Теория и методы проектирования комплексных цифровых фильтров

Размещено на http://www.allbest.ru/

ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Специальность 05.12.04 -- Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

ГАДЗИКОВСКИЙ ВИКЕНТИЙ ИВАНОВИЧ

Москва 2010

Работа выполнена на кафедре радиоэлектроники информационных систем (РЭИС) ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет - УПИ», г. Екатеринбург.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор КОТОВ Александр Фёдорович

доктор технических наук, профессор КОШЕЛЕВ Виталий Иванович

доктор технических наук, профессор ШАХТАРИН Борис Ильич

Ведущая организация: Всероссийский НИИ радиотехники (г.Москва)

Защита состоится «21» октября 2010 г. В 15.30 на заседании диссертационного совета Д.212.157.05 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу: 111250, г. Москва, Красноказарменная ул., д. 17, ауд. А-402.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 111250, г. Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Учёный совет МЭИ (ТУ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета).

Автореферат разослан «_____» сентября 2010 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д.212.157.05,

кандидат технических наук, доцент Т.И. КУРОЧКИНА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Последние десятилетия 20-го и начало 21-го веков характеризуются переходом от аналоговых методов обработки сигналов к цифровым, что обусловлено достижениями как в области теоретических исследований, так и в области технологических разработок, в частности, микроминиатюризации радиоаппаратуры и вычислительной техники.

Цифровая обработка сигналов (ЦОС) имеет ряд преимуществ перед аналоговой обработкой, которые можно разделить на три группы: принципиальные, реализационные и технико-эксплуатационные.

Однако ЦОС по сравнению с аналоговыми методами обработки сигналов имеет также определённые недостатки, главным из которых является то обстоятельство, что цифровыми методами возможна обработка сравнительно низкочастотных сигналов (обработка сигналов на высоких и сверхвысоких частотах осуществляется средствами аналоговой техники). Кроме того, при ЦОС имеют место шумы квантования, а также возможность появления нелинейных эффектов переполнения и предельных циклов.

В диссертации решается задача повышения частотного диапазона обрабатываемых сигналов за счёт комплексной цифровой фильтрации, при которой обработке подвергаются низкочастотные эквиваленты сигналов.

На протяжении двух последних десятилетий ЦОС оказывает первостепенное и постоянно возрастающее влияние на ключевые технические отрасли: научные исследования, телекоммуникации, управление транспортными потоками, телевидение, инструментальные средства контроля технологических процессов, биомедицинская электроника, военные области (гидро- и радиолокация, радионавигация, управление ракетным оружием, спецсвязь) и т.д. При этом происходит как расширение круга решаемых задач средствами ЦОС, так и их усложнение, например, переход от обработки одномерных скалярных сигналов к многомерным, т.е. к изображениям, в том числе комплексным и векторным.

Важнейшим условием для развития ЦОС является появление соответствующего инструментария -- цифровых сигнальных процессоров (Digital Signal Processor -- DSP). Не менее важным условием развития ЦОС является разработка методов машинного проектирования соответствующих устройств. В этой связи следует рассматривать программный пакет MATLAB. В настоящее время пакет MATLAB широко используется в качестве общепринятого инструмента в науке и технике. Он обладает хорошими графическими и демонстрационными возможностями и обеспечивает неплохую среду для разработки ЦОС. Большие возможности для проектирования и исследования систем ЦОС имеет также пакет компьютерной математики Mathcad.

В большинстве систем ЦОС в качестве функциональных элементов применяются цифровые фильтры (ЦФ), которые выполняют как самостоятельные функции, так и входят в качестве элементов в более сложные функциональные устройства. В настоящее время ЦФ реализуют на процессорах цифровой обработки сигналов, чаще называемых сигнальными процессорами (DSP), которые, обладая приспособленной для ЦОС архитектурой, позволяют создавать эффективные системы обработки и передачи сигналов в реальном времени. Реализация ЦФ на DSP сводится к программированию алгоритма цифровой фильтрации и записи в постоянную память DSP коэффициентов этого алгоритма.

В современных радиоприёмных устройствах во многих случаях ЦОС начинается с видеотракта, а тракт промежуточной частоты (ПЧ-тракт) до детектора включительно выполняется аналоговым (используются фильтры на ПАВ).

Одной из проблем ЦОС в настоящее время является отсутствие теоретических методов и технических средств ЦОС радиочастотных сигналов с несимметричным относительно несущей частоты спектром (например, сигналов телевизионного вещания). Названная проблема может быть решена при использовании комплексных ЦФ, теория и методы проектирования которых разработаны в диссертации.

Главным преимуществом скалярных комплексных ЦФ перед скалярными вещественными ЦФ является то обстоятельство, что частота дискретизации комплексного ЦФ определяется шириной спектра обрабатываемого сигнала, а не его верхней граничной частотой , как в случае вещественного ЦФ. Поскольку , то требования к быстродействию процессора обработки сигналов DSP в случае комплексных ЦФ существенно снижаются по сравнению с вещественными ЦФ.

Эти обстоятельства дают основания считать, что тематика исследований, представленная в диссертации, является актуальной для развития систем ЦОС.

Цель работы. Разработка теории скалярных комплексных и вещественных векторных ЦФ, а также методов проектирования скалярных комплексных ЦФ по заданным техническим требованиям к АЧХ, включая методы расчёта необходимой разрядности операционных устройств вычислителей (DSP).

Для достижения этой цели автором были решены следующие задачи:

1. Разработана классификация ЦФ в алгоритмическом аспекте, отражающая типы обрабатываемых сигналов и виды алгоритмов обработки.

2. Разработаны модели скалярных и векторных ЦФ во временной области (структурные схемы и различные формы математического описания, в том числе с учётом эффектов конечной разрядности представления сигналов, коэффициентов и арифметических операций в вычислителе).

3. Теория линейных дискретных систем адаптирована к анализу векторных ЦФ на основе структурных схем с учётом эффектов квантования.

4. Разработаны методы синтеза нерекурсивных (математические) и рекурсивных (эвристические) скалярных комплексных ЦФ по заданным техническим требованиям к АЧХ.

5. Разработаны методы расчёта разрядности коэффициентов и операционных устройств скалярных комплексных и вещественных векторных ЦФ, а также необходимой тактовой частоты вычислителя при реализации ЦФ на DSP в формате с фиксированной точкой.

6. Разработаны алгоритмы моделирования скалярных и векторных ЦФ каскадной структуры, пригодные для решения разнообразных задач.

Решение перечисленных задач открывает новое научное направление в области ЦОС -- теорию комплексных ЦФ.

Методы исследований. Для решения поставленных задач использовались аналитические методы исследования, базирующиеся на теории Z-преобра-зования, теории функций комплексного переменного, матричном исчислении, теории вероятностей, элементах функционального анализа, а также методы компьютерного моделирования и расчёта.

Достоверность научных положений работы, основных результатов и выводов определяется использованием физически обоснованных математических моделей ЦФ при аналитических исследованиях и подтверждается совпадением результатов (в частности, АЧХ), полученных при проектировании ЦФ и компьютерном моделировании.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработана теория одномерных стационарных линейных ЦФ (скалярных комплексных и вещественных векторных, простой и сложной структуры), включающая в себя:

· трёхуровневую классификацию ЦФ в алгоритмическом аспекте (по типу сигналов, по типу алгоритмов и по «внутренним» свойствам алгоритма);

· математические модели стационарных линейных ЦФ (математическое описание и структурные схемы ЦФ), в том числе с учётом эффектов конечной разрядности представления данных;

· методы оценки максимальных по модулю уровней сигналов в структурных схемах вещественных векторных ЦФ, а также характеристик шумов квантования в ЦФ при детерминированном и вероятностном подходах; из этих оценок получены формулы для расчёта требуемой разрядности вычислителя (DSP) при реализации ЦФ в формате с фиксированной точкой.

2. Разработаны методы проектирования (синтеза) одномерных скалярных стационарных нерекурсивных и рекурсивных линейных комплексных ЦФ по заданным требованиям к АЧХ:

· метод математического синтеза нерекурсивных комплексных ЦФ, основанный на разделении квадрата АЧХ на две составляющие (чётную и нечётную) и раздельном синтезе косинусного и синусного блоков;

· два метода эвристического синтеза рекурсивных комплексных ЦФ:

-- по комплексным аналоговым прототипам (низкочастотным эквивалентам полосовых фильтров);

-- подбором положения комплексных полюсов и нулей передаточной функции на Z-плоскости.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

1. Разработанные модели, а также методы анализа и проектирования одномерных ЦФ представляют собой аппарат для исследования и разработки ЦФ новых типов (скалярных комплексных и векторных вещественных), практическое использование которых позволяет расширить границы применения ЦОС в радиоприёмных устройствах (например, осуществлять ЦОС на промежуточной частоте радиоприёмного устройства).

2. Для синтеза рекурсивных одномерных скалярных вещественных линейных ЦФ, широко используемых в настоящее время, полезными являются следующие теоретические результаты, полученные автором [3]:

· модификация метода синтеза эллиптического аналогового нормированного ФНЧ-прототипа, разработанного А. Антонью, на случай ;

· методика представления передаточной функции четвёртого порядка произведением двух передаточных функций второго порядка, не требующая решения характеристического уравнения четвёртого порядка;

· таблицы для расчёта коэффициентов передаточных функций ЦФ по коэффициентам передаточной функции аналогового нормированного ФНЧ-прото-типа при дискретизации с использованием методов билинейного преобразования, а также обобщённого билинейного преобразования.

3. Разработанные методы проектирования комплексных ЦФ (алгоритмы синтеза передаточных функций, расчёта их коэффициентов, расчёта разрядно-сти коэффициентов и операционных устройств DSP), а также таблицы для расчёта коэффициентов передаточных функций скалярных вещественных ЦФ существенно расширяют методическое обеспечение САПР ЦФ.

4. Разработанные методы проектирования приводят к каскадным структурам ЦФ, обладающим наименьшей чувствительностью к погрешности задания коэффициентов (из-за квантования), а также наименьшей дисперсией собственных шумов квантования на выходе ЦФ.

5. Разработанные алгоритмы моделирования процессов в ЦФ (скалярных и векторных, простой и сложной структуры) являются универсальным инструментом исследования и пригодны для решения разнообразных задач. В качестве примеров рассмотрены задачи характериографа и исследования переходных характеристик.

Основные положения и результаты работы, выносимые на защиту:

1. Модели вещественных векторных и скалярных комплексных ЦФ простой и сложной структуры (в том числе с учётом эффектов квантования), пригодные для анализа ЦФ при детерминированном и вероятностном подходах. цифровой фильтр скалярный векторный

2. Метод расчёта разрядности коэффициентов передаточных функций скалярных комплексных и матриц передаточных функций вещественных векторных ЦФ по допустимым искажениям их АЧХ, позволяющий выбрать разрядность постоянной памяти сигнального процессора (DSP).

3. Метод расчёта требуемой разрядности операционных устройств сигнального процессора (DSP), базирующийся на результатах анализа шумовых моделей векторных ЦФ при детерминированном и вероятностном подходах.

4. Методы синтеза скалярных комплексных ЦФ по заданным АЧХ -- математический для нерекурсивных и эвристические для рекурсивных ЦФ.

Апробация работы. Материалы работы докладывались и получили положительную оценку на Всесоюзной НТК «Обработка локационных сигналов, отражённых протяжёнными объектами» (Свердловск, 1981); Республиканской НТК «Системы и устройства радиотехники, автоматики и автоматизированного проектирования» (Свердловск, 1982); Республиканской НТК «Моделирование в задачах радиолокации и интроскопии неоднородных сред» (Свердловск, 1983); научно-техническом семинаре «Обработка радиолокационных сигналов и приборы при дистанционном зондировании» (Свердловск, 1986); научно-техни-ческом семинаре «Радиолокационные системы дистанционного зондирования» (Свердловск, 1988); Всесоюзной НТК «Теория и техника пространственно-вре-менной обработки сигналов» (Свердловск, 1989); региональном научно-техни-ческом семинаре «Радиолокационные методы в научных исследованиях, народном хозяйстве и медицине» (Каменск-Уральский, 1989); региональной НТК, посвящённой 100-летию изобретения радио и 75-летию УГТУ-УПИ (Екатеринбург, 1995); 2-й международной НТК Уральского регионального отделения Академии инженерных наук РФ (Екатеринбург, 2000); научно-практической конференции «Электронная Россия - стратегия развития г. Екатеринбурга и Уральского региона» (Екатеринбург, 2003); международных научно-практи-ческих конференциях «СВЯЗЬПРОМ 2004», «СВЯЗЬПРОМ 2005» «СВЯЗЬ-ПРОМ 2006» в рамках 1-го, 2го и 3-го Евро-Азиатских международных форумов «СВЯЗЬПРОМЭКСПО» (Екатеринбург: ЗАО «Компания Реал-Медиа»).

Реализация результатов работы. Изложенные в диссертации результаты исследований получены автором в процессе выполнения госбюджетных НИР (темы № 3132, 3138, 3240, 3260, 3306, 3333), выполненных в ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет -- УПИ». Результаты работы нашли применение в учебном процессе Радиотехнического института -- РТФ ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет -- УПИ», а также внедрены на следующих предприятиях: ОАО «ОКБ Новатор», ФГУП «ПО УОМЗ», ФГУП «НПО Автоматика», ОАО «УПКБ Деталь».

Публикации. По теме диссертации автором опубликованы 42 печатные работы, в том числе 3 монографии [1 -- 3]; 3 учебных пособия [4 -- 6] (одно из них [4] имеет гриф: Рекомендовано Комитетом по высшей школе Миннауки России в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям «Радиотехника» и «Телекоммуникации» и специальностям «Радиотехника», «Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования» и «Радиоэлектронные системы и комплексы средств управления подвижными объектами»); 36 статей [7 -- 42] (из них 19 в реферируемых журналах перечня ВАК [7 -- 25]).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных литературных источников. Она изложена на 356 страницах текста, содержит 129 рисунков, 26 таблиц, список литературных источников состоит из 160 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены постановка проблемы, обоснование её актуальности; даётся литературный обзор и современное состояние проблемы, краткая характеристика решаемых задач; положения, выдвигаемые автором для публичной защиты; формулируются основные научные и практические результаты работы.

В гл.1 рассматривается анализ состояния предметной области и постановка задач исследования. Приведена оригинальная классификация ЦФ в алгоритмическом аспекте (рис.1), позволяющая с единых методологических позиций осуществлять описание (уравнения, структурные схемы) и анализ характеристик ЦФ различных типов (скалярных и векторных, вещественных и комплексных), в том числе с учётом эффектов конечной разрядности представления данных (квантования коэффициентов и сигналов) в ЦФ.

Рис. 1 Классификация ЦФ в алгоритмическом аспекте

С исчерпывающей полнотой изложены теория и современные методы проектирования одномерных скалярных вещественных линейных нерекурсивных и рекурсивных ЦФ, помеченные на рис.1 заливкой. При этом использовано большое количество материалов, впервые опубликованных в монографиях автора [1 -- 3] и в учебном пособии [4] (например, табл.1.5 -- 1.13 в диссертации, удобные для синтеза рекурсивных ЦФ по нормированным аналоговым ФНЧ-прототипам).

Исходя из целей диссертационной работы, сформулированы основные задачи, решению которых посвящены исследования, осуществляемые в последующих главах. Соответствующие классы ЦФ на рис.1 заключены в двойные рамки.

В гл.2 рассматривается описание полосовых сигналов (в частности, радиосигналов) методом комплексных огибающих, на основе которого в гл.3 строится теория комплексных ЦФ. Приводятся оригинальные материалы по исследованию спектров дискретизированных комплексных огибающих при различных соотношениях между центральной частотой спектра порождающего вещественного полосового сигнала и частой дискретизации , опубликованные в авторской монографии [2]:

; (1)

; (2)

. (3)

При выполнении условия происходит наложение спектральных полос и в спектре вещественного дискретизированного полосового сигнала ; а структура спектра дискретизированной комплексной огибающей полосового колебания при выборе частоты дискретизации по формуле не зависит от значения .

Рассмотрены различные методы формирования квадратурных компонент комплексной огибающей.

Проведено исследование нелинейных преобразований полосовых сигналов при различных видах кусочно-степенных нелинейностей (одно- и двухполупериодных):

, (4)

где

, (5)

на основе которого с использованием метода комплексных огибающих постро-ены модели (структурные схемы и алгоритмы функционирования) цифровых детекторов (амплитудного, фазового и частотного), на входы которых подаются квадратурные компоненты комплексной огибающей полосовых сигналов.

В гл.3 изложена разработанная автором теория одномерных векторных стационарных линейных ЦФ на основе различных вариантов уравнений векторной цифровой фильтрации и соответствующих им структурных схем. При использовании матриц и векторов блочной структуры получено описание векторных ЦФ в пространстве состояний. Учитывая некоммутативность операции перемножения матриц, рассматриваются два варианта построения структурных схем векторных ЦФ (основной и преобразованный), а также их матриц передаточных функций. Получены выражения для матриц передаточных функций векторных ЦФ сложной структуры при различных способах соединения блоков: каскадном

, (6)

параллельном

(7)

и с обратной связью

. (8)

Разработаны линейные шумовые модели векторных ЦФ простой структуры для основного и преобразованного вариантов (рис.2), где , и -- -координатные векторы сигналов; знак «~» над вектором означает, что сигнал квантованный; -- -координатный вектор внешних шумов квантования; -- -координатные векторы внутренних (собственных) шумов квантования, приведённые к входам соответствующих многовходовых сумматоров, т.е. шумов квантования результатов арифметических операций.

Рис. 2 Линейные шумовые модели одномерных векторных стационарных рекурсивных линейных ЦФ простой структуры: а -- основной вариант; б -- преобразованный вариант

Шумовые модели векторных ЦФ простой структуры (см. рис.2) описываются векторно-матричными операторными уравнениями в конечных разностях:

; (9)

, (10)

где и -- квадратные матрицы размера блоков матрицы передаточных функций основного варианта векторного ЦФ:

. (11)

Путём обобщения скалярной линейной шумовой модели Л. Джексона при некоторых допущениях о характеристиках шумов квантования входного векторного сигнала разработан векторный вариант универсальной шумовой модели Л. Джексона для ЦФ сложной структуры (рис.3).

Рис. 3 Универсальная линейная шумовая модель векторного ЦФ сложной структуры (схема Л. Джексона)

Векторный вариант схемы Л. Джексона описывается векторно-матричны-ми операторными уравнениями в конечных разностях:

(12)

На основе уравнений (12) с использованием теории норм спектров и комплексных частотных характеристик в пространствах () разработаны методы анализа сигналов и шумов квантования в векторных ЦФ сложной структуры (детерминированный и вероятностный), в результате которого получены формулы для расчёта разрядности DSP, требуемой для реализации векторного ЦФ. Например, для расчёта необходимой разрядности представления кодов дробных частей чисел в DSP эти формулы имеют следующий вид:

; (13)

,

, (14)

где -- квадратная матрица размера , составленная из квадратов норм комплексных частотных характеристик в пространстве .

Исследованы варианты построения скалярных комплексных ЦФ при прямой и канонической формах реализации, получены их передаточные функции. Показано, что вещественный двухкоординатный векторный ЦФ при определённых условиях эквивалентен скалярному комплексному ЦФ. Получены условия эквивалентности:

(15)

а также

. (16)

Это позволяет при анализе шумов квантования скалярный комплексный ЦФ заменять эквивалентным вещественным двухкоординатным векторным ЦФ.

Разработаны алгоритмы моделирования ЦФ:

(17)

для двух задач: 1) задачи характериографа и 2) задачи исследования переходных процессов.

В гл.4 представлен разработанный автором метод математического синтеза нерекурсивных скалярных комплексных ЦФ по заданным АЧХ [3]. Метод основан на разделении квадрата АЧХ на чётную и нечётную составляющие

; (18)

, (19)

линейно-ломаной аппроксимации косинусного (чётного) и синусного (нечётного) блоков, представляющих две аппроксимируемые функции скалярных вещественных ЦФ, и раздельном синтезе передаточных функций этих блоков. Для решения задачи на данном этапе наиболее удобным является метод наименьших квадратов, рассмотренный в гл.1.

Из коэффициентов передаточных функций синтезированных скалярных вещественных блоков (косинусного и синусного) могут быть сформированы коэффициенты передаточных функций двух скалярных нерекурсивных комплексных ЦФ , коэффициенты которых являются комплексно-сопряжёнными. При этом АЧХ двух скалярных нерекурсивных комплексных ЦФ с комплексно-сопряжёнными коэффициентами зеркально-сим-метричны относительно нулевой частоты.

В качестве примеров использования данного метода проведён синтез трёх нерекурсивных скалярных комплексных ЦФ полосового типа и одного ЦФ режекторного типа. На рис.4 изображена АЧХ синтезированного нерекурсивного скалярного комплексного ЦФ для ПЧ-тракта канала изображения телевизионного приёмника, построенного по квазипараллельной схеме. Частота дискретизации МГц, порядок фильтра . Синтезированный ЦФ имеет линейную ФЧХ, что важно при приёме импульсных сигналов

Рис. 4 АЧХ спроектированного нерекурсивного комплексного ЦФ для ПЧ-трак-та канала изображения телевизионного приёмника: а -- линейный масштаб; б -- логарифмический масштаб

При сдвиге частоты вправо получены выражения для передаточной функции и частотных характеристик «смещённого» нерекурсивного скалярного комплексного ЦФ, а также формулы пересчёта коэффициентов:

. (20)

В качестве примера использования данного подхода синтезирован нерекурсивный скалярный комплексный ЦФ по нерекурсивному скалярному вещественному ЦФ-прототипу.

Предложены метод расчёта необходимой разрядности коэффициентов пе-редаточной функции комплексного ЦФ, а также удобный методический приём для расчёта разрядности операционных устройств скалярных комплексных ЦФ, заключающийся в замене их эквивалентными двухкоординатными векторными вещественными ЦФ, условия эквивалентности которых получены в гл.3 [см. выражения (15) и (16)]. Рассмотрены примеры использования этих методов.

На рис.5 изображена АЧХ нерекурсивного скалярного комплексного ЦФ для ПЧ-тракта канала изображения телевизионного приёмника, построенного по квазипараллельной схеме, при квантовании коэффициентов по методу усечения и представлении их 12-разрядным двоичным кодом: (, ). На нормированной частоте , соответствующей промежуточной частоте сигнала, затухание равно дБ для дискретного фильтра (т.е. без квантования коэффициентов, см. рис.4,б) и дБ для ЦФ (т.е. с квантованием коэффициентов, см. рис.5). Разрядность коэффициентов подбиралась методом проб и ошибок с тем, чтобы на этой частоте затухание мало отличалось от номинального значения дБ.

Рис. 5 АЧХ цифрового при нерекурсивного комплексного ЦФ для ПЧ-тракта канала изображения телевизионного приёмника

Для расчёта необходимой разрядности операционных устройств DSP скалярный комплексный ЦФ был заменён эквивалентным двухкоординатным векторным вещественным ЦФ в соответствии с условиями эквивалентности (15). Расчёты выполнены с использованием методов, описанных в § 3.3 диссертации при следующих исходных данных:

· максимальный по модулю уровень входного сигнала ;

· динамический диапазон входного сигнала дБ;

· отношение на выходе ЦФ при входном сигнале, соответствующем нижней границе динамического диапазона, дБ;

· для представления чисел в DSP используется дополнительный код [см. формулы (13), (14); ];

· коэффициенты передаточной функции квантованы 12-разрядным двоичным кодом по методу усечения.

Результаты расчётов следующие: , ; , ; при этом полная разрядность регистров операционных устройств DSP: ; .

Проведена оценка требуемой тактовой частоты сигнального процессора (DSP) для реализации на нём скалярных, векторных и комплексных ЦФ простой и сложной структуры.

По алгоритмам, разработанным в гл.3, проведено моделирование одного из синтезированных в гл.4 ЦФ.

В гл.5 изложен разработанный автором на основе билинейного преобразования метод эвристического синтеза одномерных скалярных рекурсивных комплексных ЦФ по аналоговым комплексным фильтрам-прототипам [3]. Метод ориентирован на разработку цифровых ПЧ-трактов с распределённой избирательностью для радиоприёмных устройств. Рассмотрены ПЧ-тракты пяти типов (табл.1), для каждого из которых рассчитаны примеры.

Таблица 1

Тип ПЧ-тракта	Способ реализации и особенности характеристик
Тип 1	Одиночные контуры, настроенные на одну (центральную) частоту. АЧХ имеет одногорбую форму
Тип 2	Одиночные контуры, симметрично расстроенные относительно центральной частоты. В зависимости от величины расстройки АЧХ может иметь либо одногорбую, либо двугорбую форму
Тип 3	Одиночные контуры, один из которых настроен на центральную частоту, а два других симметрично расстроены относительно неё. В зависимости от величины расстройки АЧХ может иметь либо одногорбую, либо трёхгорбую форму
Тип 4	Два связанных контура, настроенные на одну (центральную) частоту. В зависимости от величины фактора связи АЧХ может иметь либо одногорбую, либо двугорбую форму
Тип 5	Одиночные контуры и пары связанных контуров, настроенные на одну (центральную) частоту. В зависимости от величины фактора связи АЧХ может иметь либо одногорбую, либо трёхгорбую форму

Аналоговые фильтры-прототипы (одноконтурные и двухконтурные каскады), из которых строятся ПЧ-тракты, описываются укороченными передаточными функциями (низкочастотными эквивалентами) 1-го и 2-го порядков:

; (21)

, (22)

где и -- нормирующие коэффициенты передачи; -- расстройка резонансной частоты каскада относительно опорной; -- ширина полосы пропускания контура на уровне ; -- фактор связи в двухконтурном каскаде.

Дискретизация передаточных функций (21) и (22) методом билинейного преобразования с частотой дискретизации приводит к их дискретным эквивалентам, описывающим комплексные ЦФ:

, (23)

где

; (24)

; (25)

И

, (26)

где

; (27)

; (28)

; (29)

. (30)

В диссертации приведены примеры синтеза всех пяти типов ПЧ-трактов, перечисленных в табл.1. На рис.6 изображены АЧХ цифровых эквивалентов одноконтурного и двухконтурного каскадов (штрих-пунктирная и пунктирная линии), а также АЧХ 4-каскадного комплексного ПЧ-тракта типа 5 (сплошная линия), рассчитанного при следующих исходных данных: частота дискретизации МГц; опорная (центральная) частота МГц, ширина полосы пропускания МГц, коэффициент прямоугольности .

Рис. 6 АЧХ рекурсивных комплексных ЦФ: одноконтурного и двухконтурного каскадов (штрих-пунктирная и пунктирная линии), а также АЧХ 4-каскадного комплексного ЦФ (сплошная линия)

Ширина полосы пропускания синтезированного рекурсивного комплексного ЦФ МГц, что на 6,5 % меньше заданной 3 МГц. Это объясняется деформацией частотной шкалы при билинейном преобразовании. Коэффициент прямоугольности АЧХ синтезированного ЦФ , что обеспечивает несколько большую избирательность, чем задано. Расширить полосу пропускания 4-каскадного рекурсивного комплексного ЦФ до 3 МГц можно увеличением эквивалентного затухания двухконтурных каскадов до 0,02268, а одноконтурных до (величина подбирается экспериментально). Это приводит также к небольшому улучшению прямоугольности АЧХ: .

При сдвиге частоты вправо получены выражения для передаточной функ-ции и частотных характеристик «смещённого» рекурсивного скалярного комплексного ЦФ, а также формулы пересчёта коэффициентов:

(31)

Для иллюстрации данного подхода синтезирован «смещённый» рекурсивный скалярный комплексный ЦФ по рекурсивному скалярному вещественному ЦФ-прототипу. На рис.7 изображены АЧХ вещественного рекурсивного ЦФ-прототипа Баттерворта, рассчитанная при следующих исходных данных: МГц; МГц; МГц; (или в нормированных цифровых частотах ; ), а также АЧХ «смещённого» на МГц () рекурсивного скалярного комплексного ЦФ.

Рис. 7АЧХ скалярного вещественного ЦФ-прототипа Баттерворта и «смещённого» комплексного ЦФ

Исследовано влияние положения на Z-плоскости полюсов и нулей передаточных функций скалярных комплексных ЦФ первого порядка. Показано, что модули полюсов и нулей оказывают влияние на форму АЧХ, а аргументы -- на её положение по оси частот.

На основе данного исследования предложен универсальный эвристический метод синтеза скалярных комплексных ЦФ, позволяющий конструировать АЧХ произвольной формы [3]. Метод базируется на коррекции положения полюсов и нулей передаточной функции и добавлении числа каскадов при контроле формы АЧХ с целью её подгонки под заданную (с определённой степенью точности). Наиболее удобен этот метод при проектировании комплексных ЦФ каскадной структуры. Для иллюстрации данного подхода спроектирован рекурсивный скалярный комплексный ЦФ 14-го порядка для ПЧ-тракта канала изображения телевизионного приёмника, построенного по квазипараллельной схеме, АЧХ которого изображена на рис.8. Синтезированный ЦФ имеет нелинейную ФЧХ, что является недостатком, однако его порядок существенно ниже, чем у нерекурсивного комплексного ЦФ того же назначения, синтезированного в гл.4 (см. рис.4), порядок которого .

Рис. 8 АЧХ рекурсивного комплексного ЦФ для ПЧ-тракта канала изображения телевизионного приёмника: а -- линейный масштаб; б -- логарифмический масштаб

По методике, предложенной в гл.4, рассчитана необходимая разрядность коэффициентов спроектированного скалярного комплексного ЦФ 14-го порядка, АЧХ которого представлена на рис.8: (; ).

При замене рекурсивного скалярного комплексного ЦФ эквивалентным рекурсивным вещественным векторным ЦФ [условия эквивалентности определяются выражениями (15)] рассчитана необходимая разрядность операционных устройств DSP по следующей методике:

· на основе линейной шумовой модели каскада комплексного ЦФ первого порядка (рис.9, ср. с рис.2,а) составляется расчётная схема шумовой модели рекурсивного векторного вещественного ЦФ сложной структуры (рис.10);

· составляется матрица передаточных функций расчётной схемы шумовой модели:

;

Рис. 9 Структурная схема вещественного векторного ЦФ 1-го порядка, экви-валентного комплексному скалярному ЦФ 1-го порядка

Рис. 10 Расчётная схема шумовой модели рекурсивного векторного вещественного ЦФ сложной структуры 14-го порядка [блоки -- первого порядка, блок нулевого порядка]

· из матрицы размера определяются парциальные матрицы передаточных функций универсальной шумовой модели векторного ЦФ (схемы Л. Джексона, см. рис.3) сложной структуры , ;

· по методике анализа сигналов и шумов в векторных ЦФ, разработанной автором в гл.3, рассчитывается разрядность операционных устройств DSP [в частности, по формулам (13) и (14), остальные формулы приведены в диссертации].

Разрядность операционных устройств DSP для рекурсивного скалярного комплексного ЦФ каскадной структуры 14-го порядка рассчитана при следующих исходных данных:

· максимальный по модулю уровень входного сигнала ;

· динамический диапазон входного сигнала дБ;

· отношение на выходе ЦФ при входном сигнале, соответствующем нижней границе динамического диапазона, дБ;

· для представления чисел в вычислителе (DSP) применяется дополнительный код ();

· коэффициенты передаточной функции квантованы 11-разрядным двоичным кодом по методу округления (; ).

Результаты расчётов следующие: , ; , ; при этом полная разрядность регистров операционных устройств DSP: ; .

По алгоритмам, разработанным в гл.3, проведено моделирование синтезированного рекурсивного комплексного ЦФ для ПЧ-тракта телевизионного приёмника. Получены квазистатическая и динамическая АЧХ в задаче характериографа (рис.11, где -- нормированная крутизна частотно-временной характеристики ЛЧМ-сигнала), а также переходные процессы при двух значениях частоты входного сигнала.

Рис. 11 Результаты моделирования в задаче характериографа: квазистатическая (при ) и динамическая (при ) АЧХ комплексного ЦФ

Гл.6 посвящена исследованию сравнительно нового класса ЦФ -- квадратурно-зеркальных фильтров (КЗФ). Рассмотрены математические основы кратномасштабного анализа (КМА), являющегося теоретической базой для вейвлет-преобразований (ВП), а также алгоритмические аспекты вычисления прямого и обратного ВП.

Поскольку ортогональные базисы вейвлетов с ограниченным носителем не всегда являются удобными, при построении КЗФ обычно применяют биортогональные базисы с «ослабленными» требованиями к ортогональности (так называемые базисы дуальной пары).

Рассмотрен банк ЦФ анализа -- синтеза (А-С) на основе субполосного кодирования. Получено векторно-матричное описание системы А-С, из которого найдена связь между импульсными характеристиками фильтров композиции и декомпозиции.

Рассмотрены структура КЗФ (рис.12) и его математическое описание аппаратом ВП с учётом компрессоров и экспандеров частоты дискретизации (КЧД и ЭЧД), а также метод синтеза ЦФ в НЧ-канале КЗФ, построенном на нерекурсивных симметричных линейно-фазовых ЦФ чётной длины.

Рис. 12 Схема обработки сигналов с помощью КЗФ

Приведён пример синтеза КЗФ и рассчитана его АЧХ (рис.13), где -- нормированная цифровая частота).

Рис. 13 Нормированная логарифмическая АЧХ КЗФ

Разработан алгоритм и рассчитан пример моделирования сигналов в КЗФ.

Разработан банк ЦФ [22] для приёмного устройства многоканальной системы связи с частотным разделением каналов (ЧРК), в котором используются КЗФ и компрессоры частоты дискретизации (КЧД) для формирования квадратурных компонент комплексных огибающих канальных сигналов, а извлечение закодированной в них информации осуществляется с помощью цифровых детекторов (ЦД). Применение подобного банка ЦФ существенно снижает межканальные искажения в системе по сравнению с системой, в которой выделение канальных сигналов осуществляется ЦФ, реализуемыми с помощью алгоритмов БПФ. Структурная схема банка ЦФ приведена на рис.14, где ЦФДм -- ЦФ-демодулятор.

Рис. 14 Банк ЦФ для приёмной части многоканальной системы связи с ЧРК

В заключении сформулированы основные научные и практические результаты диссертационной работы, а также намечены перспективные области исследований.

Основные результаты и выводы

В результате проведённых исследований разработаны теория одномерных векторных стационарных линейных ЦФ, а также методы проектирования комплексных ЦФ. Основные результаты работы заключаются в следу-ющем.

1. Получено многомерное векторное разностное уравнение в обобщённой форме, описывающее алгоритм цифровой фильтрации. Алгоритмы работы всех типов ЦФ получаются из этого уравнения, как частные случаи. На его основе разработана трёхуровневая классификация ЦФ в алгоритмическом аспекте, базирующаяся на временном подходе к фильтрации (по типу сигналов, по типу алгоритмов фильтрации и по «внутренним» свойствам алгоритмов).

Классификация позволила определить неразработанные области цифровой фильтрации и выбрать объекты для исследований -- скалярные комплексные и вещественные векторные ЦФ.

Скалярные комплексные и вещественные векторные ЦФ являются бо-лее сложными системами по сравнению с традиционными скалярными вещественными ЦФ, однако имеют с ними много общего. Путём усложнения моделей фильтрации при использовании соответствующего математического аппарата построена теория векторных, а также скалярных комплексных ЦФ.

Разработаны различные формы математического описания одномерных стационарных линейных ЦФ. Кроме алгоритма фильтрации, их можно описать импульсной характеристикой для скалярных и матрицей импульсных характеристик для векторных ЦФ, передаточной функцией для скалярных и матрицей передаточных функций для векторных ЦФ, комплексной частотной характеристикой для скалярных и матрицей комплексных частотных характеристик для векторных ЦФ. Все характеристики являются полными, взаимосвязаны между собой и с алгоритмом фильтрации. В работе даются математические определения этих характеристик, а также формулы связи между ними. Рассмотрены различные формы описания передаточных функций (дробно-рациональная, нуль-полюсная). Комплексная частотная характеристика представляется также совокупностью АЧХ и ФЧХ.

2. Для алгоритмов стационарной линейной цифровой фильтрации разработаны модели (структурные схемы и математическое описание) векторных и комплексных ЦФ. Структурные схемы скалярных ЦФ представлены при прямой и канонической формах реализации, а также в пространстве состояний. Применение векторов и матриц блочной структуры позволило описать в пространстве состояний также и векторные ЦФ. Поскольку операция умножения матриц в общем случае является некоммутативной, векторные ЦФ не имеют ка-нонической формы реализации. Разработаны также модели скалярных и векторных ЦФ сложной структуры для трёх видов соединения блоков: каскадного, параллельного и с обратной связью.

Анализ моделей скалярных комплексных и векторных вещественных ЦФ показал, что при выполнении определённых условий эквивалентности, связанных со структурой матрицы передаточных функций, двухкоординатный векторный вещественный ЦФ эквивалентен скалярному комплексному ЦФ. Поскольку матричный аппарат хорошо развит (в том числе и в математическом обеспечении ЭВМ), целесообразно скалярный комплексный ЦФ при анализе заменять эквивалентным двухкоординатным векторным вещественным фильтром. Этот методологический приём оказался плодотворным как с точки зрения использования единого математического аппарата, так и с точки зрения простоты анализа. В данной работе он широко используется.

3. На основе линейных моделей процессов квантования сигналов и результатов выполнения арифметических операций разработаны модели скалярных и векторных ЦФ простой и сложной структуры, учитывающие эффекты конечной разрядности представления данных в вычислителе (DSP).

Сделано обобщение универсальной линейной шумовой модели ЦФ слож-ной структуры (схемы Л. Джексона) на векторные ЦФ. Схема Л. Джексона является основой для построения расчётных схем, позволяющих проводить анализ внешних и собственных шумов квантования ЦФ и находить максимальные по модулю оценки сигналов в различных точках структурных схем ЦФ.

Проведён математический анализ векторного варианта универсальной линейной шумовой модели ЦФ (схемы Л. Джексона) с целью нахождения оценок максимальных по модулю значений сигналов во всех точках структурной схемы ЦФ, а также оценок шумов квантования на выходе ЦФ при вероятностном подходе. Результаты анализа позволили получить рабочие формулы для оценки необходимой разрядности вычислителя (DSP), на котором предполагается реализация ЦФ.

4. При синтезе рекурсивных скалярных вещественных линейных ЦФ аппроксимационная задача по сути своей является нелинейной, поэтому для её решения применяются не строгие математические, а эвристические методы. Обычно проектирование рекурсивных ЦФ производится по аналоговым ФНЧ-прототипам. В этом случае процедура проектирования состоит из трёх этапов: синтез аналогового нормированного ФНЧ-прототипа, денормирование частоты в аналоговой области и дискретизация, т.е. переход к ЦФ.

Дискретизация чаще всего осуществляется методом билинейного преобразования. Этапы денормирования частоты и дискретизации могут быть объединены в один этап, что уменьшает объём рутинной работы. Такой подход получил название: «метод обобщённого билинейного преобразования».

Для традиционной процедуры синтеза рекурсивных скалярных вещественных ЦФ по аналоговым нормированным ФНЧ-прототипам в диссертационной работе сделаны следующие доработки:

· усовершенствована методика синтеза аналоговых нормированных эллиптических ФНЧ-прототипов, разработанная А. Антонью, для случая , что позволило с единых позиций осуществлять этапы денормирования частоты в аналоговой области и дискретизации;

· составлены таблицы для коэффициентов передаточных функций аналоговых фильтров-прототипов, получаемых после этапа денормирования частоты;

· составлены таблицы для коэффициентов передаточных функций ЦФ, получаемых в результате дискретизации методом билинейного преобразования;

· составлены таблицы для коэффициентов передаточных функций ЦФ при использовании метода обобщённого билинейного преобразования;

· для избирательных фильтров полосового и режекторного типов таблицы коэффициентов передаточных функций составлены в двух вариантах: при использовании блоков второго и четвёртого порядков и при использовании блоков только второго порядка (при втором варианте построения ЦФ каскадной структуры существенно уменьшаются чувствительность к погрешности задания коэффициентов и собственные шумы квантования на выходе фильтра; например, для полосового ЦФ 12-го порядка дисперсия собственных шумов квантования уменьшилась в 11 раз).

Эти доработки существенно расширяют методическое обеспечение САПР вещественных рекурсивных ЦФ.

5. Разработан метод математического синтеза нерекурсивных скалярных комплексных ЦФ по заданному квадрату АЧХ, базирующийся на разбиении последнего на две составляющие: чётную и нечётную. По этим составляющим выбираются аппроксимируемые функции вещественных косинусного и синусного блоков структурной схемы скалярного нерекурсивного комплексного ЦФ. Далее задача решается аналогично задаче синтеза нерекурсивных скалярных вещественных ЦФ. Из полученных коэффициентов косинусного и синусного вещественных блоков конструируются коэффициенты нерекурсивного скалярного комплексного ЦФ.

6. Для квантования коэффициентов ЦФ разработана специальная подпрограмма.

7. Разработаны два метода эвристического синтеза рекурсивных скалярных комплексных ЦФ.

Первый из них базируется на билинейном преобразовании передаточных функций низкочастотных эквивалентов полосовых аналоговых фильтров, применяемых в ПЧ-трактах с распределённой избирательностью радиоприёмных устройств. Рассмотрены ПЧ-тракты следующих типов: с одноконтурными каскадами, настроенными на одну частоту (ПЧ-тракты типа 1); с одноконтурными взаимно расстроенными каскадами [расстроенные двойки (ПЧ-тракты типа 2), расстроенные тройки (ПЧ-тракты типа 3)]; со связанными контурами в каждом каскаде (ПЧ-тракты типа 4); по смешанной схеме (ПЧ-тракты типа 5) -- с одноконтурными и двухконтурными (со связанными контурами) каскадами. Для этих типов ПЧ-трактов получены цифровые эквиваленты в виде комплексных ЦФ каскадной структуры.

Второй метод (модальный синтез) базируется на результатах исследования влияния расположения комплексных полюсов и нулей на Z-плоскости в передаточной функции комплексного ЦФ первого порядка на его АЧХ. При каскадном соединении блоков первого порядка можно получить скалярный рекурсивный комплексный ЦФ высокого порядка с заданной АЧХ. Этот метод не может быть формализован. По сути своей процедура синтеза аналогична настройке многоконтурного аналогового LC-фильтра с помощью характериографа. Метод проиллюстрирован примером синтеза скалярного рекурсивного комплексного ЦФ 14-го порядка для ПЧ-тракта телевизионного приёмника, построенного по квазипараллельной схеме. Полученная АЧХ ЦФ имеет лучшие параметры, чем АЧХ аналогового фильтра на поверхностно-акустических волнах (ПАВ).

8. Разработан метод расчёта разрядности коэффициентов передаточных функций скалярных комплексных и матриц передаточных функций вещественных векторных ЦФ по допустимым искажениям их АЧХ, позволяющий выбрать разрядность постоянной памяти сигнального процессора (DSP).

9. Разработан метод расчёта требуемой разрядности операционных устройств скалярных и векторных ЦФ при реализации на вычислителе (DSP) в формате с фиксированной точкой. Предложенный метод базируется на оценках максимальных по модулю значений сигналов во всех точках структурной схемы ЦФ, а также на оценках шумов квантования на выходе ЦФ при вероятностном подходе.

Для расчёта разрядности операционных устройств ЦФ весьма удобным является предложенный и апробированный автором методологический приём, основанный на замене скалярного комплексного ЦФ эквивалентным ему вещественным векторным ЦФ.

10. Исследованы спектральные плотности (амплитудно-частотные спектры) дискретизированного полосового сигнала, а также соответствующих ему аналитического (комплексного) сигнала и комплексной огибающей. Получены соотношения между центральной (опорной) частотой полосового сигнала и частотой дискретизации, при которых в спектре дискретизированного полосового сигнала происходит наложение частотных составляющих спектра исходного аналогового сигнала из положительной и отрицательной областей. Рассмотрен вариант реализации аналого-цифрового квадратурного преобразователя (АЦКП) на одном АЦП.

11. На основе метода комплексных огибающих разработаны цифровые модели амплитудного, фазового и частотного детектирования, реализующие идеальные операции вычисления соответственно вещественной огибающей, фазы и частоты комплексной огибающей полосового колебания. Применение комплексной цифровой фильтрации в сочетании с цифровым детектированием позволяет осуществлять цифровую обработку сигналов, начиная с ПЧ-тракта, а не с видеотракта радиоприёмного устройства. Комплексный ЦФ в ПЧ-тракте и цифровой детектор (ЦД) обеспечивают существенно меньшие искажения сигнала, чем при использовании соответствующих аналоговых устройств.

12. Разработаны алгоритмы моделирования процессов цифровой фильтрации (скалярной и векторной, вещественной и комплексной). При каскадной реализации ЦФ алгоритмы моделирования являются наиболее простыми. Решены две задачи: моделирование задачи характериографа и моделирование переходных процессов в ЦФ. В задаче характериографа на вход ЦФ подаётся ЛЧМ-сигнал с определённой крутизной частотно-временной характеристики, а на выходе получается квазистатическая или динамическая АЧХ фильтра. При моделировании переходных процессов на вход ЦФ подаётся скачкообразное изменение сигнала (в зависимости от существа задачи -- либо постоянного, либо синусоидального, либо огибающей синусоидального сигнала), на выходе получается переходная характеристика, позволяющая оценить форму переходного процесса и его параметры, например, длительность фронта.

13. Решена задача сдвига частоты в АЧХ комплексных ЦФ-прототипов на величину вправо. Получены выражения для передаточной функции, комплексной частотной характеристики, АЧХ и ФЧХ «сдвинутого» комплексного ЦФ, коэффициенты передаточной функции которого выражаются через коэффициенты соответствующего ЦФ-прототипа.

...