Построение области устойчивости. Д-разбиение. Качество регулирования линейных систем. Показатели качества САУ. Корневые методы оценки качества регулирования

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Построение области устойчивости. Д-разбиение. Качество регулирования линейных систем. Показатели качества САУ. Корневые методы оценки качества регулирования

Построение областей устойчивости.D-разбиение

Метод D-разбиения разработан Ю.И.Неймарком в 1949г.Выше были рассмотрены критерии устойчивости, с помощью которых можно определить, устойчива ли заданная САР. Однако исследование устойчивости системы при фиксированных значениях параметров не всегда может удовлетворить конструктора, так как параметры регулируемого объекта и устройств управления в процессеработы системы изменяются в определенных пределах, поэтому важнознать, не приводит ли это к нарушению устойчивости системы.В связи с этим возникает задача определения совокупности значений параметров, при которых система регулирования заданной структуры остается устойчивой. Эту совокупность можно изобразить в виде области в пространстве, по осям координат которого откладываются значения параметров системы.

Для получения условий, соответствующих границе устойчивости, можно использовать различные критерии устойчивости.

Предположим, что два рассматриваемых параметра системы регулирования kи T входят линейно в характеристическое уравнение. Границе устойчивости (по критерию Михайлова) соответствует равенство нулю характеристического комплекса: D(jщ)=0 или D(jщ, k, T)=0.

Это условие распадается на два уравнения:

(5.1)

Выражения (5.1) представляют собой параметрические уравнения границы устойчивости при соблюдении дополнительного условия отрицательности вещественной части всех остальных корней, кроме чисто мнимых.

Полная же совокупность всех кривых на плоскости параметров, разбивающая всю плоскость на области с определенным распределением корней, называютD-разбиением плоскости параметров.

D(n-m; m). Например, для системы 4-го порядка

D(4;0); 2) D(3;1); 3) D(2;2); 4) D(1;3); 5) D(0;4).

Обычно практическое значение имеет лишь часть кривых D-разбиения, соответствующая границе устойчивости и выделяющая область D(n;0).

Для упрощения выделения границ области устойчивости из всего комплекса кривых D-разбиения на плоскости двух параметров вводится штриховка этих кривых. Штриховка производится по следующему правилу (приводится без доказательства).

Перемещаясь вдоль кривой в сторону увеличения щ, надо штриховать ее с левой стороны, если будет положительный определитель, составленный из частных производных уравнений (5.1) по параметрам kи T:

(5.2)

Если же определитель Д отрицательный, то кривую надо штриховать справа. При соблюдении этого правила штриховка будет направлена внутрь области устойчивости.

Пример.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

,

где - общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Характеристическое уравнение T2T1 p3+(T2+T1)p2+p+k=0.

Предположим, что T2 является заданной величиной и требуется построить область устойчивости в плоскости двух параметров: общего коэффициента усиления k и постоянной времени T1.

Характеристический полином D(jщ)=k+jщ-щ2(T1+T2)-jщ3T1T2.

Уравнения, определяющие границу устойчивости,

X=k-щ2(T1+T2)=0

Y=щ-щ3T1T2=0.

Решая их совместно получим

Задаваясь различными значениями щ от 0 до ? вычислим значения параметров k, T1 для этих частот и занесем в таблицу:

По полученным данным строим кривую D-разбиения (рисунок 5.1)

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Рисунок 5.1

Для нанесения штриховки найдем знак определителя (5.2)

Определитель Д равен

Для отрицательных частот щ (от -? до 0) Д>0 штрихуем слева.Для положительных частот щ (от 0 до +?) Д<0 штрихуем справа.Снизу полученной кривой получится двойная штриховка.

Так как параметры kи T1 должны быть положительными, область устойчивости будет ограничиваться полученной кривой и положительными направлениями осей kи T1 и для любых значений kи T1 можно сразу ответить, устойчива или неустойчива система.

Качество регулирования линейных систем

Показатели качества САУ

Устойчивость является необходимым, но недостаточным условием пригодности САУ для практического использования. Кроме устойчивости САУ должна удовлетворять ряду требований, характеризующих работу системы как в установившемся, так и переходном режимах, т.е. обеспечивать определенное качество регулирования. Основным показателем,характеризующим качество регулирования в установившемся режиме является точность, которая определяется величиной отклонения регулируемой величины от ее заданного значения после окончания переходного процесса.

Рассмотрим показатели, характеризующие качество регулирования в переходном режиме. Эти показатели оцениваются по реакции системы на некоторые тестовые воздействия (единичная ступенчатая, единичная импульсная).

Наиболее широко используется ступенчатая функция

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Рисунок 5.2

Основные показатели качества в переходном режиме:

1. Время регулирования -tр. Это длительность переходного процесса от момента приложения к системе воздействия до момента, когда отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения станет меньше некоторой заданной величины .

2. Перерегулирование у- максимальное отклонение регулируемой величины от нового установившегося значения в относительных единицах или в %.

у=10ч30%

3. Частота колебаний

4. Время достижения первого максимума -

5. Время нарастания переходного процесса -

6. Число колебаний - n(за время ) обычно (1ч2) реже (3ч4). Иногда n=0.

Методы оценки качества систем

Прямые

Косвенные

Прямые методы - это оценки показателей качества по кривой переходного процесса (рис.5.2).

Кривая переходного процесса может быть получена расчетным путем или экспериментально. В тех случаях, когда это затруднительно, используют косвенные методы оценки качества, а прямые оценки - на заключительном этапе исследования САУ.

Косвенные методы оценки качества, не требующие, построения графика переходного процесса делятся на три группы: корневые, интегральные и частотные методы.

Корневые методы

Как было показано выше, вид корней характеристического уравнения определяет характер переходного процесса системы, поэтому можно сформулировать требования, по качеству переходных процессов не рассматривая самих переходных процессов, а накладывая определенные ограничения на корни характеристического уравнения.

Пусть САУ описывается дифференциальным уравнением вида:

(5.3)

Решение уравнения (5.3) представим в виде:

(5.4)

- вынужденная составляющая переходного процесса

- свободная составляющая

(5.5)

где - корни характеристического уравнения вида

.(5.6)

Оценка быстродействия САР

Для оценки быстродействия используется понятие степени устойчивости з.

Под степенью устойчивости понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня.

Чем больше з, тем выше быстродействие САУ.

Корни характеристического уравнения, расположенные ближе всего к мнимой оси, дают в переходном процессе (уравнение(5.5)) составляющие, которые затухают наиболее медленно.

(5.7)

Видно, что чем больше ? тем быстрее затухает соответствующая составляющая. Практически можно считать переходный процесс закончившимся, когда затухнет ? - я составляющая (уравнение(5.7)).

Для монотонных процессов (без колебаний) - корни вещественные:

.

Для колебательных процессов дается оценка сверху:

Важным обстоятельством является то, что степень устойчивости можно найти без вычисления корней характеристического уравнения(5.6). Для этого в характеристическом уравнении (5.6) делается подстановка вида л=z-з.

Получаем так называемое смещенное характеристическое уравнение:

(5.8)

Геометрически это означает перенос мнимой оси влево на расстояние з. При этом один или два корня попадают на мнимую ось, что соответствует границе устойчивости.

Теперь применив к этому уравнению любой из критериев устойчивости можно определить значения з.

Оценка запаса устойчивости

Переходный процесс в САР будет колебательным, если характеристическое уравнение имеет комплексные корни вида - б ± jщ, которые дадут в решении уравнения(5.5) составляющую вида: .

Склонность САР к колебаниям характеризуется отношением мнимой части корня щ (угловаячастота колебаний) к вещественной б (коэффициент затухания), - показатель колебательности.

.

Колебательность связана с другим показателем, называемым затуханием

,

Где

т. к. , то

(5.9)

(5.9) формула связывающая затухание с показателем колебательности.

В САР допускается затухание за один период

или относительных единицах.

Из формулы (5.9) можно получить:

.

Например: а) если то

б) если то

Это пределы для реальных систем ()

Задание определенной колебательности ограничивает область расположения корней двумя лучами (рис.5.3а), которые составляют с осью вещественных угол

Колебательность САР можно определить без нахождения корней характеристического уравнения. Для этого используются подстановка,которая соответствует повороту координатных осей против часовой стрелки на угол . При этом, по крайней мере, один корень попадает на мнимую ось и затем он отыскивается.

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

а) б)

Рисунок 5.3

При задании допустимых значений кроме колебательности так же степени устойчивости область расположения корней должна ограничиваться так же вертикальной прямой, проходящей параллельно мнимой оси на расстоянии (рисунок 5.3б). Расположению корней в этой области соответствует выдерживание требуемого запаса устойчивости, который определяется величиной колебательности и требуемой степени устойчивости .

Использование корней характеристического уравнения для оценки качества регулирования является не совсем полным, так как вид переходного процесса определяется не только левой, но и правой частью дифференциального уравнения.

Контрольные вопросы

Понятие о Д-разбиении плоскости параметров.

Правила штриховым кривых Д-разбиения на плоскости двух параметров.

Основные показатели качества регулирования в установившемся и переходном режимах.

Понятия степени устойчивости и показателя колебательности САУ.

Недостатки корневых методов оценим качества САУ.

Задание определенного запаса устойчивости с помощью корневых методов.

Размещено на Allbest.ru