Математические основы построения цифровой техники

Размещено на http://www.allbest.ru/

Иркутский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет гражданской авиации» (МГТУ ГА)

Методическая разработка

Кафедра АЭС и ПНК

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1

по дисциплине

Цифровая техника

для студентов направления подготовки (специальности) 162300

ТЕМА №1 Математические основы построения цифровой техники

Разработал Доцент кафедры Кивокурцев А.Л. 02.09.2012 г.

Содержание

число цифровой арифметический запятая

1. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

2. Преобразование кодов чисел, используемых в ЦВМ

3. Выполнение арифметических операций в ЦВМ в формате с фиксированной запятой

Литература

1. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

В ЦВМ чаще всего применяется двоичная система счисления. Широкое применение в ЦВМ двоичной системы счисления объясняется простотой и надежностью элементов, предназначенных для записи и хранения двух цифр. Достаточно, чтобы такой элемент имел два устойчивых состояния. Одно из них интерпретируется в машине как цифра нуль, а вторая - как единица. Двоичная система отличается также и простотой выполнения арифметических операций. Она наиболее приспособлена к решению логических задач.

Также в ЦВМ может используются: восьмеричная система счисления (0…7); шестнадцатеричная ( 0…9,A,B,C,D,E,F). В некоторых типах БЦВМ полетные задания вводятся с помощью 2-10-й системы счисления.

1правило: Перевод чисел из 10-й системы счисления в другую (Общее правило перевода чисел).

Перевод чисел из одной системы счисления в другую выполняется отдельно для целой и дробной частей числа. После перевода целая и дробная части в новой системе объединяются относительно запятой.

Перевод целой части осуществляется путём целочисленного деления исходного числа и последующих полученных частных на основании системы счисления с фиксированием остатков от деления., которые после окончания перевода дадут целую часть числа в новой системе счисления.

Признаком конца перевода является частное, которое по величине меньше основания системы счисления, в которую производится перевод. Полученные остатки записываются в обратной последовательности - самый последний остаток является самым старшим разрядом полученного числа.

Перевод дробной части числа осуществляется путём поочерёдного умножения исходного десятичного числа на основание системы счисления, в которую производится перевод, и запоминания после каждого умножения целой части полученного произведения. Для очередного берётся дробная часть полученного после умножения произведения. Полученные целые части записываются в той последовательности в которой они были получены при умножении (самый старший разряд соответствует первой цифре).

Пример:

Перевести число 107,625 из 10-ой системы счисления в 2-ую .

2правило:Перевод чисел в десятичную систему счисления.

Перевод чисел из любой произвольной системы счисления в десятичную производится по формуле (1):

Пример:

Перевести число 100101101,01101101 из 2-ой в 10-ую систему счисления.

3правило: Перевод чисел из 2-ой системы счисления в 8-ую, 16-ую и обратно.

В случае, если основания систем счисления связаны равенством: S1=Sn2, 8=23, 16=24, где n- целое число, то для перевода числа из системы с основанием S1 в систему с основанием S2 необходимо каждую цифру представить числом из n позиций. Для перевода из системы с основанием S2 в систему с основанием S1 число разбивается вправо и влево от запятой на группы цифр по n позиций ( неполные группы дополняются нулями), каждая группа представляется цифрой системы с основанием S1.

Пример:

а) Перевести число 110101111 , 01101101 из 2-ой в 8-ую, в 16-ую систему счисления.

2. Преобразование кодов чисел, используемых в ЦВМ

Для упрощения арифметических операций в ЦВМ используются не сами числа, а их представление в некоторых кодах. Для кодирования чисел используются прямой, обратный, дополнительный коды двоичных чисел.

Прямой код двоичного числа

Прямой код положительного числа совпадает с самим числом, а прямой код отрицательного числа отличается от самого числа единицей в знаковом разряде.

Пример:

а) заданы числа A= 0,110102; B= 0,110102, необходимо найти их прямой код.

[A]пр= 0,11010; [B]пр= 1,11010

б) заданы коды [A]пр= 0,10010; [B]пр= 1,11011, необходимо найти исходные числа в 2-ой системe счисления.

A2=0,10010; B2= 0,11011

Обратный код двоичного числа

- обратный код положительного числа совпадает с самим числом;

- для получения обратного кода отрицательного числа необходимо в знаковом разряде записать единицу и проинвертировать все разряды числа, т.е. единицы заменить нулями, нули - единицами.

Пример:

а) заданы числа A= 0,110102; B= 0,110102, необходимо найти их прямой код.

[A]обр= 0, 11010; [B]обр= 1,00101

б) заданы коды [A]обр= 0,11010; [B]обр= 1,11001, необходимо найти исходные числа в 2-ой системe счисления.

A2=0,11010; B2= 0,00110

Дополнительный код двоичного числа

Дополнительный код положительного числа совпадает с самим числом, дополнительный код отрицательного числа равен сумме обратного кода числа и единицы младшего разряда. Также, дополнительный код отрицательного числа можно получить в результате инвертирования всех разрядов числа до самой правой единицы не включительно.

Пример:

а) заданы числа A= 0,110102; B= 0,110102, необходимо найти их прямой код.

[A]доп= 0, 11010; [B]доп= 1,00101+0,00001=1,00110

б) заданы коды [A]доп= 0,10110; [B]доп= 1,11010, необходимо найти исходные числа в 2-ой системe счисления.

A2=0,10110; B2= 0,00110

3. Выполнение арифметических операций в ЦВМ

(УМПК-80) в формате с фиксированной запятой.

Для учёта отрицательности в ЦВМ все числа (операнды) и арифметические операции над ними представлены в дополнительном коде.

Арифметическая операция сложения в дополнительном коде.

Операция сложения в ЦВМ выполняется по алгоритму:

[А+В] доп=([А]доп+[В]доп)mod2 ,

где: [А]доп , [В]доп - дополнительные коды чисел (операндов) А , В ;

[А+В]доп - дополнительный код суммы чисел (операндов) А , В ;

([А]доп+[В]доп)mod2 - представление результата выполнения операции сложения в соответствии с форматом чисел в УМПК-80 (8 разрядное число в формате ФЗ).

Результат сложения в ЦВМ на базе МП К580ИК80А (УМПК-80) фиксируется в регистре признаков

.

- флаг S знака результата

- флаг Z нулевого результата

- флаг P четного числа E единиц в записи результата

- флаг CR переноса p8 из знакового разряда результата CRp8. (CR=1, при наличии переноса)

- флаг АС формируется при обработке в МП чисел в двоично-десятичной СС (АС=1, при наличии переноса между тетрадами).

- 1, 3, 5 разряды не используются, в них устанавливаются значения в соответствии с указанным выше форматом.

Пример1: Используя алгоритм, реализованный в ЦВМ (УМПК-80), найти сумму двух чисел А16 =A1и B16= 75 в дополнительном коде, определить значения регистра признаков после выполнения операции..

Решение:

а) Представим исходные числа А и B в двоичной с.с, в дополнительном коде:

[A]доп=1,010.0001;

[B]доп=0,111.0101

б) Найдём сумму чисел А и В в дополнительном коде:

Регистр F примет значение

Арифметическая операция вычитания в дополнительном коде.

Операция вычитания в ЦВМ представляется операцией сложения дополнительного кода уменьшаемого и дополнительного кода вычитаемого, взятого с отрицательным знаком. Алгоритм операции вычитания приведён ниже:

[АВ] доп=([А]доп+[В]доп)mod2,

где: [А]доп , [В]доп - дополнительные коды чисел (операндов) А , В ;

[АВ]доп дополнительный код разности чисел (операндов) А , В ;

[В]доп = [В]доп+12-m;

[В]доп - код, все разряды которого по отношению к коду [В]доп инверсны;

12-m - единица младшего разряда;

([А]доп+[В]доп)mod2 - представление результата выполнения операции вычитания в соответствии с форматом чисел в УМПК-80 (8 разрядное число в формате ФЗ).

Пример1: Используя алгоритм, реализованный в ЦВМ (УМПК-80), найти разность двух чисел А16 =A1и B16= 75 в дополнительном коде, определить значения регистра признаков после выполнения операции.

Решение:

а) Представим исходные числа А и B в двоичной с.с, в дополнительном коде:

[A]доп=1,010.0001;

[B]доп=0,111.0101

б) Найдём разность чисел А и В в дополнительном коде:

Регистр F примет значение

Арифметическая операция умножения в ЦВМ в дополнительном коде.

В ЦВМ (УМПК-80), построенных на базе МП, операция умножения кроме аппаратной реализации, может быть реализована программно - путем составления подпрограммы с использованием базовых операций МП: сложения, сдвига, посылки и других. Другие операции, например, нахождения тригонометрических функций также реализуются программно.

Индивидуальные задания (варианты представлены в таблице 1):

Практическое занятие № 1

По дисциплине Цифровая техника

Тема практического занятия

Математические основы построения цифровой техники

Практическое занятие разработал

Доцент А. Кивокурцев

Литература

1. [1] Половов Р.М., Рощин А.Г. Бортовые цифровые вычислительные устройства и машины. Часть1. М., МГТУ ГА, 2003 г. с. 6…14.

2. НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ, ПРИЛОЖЕНИЯ, ТСО

3. Мультимедийная установка

Размещено на Allbest.ru