Решение алгебраического или дифференциального уравнения f (x), в случае, если известно его грубое приближенное решение g (x), удобно представить в виде f (x) = g (x) • (1 + а ₁ x ¹ + а ₂ x ² + …), где второй сомножитель оказывается быстросходящимся степенным рядом. Такое решение иногда удается получить, даже если само решение f (x) в степенной ряд не разлагается.

Можно предположить, что, аналогично, если результат интерполяции вольт-амперной характеристики (ВАХ) ПТИЗ представить в виде , где - грубая аналитическая модель транзистора, а - двумерная поправочная функция, аппроксимирующая поправку двумерным (в простейшем случае) степенным рядом, то требования, предъявляемые к поправке, могут оказаться намного слабее, чем к сплайну, аппроксимирующему исходную таблицу . Отметим, что в виде степенного ряда представляется не сама ВАХ прибора, что недопустимо [3], а только поправка к ней, имеющая весьма ограниченную вариацию, которая определяется точностью аналитической модели. Применение поправки в виде степенного ряда на практике позволяет уточнить не только моделируемую функцию, но и ее производные, при условии быстрой сходимости ряда: 1 >> а ₁ >> а ₂ ….

Обычно при использовании указанного приема удается ограничиться членами ряда третьего порядка [4].

В качестве аналитической (С_?-непрерывной) далее использовалась модель, предложенная в [5]:

, (1)

где в, V₀, л, - параметры модели;

- оценка напряжения насыщения; мВ - формальная константа, определяющая протяженность промежуточного участка ВАХ между крутой и пологой областями; - формальная константа, служащая для компенсации погрешности используемого приближенного выражения для напряжения насыщения;.

Все параметры модели (1) являются физическими:

в - удельная крутизна;

V₀ - пороговое напряжение;

л - коэффициент, учитывающий конечное выходное сопротивление транзистора на пологом участке ВАХ;

- коэффициент, учитывающий ограничение дрейфовой скорости носителей заряда продольным электрическим полем.

Очевидно, что модель (1) может быть преобразована в таблично-аналитическую следующим образом:

. (2)

Как было указано выше, поправочная функция представляет собой двумерный степенной полином.

В качестве примера ниже приведены поправочные функции в виде двумерных степенных полиномов второго и третьего порядка соответственно

Алгоритм параметрической идентификации

Идентификация параметров модели (1) производилась методом наименьших квадратов при использовании стандартной программы спуска методом Левенберга-Марквардта. В качестве целевой функции использовалась сумма квадратов относительных погрешностей моделирования тока

.

Поскольку модель (1) является региональной, то идентификация ее параметров производилась дважды: вначале параметры модели определялись на пологом участке ВАХ, затем при найденном параметре остальные параметры уточнялись во всей области определения тока.

Для ускорения спуска и повышения точности результатов идентификации в данной работе была проведена редукция размерности задачи минимизации, также как в работах [6] и [7]. Исходная четырехмерная целевая функция S (в, V₀, л, ) преобразовывалась в двумерную функцию S (V₀, ), которая далее оптимизировалась численно. Поскольку параметры в и л входят в модель (1) линейно, то при использовании необходимых условий минимума и можно получить аналитические выражения в = в (V₀, ) и = (V₀, ) и преобразовать четырехмерную функцию S (в, V₀, л, ) в двумерную функцию S (V₀, ).

Определение коэффициентов двумерной поправочной функции , также удобно проводить методом наименьших квадратов. В качестве целевой функции в данном случае можно использовать сумму квадратов отклонений поправочной функции от отношения экспериментальных значений тока к значениям тока, рассчитанным с помощью модели (1)

.

Коэффициенты поправочной функции определяются из системы линейных алгебраических уравнений, которую можно получить исходя из необходимых условий минимума целевой функции F

, , , …

Результаты моделирования

Для доказательства эффективности предлагаемой таблично-аналитической модели была проведена идентификация параметров моделей (1) и (2) для тестового образца p-канального ПТИЗ. Длина канала тестового ПТИЗ приблизительно равна 5 мкм. ВАХ транзистора измерялась при температуре T = 4,3 К.

На рис.1, а приведены экспериментальная выходная ВАХ тестового ПТИЗ и ВАХ, рассчитанные с помощью моделей (1) и (2). Экспериментальная ВАХ показана кружками, результаты расчета, полученные для модели (1), показаны штриховыми линиями. Результаты расчета, полученные для модели (2) при использовании поправочной функции в виде двумерного степенного полинома третьего порядка, показаны сплошными линиями. Поправочная функция в виде двумерного степенного полинома в трехмерном пространстве представляет собой поверхность, которая показана на рис.1, б. Точками на этом же рисунке показаны отношения экспериментальных значений тока к значениям тока, рассчитанным с помощью модели (1) .

Рис. 1. - Выходные ВАХ тестового ПТИЗ (а) и поправочная функция K_{3 (}V_D, V_G) (б)

Как видно из рис. 1, б погрешность моделей (1) и (2) в выбранном диапазоне токов и напряжений невелика: . Количественная оценка погрешности моделей и соответствующие им параметры приведены в таблице № 1. Среднеквадратическая относительная погрешность модели не может однозначно характеризовать точность моделирования, поэтому кроме нее рассчитывалась и максимальная по модулю относительная погрешность ¦д¦_max.

Таблица № 1. Параметры и погрешности моделей ПТИЗ

Из рис. 1 и таблицы № 1 следует, что применение поправочной функции в виде двумерного степенного ряда позволяет значительно повысить точность моделирования ВАХ ПТИЗ для криогенных температур. Так, при умножении аналитической модели на степенной ряд второго порядка, среднеквадратическая и максимальная относительные погрешности полученной модели уменьшаются примерно в 2 раза по сравнению с теми же погрешностями исходной модели. При использовании степенного ряда третьего порядка погрешности модели (2) уменьшаются примерно в 4 раза относительно погрешностей аналитической модели.

Очевидно, что при увеличении порядка поправочной функции, точность таблично-аналитической модели (2) будет возрастать. Особый интерес представляет характер зависимости погрешностей моделирования от порядка поправочной функции m. На рис.2 приведены зависимости относительной среднеквадратической погрешности и максимальной по модулю относительной погрешности модели (2) от m.

Рис. 2. - Зависимости у и ¦д¦_max модели (2) от порядка поправочной функции

Как видно из рис. 2 зависимости у (m) и ¦д¦_max (m) имеют примерно одинаковый характер, причем, чем больше m, тем медленнее уменьшаются обе погрешности. Результаты, представленные на рис.2, имеют практическую ценность - они позволяют оценить порядок поправочного полинома при заданных погрешностях моделирования. Например, для того чтобы обеспечить условие ¦д¦_max ? 1 %, необходимо использовать поправочную функцию как минимум 6-го порядка.

Выводы