Щільність ймовірності відхилення літального апарата від заданої висоти польоту

Тоді - це ймовірність виходу ПК за межі нормальної зони. Тобто відповідає ймовірності знаходження ПК у зоні показаній штриховкою на рис. 2. З іншої сторони відповідає площі фігури, що заштрихована на рис. 2. Для спрощення розрахунків може бути розраховано за значеннями, отриманими в результаті аналізу статистичних даних вимірів:

.

Рис. 2 Межі нормальної ситуації

Обчислення параметрів закону. Для відповідного характеру розподілу випадкової величини (абсолютної висоти польоту) необхідно оцінити невідомі параметри на основі статистичних даних, отриманих безпосередньо у результаті виконання вимірювань.

На основі експериментальних даних для оцінки щільності можуть бути використані різні методи математичної статистики: метод максимальної достовірності; метод моментів; максимум наступної оцінки; мінімум ² оцінки; оцінка найменших квадратів.

В основному, вибір будь-якого конкретного оціночного методу залежить від двох факторів: статистичних властивостей придатного оцінювача й обчислювальної складності методу. Якщо розглядати у відношенні складності обчислення, то в багатьох випадках аналітичний розв'язок неможливий. Більш того, складність обчислювання, звичайно, збільшується із збільшенням кількості оцінених параметрів.

Для вирішення задачі підгону невідомих параметрів розподілу за результатами статистичних спостережень будемо використовувати метод максимальної достовірності.

Розрахунок параметрів щільності методом максимальної достовірності. Виконаємо оцінку параметрів масштабу та форми щільності розподілу ймовірності відхилення ПК від заданого ешелону польоту (2) за допомогою обраного методу.

Нехай Х - дискретна випадкова величина, яка у результаті виконання n вимірювань приймає значення . Вигляд закону розподілу величини Х задано у вигляді суміші законів (2), проте вектор параметрів, який визначає цей закон, невідомий . Проведемо оцінку цього вектора.

Позначимо ймовірність того, що у результаті вимірювань величина Х прийме значення , , через .

Запишемо функцію достовірності випадкової величини Х:

, де .

У якості точкової оцінки вектора параметрів приймають таке значення, при якому функція достовірності приймає максимальне значення. Функції і приймають максимум при одному і тому значенні , тому для спрощення доречно локалізувати максимум функції .

Для знаходження точки максимуму функції знайдемо її похідну і прирівняємо її до нуля, тобто знайдемо критичну точку:

,

.

Маємо систему рівнянь з чотирма невідомими:

.(3)

Для розв'язку системи рівнянь (3) знайдемо похідну від функції (2) за змінною :

, (4)

та за змінною :

.(5)

Похідна від функції (2) за змінною має вигляд:

, (6)

та за змінною :

.(7)

Підставляючи отримані вирази для похідних (4), (5), (6), (7) у (3), матимемо нелінійну систему з чотирьох рівнянь та чотирма невідомими:

(8)

Позначимо:

- вектор аргументів, - вектор функцій.

Представимо систему рівнянь (8) у матричному вигляді:

.(9)

Для розв'язку нелінійної системи рівнянь (8) будемо використовувати метод послідовних наближень Ньютона.

Нехай знайдено р -те наближення одного з коренів Х векторного рівняння (9).

Тоді точний корінь рівняння (9) можна представити у вигляді

, (10)

де - похибка знаходження кореня.

Підставимо вираз (10) у (9) і отримаємо

.(11)

Оскільки функція - неперервна диференційована у деякій множині, що містить Х і , тоді ліва частина рівняння (11) може бути розкладена у ряд Тейлора за степенями малого вектора , обмежуючись лінійними членами:

, (12)

де - матриця Якобі системи функцій F відносно змінних Х вигляду:

, (13)

Перепишемо рівність (12) у вигляді:

,

тоді маємо

.(14)

Підставляючи (14) у (10), отримаємо

, (15)

За початкові значення вектора параметрів використаємо результати дослідження [1] для даного регіону земної поверхні. Таким чином, за формулою (15) відбувається поступове уточнення параметрів розподілу, тим самим наближаючись до істинного значення.

Результати розрахунку параметрів для конкретного ПК. Для розрахунку параметрів розподілу щільності використаємо записи параметрів польотів одного літака (АН-140), що здійснював рейси за одним і тим самим маршрутом. Інформація по польотам була записана бортовим пристроєм регістрації БУР-92А-04. Для побудови щільності використаємо записи абсолютної висоти польоту ПК надані апаратурою «ИКВСП-140». Після декодування за допомогою спеціалізованого програмного комплексу «Монстр» [3] з них були вилучені покази абсолютної висоти у цифровому вигляді для подальшої обробки.

Загальна характеристика записів наведена у табл. 1. За результатами статистичної обробки дискретних відміток абсолютної висоти польоту ПК (табл. 1) була побудована загальна гістограма, що характеризує відхилення ПК від висоти заданого ешелону польоту (для ЕП-160, абсолютна висота - 4900м) (рис. 3).

Табл. 1 Загальна характеристика записів абсолютної висоти польоту

Рис. 3 Гістограма відхилень від заданої висоти польоту побудована за статистичними даними польотів

На основі отриманої статистичної гістограми (рис. 3) було виконано розрахунок параметрів для суміші двох розподілів за наведеною вище методикою. Розрахунок було здійснено за спеціально написаною комп'ютерною програмою на мові математичного програмування MathLAB.

У результаті були отримані параметри щільності ймовірності відхилення ПК від заданої траєкторії руху для літака АН-140:

µ =-24, 927; б = 0, 0035533; = 29, 686; = 252, 13; = 0, 5; = 1.

Запропонована методика дозволяє побудувати щільність ймовірності відхилення ПК від запланованої висоти польоту за даними вимірювань барометричного висотоміра. Даний підхід дозволяє віднайти характер розподілу для конкретного ПК чи для класу літаків шляхом розрахунку невідомих параметрів. Розроблена програмна реалізація методики розрахунку у середовищі математичного програмування MathLAB дозволяє досить швидко провести розрахунки для будь яких початкових даних.

Список використаних джерел

1. Международная организация гражданской авиации. Группа экспертов по рассмотрению общей концепции эшелонирования. Совещание (6; 1988). Doc 9536, RGCSP/6 TOM 1. Доклад: Монреаль, 28 ноября - 15 декабря 1988 г.Т. 1/ИКАО.-Монреаль, 1988. - 270 с.

2. Международная организация гражданской авиации. Группа экспертов по рассмотрению общей концепции эшелонирования. Совещание (6; 1988). Doc 9536, RGCSP/6 TOM 2. Доклад: Монреаль, 28 ноября - 15 декабря 1988 г.Т. 2/ИКАО.-Монреаль, 1988. - 672 с.

3. Обработка и анализ полётной информации программно-аппаратным комплексом (шифр «Монстр»), конспект лекций. Практикум для студентов по направлению 6.050101 специальности «Компьютерные науки», а также для авиационных специалистов в чьи функции входит обработка и анализ полётной информации. И.В. Мишарин, Г.И. Непорожний - Киев: НАУ, 2007. - 160 с.

4. Остроумов И.В., Кукуш А.Г., Харченко В.П. Оценка вероятности правильного распознавания по правилу Байеса при неточно известной плотности распределения // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. - 2007. - Т. 50, № 11. - С. 60-68.

5. Остроумов І.В., Кукуш О.Г., Харченко В.П. Багатоальтернативна класифікація ситуацій повітряного стану у разі, коли щільності розподілу ймовірності відомі неточно // Вісник НАУ. -2007. - Т. 31, № 1. - С. 73-77.

Размещено на Allbest.ru