Математическая теория массового обслуживания

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математическая теория массового обслуживания

Во многих областях практической деятельности человек сталкивается с необходимостью пребывания в состоянии ожидания. Подобные ситуации возникают в очередях, в супермаркетах, в крупных аэропортах, при ожидании обслуживающим персоналом самолетов разрешение на взлет или посадку, в пенсионном фонде. Во всех перечисленных случаях имеет место массовость и обслуживание. Изучением таких ситуаций занимается теория систем массового обслуживания. Теория массового обслуживания составляет один из разделов теории вероятностей. В этой теории рассматриваются вероятностные задачи и математические модели. На основе теории массового обслуживания выбирается оптимальный вариант организации торгового обслуживания населения, обеспечивающий минимальное время обслуживания при минимизации затрат и высоком качестве обслуживания населения.

Предмет теории массового обслуживания - построение математических моделей, связывающих заданные условия работы системы массового обслуживания (СМО) (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с показателями эффективности СМО. Эти показатели описывают способность СМО справляться с потоком заявок. Ими могут быть: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди и т.д. Каждая СМО состоит из какого-то количества обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания (это станки, транспортные тележки, роботы, линии связи, кассиры, продавцы и т.д.). Всякая СМО предназначена для обслуживания, какого-то потока заявок (требований), поступающих в какие-то случайные моменты времени. По данным, полученным из работы магазина, установлено среднее количество покупателей в незагруженный период времени (с 9 ч до 16 ч) - 3-5 человек на кассу со средним временем обслуживания покупателя 4-6 минут, в загруженный период времени (с 16 ч до конца работы магазина) количество покупателей на кассу увеличивается до 8-10 человек со средним временем обслуживания 5-10 минут. В загруженный период времени работы магазина к кассе подходит 1 человек за 2 минуты, а в незагруженный - 1 человек в 6 минут. Полученные данные занесены в таблицу (табл. 1). Необходимо решить задачи, используя основы математической теории массового обслуживания и найти оптимальный вариант организации торгового обслуживания, при котором время обслуживания будет минимальным, качество высоким и затраты минимальный.

Таблица 1 - Исходные данные работы магазина

Решение одноканальной СМО с неограниченной очередью в незагруженный период времени

Система массового обслуживания - одна касса с неограниченной очередью. Поток клиентов простейший. В среднем к кассе приходит 1 покупатель за 6 минут. Кассир в среднем обслуживает 1 покупателя за 5 мин. Необходимо вычислить среднее время пребывания заявки в системе и среднее время пребывания заявки в очереди.

Решение

Имеется система массового обслуживания с одним каналом (одна касса) и неограниченной очередью. Интенсивность потока входящих заявок равна (1 покупатель за 6 минут) = (10 покупателей в час), то есть . Интенсивность потока обслуживания равна (1 покупатель за 5 минут) = (12 покупателей за час), то есть .

Нагрузка системы ,, поэтому предельный режим работы системы существует. Рассчитаем эффективность работы СМО в предельном режиме. Среднее число заявок, находящихся в очереди (покупателейв очереди) равно:

.

Среднее время ожидания в очереди равно:

.

Среднее число обслуживаемых покупателей равно:

.

Среднее время обслуживания равно:

.

Тогда среднее число заявок в системе:

.

Среднее время пребывания заявки (покупателя) в системе:

.

Решение одноканальной СМО с неограниченной очередью в загруженный период времени Система массового обслуживания - одна касса с неограниченной очередью. Поток клиентов простейший. В среднем к кассе приходит 1 покупатель за 2 минуты. Кассир в среднем обслуживает 1 покупателя за 7,5 мин. Необходимо вычислить среднее число заявок в системе и в очереди, среднее время пребывания заявки в системе и среднее время пребывания заявки в очереди. Решение. Имеется система массового обслуживания с одним каналом (одна касса) и неограниченной очередью. Интенсивность потока входящих заявок равна (1 покупатель за 2 минуты) = (30 покупателей в час), то есть . Интенсивность потока обслуживания равна (1 покупатель за 7,5 минут) = (8 покупателей за час), то есть . Нагрузка системы

.

Поскольку , то очередь будет расти бесконечно, следовательно, предельных вероятностей не существуют. СМО не будет работать в стационарном режиме. Поэтому необходимо ввести еще один канал или уменьшить время обслуживания. Решение многоканальной СМО с неограниченной очередью в незагруженный период времени Система массового обслуживания - пять касс с неограниченной очередью. Поток клиентов простейший. В среднем к кассе приходит 1 покупатель за 6минут. Кассир в среднем обслуживает 1 покупателя за 5 минут. Необходимо вычислить среднее число заявок в системе и в очереди, среднее время пребывания заявки в системе и среднее время пребывания заявки в очереди. Решение. Имеется система массового обслуживания с пятью каналами (пять касс) и неограниченной очередью. Интенсивность потока входящих заявок равна (1 покупатель за 6 минут) = (10 покупателей в час), то есть . Интенсивность потока обслуживания равна (1 покупатель за 5 минут) = (12 покупателей за час), то есть .

Нагрузка системы

, ,

поэтому предельный режим работы системы существует. Среднее число обслуживаемых покупателей равно:

.

Среднее время обслуживания равно:

.

Среднее число касс, занятых обслуживанием: . Среднее число простаивающих касс:

.

Коэффициент занятости каналов обслуживанием:

.

Следовательно, система на 20% занята обслуживанием. Абсолютная пропускная способность:

.

Вероятность образования очереди:

.

Среднее число заявок (покупателей), находящихся в очереди:

.

Среднее время ожидания в очереди равно:

.

Тогда среднее число заявок (покупателей) в системе:

.

Среднее время пребывания заявки в системе:

.

Решение многоканальной СМО с неограниченной очередью в загруженный период времени. Система массового обслуживания - пять касс с неограниченной очередью. В среднем к кассе приходит 1 покупатель за 2 минуты. Кассир в среднем обслуживает 1 покупателя за 7,5 мин. Необходимо вычислить среднее число заявок в системе и в очереди, среднее время пребывания заявки в системе и среднее время пребывания заявки в очереди. Решение. Имеется система массового обслуживания с пятью каналами (пять касс) и неограниченной очередью. Интенсивность потока входящих заявок равна (1 покупатель за 2 минуты) = (30 покупателей в час), то есть . Интенсивность потока обслуживания равна (1 покупатель за 7,5 минут) = (8 покупателей за час), то есть . Нагрузка системы, , поэтому предельный режим работы системы существует. Среднее число обслуживаемых покупателей равно: . Среднее время обслуживания равно:

.

Вероятностьтого, что канал свободен:

.

Среднее число касс, занятых обслуживанием: . Среднее число простаивающих касс:

.

Коэффициент занятости каналов обслуживанием:

.

Следовательно, система на 20% занята обслуживанием. Абсолютная пропускная способность:

.

Вероятность образования очереди:

.

Среднее число заявок (покупателей), находящихся в очереди:

.

Среднее время ожидания в очереди равно:

.

Тогда среднее число заявок (покупателей) в системе:

.

Среднее время пребывания заявки в системе: . По вычисленным задачам можно сделать вывод, что оптимальное количество касс в незагруженный период времени равно 3, а минимальное время обслуживания - 5 минут (рис. 1), а в загруженный период времени - 7, минимальное время обслуживания - 7,5 минут (рис. 2).

Рисунок 1 - Оптимальное решение в незагруженный период времени

Рисунок 2 - Оптимальное решение в загруженный период времени

Библиографический список

массовый обслуживание торговый

1. Картошевский В.Г. Основы теории массового обслуживания. М., 2013.

2. Клейнрок Л.Н. Теория массового обслуживания. М, 2011.

3. Ложковский А.Г. Теория Массового обслуживания в телекоммуникациях. СПб, 2012.

4. Матвеев В.Ф.Системы массового обслуживания. М., 2012.

Размещено на Allbest.ru