Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Тюменский государственный нефтегазовый университет

Институт нефти и газа

Кафедра автоматизации управления

Методические указания к лабораторным занятиям

по дисциплине «Теория автоматического управления»

Тема:

Расчёт настроек дискретного ПИ-регулятора в пакете «Мatlab»

Утверждено редакционно-издательским Советом Тюменского государственного нефтегазового университета

Для студентов специальностей «Автоматизация технологических процессов», «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов»

Составители:

доцент, к.т.н. Макарова Л.Н.,

к.т.н. Макаров А.В.

асс. Фомин В.В.

@Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Тюменский государственный нефтегазовый университет» 2005 г.

Содержание

1. Основные сведения

2. Пример расчета настроек дискретного ПИ-регулятора в одноконтурной системе

3. Расчет настроек дискретного ПИ-регулятора в «Matlab»

4. Задания для самостоятельной работы

Список литературы

1. Основные сведения

Расчет настроек дискретного регулятора в одноконтурной системе (Рисунок 1) сводится к следующим шагам:

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Рисунок 1. Дискретно-непрерывная одноконтурная система

1.1 Дискретно-непрерывная система заменяется эквивалентной дискретной, при этом в схеме появляются ключ и фиксатор определенного порядка. В частности, если используется фиксатор нулевого порядка, то считанное в начале периода значение переменной сохраняется таковым в течение всего периода (Рисунок 2).

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Рисунок 2. Амплитудно-импульсная модуляция непрерывного сигнала

1.2 Выделяется приведенная непрерывная часть, она состоит из фиксатора определенного порядка и собственно непрерывной части

1.3 Строится Z-изображение для передаточной функции приведенной непрерывной части.

Для этого записывается передаточная функция приведенной непрерывной части :

,

где - передаточная функция выбранного типа фиксатора;

фиксатор нулевого порядка имеет передаточную функцию

,

где - период дискретизации;

- передаточная функция исходной непрерывной части.

Замечание: Если обратная связь неединичная, то после структурных преобразований с целью получения единичной обратной связи:

;

Внимание:

В случае, если используется фиксатор нулевого порядка, то z-передаточная функция может быть найдена по формуле:



Для нахождения z-передаточной функции от нужно выполнить следующие шаги.

Разложить на простые дроби:

Найти неопределенные коэффициенты , приведя правую часть (1) к общему знаменателю, раскрыв скобки, сгруппировав слагаемые с одинаковыми степенями и получив систему уравнений относительно . Разрешить систему относительно этих коэффициентов .

Подставить их в правую часть (1) и найти оригинал для каждой дроби.

Затем для оригинала каждой дроби найти z-изображение и привести к общему знаменателю.

1.4 Записать z-передаточную функцию разомкнутой системы

,

где - передаточная функция выбранного регулятора с неизвестными коэффициентом усиления и постоянными времени .

1.5 Любым известным способом (метод расширенных КЧХ, метод КЧХ и др.) находят оптимальные настройки из условия, что в оптимальной области .

1.6 Метод комплексных частотных характеристик при ограничении на частотный показатель колебательности .

Если заданы прямые показатели качества, то по ним нужно найти соответствующие (Приложение 1) по схеме:

; ;

Построить окружность для заданного ; радиус этой окружности вычисляется по формуле:

; центр имеет координаты .

В передаточной функции заменить , - период дискретизации; задать значение ; значение и построить амплитудно-фазовую частотную характеристику .

Замечание. Период дискретизации выбирается как наибольший общий делитель для чисел, определяющих время запаздывания и постоянные времени объекта (если таковой имеется). Это позволяет воспользоваться обычным z-преобразованием.

Если такой вариант невозможен или период дискретизации задаётся заранее, а постоянные времени не делятся нацело на предлагаемый период, то необходимо воспользоваться модифицированным z-преобразованием.

Т.к. , то для построения КЧХ достаточно изменить частоту на одном периоде: или , или .

Если КЧХ заходит в запретную область, заданную окружностью, то сохраняя , необходимо уменьшить , если не доходит до окружности, то увеличивать до тех пор, пока годограф не коснется окружности, тем самым определяя первую пару значений (и ).

Затем процедура повторяется после задания следующего значения .

На практике задают из интервала , где - наибольшая постоянная времени в элементах непрерывной части.

1.7 Найденные значения и сводятся либо в таблицу 1,

Таблица 1

Таблица значений настроек регулятора

Либо строятся графики (Рисунок 3).

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Рисунок 3. Графики зависимости и

По ним находятся оптимальные настройки, соответствующие наибольшему значению отношения .

1.8 Найденные настройки проверяются на обеспечение качества регулирования

Для этого строится передаточная функция замкнутой системы (рисунок 4).

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Рисунок 4. Структурная схема дискретно-непрерывной системы

для неединичной обратной связи, здесь - передаточная функция прямой цепи

,

- передаточная функция системы, разомкнутой в точке :

Если обратная связь единичная, то передаточная функция замкнутой системы вычисляется как



Для определения фактического значения частотного показателя колебательности строится АЧХ замкнутой системы:

или ,

в зависимости от вида обратной связи.

Т.к. система астатическая (в регуляторе присутствует интегрирующее звено), то , .

Если , то расчет удовлетворительный, если нет, то нужно провести перерасчет настроек регулятора.

Для определения прямых показателей качества строят переходную характеристику, определив её z-изображение:

,

которое раскладывается в рад Лорана. Для этого в числителе и знаменателе раскрываются скобки, многочлены записываются в порядке убывания степеней и проводится деление:

Оригинал переходной характеристики имеет вид

График - ступенчатая линия, ордината каждой ступеньки определяется (рисунок 5).

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Рисунок 5. График переходной характеристики

По переходной характеристике определяются прямые показатели качества и и сравниваются с заданными. Если ; , то расчет заканчивается, если нет, то его повторяют, изменив интервал варьирования .

2. Пример расчета настроек дискретного ПИ-регулятора в одноконтурной системе

Рассчитать настройки дискретного ПИ-регулятора в одноконтурной системе регулирования со структурной схемой (Рисунок 6), если передаточная функция объекта имеет вид

Известно, что в системе используется фиксатор нулевого порядка и задано ограничение на частотный показатель колебательности .

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Рисунок 6. Структурная схема САУ

Решение

2.1 Выберем период дискретизации , тогда

2.2 Приведенная непрерывная часть системы представляет собой последовательное включение фиксатора нулевого порядка и объекта с заданной передаточной функцией

Z-передаточная функция в этом случае () рассчитывается по формуле

.

2.3 Для вычисления Z-изображения выражения раскладываем его на простые дроби:

Решаем систему уравнений, находим коэффициенты:

.

Подставляем найденные коэффициенты в полученное выражение:

Т.к. , где ;

множителю, соответствующему запаздыванию в непрерывной системе, (), в Z-преобразовании соответствует множитель , (). Тогда ,

Z - передаточная функция приведенной непрерывной части с учетом фиксатора нулевого порядка

2.4 Передаточная функция дискретного ПИ-регулятора имеет вид

2.5 Передаточная функция разомкнутой системы

2.6 Заменим и получим комплексную частотную характеристику (КЧХ), или амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы (АФЧХ):

2.7 Т. к. , то частоту при построении КЧХ можно изменять в пределах или .

2.8 Выбираем наибольшую постоянную времени объекта , определяем интервал варьирования постоянной интегрирования .

2.9 Строим окружность, соответствующую , ;

2.10 Задаемся значением , строим КЧХ, например для . КЧХ пересекает окружность, уменьшаем - КЧХ не касается окружности. При КЧХ касается окружности, получаем первую пару значений; затем принимаем , , , при происходит касание КЧХ и окружности. Результаты сводятся в таблицу (Таблица 2), по ним строится рисунок 7.

Таблица 2

Значение настроек ПИ-регулятора

30	0,41	0,0137
40	0,584	0,0146
50	0,77	0,0154
60	0,945	0,0157
62	0,977	0,0158
80	1,226	0,0151
90	1,34	0,0149

дискретный регулятор амплитудный импульсный сигнал

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Рисунок 7. Зависимость

Оптимальные настройки таким образом равны , .

2.11 Для того, чтобы убедиться в оптимальности полученных настроек, нужно рассчитать прямые и косвенные показатели качества, поэтому строим передаточную функцию замкнутой системы



Разделив числитель на знаменатель, получаем

При построении графика по оси времени откладывается время, равное периоду, умноженному на показатель степени , по оси откладываются ординаты, равные соответствующим степени коэффициентам (рисунок 8).

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Рисунок 8. График переходной характеристики

2.11 Т.к. при расчете был задан косвенный показатель качества - частотный показатель колебательности , то строим АЧХ системы (рисунок 9).

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Рисунок 9. АЧХ замкнутой системы

3. Расчет настроек дискретного пи-регулятора в пакете «Matlab»

3.1 Решение задачи, приведенной выше, в пакете «Matlab» значительно облегчает нахождение оптимальных настроек регулятора, упрощает построение характеристик системы, нахождение прямых и косвенных показателей качества. Задав нужные передаточные функции и параметры в М-файле приложения, можно избежать многократного повторения операций, что сведет все расчеты к заданию искомых , и выполнению одной единственной команды по реализации М-файла.

Как создать М-файл, показано на рисунке 10, приведенном ниже.



Рисунок 10. Создание нового М-файла

3.2 Для решения данного примера в пакете «Matlab» сначала необходимо задать полученные передаточные функции и .

Передаточная z-функция приведенной системы имеет вид:

Необходимо задать каждое из звеньев функции, а затем осуществить их последовательное и параллельное соединение при помощи команд `series' и `parallel'. Для задания передаточной функции в дискретной форме используется синтаксис:

SYS = TF(NUM,DEN,TS),

где NUM=[k1 k2 k3 …] и den=[n1 n2 n3 …] - коэффициенты при степенях числителя и знаменателя, а Ts - период дискретизации. Полученную нами передаточную функцию приведенной системы можно разложить на пять звеньев, три из которых соединены параллельно-согласно

; ; между собой и последовательно со звеньями и Тогда последовательность задания функции будет выглядеть следующим образом:

sys1 = tf([0.7],[1 0 0],20)

sys2 = tf([1 0],[1 -1],20)

sys3 = tf([-3 0],[1 -0.717],20)

sys4 = tf([2 0],[1 -0.607],20)

sys5 = tf([1 -1],[1 0],20)

W1 = parallel(sys2,sys3)

W2 = parallel(W1,sys4)

W = series(W2,sys1)

Wpr = series(W,sys5)

Аналогично в M-файле MatLab'а нужно задать и передаточную функцию ПИ-регулятора в дискретной форме

В общем виде задается следующим образом:

Wrr = tf([Kr*(1+T/Ti) -Kr],[1 -1],T),

где Ti и Kr - искомые параметры, задаются в буквенном обозначении, а T - период дискретизации. В нашей задаче T = 20с, , и в М-файле передаточная функция регулятора записывается:

Wrr = tf([Kr*(1+20/Ti) -Kr],[1 -1],20)

Передаточная функция разомкнутой системы в дискретной форме имеет вид:

В М-файле осуществляется последовательное соединение заданных ранее и :

Wr = series(Wpr,Wrr)

3.3 Далее необходимо задать промежуток изменения частоты или , где T - период дискретизации. В рассматриваемом примере T=20 и, следовательно, частота изменяется в пределах .

В М-файле промежуток задается следующим образом:

W = Wmin:h:Wmax

где Wmin и Wmax - границы промежутка, а h - шаг варьирования (выбирается произвольно, для достижения оптимальной точности вычислений берется в сотых или тысячных долях от граничных значений):

W = 0:pi/1000:pi/10

3.4 После задания промежутка варьирования частоты необходимо построить КЧХ найденной передаточной функции разомкнутой системы при помощи команды «nyquist», и, удержав полученный график при помощи команды «hold», построить поверх окружность с найденным радиусом и координатами центра (для этой операции следует воспользоваться уже другой командой - «plot»). В комплексной плоскости окружность задается следующим образом:

,

где Y - функция окружности, X - варьируемая переменная, и - смещение центра по оси абсцисс и ординат соответственно.

В рассматриваемом примере мы определили радиус окружности и смещение по оси абсцисс .

В М-файле:

X = 0:0.001:10

nyquist(Wrz,W)

hold

R = 1.026

Plot(R*((cos(x)-1.64/R)+i*sin(x)))

3.5 Задав все команды в М-файл, необходимо сохранить его в рабочей папке «work» под именем команды, которой впоследствии можно будет реализовать все внесенные в него операции. Для этого необходимо в меню «Файл» выбрать «Сохранить как», задать удобное имя, и М-файл по умолчанию будет сохранен нужной папке.

Итоговый М-файл для решения рассматриваемой задачи будет выглядеть, как показано на рисунке (рисунок 11).

Рисунок 11. М-файл для решения рассматриваемой задачи

3.6 Далее, задавая в командной строке Ti и варьируя Kr, нужно запускать М-файл, набирая его имя в командной строке и нажимая клавишу «Enter». В результате будут получены изображения КЧХ и окружности. Уменьшением или увеличением Kr добиваемся, чтобы КЧХ коснулась окружности.

Т.к. КЧХ пересекает окружность, уменьшаем Kr до тех пор, пока касание не произойдет. При Kr = 0.41 происходит касание:

Изображение, как правило, получается сжатым, поэтому целесообразно изменить параметры осей, указав пределы их значений в меню вызываемого пунктом меню «Edit>Axes Properties». Необходимо помнить, что перед тем, как задать новые значения Ti или Kr, нужно закрывать окно графического редактора. Фиксируя значения, при которых произошло касание, заполняем таблицу (см. таблица 1). Например Ti = 30, Kr = 0,5. Запустив М-файл, получаем изображение: Заносим найденное Kr в таблицу.

Аналогично находим все Kr и Ti и сводим их в таблицу 3.

Таблица 3

Значение настроек ПИ-регулятора

30	0,410	0,0137
35	0,496	0,0142
40	0,584	0,0146
45	0,679	0,0150
50	0,770	0,0154
55	0,858	0,0156
60	0,945	0,01575
62	0,977	0,01578
65	1,023	0,01574
75	1,166	0,01554
80	1,226	0,01533
85	1,284	0,01511
90	1,34	0,01489

Таким образом, максимальное , при и .

3.7 При помощи команды «feedback» замыкаем единичную обратную связь параллельно и строим график реакции на единичное ступенчатое воздействие (step(Wz,t), где t - время, откладываемое по оси абсцисс, выбирается произвольно для получения оптимального изображения):

Wz = feedback(Wr,1)

step(Wz,1000)

Затем строим АЧХ замкнутой системы: ffplot(Wz)

Увеличив изображение при помощи инструмента «Лупа», или же при помощи пункта меню «Инструменты>Статистика» («Tools>Data Statistics» в английской версии программного пакета) находим максимальное значение:

По полученным данным определяем оптимальные показатели качества:

Т.к. полученные показатели качества меньше заданных, расчет удовлетворительный.

4. Задания для самостоятельной работы

Рассчитать настройки дискретных регуляторов, если задана передаточная функция объекта и используется фиксатор нулевого порядка. Определить прямые и косвенные показатели качества.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

Список литературы

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. - СПб: Профессия - 2003 - 747с.

2. Теория автоматического управления ч. 1 / Под ред. Воронова А.А. - М.: В.Ш. - 1986 - 368с.

3. Ротач В.Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами. - М.: Энергоатомиздат - 1985 - 295 с.

4. Гудвин Г.К., Гребе С.Ф., Сальгадо Н.Э. - Проектирование систем управления. - М.: Бином - 2004 - 911с.

Размещено на Allbest.ru

...