Методы анализа и обработки сигналов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский Государственный электротехнический

университет им. В.И. Ульянова (Ленина) "ЛЭТИ"

Кафедра ЭУТ

Пояснительная записка

"Методы анализа и обработки сигналов"

Выполнил: Филиппов Ю.Д.

Преподаватель: Кузьменко А.Г.

Санкт-Петербург 2013 г.

Содержание

1. Определение параметров случайного процесса

1.1 Нахождение математического ожидания и дисперсии случайного процесса

1.2 Нахождение корреляционной матрицы случайного процесса

1.3 Проверка стационарности случайного процесса в широком смысле

1.4 Нахождение нормированной корреляционной матрицы случайного процесса

2. Определение структуры согласованного и квазиоптимального фильтра

2.1 Построение согласованного фильтра

2.2 Построение квазиоптимального фильтра

3. Определение характеристик обнаружения

Выводы

Литература

Задание

1. Случайная функция X(t) задана 12 реализациями x_i(t) в 21 сечении. Значения реализаций с шагом 0,1 сек заданы в файле в виде матрицы. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную матрицу случайной функции, проверить, является ли функция X(t) стационарной, и в последнем случае определить ее нормированную корреляционную функцию. дисперсия случайный корреляционный

2. На вход приемного устройства поступает сигнал

x(t)=s(t)+n(t), где

s(t) = A exp(-t²/²) cos(t+)

A - случайная амплитуда, распределенная по закону Рэлея:

,

= 1,5 мкс, ₀- случайная начальная фаза, распределенная по закону:

n(t) - квазибелый гауссовский шум, имеющий спектральную плотность:

S()=N₀/2

в полосе || = ₂ - ₁, полностью перекрывающей спектр сигнала.

₀=2f₀; f₀ = 5*106 Гц; || = 2*4*106

Требуется определить:

А. Структуру согласованного фильтра и параметры (ширина полосы пропускания и изменение отношения сигнал/помеха на выходе по сравнению со входом) квазиоптимального фильтра, состоящего из 1 колебательного контура.

В. Зависимость P_D(d),

где d²=_s²/_n²

на входе приемного тракта, если обнаружитель выполнен по схеме согласованный фильтр - линейный детектор - интегратор - пороговое устройство k=15.При этом с доверительной вероятностью P=0.9 должно быть не более n₀= 0 ложного срабатывания регистратора в N₀ = 10⁴ независимых точках анализа.

1. Определение параметров случайного процесса

1.1 Нахождение математического ожидания и дисперсии случайного процесса

Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса X(t) в дискретные моменты времени будут задаваться следующими формулами

,

где -математическое ожидание, -дисперсия.

1.2 Нахождение корреляционной матрицы случайного процесса

Корреляционная матрица случайного процесса X(t) будет находится из корреляционных моментов сечений процесса X(t) в дискретные моменты времени по формуле:

где - оценка корреляционной функций для сечений и .

1.3 Проверка стационарности случайного процесса в широком смысле

По оценкам математического ожидания и дисперсии можно сделать заключение о стационарности случайного процесса в широком смысле. Для этого приближенно полагают, что процесс можно считать стационарным в широком смысле, если максимальное отклонение математического ожидания от среднего математического ожидания значительно меньше среднеквадратического отклонения по множеству оценок.

Рассматриваемый случайный процесс является стационарным в широком смысле, т.к. условие выполняется.

1.4 Нахождение нормированной корреляционной матрицы случайного процесса

Нормированная корреляционная матрица случайного процесса X(t) будет находится по формуле:

Поскольку процесс стационарный в широком смысле мы можем перейти

, где

2. Определение структуры согласованного и квазиоптимального фильтра

2.1 Построение согласованного фильтра

Найдем выражение для спектра заданного сигнала S(t).

В общем виде:

По условию случайная фаза сигнала равномерно распределена в интервале [-;]. В связи с этим для вычисления функции неопределенности подставим в формулу выражение для сигнала, в котором за ₀ примем среднее значение фазы равное нулю. Подставляя в данное выражение комплексную амплитуду сигнала с учетом приведенных допущений, получим:

Для вычисления интеграла преобразуем показатель экспоненты следующим образом:

Выражение для спектра сигнала, с учетом полученных выражений, примет вид:

Произведем замену переменных:

Тогда:

Частотная характеристика согласованного фильтра для сигнала определяется выражением:

Подставляя сюда спектр сигнала, получим:

Определим значение t₀:

Вычисления произведем в MathCad:

Для построения оптимального фильтра необходимо выполнение принципа практической реализуемости:

Правило не соблюдается, поскольку интеграл расходящийся, поэтому можно сказать, что построение оптимального фильтра невозможно.

2.2 Построение квазиоптимального фильтра

Построение оптимального фильтра не всегда возможно, поэтому строят фильтр, близкий по отношению сигнал/помеха к оптимальному, называемый квазиоптимальным.

Ухудшение отношения сигнал/помеха на выходе квазиоптимального фильтра по сравнению с оптимальным равно:

По условию квазиоптимальный фильтр состоит из 4 несвязанных колебательных контуров. Тогда его передаточная функция равна:

Обозначим - полуширина спектра сигнала, - полуширина полосы пропускания фильтра.

Найдем полосу пропускания из условия, что , а ширину спектра из условия

Преобразуя функцию для , получим числитель:

Знаменатель равен:

Отношение сигнал/помеха на выходе квазиоптимального фильтра выражается через отношение сигнал/помеха на его входе:

, где

С учетом выше сказанного произведем расчет в MathCad данных характеристик

3. Определение характеристик обнаружения

Обнаружитель состоит из следующих блоков:

Согласованный фильтр

Выводы

В результате выполнения курсовой работы было выполнено:

Определена частотная характеристика и на основании принципа практической реализуемости выяснено, что построение согласованного фильтра невозможно.

Определены параметры квазиоптимального фильтра: ширина полосы пропускания фильтра 1.095МГц и отношение сигнал/помеха на его выходе по сравнению с входом .

Получена зависимость вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал/помеха на входе приемного тракта. Для сравнения приведена аналогичная зависимость для работы простейшего обнаружителя Неймана - Пирсона.

Литература

Добротин Д.Д., Кузьменко А.Г.. Методические указания к курсовой работе по дисцеплине "Вероятностные и статистические методы в контроле качества продукции". ЛЭТИ. -Л., 1988.

Добротин Д.Д., Паврос С.К. Обработка сигналов при неразрушающем контроле: Учеб. Пособие. - Л.: ЛЭТИ, 1986.

Пигулевский Е.Д. Акустические сигналы и их обработка: Учеб. Пособие. - ЛЭТИ, 1984.

Размещено на Allbest.ru