Адаптивные антенные решетки телекоммуникационных систем, реализующие градиентные алгоритмы в статической или динамической системе координат управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

16

Адаптивные антенные решетки телекоммуникационных систем, реализующие градиентные алгоритмы в статической или динамической системе координат управления

Адаптивные антенные решётки (ААР) позволяют за счёт корреляционной обработки совокупности принятых сигналов сформировать глубокие провалы в ДН основного канала приёма, ориентированные на источники мешающих сигналов. За счёт этого значительно повышается помехозащищённость, и сохраняются функциональные показатели радиоканала. В частности, пути совершенствования следующего поколения систем сотовой радиосвязи, связывают с разработкой, так называемых “умных антенн” (smart antennas), формирующих диаграмму направленности (ДН) с максимумом на абонента и с провалами на источники внутрисистемных или иных мешающих сигналов [http://www.ascor.eltech.ru]. Такие антенны строятся на принципах адаптивных АР.

История развития техники ААР свидетельствует о том, что ААР разрабатывались преимущественно в интересах радиолокационных систем. В частности это проявляется в том, что критерии адаптации в подавляющем большинстве случаев ориентированы исключительно на повышение соотношения сигнал/(помеха + шум) или оптимизацию иных критериев обнаружения сигналов.

В системах радиосвязи и телекоммуникаций, естественно, соотношение сигнал/(помеха + шум) остается важнейшей характеристикой качества приема, однако важно в процессе адаптации (формирования провала на источник мешающих сигналов) в возможной степени сохранять зону связи, т.е. в возможной степени сохранять исходную ДН. Это требование должно учитываться в критериях оптимизации ААР телекоммуникационных систем (ТКС).

Таким образом, критерии оптимизации, структурные схемы и потенциальные характеристики ААР, предназначенных для работы в составе ТКС с одной стороны, востребованы тенденциями развития систем телекоммуникаций, а с другой стороны изучены не достаточно полно. Поэтому работа в этом направлении является актуальной.

Предметом исследования являются критерии оптимизации, структурные схемы цепей адаптации, потенциальные характеристики ААР, адекватные специфике функционирования ТКС.

Объект исследования. ААР, предназначенные для повышения помехозащищенности телекоммуникационных систем, структурные схемы и функциональные элементы соответствующих ААР.

Цель работы уменьшение потерь зоны связи ТКС в условиях воздействия мешающих сигналов.

Задача исследования. Разработка алгоритмов адаптации и структурных схем ААР, уменьшающих потери зоны связи ТКС в условиях воздействия мешающих сигналов. В частности, для достижения поставленной цели необходимо:

· сформулировать критерии адаптации антенных решеток, адекватно отражающие требования к телекоммуникационным системам;

· разработать структурные схемы цепей адаптации, осуществляющих регулирование в статической или динамической системе исполнительных координат;

· исследовать потенциальные характеристики ААР, оптимизирующих предложенные критерии;

· оценить влияние технических ограничений, присущих реальным функциональным элементам ААР, на процесс адаптации и установившиеся состояния.

Методы исследования: теория оптимизации, линейное и нелинейное программирование; статический анализ, математическое моделирование динамических систем, в частности, в среде MatLab-Simulink.

Достоверность и обоснованность. Достоверность результатов является следствием использования корректных математических методов, подтверждается имитационным моделированием процессов адаптации, а также положительной реакцией научной общественности при обсуждении результатов выполненных исследований на международных научно-технических конференциях.

Научная новизна результатов работы состоит в следующем:

· предложены целевые функционалы оптимизации ААР, адекватные особенностям функционирования ТКС;

· разработаны структурные схемы ААР, реализующих алгоритмы антиградиентного спуска к минимумам предложенных критериев в статической или динамической системе исполнительных координат;

· выявлена структура локальных минимумов целевого функционала при амплитудном или фазовом управлении;

· получены статистические оценки потенциальных характеристик ААР типичных геометрий (линейная, кольцевая) с полной и частичной адаптацией.

Практическая ценность работы связана с тем, что ее результаты позволяют уменьшить потери зоны радиосвязи при адаптивном формировании ориентированных на источники помех провалов ДН.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Девятой Международной НТК «Проблемы техники и технологий телекоммуникаций» ПТиТТ - 2008 (Казань, 2008 г.) ; Нигматуллинские чтения (Казань, 2008); XVI Туполевские чтения (Казань, 2008); «Современные проблемы радиоэлектроники» (Красноярск, 2009 г.); VIII Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов-2009» (С-Петербург); VIII Международная конференция, «Авиация и космонавтика-2009» (Москва).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 научных работ: 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, 1 статья в сборнике научных трудов, 5 тезисов докладов.

Использование результатов работы. Результаты выполненных исследований использовались учебном процессе: 1) в редакционно-издательский отдел КГТУ им. А.Н.Туполева сдано методическое пособие “Моделирование полосковых устройств СВЧ в среде Microwave Office. Часть 2. Электродинамическое моделирование”; 2) на сервере кафедры РТС КГТУ им. А.Н. Туполева в каталоге Z:\Docs\Антенны&УСВЧ размещены компьютерные программы для исследования характеристик ААР; 3) по тематике диссертационной работы выполнялись дипломные проекты студентами специальностей 210402 “Средства связи с подвижными объектами” и 210404 “Многоканальные телекоммуникационные системы”.

Основные положения, выносимые на защиту

· функционалы оптимизации, учитывающие требования к сохранению рабочей зоны, и критерий оценки эффективности ААР.

· структурные схемы цепей адаптации, осуществляющих управление исполнительными элементами в статической и динамической системах координат;

· результаты статистического моделирования динамики процесса адаптации и потенциальных характеристик ААР, оптимизирующих предложенные критерии;

· результаты исследования структуры целевых функционалов (числа локальных минимумов и их уровня) при амплитудном и фазовом регулировании, алгоритм ранжирования локальных минимумов целевых функционалов;

· алгоритм квазичебышевской аппроксимации логарифмической амплитудной характеристики приёмного тракта и результаты цифрового моделирования динамики процесса адаптации;

· оценки влияния мёртвых зон комплексного весового умножителя на процесс адаптации и установившиеся состояния ААР.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 78 наименований, и приложений. Работа без приложений изложена на 161 страницах машинописного текста, включая 63 рисунка и 3 таблицы.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цель работы, перечислены основные положения, выносимые на защиту. Приведена структура диссертации, форма апробации и внедрения ее результатов.

В главе 1 «ТЕОРИЯ И ТЕХНИКА ААР. КРАТКИЙ ОБЗОР. ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ» обсуждаются присущие любой ААР свойства и классические структурные схемы цепей обратной связи, приводятся результаты патентных исследований, констатируется тот факт, что подавляющее большинство работ по тематике ААР посвящено антеннам радиолокационного назначения. Хотя наработанные в этой области результаты оказываются полезными и для систем радиосвязи и телекоммуникаций, однако, при этом далеко не в полной мере учитываются специфические особенности функционирования телекоммуникационных систем (ТКС).

В главе 2 «Адаптивные антенные решётки телекоммуникационных систем, управляемые в статической системе исполнительных координат» предложен критерий эффективности адаптации в ТКС, обсуждаются целевые функционалы, адекватные специфике функционирования подобных систем, анализируются установившиеся состояния ААР, получены статистические оценки эффективности адаптации в вариантах с основным элементом и с полной компенсацией.

В ТКС с неадаптивными антеннами источники мешающих сигналов вызывают ухудшение отношения сигнал/(помеха+шум) и существенное сокращение исходной рабочей зоны S_РЗ до размеров S^п_РЗ при неизменой исходной ДН F_o(и) (рис. 1а). Благодаря цепям адаптации, в ДН F_АД(и) появляются провалы на источники мешающих сигналов (рис. 1б), отношение сигнал/(помеха+шум) снижается не значительно, и в итоге рабочая зона S^п_ад ТКС (заштрихованная область) сокращается существенно меньше.

оптимизация антенный адаптация

Представляют интерес такие целевые функционалы, которые отражают два главных фактора оптимизации ДН к текущей помеховой обстановке: снижение уровня помех и сохранение (по возможности) исходной ДН .

Естественно эффект от применения ААР оценивать отношением площадей S^п_РЗ и S^п_ад, т.е. коэффициентом

Текущая ДН однозначно определяется весовым вектором , а исходная ДН соответствует начальному вектору . Об изменении ДН можно судить по отклонению векторов и . Поэтому функционал

может рассматриваться как целевой функционал при оптимизации ААР ТКС. Идея функционала , представленного формулой (3), достаточно проста: контролировать отклонение текущей ДН от исходной ДН не косвенно через отклонение весовых векторов и , а непосредственно. Таким образом, в качестве целевого функционала может выступать взвешенная сумма

Следует иметь в виду, что в функционале фигурирует квадрат нормы отклонения комплексных диаграмм и . Это приводит к тому, что отличие их фазовых диаграмм проявляется в росте значения , даже если амплитудные диаграммы не изменяются. Поскольку в обеспечении рабочей зоны связи фазовая диаграмма никакой роли не играет, очевидно, что требования к процессу адаптации ААР в ТКС наиболее адекватно отражает функционал следующей структуры

В отличие от функционалов и этот функционал не приводится к квадратичной форме, что затрудняет анализ результатов его минимизации.

В работе показано, что векторы градиентов функционалов и определяются следующими выражениями

Верхние строчки соответствуют ААР с основным нерегулируемым элементом, а нижние - ААР с полной адаптацией. Оптимальные состояния ААР с учетом (5) и (6) соответствуют весовым векторам

где <R^П> ? матрица коэффициентов корреляции взвешиваемых помеховых сигналов; ? вектор коэффициентов корреляции сигнала основного элемента и взвешиваемых помеховых сигналов; <Z> ? матрица так называемых взаимных сопротивлений элементов АР.

Антиградиентный спуск к минимумам функционалов и в реальном масштабе времени соответствует уравнению или в интегральной форме . На рис. 2 представлены структурные схемы соответствующих ААР.

При одиночной помехе и идентичных амплитудных ДН элементов АР легко находятся собственные вектора R_i и собственные числа матрицы <R^П>. Соответственно определяется вектор для функционала , и коэффициент о ослабления помехи в установившемся состоянии оказывается равным

К сожалению, даже в простейшем варианте линейной АР изотропных элементов не удаётся аналитически определить собственные вектора Z_i и собственные числа матрицы . Поэтому даже в простейшей ситуации одиночного источника мешающих сигналов. Численное моделирование - единственный способ анализа процессов адаптации по функционалу .

Минимизацию функционала можно свести к антиградиентому спуску (в реальном времени или в ходе вычислительного процесса) к минимуму функционала , но при этом непрерывно отслеживать изменение текущий фазовой ДН ААР Ш(t,и) и корректировать исходную фазовую диаграмму Ш_о(и), приравнивая её текущей фазовый диаграмме Ш(и,t).

В структурной схеме ААР (рис. 2) исходная ДН представлена вектором весовых коэффициентов. Поэтому изменение Ш_о(и) означает такое изменение вектора при котором

Решение уравнения (8) по методу наименьших квадратов приводит к системе N алгебраических уравнений относительно N неизвестных

На рис. 3 изображена структурная схема возможного варианта построения ААР, минимизирующей целевой функционал. Сплошными линиями представлены элементы структурной схемы ААР по критерию , пунктирными - дополнительные цепи коррекции исходного вектора . Эта же схема хорошо иллюстрирует алгоритм цифрового моделирования динамики адаптации подобной ААР. Процесс рекурсий, соответствующих конечно-разностному алгоритму моделирования ФНЧ:

Шаг i: ,

; ;

(где - временной дискрет; ; ? параметры ФНЧ) ? сопровождается коррекцией фазовой диаграммы (без изменения времени ) ; ; .

Рис. 3. Структурная схема контура управления ААР, минимизирующей функционал

В работе приводятся результаты моделирования среди случайных ситуаций с различным числом помех для трех типичных геометрий АР: линейной изотропной, кольцевой изотропной и кольцевой с кардиоидными излучателями. Даже при ограниченной серии проявляются основные закономерности: во-первых, с ростом M возрастают потери рабочей зоны; во-вторых, у ААР по критерию наилучшие результаты.

Для более полной характеристики сопоставляемых вариантов ААР в работе построены гистограммы плотностей вероятности значений коэффициента эффективности Кэфф. Гистограммы полученные по данным для 2000 случайных помеховых ситуаций.

Расчетные результаты свидетельствуют о том, что при минимизации функционала обеспечивается прирост коэффициента эффективности К_эфф в среднем почти на 30%. Естественно, это значение зависит от многих обстоятельств (геометрии АР, числа элементов, интенсивности и числа источников помех), но, как подтверждают многочисленные расчеты, с функционалом связаны наилучшие показатели ААР.

В главе 3 «Адаптивные антенные решётки телекоммуникационных систем, управляемые в динамической системе исполнительных координат» рассматриваются вопросы, связанные с переходом к регулированию амплитуд и фаз (вместо реальных и мнимых частей) весовых коэффициентов. В таком варианте исполнения ААР оси исполнительной системы координат изменяют свою ориентацию на комплексной плоскости в процессе регулирования и в этом смысле являются динамическими. Исследуется рельеф целевых функционалов, когда регулируются только фазы или только амплитуды весовых коэффициентов, предложен алгоритм ранжирования локальных минимумов. Для четырех типов антенных решеток анализируется эффективность адаптации как в конкретных помеховых ситуациях, так и статистические характеристики для большой выборки помеховых ситуаций.

Классические схемы ААР содержат КВУ, образованные квадратурными каналами для регулирования синфазной и квадратурной составляющих обрабатываемого сигнала. Это приводит к тому, что в идеале область достижимых весовых коэффициентов представляет собой квадрат со сторонами ±0.25 (-6дБ). Ясно, что выполнив КВУ как последовательно включенные аттенюатор и фазовращатель, можно улучшить КПД как минимум на 3 дБ и соответственно увеличить площадь рабочей зоны связи за счет более высокого коэффициента усиления антенны.

Кроме того, в практическом отношении интересны варианты ААР с чисто амплитудным или чисто фазовым регулированием. Для варианта ААР с основной антенной естественно использовать мощность помех Р_пом на выходе ААР в качестве минимизируемой целевой функции

Частные производные функционала (10) по переменным A_n иц_n образуют векторы градиентов и в пространствах соответственно амплитудных и фазовых распределений. Можно показать, что они даются выражениями:

где - значение текущей ДН ААР в направлении и_m на помеху; звездочка ^* у скаляра означает комплексное сопряжение.

Схема ААР с полной адаптацией (схема Аппелбаума) реализует градиентный алгоритм минимизации функционала , второе слагаемое которого при переходе к амплитудно-фазовому регулированию целесообразно записать в форме

где и амплитуды и фазы составляющих исходного весового вектора ; сомножители ма, мц играют роль штрафных коэффициентов, выражающих плату за отклонения амплитуд и фаз от соответствующих значений вектора .

Тогда выражения преобразуются к виду

,

.

В зависимости от того, какие параметры АФР (фазы, амплитуды или и то, и другое) оптимизируются, возможны три варианта итерационных алгоритмов градиентного спуска: амплитудной, фазовый и амплитудно-фазовый. Для удобства на рисунках будем использовать метку “А”, “ц”, “W” как признаки соответствующих алгоритмов.

Поскольку превалирующее при мощных помехах первое слагаемое целевых функционалов при фазовом регулировании представляет собой нелинейную функцию N переменных, то чрезвычайно интересно выяснить структуру ее локальных минимумов. В случае одиночной помехи и АР из изотропных элементов удается путем логических рассуждений определить число и положение локальных минимумов, причем все они являются глобальными. В общем же случае единственный путь - это численный анализ рельефа сеточной функции. Для этой цели была разработана программа FindLocMin, которая не только формирует массив локальных минимумов, но и ранжирует их по уровню, сохраняя только один из серии близких по уровню, поскольку в практическом отношении такие локальные минимумы равноценны. В некоторых ситуациях возникают седловые точки для выявления которых была введена дополнительная процедура анализа.

На рис. 4 представлены гистограммы уровней локальных минимумов для АР с тремя компенсирующими элементами при фазовом регулировании. Обрабатывались результаты анализа рельефов по 500 случайным помеховым ситуациям. Вверху справа приведены значения вероятностей первого (Р₁), второго (Р₂) и третьего (Р₃) локальных минимумов и их средние значения M[P_вых] в долях суммарной мощности помех на входе, т.е. среднее значение ослабления помех. Естественно, что первый минимум всегда существует (Р₁ = 1). Для единственной помехи, как не трудно выяснить, существует 12 локальных минимумов нулевого уровня, которые после ранжирования считаются одним (на рис. 4 этой тривиальной ситуации нет). С увеличением числа помех появляются локальные минимумы следующих уровней и в целом компенсация ухудшается.

В работе рассматриваются три варианта алгоритмов антиградиентного спуска к минимуму функционала , соответствующие амплитудному (А), фазовому (ц) и амплитудно-фазовому (W) регулированию. Числовое моделирование динамики процесса адаптации соответствует следующим рекурсиям.

На рис. 5 представлена динамика процесса адаптации для линейной решетки, содержащей 21 элемент с шагом 0,65л. Исходный весовой вектор

оптимизация антенный адаптация

Рис. 4. Гистограммы уровней локальных минимумов после ранжирования: а - две помехи, б - три помехи

соответствовал спадающему к краям амплитудному распределению “косинус на пьедестале” и фазированию в направлении и_о = 110°:

.

Рис. 5. Динамика адаптации ААР по схеме Аппелбаума а - исходная ДН; б, в, г - динамика процесса адаптации

Моделировались 50 ситуаций со случайным расположением шести источников помех за пределами главного луча. Интенсивность этих источников полагалась одинаковой и на 20дБ выше принятой за единицу интенсивности условного полезного сигнала, приходящего по оси луча. На рис. 5а представлена исходная ДН F_o(и). Здесь вертикальными линиями отмечены угловые координаты и_m источников помех для одной из 50-ти случайных ситуаций.

На рисунках 5б - 5г представлены результаты численного моделирования динамики адаптации рассматриваемой ААР для трех алгоритмов. Жирные линии - это динамика компенсации помех на выходе ААР усредненная по пятидесяти случайным ситуациям. Как свидетельствуют представленные зависимости, в отношении потенциальных возможностей фазовое регулирование заметно уступает амплитудному, которое немного хуже амплитудно-фазового.

В главе 4 «ДИНАМИКА ПРОЦЕССА АДАПТАЦИИ С УЧЁТОМ РЕАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕМЕНТОВ» анализируется влияния на потенциальные характеристики и динамику процесса адаптации некоторых технических ограничений, неизбежно возникающих при реализации основных функциональных элементов структурных схем ААР.

При обработке на СВЧ комплексные весовые умножители (КВУ) выполняются в виде синфазного и квадратурного каналов, позволяющих за счет аттенюаторов и фазовых коммутаторов независимо регулировать вещественную и мнимую части коэффициента передачи КВУ. В таких схемах широкое распространение получили управляемые p-i-n диодные аттенюаторы, предельное значение ослабления которых А_min зависит от числа диодов и, как правило, находится в пределах 23дБ - 30дБ. Этим обусловлено наличие мертвых зон, недоступных для КВУ (рис. 6).

Рис. 6. Мертвые зоны КВУ а - достижимая область весовых коэффициентов; б - годограф весового коэффициента

Если установившееся значение весового вектора находится в достижимой области КВУ (заштрихованные области на рис. 6), то наличие мертвых зон не влияет на конечный эффект компенсации помех и проявляется лишь в незначительном изменении динамики регулирования , связанном с пересечением мертвой зоны. В противном случае после вхождения в мертвую зону наблюдаются непрерывные “скачки” от левой границы мертвой зоны к правой ее границе и обратно (рис. 6б).

Это ограничивает эффект компенсации тем в большей степени, чем интенсивнее помехи. Для числового моделирования процесса адаптации в антенной решетке с учётом влияния мёртвых зон комплексных весовых умножителей, была составлена программа “ModDeadZone” в среде MATLAB-Simulink. Получены соответствующие оценки

В современной аппаратуре широко применяются приёмники с логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАХ). Для ориентировочных расчётов динамики ААР могут быть использованы известные результаты, касающиеся влияния амплитудных ограничителей на процесс адаптации. Однако представляет интерес более точное описание влияния логарифмической характеристики приёмников с возможностью аналитических расчетов. Без потери общности ЛАХ может быть записана в нормированном виде f(x) = ln(1+x) где х - приведенная (например, к шуму) безразмерная входная величина.

Чебышевское приближение привлекательно тем, что обеспечивает минимальное линейное отклонение аппроксимирующей функции от исходной. Однако в рассматриваемом случае его следует дополнить естественными требованиями: . Предложен алгоритм квазичебышевского приближения ЛАХ совокупностью линейных отрезков L_k(x) = a_k + b_k x, (где k - номер отрезка, x_k-1 < x < x_k - интервал, соответствующий отрезку k), уклоняющихся от функции f(x) не более чем на заданную величину в. Выяснена зависимость числа интервалов, необходимых для достижения заданной точности в в пределах требуемого диапазона изменения аргумента х. Сопоставлены три варианта амплитудных характеристик трактов ААР: неограниченная линейная (А), жесткое ограничение (Б) и ЛАХ (В).

В варианте (А), как известно, процесс описывается экспонентой, постоянной времени которой с увеличением мощности помехи и коэффициентов усиления ЦОС уменьшается и может стать сколь угодно малой, например, составлять долю периода несущей. Но при такой скорости регулирования теряет смысл само понятие комплексных амплитуд, в рамках которого выполнялся анализ и получены соответствующие выражения.

Естественно, что динамика адаптации для вариантов (Б) и (В) характеризуется тем, что даже при мощных помехах скорость регулирования оказывается ограниченной (как это всегда бывает на практике) и применимость исходных посылок не вызывает сомнения. Интересно заметить, что при рациональном подборе уровня ограничения в варианте (Б) могут быть получены результаты достаточно близкие к ситуации с ЛАХ. Однако значение существенно зависит от уровня помехи и по мере возрастания интенсивности помехи увеличивается расхождение результатов.

В заключении представлены основные результаты и выводы по диссертации.

Выводы

Главным результатом диссертационной работы является решение важной научно-технической задачи - разработка алгоритмов адаптации и структур ААР, уменьшающих потери зоны связи ТКС в условиях воздействия мешающих сигналов.

Основные выводы по работе:

1. Сформулированы критерии адаптации антенных решеток, адекватно отражающие требования к телекоммуникационным системам за счет контроля степени отклонения адаптированной ДН от исходной; разработаны структурные схемы цепей адаптации, осуществляющих регулирование в статической или динамической системе исполнительных координат;

2. Предложенным схемам построения ААР свойственно меньшее сокращение зоны связи в процессе адаптации; как показывают результаты статистического моделирования в определенных условиях выигрыш в среднем составляет 30%;

3. Исследована структура локальных минимумов оптимизируемого функционала при фазовом или амплитудном регулировании; предложена процедура ранжирования локальных минимумов.

4. Исследованы потенциальные характеристики ААР, оптимизирующих предложенные критерии;

5. Оценено влияние технических ограничений, присущих реальным функциональным элементам ААР, на процесс адаптации и установившиеся состояния.

6. Эффективность ААР, реализующих амплитудное регулирование, незначительно уступает эффективности комплексного регулирования (при числе помех меньшем числа компенсаторов); фазовое регулирование заметно хуже амплитудного.

Литература

1. А. Хассан, Чони Ю.И., Процессы адаптации и характеристики антенных решеток, управляемых в динамической системе координат.// Антенны. Москва, Радиотехника, 2009. - № 11. - С. 19-23.

2. А. Хассан, Чони Ю.И., Динамика процессов регулирования в адаптивных антенных решетах с логарифмическими приемниками.// Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - Казань, 2009. - № 3. - С. 60-62.

Работы, опубликованные в других изданиях

3. А. Хассан, Чони Ю.И., Анализ динамики адаптации в ААР с учётом логарифмических амплитудных характеристик приемников.// Сборник научных трудов «Современные проблемы радиоэлектроники» - Красноярск, ИПК СФУ, 2009 - С. 46-49.

4. А. Хассан, Чони Ю.И., Расчёт параметров телекоммуникационных адаптивных антенн с учётом нелинейности амплитудных характеристик тракта.// Девятая Международная НТК «Проблемы техники и технологий телекоммуникаций» - Казань, 2008 - С. 326-327.

5. А. Хассан, Алгоритм кусочно-линейной аппроксимации логарифмической характеристики в чебышевском приближении.// Девятая Международная НТК «Проблемы техники и технологий телекоммуникаций» - Казань, 2008 - С. 328.

6. А. Хассан, Чони Ю.И., Ослабление мешающих сигналов в адаптивных антенных решетках при амплитудном или фазовом регулировании.// VIII Международная НТК «Физика и приложение волновых процессов-2009», C-Петербург - С. 155-156.

7. А. Хассан, Чони Ю.И., Адаптивные антенные решетки, функционирующие в динамической системе координат управления.// Восьмая Международная Конференция, «Авиация и космонавтика-2009», Москва.

8. А. Хассан, Чони Ю.И., Электродинамическое моделирование полосковых устройств в среде Microwave Office.// XVI Туполевские чтения, Казань, 2008 - С. 50.

Размещено на Allbest.ru