2.2 Оценка запаса устойчивости САР

Рисунок 1 - Схема САР

Кривая разгона показывает реакцию объекта регулирования на единичное ступенчатое воздействие. Она строится по данным, полученным в результате решения дифференциального уравнения системы при скачкообразном входном воздействии и нулевых начальных условиях.

Передаточная функция объекта регулирования

;

.

Построим кривую разгона, с помощью системы MATLAB.

SCRIPT 1:

>> T1=13;

>> T2=54;

>> T3=72;

>> T4=7.0;

>> T5=0.9;

>> Kop=2.2;

>> Wop=tf([T5 T4 Kop],[T3 T2 T1 1])

Wop =0.9 s^2 + 7 s + 2.272 s^3 + 54 s^2 + 13 s + 1

Continuous-time transfer function.

>>step(Wop)

Рисунок 2 - Кривая разгона ОР

Анализ переходной характеристики ОР показывает, что объект:

1) обладает свойством самовыравнивания;

2) является многоемкостным;

3) характеризуется запаздыванием.

1.2 Расчёт коэффициента передачи П-регулятора

Степень затухания ;

Степень колебательности .

Порядок расчёта методом расширенных ЧХ:

1) расширенная АФЧХ объекта:

2) инверсная (обратная) расширенная АФЧХ объекта:

;

3) инверсная расширенная АФЧХ объекта алгебраическом виде:

4) линия равной степени затухания :

5) коэффициент усиления П-регулятора определяют при

6) проверка по переходной характеристике САР:

SCRIPT 2:

>> w=0:0.01:0.86; m=0.313;

>> Wex=(T5*((j-m).*w).^2+T4*(j-m).*w+3.4)./(T3*((j-m).*w).^3+T2*((j-m).*w).^2+T1*(j-m).*w+1);

>> Win=1./Wex;

>> R=real(Win);

>> J=imag(Win);

>> Ki=w*(m^2+1).*J;

>> Kp=m.*J-R;

>> plot(Kp,Ki); grid

Рисунок 3 - Кривая равной степени затухания

Согласно полученной кривой kp=2.3445 при ki=0. Значит коэффициент передачи П-регулятора kP=2.3445.

Построим переходную характеристику САР с П-регулятором.

SCRIPT 3

>> Wap1=tf(2.3445,1);

>> Wop= tf([T5 T4 Kop],[T3 T2 T1 1]);

>> W1=series(Wap1,Wop)

W1 = 2.11 s^2 + 16.41 s + 5.158

72 s^3 + 54 s^2 + 13 s + 1

Continuous-time transfer function.

>> Fi1=feedback(W1,1)

Fi1 = 2.11 s^2 + 16.41 s + 5.158

72 s^3 + 56.11 s^2 + 29.41 s + 6.158

Continuous-time transfer function.

>> step(Fi1)

Рисунок 4 - Переходная характеристика САР с П-регулятором

Оценка степени затухания

1)

2)

Полученная степень затухания примерно совпадает с заданной, значит коэффициент передачи выбран верно.

1.3 Расчёт параметров настройки ПИ-регулятора

Для оценки качества САР по каналу возмущающего воздействия преобразуем структурную схему САР (рисунок 8).

Рисунок 8 - Структурная схема преобразованной САР

Передаточную функцию САР по возмущению определяют по формуле замыкания: настройка регулятор управляемость автоколебание

,

где W(s) - ПФ разомкнутой САР.

SCRIPT 7:

>> Fiz1=feedback(Wop,Wap1)

Fiz1 = 0.9 s^2 + 7 s + 2.2

72 s^3 + 56.11 s^2 + 29.41 s + 6.158

Continuous-time transfer function.

>> Fiz2=feedback(Wop,Wap2)

Fiz2 = 0.9 s^3 + 7 s^2 + 2.2 s

72 s^4 + 54.96 s^3 + 20.62 s^2 + 4.278 s + 0.2889

Continuous-time transfer function.

>> Fiz3=feedback(Wop,Wap3)

Fiz3 = 0.9 s^3 + 7 s^2 + 2.2 s

72.23 s^4 + 57.14 s^3 + 24.32 s^2 + 7.654 s + 1.074

Continuous-time transfer function.

>> step(Fiz1,Fiz2,Fiz3)

Рисунок 9 - Переходные характеристики САР по каналу возмущающего воздействия

Таблица 2 - Показатели качества САР по каналу возмущающего воздействия

Проанализировав полученные данные, можно сделать вывод, что по каналу возмущающего воздействия САР с П-регулятором имеет наименьшее динамическое отклонение, но обладает статической ошибкой. У САР с ПИ-регулятором нет статической ошибки, но она имеет наибольшее время регулирования. САР с ПИД-регулятором наиболее быстродействующая.

2.2 Оценка запаса устойчивости САР

Основная передаточная функция САР с П-регулятором была получена в п. 1.2. Она имеет вид:

,

Порядок характеристического полинома . Для данной САР выбираем вторую управляемую форму или управляемое каноническое представление (УКП). Математическая модель САР описывается следующей системой векторно-матричных уравнений:

где

SCRIPT 9:

>> b2=2.11; b1=16.41; b0=5.158;

>> a3=72; a2=56.11; a1=29.41; a0=6.158;

>> A1=[0 1 0;0 0 1;-a0/a3 -a1/a3 -a2/a3];

>> B1=[0;0;1];

>> C1=[b0/a3 b1/a3 b2/a3];

>> D1=0;

>> sys1=ss(A1,B1,C1,D1)

sys1 =

a =

x1 x2 x3

x1 0 1 0

x2 0 0 1

x3 -0.08553 -0.4085 -0.7793

b =

u1

x1 0

x2 0

x3 1

c =

x1 x2 x3

y1 0.07164 0.2279 0.02931

d =

u1

y1 0

Continuous-time state-space model.

>>step(sys1);grid

Рисунок 10 - Переходная характеристика САР с П-регулятором

При использовании модели «вход-выход» и модели «вход-состояние-выход» были получены абсолютно идентичные переходные характеристики (рисунки 4 и 10), следовательно, модель «вход-состояние-выход» для САР с П-регулятором рассчитана верно.

Структурная схема САР с П-регулятором

Рисунок 11 - Структурная схема САР с П-регулятором

Рисунок 12 - Схема s-модели САР с П-регулятором

Рисунок 13 - Переходная характеристика САР с П-регулятором

Переходная характеристика, полученная по s-модели САР с П-регулятором с помощью пакета Simulink системы MATLAB совпадает с полученными ранее переходными характеристиками, значит s-модель построена верно.

Оценка управляемости САР с П-регулятором

Оценку управляемости САР будем проводить с помощью критерия управляемости Калмана. Матрица управляемости имеет следующий вид:

Script 10:

>> Y1=[B1 A1*B1 A1^2*B1]

Y1 = 0 0 1.0000

0 1.0000 -0.7793

1.0000 -0.7793 0.1988

>> rY1=rank(Y1)

rY1 = 3

>> dY1=det(Y1)

dY1 = -1

Согласно критерию управляемости Калмана исследуемая система полностью управляема, так как ранг матрицы управляемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы управляемости не равен нулю, значит она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью управляема.

Оценка наблюдаемости САР с П-регулятором

Оценку наблюдаемости САР будем проводить с помощью критерия наблюдаемости Калмана. Матрица наблюдаемости имеет следующий вид:

Script 11:

>> H1=[C1; C1*A1; C1*A1^2]

H1 = 0.0716 0.2279 0.0293

-0.0025 0.0597 0.2051

-0.0175 -0.0863 -0.1002

>> rH1=rank(H1)

rH1 = 3

>> dH1=det(H1)

dH1 = -6.1226e-07

Согласно критерию наблюдаемости Калмана исследуемая система полностью наблюдаема, так как ранг матрицы наблюдаемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы наблюдаемости не равен нулю, значит она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью наблюдаема.

3.2 Анализ САР с ПИ-регулятором

Основная передаточная функция САР с ПИ-регулятором была получена в п. 1.4. Она имеет вид:

,

Порядок характеристического полинома . Для данной САР выбираем вторую управляемую форму или управляемое каноническое представление (УКП). Математическая модель САР описывается следующей системой векторно-матричных уравнений:

где

Script 12:

>> b3=0.9648; b2=7.622; b1=3.278; b0=0.2889;

>> a4=72; a3=54.96; a2=20.62; a1=4.278; a0=0.2889;

>> A2=[0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-a0/a4 -a1/a4 -a2/a4 -a3/a4];

>> B2=[0;0;0;1];

>> C2=[b0/a4 b1/a4 b2/a4 b3/a4];

>> D2=0;

>> sys2=ss(A2,B2,C2,D2)

sys2 =

a = x1 x2 x3 x4

x1 0 1 0 0

x2 0 0 1 0

x3 0 0 0 1

x4 -0.004012 -0.05942 -0.2864 -0.7633

b = u1

x1 0

x2 0

x3 0

x4 1

c = x1 x2 x3 x4

y1 0.004012 0.04553 0.1059 0.0134

d = u1

y1 0

Continuous-time state-space model.

>> step(sys2);grid

Рисунок 14 - Переходная характеристика САР с ПИ-регулятором

При использовании модели «вход-выход» и модели «вход-состояние-выход» были получены абсолютно идентичные переходные характеристики (рисунки 5 и 14), следовательно, модель «вход-состояние-выход» для САР с ПИ-регулятором рассчитана верно.

Структурная схема САР с ПИ-регулятором

Рисунок 15 - Структурная схема САР с ПИ-регулятором

Рисунок 16 - Схема s-модели САР с ПИ-регулятором

Рисунок 17 - Переходная характеристика САР с ПИ-регулятором

Переходная характеристика, полученная по s-модели САР с ПИ-регулятором с помощью пакета Simulink системы MATLAB совпадает с полученными ранее переходными характеристиками, значит s-модель построена верно.

Оценка управляемости САР с ПИ-регулятором

Оценку управляемости САР будем проводить с помощью критерия управляемости Калмана. Матрица управляемости имеет следующий вид:

Script 12:

>> Y2=[B2 A2*B2 A2^2*B2 A2^3*B2]

Y2 = 0 0 0 1.0000

0 0 1.0000 -0.7633

0 1.0000 -0.7633 0.2963

1.0000 -0.7633 0.2963 -0.0670

>> rY2=rank(Y2)

rY2 = 4

>> dY2=det(Y2)

dY2 = 1

Согласно критерию управляемости Калмана исследуемая система полностью управляема, так как ранг матрицы управляемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы управляемости не равен нулю, значит она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью управляема.

Оценка наблюдаемости САР с ПИ-регулятором

Оценку наблюдаемости САР будем проводить с помощью критерия наблюдаемости Калмана. Матрица наблюдаемости имеет следующий вид:

Script 13:

H2=[C2; C2*A2; C2*A2^2; C2*A2^3]

H2 = 0.0040 0.0455 0.7793 0.0134

-0.0001 0.0032 0.0417 0.7691

-0.0031 -0.0457 -0.2170 -0.5454

0.0022 0.0293 0.1104 0.1993

>> rH2=rank(H2)

rH2 = 4

>> dH2=det(H2)

dH2 = 3.5981e-06

Согласно критерию наблюдаемости Калмана исследуемая система полностью наблюдаема, так как ранг матрицы наблюдаемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы наблюдаемости не равен нулю, значит она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью наблюдаемой.

3.3 Анализ САР с ПИД-регулятором

Оценку управляемости САР будем проводить с помощью критерия управляемости Калмана. Матрица управляемости имеет вид (15):

Script 15:

>> Y3=[B3 A3*B3 A3^2*B3 A3^3*B3]

Y3 = 0.0410 0.1232 -0.0195 -0.0156

0.1232 -0.0195 -0.0156 0.0052

-0.0195 -0.0156 0.0052 0.0013

-0.0156 0.0052 0.0013 -0.0009

>> rY3=rank(Y3)

rY3 = 4

>> dY3=det(Y3)

dY3 = 1.6843e-13

Согласно критерию управляемости Калмана исследуемая система полностью управляема, так как ранг матрицы управляемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы управляемости не равен нулю, значит она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью управляемой.

Оценка наблюдаемости САР с ПИД-регулятором

Оценку наблюдаемости САР будем проводить с помощью критерия наблюдаемости Калмана. Матрица наблюдаемости имеет следующий вид:

Script 16:

>> H3=[C3;C3*A3;C3*A3^2;C3*A3^3]

H3 = 1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

>> rH3=rank(H3)

rH3 = 4

>> dH3=det(H3)

dH3 = 1

Согласно критерию наблюдаемости Калмана исследуемая система полностью наблюдаема, так как ранг матрицы наблюдаемости равен размеру вектора переменных состояния. Определитель матрицы наблюдаемости не равен нулю, значит она является не вырожденной. Это также означает, что САУ полностью наблюдаема.

4. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОЙ САР

4.1 Описание нелинейной САР

Структурная схема нелинейной САР представлена на рисунке 21.

Рисунок 22 - Структурная схема нелинейной САР

Роль АР выполняет ПИ-регулятор с передаточной функцией, полученной в п. 1.3:

.

Нелинейное звено - звено с насыщением (ограничением), статическая характеристика звена изображена на рисунке 22.

Рисунок 23 - Статическая характеристика нелинейного элемента

Параметры звена с насыщением: .

4.2 Оценка возможностей возникновения автоколебаний

Для оценки возможности и устойчивости автоколебаний в нелинейной САР по методу Гольдфарба необходимо линеаризовать систему. Применим к нелинейному элементу гармоническую линеаризацию. Тогда передаточная функция звена с насыщением будет иметь вид:

где ,

при , т. е.

Таким образом, передаточная функция нелинейного элемента принимает вид:

.

Условие возникновения автоколебаний:

или

где ,

- передаточная функция линейной части разомкнутой САР с ПИ-регулятором (см. п. 1.3).

Уравнение (19) решаем графически. Для этого необходимо построить на одной комплексной плоскости годограф Найквиста линейной части и годограф Гольдфарба .

Script 17:

>> A=0.001:0.001:2.4;

>> Wnon=(2./pi).*(asin(2.4./A)+(2.4./A).*sqrt(1-5.76./A.^2));

>> Z=-1./(Wnon);

>> Re=real(Z);

>> Im=imag(Z);

>> b3=0.9648; b2=7.622; b1=3.278; b0=0.2889; a4=72; a3=54.96; a2=20.62; a1=4.278;

>> w=0.1:0.01:1;

>>W2=(b3*(j*w).^3+b2*(j*w).^2+b1*(j*w)+b0)./(a4*(j*w).^4+a3*(j*w).^3+a2*(j*w).^2+a1*(j*w));

>> re=real(W2);

>> im=imag(W2);

>> plot(re,im,Re,Im);grid

Построенные в результате выполнения Script 21 годографы приведены на рисунке 24. Видно, что годографы не пересекаются, следовательно, автоколебания в системе невозможны.

Рисунок 24 - Годографы линеаризованной САР

4.3 Моделирование нелинейной САР в Simulink

Для подтверждения сделанных выводов построим модель САР в Simulink. Схема модели изображена на рисунке 25, переходная характеристика, полученная с помощью этой модели - на рисунке 26.

Рисунок 25 - Схема s-модели нелинейной САР

Рисунок 26 - Переходная характеристика нелинейной САР

Вывод: автоколебаний в системе нет, следовательно выводы и расчеты о том, что в системе автоколебания невозможны, были сделаны верно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведения расчетов, были определены оптимальные параметры настройки П, ПИ и ПИД-регуляторов, запас устойчивости систем, оценено качество переходных процессов САР с П, ПИ и ПИД-регуляторами. Проведен анализ наблюдае5мости и управляемости САР: система со всеми тремя регуляторами оказалась полностью наблюдаемой и регулируемой. В том случае, когда регулирующий орган имеет нелинейную характеристику был проведен анализ на возможность возникновения автоколебаний в нелинейной системе регулирования методом Гольдфарба. Установлено, что автоколебания в системе невозможны, что подтверждается системой, смоделированной в пакете Simulink системы MATLAB.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Линейные и нелинейные системы управления: Методические указания и задания на курсовой проект по курсу «Теория управления» для студентов дневной и заочной форм обучения специальности 2102 - Автоматизация технологических процессов и производств / Составители С. Г. Денисенко, Ю. Е. Кичкарь. Кубан. гос. технол. ун-т; - Краснодар: Изд-во КубГТУ, 2000. - 22 с.

2. Нестеров А.В., Нестеров С.В. ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ: Учебное пособие/ Кубанский государственный технологический университет.- Краснодар: Изд. ГОУВПО "КубГТУ", 2006.- 191 с.

3. MATLAB R2015, версия 8.5.0.197613

Размещено на Allbest.ru