Размещено на http://www.Allbest.ru/

Размещено на http://www.Allbest.ru/

Содержание

Задание

Введение

1. Анализ системы

1.1 Определение ПФ разомкнутой системы и замкнутой в режимах управления, стабилизации и по ошибке

1.2 Составление модели исследуемой системы управления

1.3 Определение показателей качества нескорректированной системы

1.4 ЛАХ, ЛФХ и АФХ для САУ, составленной из функционально необходимых звеньев оценка запасов устойчивости замкнутой САУ

Вывод

2. Синтез корректирующих устройств (КУ)

2.1 Синтез корректирующих устройств: последовательного и в обратной связи

2.2 Проверка устойчивости скорректированной системы

2.3 Переходная характеристика и определение показателей качества скорректированной системы

2.4 Вывод

3. Теоретические сведения об исследовании нелинейных элементов САУ

3.1 Критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова

3.2 Исследование возможных автоколебаний

Список литературы

Задание

Исходная структурная схема представлена на рис 1.1.

Рис. 1.1 - Исходная структурная схема

Требования к синтезируемой системе
узад,%	Tзаду, c	c0зад	c1зад	c2зад
30	1,5	0	1/80	1/8

Введение

Принцип действия всякой системы автоматического регулирования (САР) заключается в том, чтобы обнаруживать отклонения регулируемых величин, характеризующих работу объекта или протекание процесса от требуемого режима и при этом воздействовать на объект или процесс так, чтобы устранять эти отклонения. В теории автоматического регулирования основными являются проблемы: устойчивости, качества переходных процессов, статической и динамической точности, автоколебаний, оптимизации, синтеза и отождествления (идентификации). Задачи общей теории автоматического регулирования заключаются в решении перечисленных проблем. При поиске решений используются:

1. Методы анализа устойчивости замкнутых САР

2. Методы оценки качественных показателей САР

3. Методы повышения точности САР

4. Методы коррекции динамических свойств САР

5. Методы синтеза САР

Задача коррекции состоит в повышении динамической точности САР в переходных режимах. Она возникает, поскольку стремление снизить ошибки регулирования в типовых режимах, приводит к необходимости использования таких значений общего коэффициента усиления, при которых без принятия специальных мер (внедрения пассивных звеньев) система оказывается неустойчивой.

Синтез системы имеет конечной целью отыскание: 1) рациональной структуры системы и 2) установление оптимальных величин параметров отдельных звеньев

Задача повышения точности САР обычно предполагает существенный пересмотр ее структуры. Возможны замены или добавления отдельных звеньев в контуре.

1. Анализ системы

1.1 Определение ПФ разомкнутой системы и замкнутой в режимах управления, стабилизации и по ошибке

На рисунке 1.1 показана схема разомкнутой системы, составленной из функционально необходимых звеньев (без корректирующих устройств).

Рис. 1.2 Схема разомкнутой системы

Передаточной функцией (ПФ) системы автоматического регулирования или какого-либо другого устройства называется отношение преобразования Лапласа выходной величины к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция разомкнутой системы (f(t) = 0):

Передаточная функция разомкнутой системы по возмущению (y(t) = 0):

Передаточная функция замкнутой системы без корректирующих устройств:



Передаточная функция замкнутой системы по возмущению (y(t) = 0):

Так как у(t) = 0

Передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки по задающему воздействию (f(t) = 0):

Так как f(t) = 0

Передаточная функция замкнутой системы относительно ошибки по возмущающему воздействию (y(t) = 0):



1.2 Составление модели исследуемой системы управления Matlab (Simulink)

1.3 Определение показателей качества нескорректированной системы

В программном продукте Simulink построим переходную характеристику нескорректированной системы (рис 1.3).

Рис. 1.3 Переходная характеристика

По переходной характеристике определим основные показатели качества:

Время регулирования: Т_у = 6 с

Величина перерегулирования:

, где

y_max - максимальное значение амплитуды

y(?) - величина установившегося значения

1.4 ЛАХ, ЛФХ и АФХ для САУ, составленной из функционально необходимых звеньев оценка запасов устойчивости замкнутой САУ

Проверка устойчивости разомкнутой системы по алгебраическому критерию Гурвица.

Передаточная функция разомкнутой системы:

Характеристическое уравнение разомкнутой системы:

,

где

,

,

,

,

Все коэффициенты положительны, необходимое условие устойчивости выполняется. Найдем главные миноры матрицы Гурвица:

, ,

Все главные миноры матрицы Гурвица положительны, следовательно, рассматриваемая система является устойчивой по критерию Гурвица.

Используя программное обеспечение Matlab (Simulink), построим ЛАХ и ЛФХ рисунок 1.4:

Рис. 1.4 - ЛАХ и ЛФХ САУ, составленной из функционально необходимых звеньев

Устойчивая в разомкнутом состоянии система будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если сдвиг по фазе на частоте среза не достигает - (-180^°).

Система устойчива

Запас устойчивости по фазе 50.3є, по амплитуде 9.01 Дб.

Качественно построим амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) рисунок 1.5:

Рис 1.5 - АФХ САУ, без корректирующих устройств

Для проверки устойчивости используем частотный критерий устойчивости Найквиста:

Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф АФХ разомкнутой системы не охватывал точку с координатами (-1, j 0).

В нашем случае годограф не охватывает точку с данными координатами, соответственно, делаем вывод, что система устойчива.

Вывод

Проведя исследования нескорректированной системы автоматического управления, мы выяснили, что она является устойчивой, однако ее качественные показатели не соответствуют необходимым. Для исследования системы были использованы критерии устойчивости Гурвица, Найквиста, а также использовался программный продукт Matlab, что сильно упростило задачу исследования.

2. Синтез корректирующих устройств (КУ)

2.1 Синтез корректирующих устройств: последовательного и в обратной связи

Рис 2.1 - Первое корректирующее устройство в обратной связи

Сделаем предположение, что первое корректирующее устройство (W correct 1) является коэффициентом, т.е. его передаточная функция записывается в виде:

где K₁ примем равным 0,01

Далее составим эквивалентную передаточную функцию данного участка системы и изобразим структурную схему (рис 2.2):

Рис 2.2 - Эквивалентная структурная схема

Теперь перейдем к синтезу последовательного корректирующего устройства:

Исходя из требований к скорректированной системе, в установившемся режиме статическая ошибка должна быть равна нулю (с₀ = 0), соответственно, порядок астатизма данной системы равен единице (х = 1).

Найдем нормированную передаточную функцию (n = 4):

Так как система имеет астатизм первого порядка и степень полинома знаменателя равна четырем, воспользуемся приложением А.1, откуда получим:

м = 0.79, A₁ = 2.6, A₂ = 3.8, A₃ = 2.8

Для того чтобы перейти к желаемой передаточной функции, необходимо ввести коэффициент масштаба времени:

,

где T^зад_у - заданное время регулирования,

ф_н - время работы нормированной переходной функции (Рис 2.3).

Рис 2.3 - Время регулирования нормированной переходной функции

Далее воспользуемся соотношением (р = sz) и перейдем к желаемой передаточной функции:

Найдем передаточную функцию корректирующего устройства:

Окончательно:

2.2 Проверка устойчивости скорректированной системы

Составим модель скорректированной системы в Simulink (рис 2.4):

устойчивость переходный корректирующий система



Рис 2.4 - Модель скорректированной системы

Используя программное обеспечение Matlab, построим ЛАХ и ЛФХ рис 2.5:

Рис. 2.5 - ЛАХ и ЛФХ скорректированной системы

Устойчивая в разомкнутом состоянии система будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если сдвиг по фазе на частоте среза не достигает -, (-180^°).

Система устойчива.

Запас устойчивости по фазе 180є, по амплитуде 15 Дб.

Качественно построим амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) рисунок 2.6:

Для проверки устойчивости используем частотный критерий устойчивости Найквиста:

Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф АФХ разомкнутой системы не охватывал точку с координатами (-1, j 0).

Рис 2.6 - АФХ скорректированной системы

В нашем случае годограф не охватывает точку с данными координатами, соответственно, делаем вывод, что система устойчива.

2.3 Переходная характеристика и определение показателей качества скорректированной системы

Рис 2.7 - Переходная характеристика скорректированной системы

По переходной характеристике определим основные показатели качества:

Время регулирования: Т_у = 1,5с = T^зад_у

Величина перерегулирования:

< у^зад

Коэффициенты ошибок C₀, С₁, С₂ определяем следующим образом:

C₀ = []_{S = 0}; C₁ = []_{S = 0}; C₂ = []_{S = 0},

где Ф_о - передаточная функция замкнутой скорректированной системы

Для нахождения первой и второй производной передаточной функции воспользуемся программным продуктом MatCad:

C₁ = []_{S = 0} = 0.004129 < c₁^зад = 0.0125

C₂ = []_{S = 0} = 0.049 < c₂^зад = 0.125

Вывод

Проведя исследования нескорректированной системы автоматического управления, мы выяснили, что она является устойчивой, и ее качественные показатели соответствуют необходимым. Для исследования системы были использованы критерии устойчивости Гурвица, Найквиста, а также использовались программные продукты Matlab, MatCad, что сильно упростило задачу исследования.

3. Теоретические сведения о исследовании нелинейных элементов САУ

Все реальные системы содержат нелинейные элементы. Наиболее часто встречаются нелинейности типа «насыщение» (рис 3.1б) и типа «зона нечувствительности» (рис 3.1а).

Рисунок 3.1 - Характеристики нелинейных элементов

3.1 Критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова

Как указывалось выше, широкий класс нелинейных САУ может быть сведен к типовой структурной схеме, представляющей собой последовательное соединение нелинейного безынерционного звена и нелинейной части.

Под абсолютной устойчивостью понимают асимптотическую устойчивость равновесия системы “в целом” для нелинейностей, принадлежащих к определенному типу. Наиболее часто рассматриваются нелинейные характеристики вида , расположенные внутри угла, образованного прямыми и в первом и третьем квадрантах (рис. 3.2). Если положение равновесия абсолютно устойчиво, то оно является абсолютно устойчивым и для всех прямолинейных характеристик , где , поскольку эти характеристики также относятся к рассматриваемому типу.

Наиболее просто критерий абсолютной устойчивости формулируется для того случая, когда нелинейность удовлетворяет условию

, (3.1)

то есть , . Будем также предполагать, что линейная часть системы устойчива, и, следовательно, передаточная функция не имеет полюсов в правой комплексной полуплоскости на мнимой оси. Тогда абсолютная устойчивость нелинейной САУ определяется следующей теоремой, предложенной в 1959 г. в работе румынского математика В. М. Попова.

Теорема. Если замкнутая система состоит из устойчивой линейной части с передаточной функцией , все полюсы которой располагаются в левой полуплоскости, и нелинейного элемента с характеристикой , лежащей в угле , то достаточным условием этой системы является выполнение при всех неравенства

, (3.2)

где q - произвольное вещественное число.

Рис. 3.2

Рассмотрим геометрическую интерпретацию этой теоремы. Для этого предварительно введем видоизмененную частотную характеристику линейной части, которая связана с исходной соотношениями

;

(3.3)

Обозначив далее и , можно переписать неравенство (4.42) следующим образом:

.

откуда получаем окончательно

(3.4)

Легко увидеть, что уравнение

(3.5)

определяет собой прямую линию на плоскости , которая проходит через точку с координатами с угловым коэффициентом, равным . Таким образом, исследуемая нелинейная САУ будет абсолютно устойчива, если на плоскости видоизмененной частотной характеристики линейной части системы можно провести прямую через точку так, чтобы располагалась справа от этой прямой. Указанную прямую принято называть прямой Попова.

На (рис. 3.3, а) показан случай выполнения критерия абсолютной устойчивости, а на (рис. 3.3, б) - случай, когда прямую Попова построить нельзя и судить об устойчивости нелинейной системы не представляется возможным (напомним, что теорема В.М. Попова дает лишь достаточные условия абсолютной устойчивости).

Критерий В.М. Попова можно распространить и на системы с неустойчивой или нейтральной линейной частью, что соответствует наличию у передаточной функции правых или чисто мнимых полюсов. При этом необходимо перейти к видоизмененной передаточной функции

,

где положительный коэффициент r(r<K) выбирается из условия устойчивости эквивалентной линейной части с передаточной функцией .

а б

Рис. 3.3

Тогда для абсолютной устойчивости нелинейной САУ достаточно потребовать выполнение неравенства

(3.6)

для всех щ?0 и произвольного вещественного числа q; причем нелинейная характеристика должна в данном случае располагаться внутри угла, ограниченного прямыми с угловыми коэффициентами r и K:

. (3.7)

Критерий В.М. Попова включает в себя и условия устойчивости линеаризованной части системы как частный случай, когда характеристика z = F(x) линейна (при этом величину K следует понимать как граничный коэффициент усиления соответствующего линейного безынерционного звена). Условие неохвата годографом точки (-1,j0) совпадает при этом с рассмотренным выше условием абсолютной устойчивости, поскольку обе характеристики и имеют одинаковые вещественные части и, следовательно, пересекают вещественную ось комплексной плоскости в одних и тех же точках.

Между критерием абсолютной устойчивости В. М. Попова и вторым методом А.М. Ляпунова имеется глубокая взаимосвязь. Показано, в частности, что если выполняется условие абсолютной устойчивости (3.4), то существует функция Ляпунова вида «квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности», имеющая во всем фазовом пространстве знакоопределенную производную обратного знака с функцией V. Широкое распространение критерия абсолютной устойчивости В.М. Попова к исследованию нелинейных САУ объясняется его высокой наглядностью, достаточной простотой и удобством приложения к практике инженерного проектирования.

3.2 Исследование возможных автоколебаний

При исследовании одночастотных периодических режимов (автоколебаний) для линеаризации может использоваться метод гармонического баланса (гармонической линеаризации) /1, §18.1; 3, глава 5, стр. 300-301/. Основная идея данного метода заключается в замене нелинейного выражения при входном сигнале выражением, которое с точностью до высших гармоник аналогично линейному, так как коэффициенты гармонической линеаризации и постоянны при постоянных значениях и .

,

Если характеристика нелинейного элемента (НЭ) однозначная и симметричная относительно начала координат, то эквивалентный линейный элемент (ЛЭ) может описываться уравнением .

В случае неоднозначных (петлевых) нелинейностей первая гармоника входного сигнала сдвинута по фазе относительно входного сигнала; этой же способностью должен обладать эквивалентный ЛЭ, поэтому при линеаризации используется элемент, свойства которого определяются уравнением

Передаточная функция и частотная характеристика в данном случае имеют вид

,

Выбор коэффициентов и должен обеспечить равенство между входными колебаниями эквивалентного ЛЭ и первой гармоникой реального НЭ. Коэффициенты гармонической линеаризации зависят от свойств НЭ и амплитуды входного сигнала.

При исследовании НЭ следует заменять последовательно соединенными выделенным линейным множителем и нелинейным звеном НЗ (характеристики которого становятся универсальными для любых нелинейностей рассматриваемого типа).

Для определения устойчивости и автоколебаний можно применять метод, изложенный в /3, § 5.1.1/:

1. Исходным уравнением для определения возможности существования в линеаризованной системе периодического решения, следовательно, и автоколебаний применяем признак нахождения системы на границе устойчивости, записанный в форме, предложенной Гольдфарбом:

,(3.1)

где -- частотная передаточная функция линейной части системы (в нашем случае частотная передаточная функция разомкнутой скорректированной линейной системы), -- эквивалентный комплексный коэффициент передачи.

2. Для применения ЛЧХ выражение (3.1) логарифмируется, и записываются уравнения

;(3.2)

.(3.3)

3. Решение определяется графически. Уравнения (3.2) и (3.3) должны удовлетворяться одновременно. Для нахождения искомых и строятся фазовая и амплитудная границы устойчивости (ФГУ и АГУ). Точки пересечения и семейства сносятся по вертикали на соответствующие фазовые характеристики нелинейной части . Через полученные точки проводится ФГУ. АГУ строится аналогично, точки пересечения и сносятся вертикально на характеристики .

4. Наличие точек пересечения с ФГУ -- необходимое, но не достаточное условие существования автоколебаний. Необходимо проверить их устойчивость. Для этого используется правило: если при увеличении амплитуды перемещаются вниз, то ФГУ штрихуется снизу и наоборот. После проведения штриховки используется признак: автоколебания устойчивы, если при перемещении по ней в сторону увеличения частоты пересекает ФГУ, переходя с заштрихованной стороны на незаштрихованную.

Список литературы

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. -- М.: Наука, 1975.

2. Воронов А.А. и др. Основы теории автоматического регулирования и управления. Учеб. пособие для вузов -- М.: Высшая школа, 1977.

3. Динамика следящих приводов / Под ред. Л.В. Рабиновича. -- М.: Машиностроение, 1982.

Размещено на Allbest.ru

...