корней характеристического уравнения замкнутой САУ представлено в круглых скобках. Как видим, действительные части у всех корней отрицательные. Следовательно замкнутая САУ является устойчивой.

Задача 6

Оценить устойчивость замкнутой САУ по заданному критерию устойчивости (критерий Найквиста для амплитудно-фазовой характеристики).

Критерий Найквиста для амплитудно-фазовой характеристики:

замкнутая система устойчива, если АФХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ? не охватывает точку (-1; j?0).

При решении Задачи №4 была рассчитана и построена АФХ разомкнутой системы:

Т.о. условие выполняется, следовательно, замкнутая система устойчива, что согласуется с оценкой устойчивости по теореме Ляпунова, выполненной при решении задачи 5.

Задача 7

Подтвердить результат оценки устойчивости построением переходного процесса замкнутой САУ в программе моделирования систем автоматического управления tau.exe.

Передаточная функция замкнутой системы с учетом общей единичной отрицательной обратной связи определяется как

Подставим передаточную функцию разомкнутой системы Wp(p), полученную в результате решения задачи 2, в приведенную формулу и выполним эквивалентные преобразования передаточной функции замкнутой системы с использованием Mathcad для преобразования ее к последовательному соединению типовых элементарных звеньев:

Т. о., передаточную функцию замкнутой САУ можно представить эквивалент-ным последовательным соединением трёх дифференцирующих звеньев пер-вого порядка с постоянными времени Т1 = 0,079 с, Т2 = 0,453 с, Т3 = 3,468 с и трёх апериодических звена с постоянными времени Т1 = 0,079 с, Т2 = 0,453 с, Т3 = 3,425 с. Общий коэффициент усиления замкнутой САУ (коэффициент статического преобразования) равен 0,98. Реализуем схему эквивалентного последовательного соединения в программе tau.exe, зададим параметры звеньев и построим переходной процесс замкнутой САУ как реакцию на ступенчатое входное воздействие:

Как видно, переходной процесс замкнутой САУ подтверждает ее устойчи-вость: он сходится к значению, равному коэффициенту статического преобразования k = 0,98.

Задача 8

С использованием метода D-разбиения оценить влияние на устойчивость замкнутой САУ коэффициента статического преобразования. Подтвердить результат анализа с использованием заданного критерия устойчивости для значений коэффициента, выбранного внутри и вне пределов области устойчивости, построенной в результате D-разбиения.

Коэффициентом статического преобразования разомкнутой САУ является общий коэффициент усиления. Передаточная функция разомкнутой САУ имеет вид:

Wp(p) = .

Т. о., исходное значение коэффициента статического преобразования К= 50.

Введем в рабочем поле Mathcad передаточную функцию замкнутой системы с подстановкой вместо исходного значения коэффициента статического преобразования разомкнутой САУ введенного обозначения К и выполним упрощение:

Т. о., получена передаточная замкнутой САУ, записанная в общем виде относительно коэффициента статического преобразования разомкнутой системы. По виду передаточной функции замкнутой системы ее характе-ристическое уравнение записывается путем приравнивания к 0 знаменателя:

А3(р) = .

Запишем в явном виде относительно К:

К(р) = .

Подставив вместо р комплексную частоту j, запишем выражение в виде:

К(j?щ) = .

Согласно теореме Ляпунова САУ является устойчивой, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, то есть располагаются в левой полуплоскости комплексной плоскости. Границей устойчивости САУ является мнимая ось комплексной плоскости. Граница области устойчивости в плоскости коэффициентов или параметров САУ называется границей D-разбиения. Переход через границу D-разбиения в плоскости параметров соответствует переходу корней через мнимую ось в плоскости корней.

В данном случае кривая K(j), построенная в комплексной плоскости при различных значениях , является границей D-разбиения. Если следовать по этой кривой от значений =-? до значений =+?, то слева остается область, которая является отображением левой полуплоскости корней и представляет область устойчивости. Граница области устойчивости отмечается штриховкой слева при следовании по кривой от =-? до значений =+?.

Рассчитаем и построим D-разбиение в плоскости параметра К:

Следуя по ходу графика D-разбиения от значений, соответствующих =-? до значений =+?, наложим штриховку слева. Область положительной части действительной оси, окаймленная штриховкой, соответствуют значениям параметра К, обеспечивающим устойчивое состояние системы:

Результаты построения области устойчивости позволяют утверждать, что значение коэффициента статического преобразования K разомкнутой систе-мы для обеспечения устойчивости замкнутой САУ должно быть меньше - 1 или больше - 0,385. Для проверки данного вывода необходимо оценить устойчивость замкнутой САУ при двух значениях К: одном, лежащем в пределах области устойчивости и другом, вне пределов полученной области. Оценка устойчивости при исходном значении К= 50, выполненная в Задачах 5 и 6, показала устойчивость замкнутой САУ.

Покажем с использованием теоремы Ляпунова, что при значении К вне зоны устойчивости, например при К= -0,5, замкнутая САУ станет неустойчивой. Запишем передаточную функцию разомкнутой системы с учетом выбранного значения К:

Wp(p) = .

Если известна передаточная функция разомкнутой САУ, то характеристическое уравнение соответствующей ей замкнутой САУ может быть получено как сумма числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой САУ. Запишем характеристический полином замкнутой САУ:

Аз(р) = .

Введем характеристическое уравнение замкнутой САУ в рабочем поле Mathcad, упростим его и найдем корни характеристического уравнения замкнутой САУ:

Множество корней характеристического уравнения замкнутой САУ представлено в круглых скобках. Получили, что среди корней есть один положительный. Следовательно, замкнутая САУ при значении К= - 0,5 является неустойчивой, что и требовалось доказать.

Литература

1. Анхимюк В.Д., Опейко О.Ф., Михеев Н.Н. Теория автоматического управления, - Мн.: Дизайн ПРО, 2000.

2. Андрющенко В.А. Теория систем автоматического управления. - Л.: ЛГУ, 1990.

3. Бесекерский В.А., Попов В.П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1975.

4. Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования и управления / Под ред. ЕЛ. Санковского. - Мн.: Выш. шк., 1973.

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. - М.: Наука, 1967.

Размещено на Allbest.ru