Наноэлектроника "снизу-вверх": кулоновская блокада и одноэлектронный нанотранзистор на молекуле бензола

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Наноэлектроника «снизу - вверх»: кулоновская блокада и одноэлектронный нанотранзистор на молекуле бензола

Ю. А. Кругляк



Явление кулоновской блокады в одноэлектронике рассмотрено в концепции «снизу - вверх» наноэлектроники. Диаграмма зарядовой стабильности одноэлектронного полевого транзистора на молекуле бензола в качестве проводящего канала в режиме кулоновской блокады рассчитана из первых принципов. Энергии заряжания молекулы вычислялись квантовомеханически по теории функционала плотности, взаимодействие молекулы с окружающей ее средой в реалистической модели транзистора учитывалось самосогласовано

Ключевые слова: нанофизика, наноэлектроника, молекулярная электроника, одноэлектроника, кулоновская блокада, одно-электронный транзистор нанотранзистор бензол молекула заряд

Coulomb blocade in singlelectronics is discussed under the «bottom - up» approach of modern nanoelectronics. The first-principle methods for calculating the charging molecular energies and charge stability diagram of the benzene molecule single-electron transistor under the Coulomb blockade regime were applied using the density- functional theory for modeling molecular properties and continuum model to describe single-electron transistor environment as well as a self-consistent approach to treat the interaction between the molecule and the environment

Keywords: nanophysics, nanoelectronics, molecular electronics, singlelectronics, Coulomb blocade, singleelectron transistor

Введение

До сих пор мы рассматривали квантовый транспорт электронов в упругом проводнике методом неравновесных функций Грина (НРФГ) в матричном представлении [1-3]. Проводник описывался матрицей гамильтониана [H], взаимодействие между каналом проводимости и контактами 1 и 2 задается матрицами собственной энергии [Ej ] и [Е2 ], а взаимодействие электрона в канале с его окружением описывается матрицей собственной энергии [Е0 ], которое может рассматриваться как дополнительный виртуальный контакт (рис. 1).

Если перечисленные входные матрицы заданы, задача сводится к четырем уравнениям (6), (13), (14) и (16) в [1, 3], решение которых дает всю электрофизику рассматриваемого устройства. Однако, что касается взаимодействия внутри канала [Е0 ], мы либо его вообще не учитывали (когерентный транспорт), либо рассматривали лишь процессы упругой дефази- ровки, описываемые уравнениями (1) в [2] и (176) - (178) в [3]. Подобный выбор [Е0 ] не позволяет учесть обмен энергией с окружающей средой, но влияние на транспорт электронов оказывает в результате учета обмена импульсами и «фазами» [2, 3]. Фактически в этих работах речь шла об упругих резисторах с учетом квантовомеханических эффектов. Общий метод НРФГ применялся к упругим резисторам по аналогии с рассмотрением упругих проводников с использованием общего транспортного уравнения Больцмана (ТУБ) [4-6].

Рис. 1. Общая схема взаимодействия проводника с контактами [E ] и [Z2 ] и окружающей средой [Е0 ], а разность электрохимических потенциалов ^ = qV определяет поданное на проводник напряжение V

Как выйти за пределы упругой модели проводника? Что касается квазиклассических моделей электронного транспорта, то в принципе известно как учесть самые различные взаимодействия в ТУБ, и в этом направлении достигнут значительный прогресс. Аналогичная ситуация имеет место и при рассмотрении квантовых моделей транспорта электронов в рамках метода НРФГ. Рассмотрение упругой дефази- ровки в [2, 3] демонстрирует учет лишь некоторых взаимодействий, а достаточно полный учет взаимодействий можно найти в классических работах, например, [7-9].

Моделирование проводников с симметричными контактами (рис. 28 в [10]) не может тестировать физику неупругого транспорта и служить критерием различия между хорошей теоретической моделью и неудовлетворительной. Хорошей проверкой моделей неупругого рассеяния может служить канал проводимости как на рис. 29 в [10], в котором весь ток на обоих контактах обусловлен неупругими процессами.

А вообще, в принципе, может ли метод НРФГ учесть всё и вся?

Рис. 3. Кулоновская блокада с позиции концепции «снизу - вверх»: двухмодовый канал проводимости

Метод НРФГ был разработан в начале 60 -х годов на основе квантовой многочастичной теории возмущений (МЧТВ) [11-13]. Казалось, что МЧТВ может, в принципе, учесть любые взаимодействия. Но это не совсем так, поскольку это все-таки теория возмущений, которая в широком понимании напоминает вычисление (1 - х)-1 в виде разложения

1 + х + х2 + х3 +..., которое хорошо работает, если | х | < 1. В противном случае это разложение не работает, и нужны другие подходы, не связанные с теорией возмущений, либо удается найти другой малый параметр теории возмущений.

С равновесными задачами вместо МЧТВ хорошо справляются, например, методы теории функционала плотности, широко используемые в квантовой химии [14]. Моделирование неравновесных задач намного сложнее, поскольку в отсутствии равновесия возникает целый спектр многочастичных состояний, взаимодействующих с контактами сложным образом. Обычно же в той или иной специальной задаче физику транспортного процесса удается так или иначе успешно моделировать.

Есть, однако, экспериментально наблюдаемые факты, например, явление кулоновской блокады в одноэлектронике [15-17], когда традиционная хартри - фоковская модель учета электронного взаимодействия в рамках теории самосогласованного поля не работает. В будущем, возможно, и удасться так изощренно построить матрицы собственной энергии [2] и [Е“ ] в методе НРФГ, чтобы распространить его и на подобные явления.

Кулоновская блокада в одноэлектронике

Следуя духу концепции «снизу - вверх» по аналогии с простейшим одноуровневым резистором с одной модой проводимости при энергии є (п.п 3.1 в [18]), рассмотрим двухмодовый резистор, каждый из двух уровней которого занят одним электроном - один со спином «вверх», второй - со спином «вниз», находящихся при одной и той же энергии є (рис. 2).

Рис. 2. Исходное состояние наполовину заполненных уровней в явлении кулоновской блокады

Также предположим, что электрохимический потенциал pi совпадает точно с энергией уровней є , так что каждый из уровней заполнен наполовину, поскольку фермиевская функция f | = 0.5 . Следует ожидать высокой проводимости поскольку электрохимический потенциал лежит строго посередине каждого из двух одинаково размытых уровней энергии є [18].

Однако, если удельная (в пересчете на один электрон) энергия заряжания проводника Uo [10] достаточно велика, то спектр энергий в проводнике изменяется таким образом, что один из уровней вместе с электроном поднимается выше на величину U0 (рис. 3).

(рис. 2) обнаруживает значительно меньшую

плотность состояний в области E = pi и стало быть

большее сопротивление, если удельная энергия

заряжания проводника U достаточно велика

Почему вверх не поднимается и второй уровень вместе с электроном? Потому что уровень энергии с электроном не может чувствовать потенциал, создаваемый своим же электроном. Этот эффект самовзаимодействия не учитывается в ограниченном хартри фоковском методе самосогласованного поля, когда мы раньше писали [10], что U = U0N . Нужен неограниченный подход в методе самосогласованного поля [19-21], когда каждый уровень i испытывает действие потенциала U , который зависит отизменения числа электронов, занимающих все уровни кроме /-го:

U,= UU-NU) . (1)

Если использовать (1) вместо U = U0N, мы получим картину заселенности как на рис. 3 с электрохимическим потенциалом pi вблизи моды проводника, заселенной одним электроном. В результате самосогласованное решение в рамках неограниченного подхода выглядит следующим образом:

N = 1, U = U, N = 0, U, = 0,

an up 0 up an

что нужно понимать как то, что нижний уровень заселен ( Na = 1) и результирующий потенциал (U = U0) поднимет уровень электрона со спином «вверх» и этот уровень будет пустым (N = 0). Поскольку поднятый уровень не заселен, потенциал, испытываемый нижним уровнем, равен нулю (Uйп = 0), и он остается на прежнем месте.

Естественно, эта картина симметрична относительно замены «вверх» на «вниз»:

Nup = 1, Un = U0, Nan = 0, Uup = 0

также является решением. Численно процедура само- согласования будет сходиться к одному или к другому решению в зависимости, в частности, от того, будет ли начальное приближение в итерационном процессе характеризоваться большим значением N или Na , или же будет флюктуировать между двумя решениями.

Явление кулоновскогй блокады можно наблюдать, если удельная энергия заряжания U намного больше кТ и уширения спектра проводника. При добавлении одного электрона в проводник его потенциал увеличивается на U0 Iq. Для массивных проводников этот потенциал составляет микровольты или даже меньше и не наблюдаем даже при очень низких температурах. В конце концов, любое энергетическое свойство уширяется на кТ, составляющее ~ 25мэВ при комнатной температуре и ~ 200 мкэВ при температуре ~ \К. Эффект заряжания проводника, вызывающий явление кулоновской блокады, становится наблюдаемым по крайней мере при низких температурах, если проводник достаточно мал, чтобы энергия U0 стала порядка, скажем, 1 мэВ. Для проводников молекулярного размера энергия U может быть сотни мэВ, что делает кулоновскую блокаду наблюдаемой даже при комнатной температуре.

Есть и второй фактор, ограничивающий наблюдаемость эффекта кулоновской блокады. В дополнение к температурному уширению - кТ есть еще более фундаментальное уширение у-hit, связанное с временем пролета. Эффект заряжания проводника наблюдаем только если кулоновская щель U существенно превышает это уширение: U0 »h/t. Наблюдение эффекта кулоновской блокады даже для самых малых проводников предполагает наличие хороших контактов в измерительной схеме.

Позже условия наблюдаемости кулоновской блокады мы обсудим в традиционном контексте через контактные сопротивления и параметризацию всех взаимодействий в канале проводимости суммарной емкостью [22, 23]. А сейчас перейдем к рассмотрению вольт-амперных характеристик (ВАХ) рассматриваемой двухуровневой модели.

1. Вольт-амперные характеристики

Упрощая рассмотрение двухмодовой модели проводника, пусть его уровни энергии фиксированы относительно истока S и не подвержены электростатическому влиянию [10] со стороны стока D . Пренебрегая электрон-электронным взаимодействием (U = 0), имеем ВАХ качественно как на рис. 4.

Рис. 4. Качественный ход ВАХ двухмодового резистора при U = 0 и U = U N

Как только электрохимический потенциал /и2 пересекает энергию уровней є , ток тотчас достигает своего максимального значения.

Если теперь учесть эффект заряжания проводника через самосогласованный потенциал U = U0, всплеск тока протянется по шкале напряжения на ~U0 lq, поскольку заряжание поднимает уровни вверх и требуется большего напряжения полностью покрыть уровни энергии проводника.

Если же учесть эффект самовзаимодействия в неограниченном подходе (1) мы получим ВАХ с промежуточным плато, происхождение которого очевидно из диаграмм на рис. 5.

Как показано на диаграммах, поначалу только нижний уровень дает половинный вклад в полную проводимость (срединная диаграмма), а полный ток достигается лишь тогда (диаграмма справа), когда подан достаточный потенциал pi2, чтобы пересечь уровень с энергией є + U0 и получить полный ток.

Это промежуточное плато действительно неоднократно наблюдалось экспериментально, но количественно его высота не половинная, а составляет, по-видимому, две трети от полного тока 2q It. Эту разницу невозможно объяснить и учесть в рамках одночастичной модели проводника. Однако, она получается естественным образом при переходе к пространству Фока.

Рис. 5. Демонстрация более корректного анализа положения плато на ВАХ в пространстве Фока (п.п. 2.2)

Моделирование заряжания проводника в фоковском пространстве

Мы уже пользовались описанием квантового состояния проводника в пространстве Фока [24, 25]. Если в одночастичной модели мы говорим о заполнении или опустошении уровней энергии проводника электронами, поставляемыми контактами, то фоков- ское представление дает возможность говорить о переходе всей системы электронов проводника из одного состояния в другое.

Так, рис. 6 демонстрирует одноуровневый резистор в одночастичном представлении и в пространстве Фока: состояние 0 - пустое, а состояние 1 - заселенное.

Рис. 6. Одномодовый резистор в одночастичном представлении (слева) и в фоковском пространстве (справа)

На рис. 7 одночастичная модель двухуровневого резистора сравнивается с его же фоковским представлением, демонстрирующим четыре возможных состояния проводника, отличающихся заселенностью этих состояний электронами.

В общем случае А-уровневый резистор имеет 2N состояний в пространстве Фока. Мы еще вернемся к рассмотрению общего случая.

А сейчас обратимся к описанию равновесия в пространстве Фока. Процедура вычисления вероятности найти систему в состоянии i в условиях равновесия хорошо известна [24, 25]:

p =1 e-(EVkT, (2)

где Z - нормировочная постоянная.

Рис. 7. Двухмодовый резистор в одночастичном представлении (слева) и в фоковском пространстве (справа)

Пусть мы хотим найти равновесное число электронов n в двухмодовом проводнике (рис. 7) в зависимости от электрохимического потенциала pi. Для n в фоковском пространстве имеем:

n = ZNiPi =Poi + Pl0 + 2Pl1 ,

i

где вероятности p вычисляются по (2). Зададимся значениями є = 10 kT и U0 = 20 kT . Вычисления дают графики, показанные на рис. 8.

Рис. 8. Равновесное число электронов n в двухмодовом проводнике (рис. 7) как функция pit kT при є = 10kT и U = 20kT [26]

Проводимость пропорциональна dn /dp и принимает пиковые значения при рі = є и рі = є + U0.

Обратим внимание, что число электронов в канале меняется на единицу как только л принимает значение є и далее значение є + U0, как и следовало ожидать из рис. 3. Заметим, однако, что при этом мы не подразумевали как на рис. 3 два одноэлектронных состояния при различных энергиях. Мы подразумевали два одноэлектронных состояния с одной и той же энергией, но учли энергию взаимодействия в пространстве Фока (рис. 7).

Именно пиковые значения проводимости наблюдаются экспериментально в низковольтном режиме кулоновской блокады для нанорезисторов при условии, что U превышает как квант тепловой энергии кТ, так и фундаментальное уширение (U0 »М).

Низковольтная проводимость является равновесным свойством [27] и для ее описания достаточно равновесной статистической механики. Ток за пределами режима линейного отклика при более высоком напряжении требует уже методов неравновесной статистической механики. Далее мы покажем как получить плато на уровне две трети от полного тока (рис. 5) путем вычисления тока при высоком напряжении в фоковском представлении.

Вычисление тока в фоковском пространстве

Для вычисления тока нужно выписать уравнения для вероятностей найти систему в одном из доступных состояний, при этом сумма вероятностей должна быть равна единице. Так, для тока в одноуровневом резисторе в полуклассической модели (п. 3 в [3]) имели:

VlP0 = v2Pi ^ Pi Ip0 = V1 Iv- ^ Pi = vi I(V1 + v2 X

где левый контакт посылает систему из состояния 0 в состояние 1 со скоростью v, а правый контакт реализует возврат системы со скоростью v , и оба процесса в состоянии равновесия должны уравновешивать друг друга, причем p0 + p1 = 1. В итоге ток

г V1V2

і = qv- P1 = q - - v1 + v-

в согласии с результатом, полученным ранее в одночастичной модели (§3 в [3]).

Такой подход особенно эффективен при рассмотрении систем с несколькими взаимодействующими состояниями. Рассмотрим, например, двухуровневый резистор, на который подано такое напряжение, что электроны, входящие в проводник из левого контакта, переводят систему из состояния 00 в состояние 01 или 10, но не 11 из-за большого значения удельной энергии заряжания U (рис. 9).

Сейчас мы покажем, что именно в этих условиях появляется плато на уровне две трети от полного тока (рис. 5), когда система не может перейти в состояние 11, а может лишь покинуть его.

Рис. 9. Условия появления плато на уровне две трети от полного тока (рис. 5)

Из кинетики процессов с участием только трех состояний 00, 01 и 10 в условиях динамического равновесия имеем:

-V1 Poo = v2 (Рої + Pio) ^ P01 + Pl0 = -- >

P00 V2

откуда с учетом нормировки p00 + p01 + р10 = 1:

-V1

так что в конечном итоге ток

-v1v2

1 = qv2(P01 + P10) = q -2 .

-V1 + V2

В условиях равенства прямых и обратных потоков электронов в проводнике (v = v2) ток составляет именно 213 от его максимального значения:

Этот результат невозможно получить в одночастичной модели. Наш двухмодовый резистор в оговоренных условиях может находиться в состояниях 00, 01 и 10, но не в состоянии 11. В одночастичной модели электрон может находиться в любом из этих состояний с вероятностью 1/3. Если электроны независимы (не взаимодействуют), вероятность заселить одно и то же состояние (со спинами «вверх» и «вниз») будет 1/9. На самом деле эта вероятность равна нулю, что указывает на сильно коррелированное движение электронов (рис. 10).

Следуя духу концепции «снизу - вверх» [26], мы рассмотрели явление кулоновской блокады в молекулярной электронике, точнее в одноэлектронике. Традиционно явление кулоновской блокады рассматривается с позиций концепции «сверху - вниз», привлекая такое понятие как электроемкость нанопроводника. Рассмотрим физику кулоновской блокады и с таких позиций и обсудим результаты расчета одноэлектронного транзистора, в котором роль проводника выполняет одиночная молекула бензола [22, 23].

Рис. 10. Демонстрация того, что промежуточное плато на ВАХ (рис. 5) соответствует сильно коррелированному состоянию электронов

Одноэлектронный транзистор на молекуле бензола

Успехи последнего десятилетия в области молекулярной электроники, в первую очередь, экспериментальные, завершились, в частности, созданием одноэлектронного полевого транзистора (SingleElectron Transistor/SET) [28-36], схематически показанного на рис. 11.

Рис. 11. Принципиальная схема SET. Энергия электронных состояний молекулы M контролируется электростатическим полем затвора

Рассматривают два механизма переноса электронов в SET: когерентное туннелирование и последовательное туннелирование. Когерентное туннелирование реализуется в случае сильной связи молекулы M с металлической поверхностью электродов, например, через сульфидные мостики. Время жизни электронов на M короткое, локализоваться электроны не успевают и движутся когерентно к стоковому электроду. При когерентном туннелировании наличие электронных состояний молекулы M в окне туннелирования не обязательно, электроны могут транспортироваться через «хвосты» короткоживущих уширенных состояний молекулы, например, нижнего незаполненного состояния (Lowest Unoccupied Molecular Orbital/LUMO) (рис. 12).

Последовательное туннелирование, известное также как механизм кулоновской блокады [15], реализуется в случае слабой связи молекулы с поверхностью электродов. Волновые свойства электрона позволяют ему преодолеть туннельный барьер, а его корпускулярная природа приводит к дискретности переноса заряда, в результате чего при определенных условиях в туннельных наноконтактах возникает подавление электронного транспорта («кулоновская блокада»). Мы далее выполним и обсудим расчеты именно этой модели на примере молекулы бензола.

Молекулы - наноразмерные проводники. С уменьшением размеров проводника уменьшается его электрическая емкость. Сегодня, при вполне достижимых экспериментальных условиях емкость C может стать настолько малой, что даже кулоновская энергия q2/C одного дополнительного электрона на молекуле может оказаться существенной. Приходится учитывать влияние кулоновских эффектов на перенос заряда через молекулу, что требует запаса энергии, и может реализоваться явление кулоновской блокады, когда к электродам приложено конечное напряжение, а ток тем не менее не идет.

Приведем простой и очевидный пример кулоновской блокады. Рассмотрим конденсатор с емкостью C и зарядами + Q и - Q на обкладках. Электростатическая энергия такого конденсатора равна QQ /2C = CV 2/2, где напряжение между обкладками V = Q/C. Зададимся вопросом: при каком напряжении туннелирование электрона с одной обкладки на другую становится возможным? Если электрон туннелирует с отрицательно заряженного электрода на положительно заряженный, то заряд на обкладке становится равным Q -- |q|, а изменение энергии, равное

(Q- I q I)2/ 2C - Q2/ 2C = (q2 - 2\q\ Q) / 2C ,

должно быть отрицательным, чтобы процесс переноса электрона стал возможным. Другими словами, такой процесс возможен при V > |q| / 2C и электронный транспорт невозможен при напряжениях на обкладках IV < |q| / 2C . Итак, имеем нулевой туннельный ток при конечном напряжении на обкладках, что может служить простым примером кулоновской блокады.

Туннелировав с истока на молекулу M, электрон живет достаточно долго на M, успевает локализоваться и, таким образом, теряет всю информацию о своей предистории. Дальнейшее туннелирование этого электрона на сток уже никак не связано с его туннелированием с истока на молекулу. Это механизм последовательного туннелирования. Экспериментально показано [30], что реализоваться он может только при наличии дискретного электронного состояния молекулы M в окне туннелирования, например, состояния ЕА (Electron Affinity), соответствующего захвату молекулой дополнительного электрон

М-, энергия которого определяется сродством молекулы к электрону ЕА или состояния ГР (Ionization Potential), соответствующего потере одного электрона молекулой М+, энергия которого определяется потенциалом ионизации молекулы ГР (рис. 12).

а

б

Рис. 12. Два варианта туннелирования электрона в SET: а - когерентное; б - последовательное туннелирование

Положение уровней энергии ЕА и IP однократно заряженных состояний молекулы М- и М+, как и более кратно заряженных состояний в канале туннелирования регулируется потенциалом на затворе F , что позволяет закрывать и открывать канал туннелирования электронов.

1. Элементарная теория SET

Связь молекулы М со всеми тремя электродами (рис. 11) емкостная: изменение потенциала любого из электродов влечет за собой изменение электростатической энергии молекулы М. Два электрода (истоковый S и стоковый D) связаны с М туннельно и перенос электрона возможен только между этими электродами. Туннельная связь означает, что переносимый электрон находится либо на М, либо на одном из этих двух электродов. Упростим ситуацию. Предположим, что все взаимодействия между электроном, переносимым на молекулу М, как и всех остальных электронов М и обоих электродов, можно параметризовать суммарной емкостью C . Предположим также, что значение C не зависит от возможных заряженных состояний молекулы М. Тогда электростатическая энергия молекулы М с N электронами равна

Q2/ 2C = (Nq)2/ 2C .

Полная энергия молекулы М с N электронами равна

E(N) = ХE, + (Nqf/lC , (3)

І=1

где E - энергия i-го электрона в самосогласованном поле остальных электронов. При появлении дополнительного электрона у молекулы М полная энергия становится равной

N +1

E( N + 1) = Х Ei +

І=1

а уход электрона с молекулы М дает

N -1

E(N-1) = X E, +

І=1

так что разность E(N) -- E(N -- 1) равна электрохимическому потенциалу N-го электрона

Mn - E(N) -- E(N -- 1) = En + (N -- 1 / 2)q2/ C , (6)

определяемого как минимальная энергия, необходимая для добавления N-го электрона. Как только Mn окажется меньше ^ и , N-ый электрон перенесется на М. Чтобы добавить еще один электрон на молекулу М с N электронами электрохимический потенциал

q2

Mn+1 = Mn + +AEn > (7)

где ДЈд, = EN+l -- En должна быть меньше обоих ^ и Иъ. Для упрощения реальной ситуации предположим, что ДБЫ слабо зависит от величины заряда на молекуле М, так что далее опустим индекс N в ДЈд,. Таким образом, энергия N+1-ого электрона должна быть больше энергии N-ого электрона на величину энергии заряжания q2/C + AE . Первое слагаемое в энергии заряжания молекулы М есть энергия q2/C = Ec , необходимая для преодоления кулоновского отталкивания между электронами. Второе слагаемое ^ есть результат дискретности спектра молекулы.

Проиллюстрируем полученные выводы на рис. 13 для двух ситуаций: (а) перенос электрона невозможен (состояние транзистора «off») и (б) перенос разрешен (состояние транзистора «on»). Пусть в первом случае энергетическая диаграмма SET такова: nN+l > [iD > > pN, а во втором случае fiD > ^+1 > fis > pN. В первом случае каналом туннелирования является молекула М с N электронами. Ближайший уровень с энергией pN+l не заполнен электронами и лежит выше энергии Ферми истокового и стокового электродов, в канале туннелирования нет ни одного свободного уровня, перенос электрона «блокирован», состояние транзистора - «off».

Противоположная ситуация показана на рис. 13, б. В канале туннелирования есть состояние с энергией HN+l, электрон может перейти со стокового электрода на истоковый. Электрический ток можно обеспечить путем периодического изменения зарядового состояния молекулы в канале туннелирования с N на N+1. Изменить число электронов на молекуле М можно в результате изменения потенциала затвора Vg, поскольку от него зависит энергия заряжания молекулы.

Б

Рис. 13. Перенос электрона в SET с диаграммами энергии для двух различных ситуаций: а - число электронов молекулы М фиксировано значением N, так что перенос электрона на М «блокирован» и состояние транзистора - «off»; б - число электронов на молекуле М осциллирует между значениями N и N+1, состояние - «on»; (в) качественная демонстрация кулоновских осцилляций

Наблюдаемая характерная зависимость проводимости G от потенциала затвора Vg в SET при небольших значениях разности потенциалов на электродах в виде резких пиков и долин показана на рис. 13, в. В долинах число электронов молекулы M фиксировано значениями N - 1, N, N + 1, N + 2 и т.д., и ток блокируется энергией заряжания q2/C + AE , что соответствует ситуации на рис. 13, а. Пики проводимости соответствуют ситуации на рис. 13, б, когда молекула в канале туннелирования осциллирует между двумя своим состояниями. Например, пик проводимости между долинами с N и N+1 электронами соответствует осцилляции молекулы М между ее состояниями с N и N+1 электронами. Это - кулоновские осцилляции.

Для наблюдения кулоновских осцилляций энергия заряжания молекулы q2lC + AE должна быть намного больше кванта тепловой энергии кТ. В противном случае тепловые флуктуации станут доминирующими и перекроют кулоновские осцилляции. Также необходимо, чтобы число электронов молекулы было хорошо определенной наблюдаемой величиной, что влечет за собой требование высокой резистивности контактов между молекулой и токообразующими электродами. Количественно, сопротивление контакта R должно быть больше кванта электрического сопротивления, определяемого константой фон Клитцинга hlq2 ~ 25.813 кОм-.

Теория одноэлектронного полевого транзистора разработана достаточно глубоко [15-17, 37, 38]. Явление одноэлектронного переноса изучено экспериментально для разнообразных наноразмерных систем: металлических наночастиц [39], полупроводниковых гетероструктур [40, 41], полупроводящих нанокристаллов [42], углеродных нанотрубок [43, 44] и отдельных молекул [28-36].



Условия переноса электрона с истока на сток

Для нахождения этих условий выпишем очевидные соотношения между энергиями Ем (N) молекулы с числом электронов N в начальном незаряженном состоянии и энергиями Е (N') и Е (N'') электронов в истоке и стоке, учитывая то обстоятельство, что при переходе одного электрона из истокового электрода на молекулу энергия системы должна по крайней мере понизиться [35]:

Es (N') + Еы (N) > Е^ (N' -1) + Ем(N + 1). (10)

Аналогичное неравенство имеет место при переходе одного электрона с молекулы на стоковый электрод:

Ем(N + 1) + Ed(N") > EM(N) + Ed(N" +1) . (11)

Если работу выхода электрона из металла обозначить W , то максимальная энергия электрона в истоковом электроде будет - W+ qV/2, где V -прилагаемая к молекуле М разность потенциалов. Если предположить, что с истока на молекулу туннелирует электрон с максимальной энергией, то, очевидно, имеем

Е(N')-Е(N'-1) = -W+ qV/2 . (12)

Тогда условие туннелирования одного электрона с истока на молекулу примет следующий вид:

-W+ qV/2 + Em(N) > ЕM(N + 1) . (13)

Поскольку минимальная энергия электрона в стоковом электроде есть - W-qV/2, то при переходе электрона с молекулы на стоковый электрод имеем:

EU(N + 1) > --W-- qVM2 + EU(N) . (14)

Введем энергию заряжания молекулы

AEu(N) = Eu(N + 1) -Eu(N) . (15)

Тогда из двух последних неравенств условия переноса электрона с истока на сток получим в следующем виде:

q | V |/2 >AEu(N) + W >--q | V |/2 . (16)

Не учтено лишь влияние потенциала затвора V на спектр молекулы, используемой в качестве канала передачи электрона. Пусть в первом приближении имеет место линейная зависимость энергии заряжания от потенциала затвора:

AEM(N,Vg) = AEm(N) + aVg, (17)

где константа связи затвора а пока что не известна. Положим а = 1. Окончательно, условия переноса электрона с истока на сток теперь запишутся так:

q | V |/2 >АEu(N,Vg) + W >--q | V |/2 . (18)

Выполненные нами самосогласованные расчеты с учетом поляризации молекулы электростатическим полем затвора покажут [22, 23], что значение константы связи затвора в случае молекулы бензола действительно близко к 1, а зависимость энергии заряжания молекулы от потенциала затвора действительно близка к линейной. Мы воспользуемся этими соотношениями для вычисления диаграмм зарядовой стабильности одноэлектронного полевого транзистора, которые показывают зависимость числа заряженных состояний молекулы в канале туннелирования от напряжения, подаваемого на электроды, и от потенциала затвора.

Формализм DFT

Спектр молекулы, реализующей канал туннелирования, в нашем случае молекулы бензола, предпочтительнее вычислять методами теории функционала плотности (Density Functional Theory, DFT) [14, 45]. В отличии от решения уравнения Шредингера для многоэлектронных систем тем или иным вариационным методом, когда время вычислений пропорционально в лучшем случае N6, где N - число базисных функций, или даже N!, если речь идет о полном конфигурационном взаимодействии [19, 45, 46], в методах DFT, к которым относится и использованное нами в расчетах приближение локальной плотности (Local Density Approximations, LDA), время вычислений пропорционально ~ N3, что позволяет рассчитывать молекулярные системы с большим числом электронов.

Практическая реализация методов DFT сводится к решению одноэлектронного уравнения Кона- Шема [14]

Не/ = --1V2 + Vef [п](г) , (19)

где второе слагаемое описывает эффективную потенциальную энергию электрона в усредненном поле всех других электронов, электронная плотность которых обозначена n .

Одноэлектронные состояния гамильтониана Кона-Шема находятся как решения одночастичного уравнения Шредингера



Н „ Ya(r) = SaҐa(r) (20)

путем разложения решений по базисным функциям

Ґа(Г) = Е °а,Ф, (Г) . (21)

І

В результате решение сводится к задаче на собственные значения и собственные функции с .:

Е HjCaj =ЄаX SjCaj . (22)

j j

Здесь матричные элементы гамильтониана Hу = (ф. |Не1 | ф^ и матрицы перекрывания

S j =(ф|ф)

берутся по базисным функциям. Занятые состояния определяют электронную плотность

[п ](r) = Е|^а (r)|7 ), (23)

где фермиевская функция f(x) = 1 / (ex +1), eF - энергия Ферми и T - электронная температура. Электронная плотность традиционно выражается через матрицу плотности

[п](r) = ЕОуф(г)фу(r) , (24)

У

которая в свою очередь выражается через коэффициенты разложения с

D j=X c'aC.jf ). (25)

Эффективный потенциал в уравнении Кона- Шема (19) в общем случае имеет три слагаемых:

Veff [п] = VH [п] + Vxc [п] + Vext [п], (26)

где два первых члена зависят от электронной плотности: хартриевский потенциал VH [п] описывает взаимодействие электрона с усредненным полем остальных электронов, а второе слагаемое Vxc [п] есть обменно-корреляционный потенциал, учитывающий квантовую природу электрона. Последний член Vext [п] учитывает, если необходимо как в нашем случае, другие электростатические взаимодействия, например, с внешним электростатическим полем, или же ионные потенциалы.

Хартриевский потенциал вычисляется из уравнения Пуассона

V2VH [n](r) = -4^[и](г) , (27)

для решения которого задаются граничные условия периодичности кристаллической решетки.

Обменно-корреляционный потенциал Vxc [n] есть усредненный потенциал квантового взаимодействия между электронами и определяется он как функциональная производная от обменно-корреляционной энергии

SExc

Vх [n](r) =--- (г) . (28)

on

В DFT полная энергия является функционалом электронной плотности n и дается уравнением

E[n] = T[n] + Exc [n] + EH [n] + Eext [n], (29)

где T[n] есть кинетическая энергия кон-шемовских орбиталей

T[n] = ZWa\-1V21 ), (30)

Exc [n] - обменно-корреляционная энергия, EH [n] - хартриевская энергия и Eext [n] есть энергия взаимодействия с внешними электростатическими полями.

В используемом нами приближении LDA обменно-корреляционный функционал зависит от локальной плотности

Elda [n] = Jn(r) sLDA (n(r)) dr, (31)

где sLDA (n(r)) есть плотность обменно-корреляционной энергии однородного электронного газа плотности n(r).

1. Учет внешнего электростатического поля

Используемая далее в расчетах модель DFT основана на псевдопотенциалах с численными локализованными базисными функциями, как это предложено в основополагающей работе Солера и др. [49]. Введем для каждого атома молекулы компенсационный заряд рс°пр (r), равный заряду Z, псевдопотенциала и экранирующий электростатические взаимодействия.

Тогда разностная электронная плотность

On(r) = n(r) -^р°р(r) , (32)

i

где n(r) - определенная выше суммарная электронная плотность молекулы в точке r .

Введем также экранированный локальный псевдопотенциал («нейтральный атом») рсотР ( ,)



VN (r) = V`oc (r) - J dr 'р (--- (33)

J | r - r' |

по отношению к локальному псевдопотенциалу VVoc (r).

Тогда функционал полной энергии можно представить в виде

E[n] = T [n] + Exc [n] +1J SVH (r) Sn(r)dr +

2J

+JZ VNA (r)On(r)dr + Ujj, (34)

i 2 І

где первые два слагаемых определены выше, а следующие три слагаемых представляют собой перегруппированные электростатические члены. Первое из них есть разностная хартриевская энергия, вычисляемая через разностный хартриевский потенциал SVH(r), который в свою очередь получается в результате решения уравнения Пуассона для разностной электронной плотности Sn(r). Следующее слагаемое учитывает взаимодействие между электронами и экранированными ионами, а последнее слагаемое включает в себя все электростатические взаимодействия, которые не зависят от электронной плотности. Это последнее слагаемое вычисляется из VV°° (r), рсотр (r) и z , а поскольку уравнение Пуассона линейное, то это слагаемое можно переписать в виде суммы парных потенциалов.

Далее в функционале полной энергии нужно учесть влияние на молекулу трех металлических электродов и диэлектрической подложки со стороны затвора (рис. 11). Потенциал внутри металлических электродов определяется напряжением, заданным для каждой пары электродов, а на граничных поверхностях электродов электрическое поле равно нулю (граничные условия Неймана).

Решив уравнение Пуассона в отсутствии молекулы, получим распределение в пространстве внешнего потенциала, создаваемого электростатическим окружением:

-V*[^(r )VVext (г)] = 0, (35)

где Ј(r) - относительная диэлектрическая проницаемость. Добавляем молекулу и снова решаем уравнение Пуассона методом самосогласования, в результате чего получаем разностную электронную плотность и полный разностный хартриевский потенциал:

-V * [s(r)VSVH +ext(r)] = Sn(r) . (36)

Наконец, определяем молекулярную часть полного разностного хартриевского потенциала

SVH (r) = SVH+ext (r) - Vих (r) . (37)

Именно этот разностный хартриевский потенциал входит в функционал полной энергии, приведенный выше. Следуя [47], вклад в полную энергию системы за счет внешнего электростатического поля дается выражением

AE = jvext (r) n(r) dr -Ј Vext (R ) Z,., (38)

i

где R и Z есть, соответственно, радиус-вектор атома i и валентность его псевдопотенциала.

Окончательно, полная энергия системы (молекула в электростатическом поле полевого транзистора) дается суммой вкладов от уравнений (34) и (38). Отметим, что это верно только если последнее слагаемое в уравнении (34) в виде суммы парных потенциалов не зависит от электростатического окружения, что соответствует тому, что компенсационный заряд рс°тр (r) и экранированный локальный псевдопотенциал VN (r) не перекрываются с металлическими электродами и диэлектрической прослойкой затвора [35]. Отметим также, что поскольку разностный хартриевский потенциал SVH (r) в уравнении (34) вычисляется с учетом электростатического окружения, то разностная хартриевская энергия [третье слагаемое в уравнении (34)] учитывает энергию электростатического взаимодействия между молекулой и индуцированными поляризационными зарядами окружающих ее трех металлических электродов [34].

Результаты расчетов

Вычисления проводились по программе ATK 10.8.2 [48-50].

Сначала рассмотрим изолированную молекулу бензола (В) в ее экспериментальной геометрии D6h с длинами связей СС=1.40 и СН=1.10 А [51] и вычислим ее спектр в модели LDA-PZ теории функционала плотности [14] с базисными функциями DoubleZetaPolarized программы ATK без учета остовных электронов. Для одночастичных верхнего заполненного состояния HOMO и нижнего пустого - LUMO получаем, соответственно, Ј14=-2.5890 и Ј15=+2.5890 при энергии Ферми eF =-3.3182 эВ, что дает для вертикальных значений потенциала ионизации и сродства к электрону изолированной молекулы бензола значения, соответственно, I=5.907 и А=0.729 эВ в противоречии с экспериментальными значениями 1жсп=9.25 и Аэксп~-1.10 эВ [52]. Нужны расчетные значения, более точно отражающие экспериментальные данные.

С этой целью в рамках той же самой модели DFT/LDA-PZ мы выполнили самосогласованные расчеты не только нейтральной молекулы бензола В 0, но и ее заряженных форм В+, В-, В2+ и В2-. Результаты самосогласованного расчета полной энергии этих систем приведены в табл. 1.

Таблица 1

Самосогласованные значения полной энергии свободной молекулы бензола и ее заряженных форм в модели LDA-PZ и энергии заряжания молекулы бензола AEB (N), эВ

Состояние	В2+	В+	В0	В-	В2-
Полная энергия	-1014.60	-1030.33	-1039.45	-1037.14	-1028.75
Энергия заряжания	-15.73	-9.12	2.31	8.39	-

Рис. 14. Диаграмма зарядовой стабильности полевого транзистора на молекуле бензола без самосогласованного учета поляризации молекулы бензола электростатическим полем затвора

Самосогласованные значения потенциала ионизации и сродства к электрону молекулы бензола получаются равными, соответственно, 1=9.12 и А=-2.31 эВ, что намного лучше согласуется с приведенными выше экспериментальными данными и вполне приемлемо для дальнейшего обсуждения. В табл. 1 приведены также значения определенной ранее энергии заряжания (15) AEM (N) молекулы бензола в ее разных заряженных состояниях. Для построения диаграммы зарядовой стабильности полевого транзистора на молекуле бензола осталось задать работу выхода W электрона из металлического электрода. Пусть W=5.28 эВ, что соответствует выбору электродов истока и стока из золота [29].

Рис. 15. Молекула бензола в качестве канала туннелирования в SET. Размеры ячейки, моделирующей SET, указаны в нм

Задавая различное напряжение V, подаваемое на канал туннелирования электрона при разных значениях потенциала затвора Vg, из полученных выше условий переноса электрона с истока на сток (18) вычислим число заряженных состояний в канале туннелирования. Соответствующая вычисленная нами диаграмма зарядовой стабильности полевого транзистора на молекуле бензола без учета среды SET показана на рис. 14.

Диаграмма показывает число заряженных состояний молекулы в канале туннелирования в зависимости от значений V и Vg: в белых полях заряженных состояний нет, в остальных - число заряженных

Перейдем к рассмотрению молекулы бензола в качестве канала туннелирования в реалистической модели SET в виде прямоугольной ячейки

Работа выхода для всех трех электродов полагалась равной W=5.28 эВ, а относительная диэлектрическая постоянная для диэлектрической прослойки затвора бралась равной Јr=10 (high-k Al2O3). Такая сравнительно высокая диэлектрическая постоянная обеспечит достаточную емкостную связь между затвором и молекулой. Электроды истока и стока моделировались бесконечно длинными металлическими блоками.

Расстояние между противоположными атомами водорода в молекуле бензола составляет 0.50 нм, а расстояние от атома водорода до электрода выбрано равным 0.30 нм, что близко к сумме ван-дер- ваальсовых радиусов атомов H и Au, которая равна

275=0.109+0.166, в нм, соответственно [51]. Расстояние между поверхностью диэлектрика и плоскостью молекулы бензола выбрано равным 0.13 нм.

Остальные геометрические параметры ячейки, моделирующей SET, показаны на рис. 15.

В расчетах не учитывалось изменение геометрии заряженных форм молекулы бензола относительно приведенной выше геометрии нейтральной молекулы бензола. Анализ фотоэлектронного спектра В+ с полностью разрешенной вращательной структурой показал, что симметрия иона В+ остается D6h, а изменения длин связей СС при ионизации молекулы бензола не превышает 0.1 % [54], что подтверждается и нашими квантовомеханическими расчетами, в том числе и для дважды заряженных состояний молекулы бензола, в модели B3LYP/6-311G** [45]. В табл. 2 собраны результаты расчета полной энергии и энергии заряжания молекулы В и ее заряженных форм в описанной выше реалистической модели SET при нулевом потенциале на затворе.

Таблица 2

Самосогласованные значения полной энергии молекулы бензола и ее заряженных форм в модели LDA-PZ и энергии заряжания молекулы бензола ДЕВ (N), эВ в реалистической модели SET при Vg=0

Состояние	В2+	В+	В0	В-	В2-
Полная энергия	-1021.84	-1032.01	-1039.51	-1039.41	-1037.06
Энергия заряжания	-10.17	-7.50	0.10	2.35	-

Сравнение с аналогичными результатами для свободной молекулы бензола (табл. 1) показывает, как и ожидалось, уменьшение энергии заряжания при помещении молекулы в среду SET. Это уменьшение вызвано, в основном, стабилизацией заряда на молекуле диэлектрической подложкой. Соответствующая диаграмма зарядовой стабильности показана на рис. 16. Как и ранее (рис. 14), диаграмма Зарядовой стабильности вычислялась в предположении линейной зависимости (17) энергии заряжания молекулы от потенциала затвора.

Можно визуализовать электростатический потенциал в области расположения молекулы, индуцированный при подаче напряжения на затвор. Разность между потенциалами, индуцированным при Vg=0 и Vg=2 В, показана графически на рис. 17. транзистора на молекуле бензола в его реалистической модели при Vg=0. Диаграмма показывает число заряженных состояний молекулы в канале туннелирования в зависимости от значений V

и Vg: в белых полях заряженных состояний нет, в остальных - число заряженных состояний изменяется от 1 до 4, возрастая с плотностью закраски полей

Рис. 17. Электростатический потенциал в SET на молекуле бензола, индуцируемый при Vg=2 В

На рис. 18 для разных заряженных состояний молекулы бензола показана зависимость полной энергии SET от потенциала затвора. Отрицательный потенциал на затворе стабилизирует положительно заряженные состояния молекулы бензола и наоборот, положительный потенциал на затворе стабилизирует отрицательно заряженные состояния бензола. Обращает на себя внимание, что в области потенциала затвора V < -- 4 В положительно заряженные состояния молекулы бензола становятся более устойчивыми, чем незаряженное состояние.

Рис. 18. Зависимость полной энергии SET на молекуле бензола от напряжения на затворе для разных заряженных состояний молекулы



Зависимость полной энергии SET Еы = E\n\ + AE

(см. (34) и (38)) от потенциала затвора в случае молекулы бензола близка к линейной, а наклон определяется знаком и величиной заряда молекулы Q . Линеаризация полученных данных (рис. 18) в предположении линейной зависимости полной энергии от заряда молекулы

E(Q,Vg ) = aQVg (39)

позволяет количественно оценить константу связи а в уравнениях (17) и (39) для молекулы бензола (табл. 3).

Таблица 3

Линеаризация зависимости полной энергии SET на молекуле бензола от потенциала затвора (рис. 18)

Заряд Q	+2	+1	0	- 1	- 2
Величина aQ	1.2323	0.6104	- 0.0143	- 0.6384	- 1.2660
Константа связи а	0.616	0.610	-	0.638	0.633

Среднее значение константы связи <а> для молекулы бензола в предположении линейной зависимости полной энергии SET от заряда молекулы получается равным <а>=0.62 по сравнению со значением а=1, которое было использовано выше при Построении диаграмм зарядовой стабильности полевого транзистора на молекуле бензола (рис. 14 и 16). Окончательная диаграмма зарядовой стабильности полевого транзистора на молекуле бензола с учетом <а>=0.62 показана на рис. 19.



Рис. 19. Диаграмма зарядовой стабильности полевого транзистора на молекуле бензола, вычисленная из первых принципов. Диаграмма показывает число заряженных состояний молекулы в канале туннелирования в зависимости от значений V и Vg: в белых полях заряженных состояний нет, в остальных - число заряженных состояний изменяется от 1 до 4, возрастая с плотностью закраски полей

Настоящие расчеты объясняют главные причины уменьшения энергии заряжания молекулы в условиях полевого транзистора, но, конечно, не все возможные эффекты были учтены. В частности, не учтено возможное изменение геометрии молекулы вблизи токообразующих электродов, как и образование поляронов при заряжании молекулы.



Выводы

Явление кулоновской блокады в одноэлектронике рассмотрено с позиций двух казалось бы разных подходов: в концепции «снизу - вверх» наноэлектроники, в которой важную роль играет неограниченный по спину подход в теории самосогласованного поля в фоковском пространстве, и в традиционной концепции «сверху - вниз» с привлечением макроскопических свойств и понятий. Далее диаграмма зарядовой стабильности одноэлектронного полевого нанотранзистора на молекуле бензола в качестве проводящего канала в режиме кулоновской блокады рассчитана из первых принципов. Энергии заряжания молекулы вычислены квантовомеханически в приближении теории функционала плотности, а взаимодействие молекулы с окружающей ее средой в реалистической модели нанотранзистора учитывалось самосогласо- вано. Найдены условия функционирования такого одномолекулярного полевого нанотранзистора.



Литература

Кругляк, Ю. О. Уроки наноелектроніки: Метод нерівноважних функцій Гріна у матричному зображенні.

Теорія [Текст] / Ю. О. Кругляк, М. В. Стріха // Сенсорна електроніка і мікросистемні технології. - 2013. - Т. 10, № 3. - С. 22-35.

Кругляк, Ю. О. Уроки наноелектроніки: Квантова інтерференція і дефазування в методі нерівноважних функцій Гріна [Текст] / Ю. О. Кругляк, М. В. Стріха // Сенсорна електроніка і мікросистемні технології. - 2014. - Т. 11, № 3. - С. 5-18.

Кругляк, Ю. А. Наноэлектроника «снизу - вверх»: Метод неравновесных функций Грина, модельные транспортные задачи и квантовая интерференция [Текст] / Ю. А. Кругляк // ScienceRise. - 2015. - Т. 9, № 2 (14). - С. 41-72. doi: 10.15587/2313-8416.2015.48827

Кругляк, Ю. О. Уроки наноелектроніки: Ефект Холла і вимірювання електрохімічних потенціалів у концепції «знизу - вгору» [Текст] / Ю. О. Кругляк, М. В. Стріха // Сенсорна електроніка і мікросистемні технології. - 2014. - Т. 11, № 1. - С. 5-27.

Кругляк, Ю. О. Уроки наноелектроніки: Роль електростатики й контактів у концепції «знизу - вгору» [Текст] / Ю. О. Кругляк, М. В. Стріха // Сенсорна електроніка і мікросистемні технології. - 2014. - Т. 11, № 4. - С. 27-42.

Кругляк, Ю. А. Модель проводимости Ландауэра- Датты-Лундстрома в микро- и наноэлектронике и транспортное уравнение Больцмана [Текст] / Ю. А. Кругляк // ScienceRise. - 2015. - Т. 3, № 2 (8). - С. 108-116. doi: 10.15587/ 2313-8416.2015.38848

Danielewicz, P. Quantum theory of nonequilibrium processes, I [Text] / P. Danielewicz // Annals of Physics. - 1984. - Vol. 152, Issue 2. - P. 239-304. doi: 10.1016/0003- 4916(84)90092-7

Mahan, G. D. Quantum Transport Equation for Electric and Magnetic Fields [Text] / G. D. Mahan // Physics Reports. - 1987. - Vol. 145, Issue 5. - P. 251-318. doi: 10.1016/ 0370-1573(87)90004-4

Datta, S. Quantum Transport: Atom to Transistor [Text] / S. Datta. - Cambridge: Cambridge University Press, 2005. - 404 p. doi: 10.1017/cbo9781139164313

Кругляк, Ю. А. Наноэлектроника «снизу - вверх»: Роль электростатики и контактов [Текст] / Ю. А. Кругляк // ScienceRise. - 2015. - Т. 12, № 2 (17). - С. 51-67. doi: 10.15587/2313-8416.2015.56272

Martin, P. C. Theory of many-particle systems. I [Text] / P. C. Martin, J. Schwinger // Physical Review. - 1959. - Vol. 115, Issue 6. - P. 1342-1373. doi: 10.1103/physrev.115.1342

Kadanoff, L. P. Quantum Statistical Mechanics [Text] / L. P. Kadanoff, G. Baym. - New York: W. A. Benjamin, 1962. - 203 p.

Келдыш, Л. В. Диаграммная техника для неравновесных процессов [Текст] / Л. В. Келдыш // ЖЭТФ. - 1964. - Т. 47. - С. 1515-1527.

Kryachko, E. S. Density functional theory: Foundations reviewed [Text] / E. S. Kryachko, E. V. Ludena // Physics Reports. - 2014. - Vol. 544, Issue 2. - P. 123-239. doi: 10.1016/j.physrep.2014.06.002

Размещено на Allbest.ru

...