Основные метрологические характеристики генераторов на основе метода прямого цифрового синтеза сигналов

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Институт кибернетики

Основные метрологические характеристики генераторов на основе метода прямого цифрового синтеза сигналов

Ю.К. Рыбин, Т.А. Петлина

E-mail: rybin@tpu.ru

Аннотация

В последнее время DDS (Direct Digital Synthesis) - генераторы сигналов широко распространены. Однако метрологические характеристики (МХ) сигналов этих генераторов часто оказываются не изученными и применение таких генераторов не всегда обосновано.

Методу прямого цифрового синтеза сигналов присущи не только инструментальные погрешности, но и методические. Именно эти методические погрешности и будут определять предельные метрологические характеристики по мере совершенствования аппаратной части цифровых генераторов. сигнал генератор погрешность амплитуда

В данной статье впервые проводится анализ предельных значений искажений выходного синусоидального сигнала для определения области наиболее целесообразного применения этих генераторов.

Annotation

Signal oscillators based on DDS (Direct Digital Synthesis) are widely used in recent years. However, order metrological characteristics of signals generated by these oscillators have not been studied in many cases, and uses of such oscillators are not always justified.

The method of direct digital synthesis of signals is inherent not only instrument errors but also methodical. These method errors will determine limiting metrological characteristics as a hardware component of digital oscillators continue to be improved.

When considering metrological characteristics of DDS-based digital oscillators, it is necessary to take into account that their output signals are quasiperiodic. This produces a complex spectrum of signals.

This paper analyzes limiting distortions of an output sine-wave signal with the aim of identifying the most appropriate application of these oscillators.

Key words: spectrum, measuring signal, instability, total harmonic distortion, direct digital synthesis.

Введение

Измерительные сигналы в современных цифровых генераторах часто генерируются на основе прямого цифрового синтеза (direct digital synthesis (DDS)). Они имеют ряд преимуществ перед аналоговыми генераторами. В работах [1-6] описываются принципы действия DDS. Экспериментально изучаются спектры сигналов на выходе промышленных генераторов [7-10]. Обсуждаются методы уменьшения искажений [6-10], путём параллельного включения двух генераторов[7, 9] и введением источников бинарного шума [5, 10]. В [4, 5, 17, 18] рассматривается spurious free dynamic range (SFDR). В [11] обсуждаются применения генераторов с DDS в музыке, синтезе частот [14, 15], а также вопросы измерения искажений [12,13]. В монографии [16] рассматриваются практически все перечисленные вопросы. Однако ни в одной из названных работ не рассмотрены системно основные метрологические характеристики выходных сигналов.

В данной работе после введения 1 в разделе 2 описывается принцип действия DDS, где показано, что сигналы на выходе генератора в общем случае квазипериодические, что вызывает изменение амплитуды и периода и их нестабильность, а также приводит к появлению нелинейных искажений. Затем в секции 3 обсуждаются методы вычисления спектра сигнала для того чтобы определить метрологические характеристики: нестабильность и искажения. В 4 секции вычисляются эти параметры в зависимости от заданной длительности периода выходного напряжения. В заключении приводятся примеры вычислений максимальной выходной частоты сигнала, при которой параметры колебаний не превышают заданных значений.

1. Основы прямого цифрового синтеза сигналов

Для понимания причин появления методических погрешностей напомним, что сам принцип формирования сигналов на основе прямого цифрового синтеза хорошо известен [1,3,4]. Формирование сигналов в генераторах осуществляется путем аппроксимации непрерывной кривой последовательностью примыкающих друг к другу импульсов прямоугольной формы разной амплитуды и длительности. По существу форма выходного напряжения создается путем последовательного во времени воспроизведения (суммирования) этих прямоугольных импульсов заданной амплитуды. Этот метод хорошо вписывается в метод последовательного суммирования, рассмотренный в [2], являясь его частной реализацией.

Основой генератора является накапливающий сумматор (НС). Цифровое двоичное слово Nf, в виде кода, определяющего значение частоты выходного сигнала, поступает на НС и с тактовой частотой f0 суммируется с накопленным в нем ранее к данному моменту словом. При переполнении сумматора, когда накопленное число превысит емкость НС (M), суммирование продолжается с оставшейся частью, поэтому текущий цифровой код Mf почти периодически увеличивается на значение слова Nf. При этом максимальное значение кода перед переполнением разное. Далее код с НС поступает на блок постоянного запоминающего устройства (ПЗУ), в котором он служит адресом соответствующей ячейки памяти, где хранится другое число. Если в эти ячейки записать последовательно значения функции синус, то на выходе ПЗУ с тактовой частотой f0 будут появляться цифровые слова, пропорциональные функции синус.

Далее цифровое слово с ПЗУ поступает на цифроаналоговый преобразователь (ЦАП), на выходе которого в общем случае формируется напряжение, составленное из «квазипериодов» содержащих разное число тактовых интервалов.

Выходной сигнал с ЦАП поступает на аналоговый RC или LC-фильтр, который и формирует почти синусоидальное выходное напряжение.

Выходное колебание с ЦАП на каждом квазипериоде содержит n или m тактовых интервалов t0 (периодов опорной (тактовой) частоты f0), причём эти числа отличаются на единицу. За длительное время можно увидеть повторяющийся периодический процесс, включающий несколько квазипериодов длительностью nt0 и (n+1)t0.

Для периодичности процесса можно записать следующее уравнение:

K nt0 + L (n+1)t0 = (K+L) Tout, (1)

где K - количество квазипериодов длительностью nt0, L - количество квазипериодов длительностью (n+1)t0, Tout - заданный период выходного сигнала. Этим объясняется нестабильность периода, т.к. он имеет часть периодов длительностью nt0, а часть - длительностью на один тактовый интервал больше (n+1)t0.

Учитывая, что

Tout = 1/ fout = (1/ f0) Nf / M = t0 M /Nf, тогда

K nt0 + L(n+1)t0 = (K+L) Tout = (K+L)t0 M /Nf.

В этом выражении можно левую и правую части сократить на t0, тогда получим выражение инвариантное к длительности тактового интервала

K n + L (n+1) = (K+L) M /Nf. (2)

Если объединить члены с K и L слева и справа, то получим выражение

K (n-M /Nf) + L (n+1-M /Nf) = 0.

Это уравнение относится к Диофантовым уравнениям с неизвестными целыми числами K и L, т. к. все входящие в него величины также являются целыми числами. Понятно, что у одного уравнения с двумя неизвестными K и L может быть много решений в целых числах. Запишем уравнение (1) в другом виде

K = -L ((n+1) t0-Tout) / (n t0-Tout) (3)

Например, при требуемой длительности периода выходного напряжения, равной Tout = 6,5t0 тактовых интервалов, на выходе DDS генератора последовательно формируются два квазипериода длительностью 6 и 7 тактовых интервалов, чтобы средний период был равен 6,5 интервалов. Это следует из уравнения (3)

K = - L (6+1- 6,5) / (6-6,5) или K =L (0,5) / (0,5) = L.

Здесь K = L =1, K = L =2 и т. д.

Причём периодически это колебание будет повторяться через 13, 26, 39 и т. д. тактовых интервалов.

Если требуется формировать колебания с периодом 6,33 тактовых интервала, то этот средний период будет формироваться из тех же квазипериодов с числом интервалов 6 и 7, т. к.

K = - L (6+1- 6,33) / (6-6,33) или K / L = 0,67 / 0,33.

В этом случае числа K и L также должны принимать целые значения, поэтому K следует принять равным 67, а L равным 33, чтобы отношения слева и справа в уравнении были равны, т. е. при 33 квазипериодах длительностью 7 интервалов, DDS должен сформировать ещё 67 квазипериодов с длительностью по 6 интервалов, чтобы средний период был равен 6,33 тактовых интервала. Причём периодически это колебание будет повторяться через 633 тактовых интервалов t0.

Аналогично, происходит формирование выходного сигнала с любой нецелой длительностью периода. При этом периодическим такой сигнал будет в общем случае через T·10k периодов тактовой частоты, где k - число знаков после запятой в заданной дробной части длительности периода. При периоде заданном целым числом тактовых интервалов период выходного сигнала постоянный без квазипериодов.

Отсюда следует, что в общем случае при необходимости формирования выходного колебания с длительностью периода Т -необходимо сформировать K квазипериодов с длительностью [T] тактовых интервалов и L квазипериодов с длительностью [T] +1 интервалов, где [T] - целая часть числа T. Но при этом меняется амплитуда и длительность сигнала на квазипериодах.

Таким образом, наличие квазипериодов при реализации принципа прямого цифрового синтеза приводит к нестабильности амплитуды и периода сигнала и к изменению спектра сигнала.

2. Расчёт спектра сигнала

Рассмотрим возможные способы оценки спектра сигнала на выходе фильтра. Необходимо сразу же оговориться, что спектр сигнала зависит от многих факторов: частоты дискретизации f0, частоты сигнала fout, частоты среза фильтра и порядка аналогового фильтра. Поэтому приведённые далее расчёты надо воспринимать как частные спектры. Рассмотрим способы вычисления спектра сигнала.

Первый способ заключается в применении интегрального преобразования Фурье (4), т. к. оно не требует периодичности сигнала и определяется по формуле

(4)

где S(щ) - спектральная функция сигнала, x(t) - математическая модель дискретизированного сигнала, T1 - длительность интервала интегрирования.

Для расчёта спектра в качестве функции x(t) используется модель сигнала

при

где Xm - амплитуда, Т - период сигнала, j- номер тактового интервала.

Тогда выражение спектральной функции имеет вид

(5)

Формула (5) определяет непрерывную спектральную функцию. Амплитуды комбинационных спектральных составляющих линейчатого спектра несложно определить, учитывая связь спектральной функции и амплитуд дискретного (линейчатого) спектра по формуле (5)

Спектральная функция дискретизированного сигнала с выхода ЦАП с периодом равным 6,5 тактовых интервалов t0, вычисленная при T1 = 26t0 с периодом 3,1с (f1) после фильтра Баттерворта 4-го порядка частотой среза 3.14 рад/с (0,5f1)

, (6)

где S(nщ0) - значение спектральной составляющей на частоте nщ0 сигнала, T1- длительность реализации сигнала, An - амплитуда n-ой составляющей спектра,

щ1 = 2р/T -

частота первой гармоники сигнала с заданным периодом T. Причём n могут быть целыми или дробными числами (что невозможно при разложении в ряд Фурье), соответствующими спектральным составляющим.

Видно, что на частотах второй (2f1), а также третьей (3f1) и других высших гармоник спектральная функция равна нулю. Это означает, что высших гармоник в смысле разложения в ряд Фурье, в спектре нет, но есть ближайшие высшие модуляционные составляющие вида (kT ± t0)T, с частотами (T ± t0)/T , (2T ± t0)/T и т. д., например, 5,5/6,5 (5,5f1) и 7,5/6,5 (7,5f1), 12/6,5 и 14/6,5 и т. д.

Второй способ основан на модификации разложения в ряд Фурье при расчёте спектра сигналов с нецелым периодом. Для этого в формулах разложения в ряд Фурье период увеличивают и принимают равным T·10k, где k - число значащих цифр после запятой в длительности периода. Например, если длительность периода принята равной T=6,3t0, то k принимают равным 1 (по числу значащих цифр после запятой) и период в формулах устанавливают равным целому числу 63t0. В этом случае первая гармоника в разложении сигнала в ряд Фурье будет с номером 10, а ближайшая высшая гармоника с номером 10(6,3-1)=53.

Третий способ основывается на учёте свойства огибающей спектра сигнала приведённого на рис. 1. Для этого амплитуды спектральных составляющих можно рассчитать по известной формуле (7). Напомним, что «огибающая» спектра сигнала и амплитуды спектральных составляющих таких сигналов описывается выражением

, (7)

где A0 - амплитуда, T - период сигнала, t0 - период частоты дискретизации.

3. Расчёт амплитуды и периода сигнала, их нестабильности и коэффициента гармоник

При внимательном рассмотрении формы выходного сигнала с ЦАП можно заметить, что амплитудные значения прямоугольных импульсов дискретизированного сигнала меняются от одного квазипериода к другому, приводя к её нестабильности. Причём эта нестабильность периодическая с целым периодом равным T·10k. Эта нестабильность уменьшается при последующей фильтрации, но не устраняется полностью. Амплитуда пульсаций определяется из рассмотрения спектра сигнала после фильтрации (который, как сказано выше меняется в зависимости от ряда факторов).

Все спектральные составляющие векторно суммируются в выходном сигнале, причём спектральные составляющие суммируются с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. При учёте только первой и ближайшей высшей гармоник с течением времени вектор суммы вращаются вокруг начала координат, но с разной угловой скоростью. Вектор первой гармоники вращается с угловой скоростью выходного колебания. Вектор высшей гармоники вращается с такой же частотой, но и одновременно вращается с большей угловой скоростью вокруг вектора первой гармоники. В результате вектор суммы гармоник вращается с угловой скоростью первой гармоники и одновременно совершает относительно него колебательные движения. Эти колебания и приводят к изменению амплитуды суммарного вектора и его фазы, а колебания фазы приводят к колебаниям (нестабильности) периода.

Расчёт амплитуды сигнала и её нестабильности

Амплитуда выходного сигнала фильтра с течением времени в пределе изменяется от алгебраической суммы длин (амплитуд) векторов до их алгебраической разности. Таким образом, нестабильность амплитуды как разность максимальной и минимальной длин векторов приближённо равна удвоенному значению амплитуды наибольшей высшей гармонической составляющей.

Графики изменения амплитуды первой гармоники спектра (A) и её нестабильности ДA в зависимости от длительности установленного периода сигнала T на выходе фильтров (второго - сплошная линия, четвёртого - пунктирная линия и шестого - точечная линия) порядка при постоянной времени фильтра равной 1/р и тактовой частоте 1 Гц

Можно видеть, что с уменьшением длительности заданного периода значение амплитуды уменьшается, а её нестабильность увеличивается при применении фильтров любого порядка. В интегральных синтезаторах обычно производится коррекция амплитуды сигнала путём умножения выходного кода с ПЗУ на множитель функции обратный функции sinc (7). В результате коррекции амплитуда сигнала на выходе фильтра уже 6 - го порядка остаётся почти независимой от длительности периода, однако её нестабильность сохраняется, что сказывается на амплитудном, средневыпрямленном и среднеквадратическом значениях сигнала. Графики на рис.2 позволяют определить требуемый порядок фильтра по допустимой нестабильности амплитуды и соотношению тактовой частоты и частоты выходного сигнала.

Расчёт нестабильности периода сигнала

Нестабильность периода вызвана изменением длительности квазипериодов, что при векторном представлении связано с отклонениями (колебаниями) суммарного вектора относительно вектора первой гармоники. Эти отклонения определяются углом ц между ними. Очевидно, что максимальным этот угол будет, если векторы первой и ближайшей высшей гармоник будут перпендикулярны. Следовательно, в этом положении векторов треугольник, состоящий из векторов первой, высшей и их суммы будет прямоугольным. Это позволяет определить максимальное значение угла ц по формуле

цmax = arcsin (Aвг/ A1), (8)

где Aвг - амплитуда ближайшей высшей гармоники, A1- амплитуда первой гармоники. Этому максимальному углу соответствует максимальное отклонение длительности периода, которое рассчитывается по формуле

дT = цmaxT/2р = arcsin (Aвг/ A1)T/2р. (9)

Графики изменения относительной длительности периода дT в зависимости от установленной длительности периода T сигнала на выходе фильтров (второго - сплошная линия, четвёртого - пунктирная линия и шестого - точечная линия) порядка при постоянной времени фильтра равной 1/р

Таким образом, нестабильность длительности периода также определяются амплитудами первой и наибольшей ближайшей высшей гармоник. Форма зависимости нестабильности на рис. 3 показывает, что максимальное значение нестабильности почти совпадает со значением близким к половине между ближайшими целыми значениями установленной длительности, например, при Т = 3,5с, а минимальное значение, равное нулю при целом значении периода. Причём максимальное значение зависит от установленного значения периода и порядка фильтра. Кроме этого, нестабильность зависит от постоянной времени фильтра и при её увеличении она уменьшается.

Не учёт других гармоник, которые благодаря фильтрации, по амплитуде значительно меньше ближайшей высшей гармоники приводит к незначительной погрешности определения нестабильности амплитуды и периода (в пределах 10%), что допустимо.

Расчёт коэффициента гармоник сигнала

Коэффициент гармоник показывает меру отличия формы генерируемого сигнала от идеальной синусоидальной в процентах или в dB, вычисленный по формулам

, . (10)

В этих формулах члены сумм в числителе представляют собой квадраты амплитуд первой и кратных спектральных составляющих. При k - целом амплитуды гармоник аналитически определяют по формулам разложения в ряд Фурье. Однако, как сказано выше, это разложение применяется только к периодическим сигналам при целом соотношении периода сигнала и периода тактовой частоты, в то время как сигнал, формируемый с помощью прямого цифрового синтеза, в общем случае, на коротком отрезке времени не является периодическим, т. к. состоит из «квазипериодов».

Расчёт по формулам (10) при k - целом не учитывает спектральные составляющие с частотами не кратными частоте первой гармоники. Следовательно, строго говоря, формулы (10) к таким сигналам неприменимы, т.к. предполагают, что k - целые числа. Эти формулы не позволяет определить, например, амплитуды комбинационных составляющих с частотами не кратными частоте основной (первой) гармоники 5,5/6,5 и 7,7/6,5, а также 12/13 и 14/13 тактовой частоты, возникающих в спектре дискретизированного сигнала при периоде T = 6,5с тактовых интервалов (см. рис.1).

Дело в том, что спектр дискретизированного синусоидального сигнала подобен спектру амплитудно-модулированного сигнала, в котором возникают составляющие с комбинационными частотами kf0 ± fout, поэтому вычисление коэффициента общих гармонических искажений (THD) необходимо производить по другим формулам (11)

, . (11)

Причём амплитуды спектральных составляющих в формулах (11) определяются по формуле (7)

(12)

Из графиков, построенных по формулам (12) видно, что без фильтра (сплошная линия (1)) коэффициент гармоник линейно (в логарифмическом масштабе) уменьшается с понижением частоты. С фильтром (штрихпунктирные линии (2) - (5)) коэффициент гармоник уменьшается с понижением частоты выходного сигнала и частоты среза фильтра, поэтому фильтр на выходе идеального ЦАП с бесконечной разрядностью позволяет существенно ослабить уровень комбинационных гармонических составляющих. Однако при конечной разрядности даже идеального ЦАП из-за округления значений кодов при подаче на ЦАП в спектре сигнала возникают обычные высшие гармоники, которые попадают в полосу пропускания фильтра и им не ослабляются, поэтому минимальное значение коэффициента общих гармонических искажений ограничивается на уровне, зависящем от числа разрядов ЦАП. На рис. 4 этим ЦАП соответствуют сплошные линии с указанием соответствующей разрядности вычисленные по формулам (11) и (12). Они показывают границы минимальных значений коэффициента искажений. Поэтому меньшие искажения даже теоретически в генераторе на основе рассмотренного метода DDS достигнуть невозможно.

(13)

где - коэффициенты передачи фильтра.

Графики зависимости коэффициента гармоник от частоты выходного сигнала, вычисленные по формулам (12) и (13): на выходе ЦАП с бесконечной разрядностью (1) и после фильтра Баттерворта шестого порядка при частотах среза фильтра равных f0 (2), 0,5f0 (3), 0,25 f0 (4) и 0,159 f0 (5), а также на выходе фильтра с частотой среза 0,159 f0 при конечной разрядности 10,12 и 18

Кроме того, не надо забывать, что представленные графики рассчитаны для случая бесконечной разрядности накапливающего сумматора, не учитывают нелинейных искажений усилителей сигналов. Эти графики отражают потенциальные значения коэффициента гармоник и учитывают только методическую составляющую погрешности коэффициента гармоник, обусловленную применяемым методом прямого цифрового синтеза и не учитывают инструментальную и другие составляющие погрешности.

Заключение

Графики 2 и 3 позволяют определить уровень нестабильности амплитуды и длительности периода сигнала. Для этого на графиках рис.2 и 3 проводят горизонтальную прямую линию на уровне заданной нестабильности соответствующего параметра до точки пересечения. Точка пересечения покажет минимальную длительность периода (максимальную частоту) выходного сигнала, при которой нестабильность параметра не превысит заданного значения. Чтобы определить значение коэффициента гармоник при заданном порядке фильтра и числа бит ЦАП также нужно провести прямую горизонтальную линию на рис. 4 до пересечения с соответствующим графиком. Точка пересечения прямой линии с этим графиком укажет на значение минимального периода выходного напряжения, где уровень коэффициента гармоник не превысит требуемого значения.

Для получения наилучших МХ реального цифрового генератора, реализованного на основе прямого цифрового синтеза для достижения малой нестабильности амплитуды и длительности периода и малого коэффициента гармоник необходимо:

- применять для фильтрации сигнала аналоговый фильтр не менее 6-го порядка;

- выбирать тактовую частоту не менее чем в 8-10 раз превышающую установленную частоту сигнала (по теореме Котельникова достаточно не менее чем в 2 раза);

- применять ЦАП с большим числом разрядов (больше 16) [6].

Благодарности. Работа частично поддержана грантом Министерства образования и науки Российской Федерации, проект 2078.

Литература

1. Fundamentals of direct digital synthesis (DDS). MT - 085 tutorial, 9 p. http://www.analog.com/static/imported-files/tutorials/MT-085.pdf. Date accessed July 21, 2016.

2. Rybin Y. K. Measuring signal generators. Theory and design, Springer, New York, Dordrecht, London, 2014, 488 p.

3. A technical tutorial on digital signal synthesis, 1999. Analog Devices, Inc. Tutorial, 122 p. http://www.ieee.li/pdf/essay/dds.pdf. Date accessed June 17, 2016.

4. Cordesses L. Direct digital synthesis: A Tool for Periodic Wave Generation (Part 1)" IEEE Signal Processing Magazine, DSP Tips & Tricks column, pp. 50-54, Vol. 21, No. 4, July, 2004.

5. Cordesses L. Direct digital synthesis: A Tool for periodic wave generation (Part 2) IEEE Signal Processing Magazine, DSP Tips & Tricks column, pp. 110-117, Vol. 21, No. 5, Sep., 2004.

6. Murphy E., Slattery C. All About direct digital synthesis. Components and technologies. No. 1, 2005, 7 p.

7. Desai S.S., Joshi A.S. DDS architecture for digital frequency. International Journal of Advanced Research in Computer Engineering & Technology (IJARCET) V. 2, Issue 1, January, 2013.

8. Cronin B. DDS devices generate high-quality waveforms simply, efficiently and flexibly. Analog Dialogue, 46-01, January, 2012.

9. Adad W. F., Iuzzolino R. J. Low distortion signal generator based on direct digital synthesis for ADC characterization. ACTA IMEKO. Volume 1, Number 1, pp. 59Ѓ]64, July, 2012,

10. Olabisi P. O. Spectra analysis and total harmonic distortion (THD) of the smoothed step-wise waveform in a simplified DDS signal generator. International Journal of Computer and Electronics Research, Vol. 3, Issue 2, April, 2014.

11. Wikipedia (2014), Total Harmonic Distortion, http://en.wikipedia.org/wiki, 2 April, 2014.

12. Listen Inc., Harmonic distortion measurement: The effects of sampling rate and stimulus frequency on the measured harmonic frequency (including THD and Rub &Buzz),”http://www.listeninc.com/us/literature/ tech_note_harmonic_distortion.html.

13. Toner M. F. and Roberts G. W. (2000), Distortion measurement. CRC Press LCC, http://www.engnetbase.com,

14. Tierney J., Rader C. and Gold B., (1971), A digital frequency synthesizer, IEEE Trans. of Audio Electronic, vol. 19, no. 1, pp. 48-57, Mar 1971.

15. Essenwanger K. A. Raytheon Systems Company. Sine output DDSs a survey of the state of the ART.

16. Z. Robert J., Jr. and E. Gwyn, Editors. The DDS handbook. Second edition, Stanford Telecommunications, Inc., Custom & ASIC Products Group. July, 1990.

17. Lawrence K. J., Marcus A. T. A spurious reduction technique for high-speed direct digital synthesizers, Lincoln Laboratory, Massachusetts Institute of Technology. IEEE International Frequency Control Symposium, 1996, pp. 920-927.

18. Vankka J. Spur Reduction techniques in sine output direct digital synthesis. IEEE International Frequency Control Symposium, 1996, pp. 951-959.

Размещено на Allbest.ru