Синтез линейных систем автоматического регулирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Синтез линейных систем автоматического регулирования

Постановка задачи синтеза систем автоматического регулирования

Основным и практически наиболее важным приложением результатов полученных теорией автоматического регулирования и управления, является синтез автоматических систем. Он базируется на тех методах улучшения статических и динамических свойств системы, которые были рассмотрены ранее.

Синтез системы - это выбор ее структуры и составных элементов - их физической природы, конструкции и параметров. При этом свойства системы должны удовлетворять некоторым заранее установленным требованиям. Предъявляются как общеинженерные требования в отношении габаритов, веса, стоимости, надежности и т.д., так и требования специфические к статическим и динамическим свойствам системы, к качеству регулирования.

В теории автоматического регулирования рассматривается проблема удовлетворения последних требований (и др.). Эти значения устанавливаются исходя из технологических требований и опыта конструирования и эксплуатации систем такого же типа. При синтезе системы регулируемый объект известен и его физическая природа и технические данные определяют как тип, так и характеристики исполнительного и измерительного элементов регулятора. От последнего зависит выбор элемента сравнения.

Следовательно, при решении задачи обеспечения необходимых статических и динамических свойств системы оказываются известными регулируемый объект, а также исполнительный, измерительный и сравнивающий элементы регулятора. Все они составляют неизменяемую часть системы (рисунок 8.1).

Ниже будем полагать, что неизменяемая часть системы описывается линейными (или линеаризованными) дифференциальными уравнениями и известны, следовательно, передаточные функции составляющих ее элементов.

Если синтезируется система регулирования по отклонению, то остается выбрать только усилитель и корректирующее устройство (или устройства). Если же предполагается осуществить комбинированное регулирование, то нужно еще выбрать элементы дополнительной цепи по возмущению или же по задающему воздействию (в комбинированной следящей системе).

Выбор перечисленных элементов начинается с определения необходимого вида их

Рисунок 8.1 - Функциональная схема синтезируемой системы автоматического регулирования передаточных функций и численных значений всех коэффициентов.

Во многих случаях эти элементы являются пассивными или активными электрическими четырехполюсниками и рассматривается еще возможность их физического осуществления. Выбирается схема, и вычисляются необходимые значения сопротивлений и емкостей, значения передаточных коэффициентов усилителей.

Следует заметить, что инженерные задачи синтеза автоматических систем не имеют, как правило, однозначного решения. Поэтому обычно отыскивают несколько вариантов решения и, сравнивая их, выбирают наилучший.

Теорией автоматического регулирования и управления предложен ряд методов синтеза линейных автоматических систем. Однако следует иметь в виду, что нельзя ожидать высокой точности результатов, полученных расчетным путем. Это объясняется, прежде всего приближенностью используемого математического описания регулируемого объекта и исполнительного элемента. Если они описываются линеаризованными уравнениями с постоянными коэффициентами, то это означает, что несущественные нелинейности и незначительные изменения параметров во времени не учитываются. Кроме того, содержат приближения и методы синтеза.

Поэтому заключительным этапом расчета должен быть анализ синтезированной системы - определение показателей ее качества. А при физическом осуществлении системы нужна еще ее настройка.

Указанные обстоятельства совершенно не уменьшают значения теоретических расчетов. На основании расчетов выбирается структура корректирующего устройства и ориентировочные значения его параметров.

Их отыскание экспериментальным путем (даже на электронной модели) значительно сложнее. Вместе с тем моделирование позволяет уточнить выбранные значения параметров.

Синтез корректирующих устройств по логарифмическим амплитудно-частотным характеристикам

Рассмотрим еще один метод синтеза корректирующих устройств, весьма детально разработанный и нашедший широкое применение. Пусть передаточная функция неизменяемой части системы

,

где полиномы от s со свободным членом, равным единице; постоянные величины.

Потребуем, чтобы система была астатической гo порядка, имела добротность , перерегулирование не более и время регулирования не более . Такой комплекс требований весьма часто предъявляют к следящим системам. Значения порядка астатизма и добротности выбирают исходя из необходимой точности регулирования в установившихся режимах. Выбором показателей качества переходной характеристики - перерегулирования и времени регулирования гарантируются необходимые быстродействие и динамическая точность системы.

Легко установить, что если порядок астатизма неизменяемой части системы меньше , то в усилительно-преобразовательном элементе необходимо иметь интегрирующих звеньев. Так же легко определяется необходимое значение передаточного коэффициента преобразовательно-усилительного элемента, равное .

Задача сводится, следовательно, к синтезу корректирующего устройства, обеспечивающего необходимые динамические свойства системы. При этом будем полагать, что передаточная функция неизменяемой части системы

,

так как уже выяснено, какой передаточный коэффициент должен иметь, усилительно-преобразовательный элемент и нужны ли в нем интегрирующие звенья.

Метод синтеза корректирующих устройств, разработанный В. В. Солодовниковым, основывается на соответствии между логарифмическими частотными характеристиками разомкнутой системы и ее статическими и динамическими свойствами в замкнутом состоянии. Метод используется для систем минимально-фазового типа и поэтому достаточно рассматривать лишь логарифмическую амплитудно-частотную характеристику разомкнутой системы.

Построение ЛАЧХ неизменяемой части системы

Асимптотическую ЛАЧХ нужно строить по передаточной функции , определяемой (8.1).

Предварительно каждый из полиномов и передаточной функции следует разложить на множители вида и , где .

После разложения полиномов и передаточной функции на элементарные полиномы можно строить асимптотическую ЛАЧХ неизменяемой части системы.

Примерный вид характеристики системы, с астатизмом первого порядка показан на рисунке 8.2.

Рисунок - Асимптотические ЛАЧХ системы

Построение желаемой ЛАЧХ. Желаемой называют асимптотическую ЛАЧХ разомкнутой системы, имеющей желаемые (требуемые) статические и динамические свойства. Желаемая ЛАЧХ (рисунок 8.2) состоит из трех основных асимптот: низкочастотной, среднечастотной и высокочастотной. Кроме того, могут быть сопрягающие асимптоты, которые соединяют основные.

Строится желаемая ЛАЧХ на основании требований к системе. Ранее было выяснено, что низкочастотная асимптота ЛАЧХ разомкнутой системы определяет статические свойства. Если передаточная функция (8.1) разомкнутой системы имеет передаточный коэффициент и порядок астатизма , удовлетворяющие требованиям, то низкочастотной асимптотой желаемой ЛАЧХ является низкочастотная асимптота ЛАЧХ неизменяемой части системы. На рисунке 8.2 показан именно такой случай.

Среднечастотная асимптота ЛАЧХ разомкнутой системы и ее сопряжение с низкочастотной определяют динамические свойства системы - устойчивость и показатели качества переходной характеристики.

Построение среднечастотной асимптоты желаемой ЛАЧХ начинают с выбора частоты среза . Для этого используется номограмма (рисунок 8.3), составленная В. В. Солодовниковым. Она определяет зависимость перерегулирования и времени регулирования от максимума вещественной частотной характеристики замкнутой системы, причем время регулирования дано в виде функции частоты среза .

Номограмма используется следующим образом. По заданному значению перерегулирования определяют значение . Затем по определяют соотношение между и , т. е.

На рисунке 8.3 показано, как по значению определено и затем

Рисунок 8.3 - Номограмма зависимостей и от максимума вещественной частотной характеристики

Среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ проводится через точку с наклоном --20 дБ/дек. При большем наклоне трудно обеспечить необходимый запас устойчивости и допустимое перегулирование.

Протяженность среднечастотной асимптоты устанавливается исходя из необходимого запаса устойчивости. Из этих же соображений выбирают ее сопряжение с низкочастотной асимптотой. Кроме того, сопрягающую асимптоту следует выбирать так, чтобы характеристика возможно меньше отличалась от и корректирующее устройство было возможно более простым. автоматический амплитудный частотный асимптота

Для указанного выбора по ранее найденному значению с помощью кривых, показанных на рисунке 8.4, определяют избыток фазы и предельные значения , логарифмических амплитуд. Избыток фазы должен быть обеспечен на том участке характеристики , для которого справедливо

Этот участок охватывает среднечастотную асимптоту и, возможно, часть сопрягающей асимптоты.

Сначала нужно провести прямую с ординатой (пунктир на рисунке 8.2). Затем нанести сопрягающую асимптоту. Если наклон низкочастотной асимптоты 0 дБ/дек или --20 дБ/дек, то наклон сопрягающей асимптоты выбирают равным --40 дБ/дек или --60 дБ/дек. Начинать ее можно из точки среднечастотной асимптоты с ординатой .

Рисунок 8.4 Номограмма зависимостей избытка фазы и предельных значений амплитуд от

После этого может быть проверен избыток фазы при частоте , где ордината равна . Значение подсчитывается по приближенной формуле

где - порядок астатизма; - сопрягающие частоты, меньшие , при которых наклон увеличивается на 20 дБ/дек; - число сопрягающих частот ; - сопрягающие частоты, меньшие , при которых наклон уменьшается на 20 дБ/дек; - число сопрягающих частот .

Если фаза определяется каким-либо другим способом, то избыток фазы определяют как

где

Если избыток фазы оказывается меньше необходимого, то сопрягающую асимптоту следует переместить влево. В противном случае (при слишком большом избытке фазы) сопрягающая асимптота перемещается вправо. Чем больший диапазон частот занимает низкочастотная асимптота, тем лучше система воспроизводит низкочастотные изменения задающего воздействия.

Высокочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ мало влияет на свойства системы. Поэтому ее следует выбирать так, чтобы корректирующее устройство было возможно более простым. Это достигается при совмещении высокочастотных асимптот характеристик и . Если совмещение не удается, то высокочастотная асимптота должна иметь тот же наклон, что и высокочастотная асимптота .

После выбора высокочастотной асимптоты желаемой ЛАЧХ и сопряжения ее со среднечастотной асимптотой следует проверить избыток фазы при частоте , где ордината характеристики равна--, т. е.

где - относительный наклон среднечастотной асимптоты (при наклоне -20 дБ/дек ); - сопрягающие частоты, большие частоты среза ; - число частот .

Если меньше требуемого значения, то высокочастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ нужно переместить вправо.

Выбор корректирующих устройств

Передаточная функция разомкнутой системы с последовательным корректирующим устройством , где , и для ЛАЧХ справедливо следующее соотношение . Желаемая ЛАЧХ есть ЛАЧХ разомкнутой системы, которая должна быть получена введением последовательного корректирующего устройства. Следовательно,

, ,

т. е. для определения ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства из желаемой ЛАЧХ нужно вычесть ЛАЧХ неизменяемой части системы. Вычитание ординат достаточно сделать на всех сопрягающих частотах этих характеристик. Затем полученные точки соединить прямыми (рисунок 8.2).

По ЛАЧХ корректирующего устройства можно определить полиномы и eгo передаточной функции .

Каждой сопрягающей частоте при которой наклон ЛАЧХ увеличивается на 20 дБ/дек, соответствует множитель в полиноме . Сопрягающей частоте , при которой наклон ЛАЧХ уменьшается на 20 дБ/дек, соответствует множитель в полиноме . Если при какой-то частоте или - наклон ЛАЧХ изменяется на 40 дБ/дек, то ей соответствует квадрат указанного множителя.

Затем, следует определить передаточные функции и соответственно параллельного и прямого параллельного корректирующих устройств, эквивалентных требуемому последовательному корректирующему устройству. Если передаточная функция сложная, то целесообразно выяснить, при каких передаточных функциях и требуемое последовательное корректирующее устройство может быть заменено двумя корректирующими устройствами -- последовательным или параллельным.

На основании полученных результатов и физических свойств элементов неизменяемой части системы можно выбрать один из вариантов включения корректирующего устройства. При отсутствии очевидных и веских преимуществ одного или двух из возможных вариантов следует рассматривать все варианты.

По виду передаточной функции корректирующего устройства может быть выбрана схема пассивного четырехполюсника для реализации этой передаточной функции.

Легко реализуются передаточные функции с полиномами и первой и второй степени. При более высокой степени этих полиномов следует использовать два пассивных четырехполюсника, соединенных последовательно.

После выбора электрической схемы необходимо вычислить требуемые значения емкостей и сопротивлений и убедиться в возможности физического выполнения этой схемы с необходимыми параметрами ее передаточной функции. В частности, не следует предусматривать пассивный четырехполюсник с очень малым (менее 0,1--0,05) передаточным коэффициентом или с весьма большими емкостями. Не следует также иметь в одной схеме емкости ( или сопротивления) значительно, на 2--3 порядка, отличающиеся друг от друга по величине.

Обычно требуемые значения параметров передаточной функции пассивного четырехполюсника можно иметь при нескольких вариантах значений его элементов.

Заключительные этапы синтеза

При построении желаемой ЛАЧХ предполагалось, что неизменяемая часть системы с усилителем имеет необходимый передаточный коэффициент. После выбора корректирующего устройства передаточный коэффициент разомкнутой системы, как правило, изменяется. И теперь нужно окончательно определить необходимое значение передаточного коэффициента усилителя. На этом синтез системы закончен.

Однако построение желаемой ЛАЧХ основано на определенных допущениях. Кроме того, могла иметь место приближенная реализация требуемой ЛАЧХ корректирующего устройства. Поэтому совершенно необходима проверка качества синтезированной системы. С этой целью строится переходная характеристика замкнутой системы и определяются показатели ее качества.

При существенном неудовлетворении требований к системе - при перерегулировании и времени регулирования больше допустимых значений - необходимо выяснить и устранить причины неудачного решения.

Кроме ошибок в расчете, может быть неточной реализация выбранным электрическим четырехполюсником требуемой передаточной функции корректирующего устройства, неточной аппроксимация желаемой ЛАЧХ корректирующего устройства его передаточной функцией и недостаточным избыток фазы при контрольных частотах и .

Возможно также значительное отличие вещественной частотной характеристики синтезированной системы от типовой, для которой справедливы номограммы (рисунки 8.3 и 8.4), положенные в основу расчета. В этом последнем случае расчет следует повторить, задавшись значениями и меньше требуемых.

Литература 3осн [268-282]

Контрольные вопросы

1 Требования, предъявляемые к системе автоматического регулирования при ее синтезе.

2 Постановка задачи синтеза систем автоматического регулирования.

3 Почему в методе синтеза корректирующих устройств, разработанный Солодовниковым, достаточно рассматривать лишь ЛАЧХ разомкнутой системы?

4 Что называют желаемой ЛАЧХ?

5 Из каких асимптот состоит желаемая ЛАЧХ?

6 Какая из асимптот ЛАЧХ разомкнутой системы определяет ее статические свойства, а какая - динамические?

7 Заключительные этапы синтеза САР.

Размещено на Allbest.ru