Особенности применения инвариантных методов передачи через канал с гладкими замираниями

-,

то непосредственной проверкой легко убедиться, что модель полосового канала может быть построена с помощью использования низкочастотных фильтров так, как показано на Рисунок1

В этой модели применяются демодуляторы, включающие перемножителаи на cos2рfсрt и sin2рfсрt, низкочастотные фильтры с ИПФ Hc(t) и Ht(t) и модуляторы, на которые в качестве несущнх подаются колебания cos2рfсрt и sin2рfсрt. При выполнении условий четной симметрии АЧХ и нечетной симметрии ФЧХ полосового канала мгновенная фаза ?(t)=Q и мы имеем действительный эквивалентный канал у которого H(t)=H(t) .

Из приведенных рассуждений следует, что как изучение, так и моделирование эквивалентного низкочастотного комплексного канала. Этим следствием мы будем непосредственно пользоваться в дальнейшем. Хотя отдельные схемы решения получаемые с помощью полосовых систем, могут оказаться более простыми с реализационной точки зрения, в аналитических исследованиях удобнее оперировать с эквивалентным каналом.

Комплексная огибающая Z(t) сигнала на выходе полосового фильтра выражается с помощью операции свертки через комплексные огибающие входного сигнала и импульсной реакции фильтра и имеет вид:

Z(t)=(1/2)[X(t)H(t)],

а спектр комплексной огибающей определяется соотношением:

Sz(jf) = (1/2)(Sx(jf)Kэ(jf)).

Тогда сигнал на выходе полосового фильтра можно записать как:

Z(t) = ReZ(t)ej2рfсрt

Рисунок 12

Комплексный низкочастотный фильтр можно легко синтезировать при помощи фильтров с действительными параметрами. Если произвести простые операции, то придем к структурной схеме, изображенной на Рисунок 13.

Рисунок 13 - Структурная схема комплексного фильтра

Модели каналов связи с переменными параметрами.

В реальных условиях некоторые параметры приходящих сигналов не известны при приеме и, в лучшем случае, известны только распределения вероятностей этих параметров. Иногда эти известные параметры могут быть определены с той или иной вероятностью путем анализа принимаемого сигнала и знание их может быть использовано при приеме последующих элементов сигнала. Часто это бывает невозможным, так как неизвестные параметры не остаются постоянными в процессе передачи, а довольно быстро изменяются, и знание предыдущих значений этих параметров практически бесполезно для приема последующей части сигнала. Даже в тех случаях, когда неизвестные параметры сигнала изменяются очень медленно, определить их путем анализа приходящего сигнала не всегда удается. Увеличение верности приема, достигаемое учетом этих параметров, не всегда окупает усложнение приемного устройства, необходимого для осуществления данного анализа. Во многих случаях более выгодно получить такое же повышение верности принимаемого сигнала путем увеличения мощности передаваемого сигнала.

Финк Л.М. в своей работе «Теория передачи дискретных сообщений» рассматривал случай, когда неизвестным параметром является начальная фаза гармонических составляющих сигнала. Неопределенность фазы может быть вызвана разными причинами. Достаточно часто в современной аппаратуре связи эта неопределенность вызывается условиями формирования сигнала в передающем устройстве. При этом нередко каждый элемент сигнала передается с совершенно произвольной начальной фазой.

Другой причиной неопределенности фазы приходящего сигнала являются колебания времени распространения сигнала в канале. Здесь Финк Л.М. рассматривает случай, когда меняется в настолько малых пределах , что изменениями огибающей сигнала за время можно полностью пренебречь. В это же время фаза высокочастотного заполнения приходящего сигнала меняется в столь значительных пределах, что все значения сдвига фазы в пределах от до можно считать равновероятными. Для этого необходимо выполнять условие:

,

где -- средняя частота спектра сигнала;

-- условная полоса частот, занимаемая сигналом.

Очевидно, что условие может быть выполнено лишь для относительно узкополосных сигналов, у которых , но именно такие сигналы обычно используются для радиосвязи и для дальней проводной связи.

Финк Л.М. показывает, что при условии колебания времени распространения могут быть сведены к колебаниям фазы. Пусть передается сигнал

,

где

; .

Принимаемый сигнал в сумме с помехой равен

где -- постоянный коэффициент передачи; -- среднее значение времени распространения; -- аддитивная помеха;

.

Из условия при следует, что различные значения лежат в пределах от до и разность между ними не превышает . Это позволяет считать значения для всех приблизительно одинаковыми и равными .

Причинами колебаний времени распространения могут быть изменения среды, в которой распространяются сигналы (например, изменения высоты отражающего слоя при ионосферной связи, изменения температуры кабеля и усилителей в проводной связи и т. д.), а также изменения взаимного расположения передающего и приемного устройств.

Условия приема сигналов зависят в значительной степени от того, с какой скоростью происходят флюктуации фазы.

Можно различать следующие случаи:

1) очень быстрые флюктуации, когда фаза сигнала существенно изменяется на протяжении одного элемента сигнала;

2) быстрые флюктуации, когда начальные фазы соседних элементов сигнала можно считать некоррелированными, но в пределах одного элемента фаза сигнала заметно не изменяется (к этому случаю обычно относятся те флюктуации фазы, которые вызваны условиями формирования сигнала в передающем устройстве);

3) медленные флюктуации, когда начальные фазы соседних элементов почти одинаковы, однако на протяжении нескольких элементов фаза меняется в значительных пределах;

4) очень медленные флюктуации, когда фаза сигнала мало меняется на протяжении значительного числа элементов сигнала.

Такое разделение условно и существуют промежуточные случаи, но оно полезно, как некоторая идеализация, облегчающая теоретический анализ.

Первый случай обычно сопровождается быстрыми флюктуациями коэффициента передачи (замираниями сигнала). Для второго случая характерно полное отсутствие сведений о начальной фазе принимаемого элемента сигнала. Это не препятствует приему содержащейся в элементе информации, если только она не заложена в самом значении начальной фазы. Различение сигнала при полном отсутствии сведений о начальной фазе каждого элемента можно называть абсолютно некогерентным приемом.

Третий случай занимает промежуточное положение между вторым и четвертым. Как и в четвертом случае, здесь возможен когерентный прием, но для оценки начальной фазы ожидаемого элемента сигнала может использоваться лишь небольшое число предыдущих элементов, что приводит к значительной погрешности и увеличению вероятности ошибок. Четвертый случай, при очень медленных флюктуациях фазы можно путем анализа предыдущих элементов сигнала с достаточной точностью определить ожидаемые фазовые соотношения в последующих элементах и осуществить когерентный прием.

Как в третьем, так и в четвертом случаях можно применять абсолютно некогерентный прием, отказавшись от использования каких-либо сведений о начальной фазе ожидаемого элемента сигнала. Однако здесь используется и относительно некогерентный прием, при котором неизвестной является начальная фаза некоторой последовательности элементов, но возможные фазовые соотношения между соседними элементами сигнала известны.

Методы приема сообщений в каналах со случайными параметрами.

В практике связи оптимальные схемы некогерентного приема начали применяться лишь в последние годы. В настоящее время широко распространены различные схемы приема, отличающиеся от оптимальных, преимуществом которых является в одних случаях простота, а в других случаях -- менее жесткие требования к стабильности частоты. Большая часть таких схем предназначена для наиболее широко распространенной двоичной системы ЧТ.

Узкополосный прием по огибающей.

Схема узкополосного приема отличается от оптимальной схемы с согласованными фильтрами тем, что вместо согласованных с сигналом фильтров применены несогласованные «разделительные» фильтры, имеющие относительно узкие полосы пропускания. Так, для двоичной системы ЧТ обычно используются фильтры, имеющие импульсную реакцию:

где -- огибающая импульсной реакции, обычно одинаковая для обоих фильтров; и -- некоторые детерминированные сдвиги фаз; и -- резонансные частоты фильтров, совпадающие (в принципе) с частотой сигналов и .

В зависимости от вида функции схема обеспечивает различную помехоустойчивость. Если:

то такие фильтры, очевидно, окажутся согласованными с сигналом и схема совпадет с оптимальной схемой. Но такие фильтры трудно осуществить. Поэтому применяют более простые фильтры, например фильтр одиночного колебательного контура, для которого:

либо полосовые фильтры, приближающиеся к идеальному П-образному (физически не реализуемому) фильтру, для которого:

Здесь -- эффективная (или «шумовая») полоса пропускания фильтра, определяемая равенством:

где -- передаточная функция фильтра. Для П-образного фильтра совпадает с полосой пропускания в обычном смысле.

При подаче сигнала на фильтр с резонансной частотой амплитуда колебания на его выходе постепенно возрастает. В случае согласованного фильтра амплитуда возрастает, как мы видели, по линейному закону.

Для одиночного контура амплитуда изменяется по закону а для идеального П-образного фильтра -- по закону

Шум же воздействует на фильтры все время, и поэтому его значение на выходе фильтра можно найти, исходя из представлений об установившемся режиме. Поскольку рассматриваемые фильтры линейны, шум на выходе каждого из них сохраняет нормальное распределение мгновенных значений и имеет мощность, равную:

Таким образом, в момент отсчета на выходе фильтра присутствует квазигармоническое колебание сигнала с амплитудой, зависящей от вида фильтра, от амплитуды на его входе и от , и шум с нормальным распределением вероятности и с интенсивностью, зависящей от . Огибающая суммарного напряжения, как известно, имеет обобщенное релеевское распределение вероятности так же, как и в случае согласованного фильтра. Однако на выходе согласованного фильтра отношение мощности сигнала к мощности помехи в момент отсчета равно:

а при неоптимальных фильтрах оно зависит от соотношения между эффективной полосой пропускания и длительностью сигнала . Изменяя величиной , можно найти такое ее значение, при котором отношение мощности сигнала к мощности шума в момент отсчета будет максимальным.

При приеме одиночного импульса эта полоса пропускания для одиночного резонансного контура равна а для П-образного фильтра . При таком выборе эффективной полосы пропускания фильтра максимальное значение равно:

для резонансного контура,

для П-образного фильтра.

Если бы напряжение на фильтре, не настроенном на частоту принимаемого сигнала, определялось только флюктуационной помехой, то принятие решения в такой схеме сводилось бы к сравнению значений двух огибающих в момент отсчета, из которых одна (в фильтре без сигнала) имеет релеевское распределение, а вторая (в фильтре с сигналом) -- обобщенное релеевское распределение вероятностей. Вероятность ошибок при этом можно вычислить по формуле описанной в «теории передачи дискретных сообщений» Финк Л.В. пункт 4.4:

Однако такой вывод не обоснован. Необходимо учесть, во-первых, что при несогласованных фильтрах принимаемый сигнал в момент отсчета создает напряжение не только в том фильтре, который настроен на его частоту, но и в другом. Во-вторых, в момент отсчета на выходах контуров сохраняются остаточные напряжения переходных процессов, созданных предыдущими элементами сигнала. Этих остаточных напряжений нет в случаесогласованных фильтров, у которых импульсная реакция отлична от нуля только на протяжении интервала времени длительностью . Оба эти фактора могут привести к существенному повышению вероятности ошибок аналогично тому, как в оптимальных схемах вероятность ошибок увеличивается при частотной неточности, которая также вызывает появление дополнительного напряжения в цепи, где сигнал не должен присутствовать. Для того, чтобы это увеличение вероятности ошибок было незначительным, необходимо обеспечить такие условия, при которых указанные дополнительные напряжения были бы ниже уровня шума.

Для того чтобы бороться с первым из указанных явлений, нужно выбирать достаточно большую разность частот сигналов . Поэтому в системах связи с применением узкополосного приема по огибающей величина «сдвига частоты» всегда существенно больше, чем . Это значит, что при узкополосном приеме имеющаяся полоса частот используется хуже, чем это возможно при оптимальных методах приема.

Второе явление -- наличие остаточных напряжений («хвостов») от предыдущих элементов сигнала -- вынуждает несколько расширять эффективную полосу пропускания фильтров сверх тех значений, которые соответствуют максимальному отношению сигнала к помехе в момент отсчета. Расширение полосы пропускания позволяет ускорить переходные процессы так, чтобы к моменту отсчета колебания, вызванные предыдущими элементами сигнала, в достаточной степени затухли. Однако расширение полосы пропускания вызывает увеличение мощности помехи, прошедшей через фильтр.

Так, например, в случае одиночного колебательного контура с эффективной полосой пропускания остаточная амплитуда напряжения от предыдущего элемента равна:

Это напряжение складывается с шумом таким же образом, как и напряжение, создаваемое сигналом в несогласованном с ним фильтре, в случае нарушения ортогональности. Поэтому вероятность ошибки можно здесь приближенно определить по формулам для неортогональных сигналов, полагая:

При допустимой вероятности ошибок меньше такое значение эквивалентно повышению мощности помехи примерно вдвое. Если расширить полосу пропускания фильтра в 2 раза, то мощность помехи действительно возрастает вдвое, но отношение снизится до 0,07 и практически такое расширение полосы не будет влиять на помехоустойчивость.

Очевидно, оптимальное значение полосы пропускания контура, обеспечивающее в данной схеме минимальную вероятность ошибок, лежит между этими двумя пределами. Точный расчет, подтвержденный экспериментом, дает оптимальное (с учетом остаточных колебаний) значение полосы пропускания для одиночного контура для П-образного фильтра -- . В обоих случаях эквивалентное значение отношения мощности сигнала к мощности помехи и вероятность ошибки равна:

Следовательно, узкополосный прием по огибающей сопряжен с проигрышем по мощности примерно в 2 раза по сравнению с оптимальными методами приема. Узкополосный прием по мгновенной частоте

Другая широко распространенная схема приема двоичных сигналов ЧТ состоит из узкополосного фильтра и частотного детектора (Рисунок 14). Применяют различные схемы частотного детектора, но все они содержат амплитудный ограничитель и поэтому являются нелинейными. Для анализа будем полагать частотный детектор идеальным, т. е. дающим на выходе напряжение, являющееся монотонной функцией от мгновенной частоты поданного на его вход сигнала.

Рисунок 14 - Прием сигналов ЧТ по мгновенной частоте

Его регулируют так, что нулевое напряжение на выходе соответствует среднему арифметическому от частот сигналов и . Если на вход частотного детектора подать сигналы без помех, то один из них (для определенности ) вызовет положительное, а другой -- отрицательное напряжение на выходе. Решение принимается на основании знака напряжения на выходе частотного детектора в момент отсчета. Аддитивная помеха влияет на мгновенную частоту и может вызвать ошибку. Очевидно, вероятность ошибки равна

где -- плотность распределения вероятностей мгновенной частоты при передаче сигнала . Второе равенство имеет место, если характеристика фильтра симметрична относительно .

Плотность вероятности , очевидно, зависит от отношения мощностей сигнала и помехи на выходе фильтра, от характеристики фильтра и от девиации cигнала

Для симметричного фильтра вероятность ошибки выражается сравнительно простой формулой:

Здесь -- средний квадрат частоты спектра шума [6] на выходе фильтра, определяемый как

где -- энергетический спектр шума, совпадающий в данном случае с квадратом модуля передаточной функции фильтра. Поскольку рассматривается симметричный (относительно ) фильтр, величину можно назвать средней квадратичной полосой пропускания фильтра.

Результаты получены в предположении, что сигнал при прохождении через фильтр не искажается. Следовательно, формулой (29) можно пользоваться без особых оговорок, когда полоса пропускания фильтра достаточно велика по сравнению с и с . Если величина близка к половине полосы пропускания (а тем более, если она больше половины эффективной полосы пропускания), то частоты сигналов и попадут на скаты частотной характеристики фильтра и будут ослаблены даже в установившемся режиме. Это вызовет необходимость внести поправку в величину и, вообще говоря, приведет к увеличению вероятности ошибок. Если же полоса пропускания фильтра не велика по сравнению с , то амплитуда и мгновенная частоты сигнала не будут успевать устанавливаться, что вызовет уменьшение как , так и . Задача в этом случае усложняется тем, что и будут зависеть от того, какие элементы сигнала предшествовали рассматриваемому.

Во всех реальных схемах применяют такие фильтры, в которых к моменту отсчета успевает установиться стационарный режим, а сигнал практически не ослабляется.

Формула приобретает исключительно простой вид, если . Учитывая, что , а в этом случае

является оптимальным значением девиации при приеме ЧТ по мгновенной частоте. Для случая П-образного фильтра, когда

это подтверждается, по крайней мере для больших .

Следует учесть, что эффективная полоса пропускания фильтра в схеме с частотным детектором, пропускающего сигналы и , должна быть по крайней мере вдвое больше эффективной полосы пропускания разделительного фильтра в схеме узкополосного приема по огибающей. Это требование вытекает и из сравнения процессов установления амплитуды и мгновенной частоты . Поэтому при одной и той же спектральной плотности шума на входе фильтра величина в схеме приема по мгновенной частоте будет примерно вдвое меньше, чем в схеме приема по огибающей. Следовательно, вероятности ошибок в обеих этих схемах будут приблизительно одинаковыми.

Широкополосный прием с интегрированием после детектора.

Рассмотренные выше методы узкополосного приема проще, чем оптимальные, однако требования к стабильности частоты при узкополосном приеме остаются приблизительно столь же жесткими, как и при квадратурной схеме. Эти требования можно в значительной степени снизить, если вместо узкополосных разделительных фильтров применить широкополосные, полосы пропускания которых превосходят возможные изменения частоты сигнала под влиянием дестабилизирующих факторов. Разумеется, при этом номинальное значение сдвига частоты должно быть того же порядка, что и эффективная полоса пропускания фильтра .

Если , то собственные колебания в фильтре затухают настолько быстро, что остаточными напряжениями, созданными предыдущими элементами сигнала, можно полностью пренебречь. Но расширение полосы пропускания фильтра вызывает увеличение мощности шума, прошедшего через этот фильтр. Поскольку напряжение сигнала на выходе широкополосного фильтра достаточно быстро устанавливается, отношение мощности сигнала к мощности шума на выходе равно

Будем считать также, что частотные характеристики фильтров практически не перекрываются. Это позволяет считать шумы на выходе фильтров некоррелированными. Производя регистрацию принятого сообщения путем сравнения мгновенных значений огибающих на выходе фильтров (одна из которых имеет обобщенное, а другая-- обычное релеевское распределение вероятностей), можно получить такое же выражение для вероятности ошибок, как и при оптимальной схеме, с той лишь разницей, что величина заменяется величиной :

т. е. такой метод приема эквивалентен потере мощности сигнала в раз по сравнению с оптимальным приемом.

Однако можно существенно повысить помехоустойчивость широкополосного приема, если принимать решение не на основании мгновенных значений огибающих, а учитывать весь их ход на протяжении длительности элемента сигнала . Заметим, что при узкополосном приеме учет значений огибающей в различные моменты времени на протяжении одного элемента не может повысить помехоустойчивость, поскольку все эти значения сильно коррелированны между собой и поэтому несут мало дополнительной информации. При широкополосном фильтре интервал корреляции

(где -- огибающая коэффициента корреляции шума, прошедшего через фильтр) значительно меньше . Поэтому и появляется возможность повысить помехоустойчивость путем учета всего хода огибающей.

Предположим, что решение принимается на основании учета значений огибающих напряжений на выходе фильтров в моменты времени, кратные . Примем в качестве первого приближения, что значения шума, разделенные интервалом , взаимно некоррелированны. Обозначим эти значения для первого фильтра через , а для второго фильтра -- через , где . Найдем оптимальное правило решения (основанное на критерии идеального наблюдателя), осуществляемое по этим значениям.

Если принимаемый элемент сигнала имеет частоту и проходит через первый фильтр, то величина можно представить как длину некоторой суммы постоянного вектора сигнала и случайного вектора помехи с нормально распределенными компонентами и поэтому они подчиняются обобщенному релеевскому распределению вероятностей. Величины же представляющие длину вектора помехи, имеют обычное релеевское распределение. Если частота принимаемого элемента сигнала равна и он проходит через второй фильтр, то, наоборот, величины имеют релеевское, а -- обобщенное релеевское распределение вероятностей.

Первое предположение приводит к совместной плотности вероятности

а второе предложение - к выражению

где - амплитуда приходящего сигнала; - мощность шума, прошедшего через фильтр.

Решающая схема, основанная на критерии максимального правдоподобия, принимает решения в соответствии со значением отношения величин при наблюдаемых и . Сравнивая эти выражения между собой, видим, что они отличаются только последним сомножителем. Следовательно, если

Логарифмируя это неравенство, приведем его к более удобному виду:

При выполнении этого неравенства приемник должен регистрировать первый символ, в противном случае -- второй.

Правило решения может быть осуществлено, если продетектировать напряжение фильтров экспоненциальными детекторами, сложить значения напряжения на выходе детектора в моменты, кратные , и затем сравнить между собой полученные суммы.

Рисунок 15 - Прием с интегрированием после детектора

Фактически, вместо дискретного сложения отдельных отсчетов производится интегрирование напряжения на выходе каждого из детекторов. Функциональная схема такого решающего устройства показана на Рисунок 4.17,а. Интегрирование результата детектирования можно производить, накапливая заряд на конденсаторе, который должен разряжаться после приема каждого элемента, либо подавая напряжение с выхода детектора на фильтр, согласованный с прямоугольным импульсом, имеющим импульсную реакцию

Вместо того, чтобы раздельно интегрировать напряжения на выходах детекторов и сравнивать их между собой, можно сразу интегрировать разность этих напряжении и принимать решение в зависимости от знака полученного интеграла. Обе схемы совершенно эквивалентны; практически используется вторая схема как более простая, но первая схема удобнее для проведения анализа.

Оценим вероятность ошибок, возникающих при таком методе приема. На входе одного из детекторов присутствует практически неискаженный сигнал и шум, прошедший через фильтр; мощность шума равна , где -- эффективная полоса пропускания фильтра. На входе второго детектора присутствует только шум с такой же мощностью. Эффективную полосу пропускания фильтра будем считать значительно большей, чем -- .

Предположим сначала, что характеристика детектора квадратичная. Тогда в цепи первого детектора ток содержит постоянную составляющую

,

низкочастотную флюктуационную составляющую с интенсивностью

а также составляющие в области высоких частот, которые отсеиваются в цепи нагрузки детектора и интереса для нас не представляют.

В этих формулах.

-- параметр детектора;

-- мощность шума на входе детектора;

- отношение мощности сигнала к мощности шума на входе детектора.

В цепи второго детектора, на который сигнал не воздействует, ток содержит также постоянную составляющую

и высокочастотные составляющие, которые здесь можно не учитывать.

Распределение вероятностей флюктуационных составляющих тока детектора, вообще говоря, отличается от нормального.

На выходе интегратора, включенного после первого детектора, напряжение пропорционально

где - флюктуационная часть детекторного тока.

Значение интеграла является случайной величиной с нулевым математическим ожиданием (поскольку математическое ожидание равно нулю).

Найдем дисперсию этой случайной величины:

Произведя замену переменных и изменив порядок интегрирования и взятия математического ожидания, получим

где -- коэффициент корреляции флюктуационной части тока первого детектора.

Рисунок 16 - Область интегрирования

Замена пределов интегрирования в четвертом равенстве поясняется на Рисунок 16; переход в шестом равенстве сделан на основании четности коэффициента корреляции.

При коэффициент корреляции затухает настолько быстро, что его можно считать отличным от нуля только в начальной части интервала в которой Поэтому

где -- интервал корреляции шума на выходе первого детектора.

Если условие выполнено, то распределение вероятности величины близко к нормальному. Действительно, этот интеграл можно рассматривать как сумму большого количества интегралов:

Если области интегрирования в каждом из этих интегралов больше интервала корреляции , то их можно считать независимыми. Поэтому в соответствии с центральной предельной теоремой распределение вероятностей суммы интегралов стремится к нормальному, когда стремится к бесконечности.

Аналогично, на выходе второго интегратора напряжение представляет приблизительно нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием и дисперсией

где -- коэффициент корреляции шума на выходе второго детектора; -- интервал корреляции шума.

Ошибка при приеме элемента в схеме с интегрированием после детектора возникает тогда, когда разность напряжений на первом и втором интеграторах окажется отрицательной. Эта разность, очевидно, является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием, равным и дисперсией Поэтому вероятность ошибки равна

Подставив значения величин, найдем

Интервалы корреляции и определяются коэффициентом корреляции низкочастотного шума на выходе детектора. Для квадратичного детектора

низкочастотный фильтрация детектор

где -- огибающая коэффициента корреляции процесса на входе детектора, зависящая от частотной характеристики входного фильтра.

Так, при использовании в качестве фильтра одиночного колебательного контура с эффективной полосой пропускания

а при идеальном П-образном фильтре

Подставив эти значения в (4.92), найдем для одиночного контура

а для П-образного фильтра

Значения получаются из этих же выражений, если положить

-- для одиночного колебательного контура,

-- для П-образного фильтра.

Подставив полученные значения, найдем для одиночного колебательного контура

для П-образного фильтра

Для других возможных частотных характеристик фильтров на входе детектора интервалы корреляции находятся между значениями для одиночного контура и для П-образного фильтра. Это дает право записать вероятность ошибки в общем виде

где

На Рисунок 17 представлена зависимость вероятности ошибок от при различных значениях и различных формах характеристики фильтра на входе квадратичного детектора. Из Рисунок 19 следует, что вероятность ошибок сравнительно мало зависит от входного фильтра. При изменения полосы пропускания фильтра почти не влияют на вероятность ошибок, которая при этом условии приблизительно равна

т. е. отличается от вероятности ошибок при оптимальном когерентном приеме тем, что мощность сигнала как бы уменьшилась вдвое. Таким образом, интегрирование после квадратичного детектора при больших значениях эквивалентно энергетическому проигрышу в 2 дБ по сравнению с когерентным приемом или примерно в 2 дБ с оптимальным некогерентным приемом (кривая б Рисунок 19). Впрочем, при квадратичное детектирование плохо аппроксимирует зависимость (4.82) и должно быть заменено линейным.

Рисунок 17 - Вероятность ошибки при широкополосном приеме с интегрированием после детектора

Для линейного детектирования:

где

Коэффициент корреляции шума на выходе линейного детектора в первом приближении имеет такое же значение, как и на выходе квадратичного. Величина при и при . Это позволяет воспользоваться полученными выше значениями интервалов корреляции и Подставив величины, найдем

где

Здесь для одиночного контура

а для П-образного фильтра

Полученная зависимость показана на Рисунок 17 (кривые ). При кривые мало отличаются от соответствующих кривых для квадратичного детектора, а при помехоустойчивость схемы с линейным детектором существенно выше, чем с квадратичным, и приближается к помехоустойчивости оптимальной схемы некогерентного приема. При можно приближенно считать и выражение упростится:

для одиночного контура

для фильтра с П-образной характеристикой

На практике часто вместо интегратора на выходе детектора используется фильтр нижних частот, не согласованный с прямоугольным импульсом. При этом напряжение на выходе фильтра будет пропорционально не интегралу, а интегралу Дюамеля

где -- импульсная реакция фильтра нижних частот.

Этот интеграл представляет случайную величину, числовые характеристики которой можно вычислить, зная .Если мало отличается от (49), то и помехоустойчивость такого метода приема будет приближаться к помехоустойчивости приема с интегрированием после детектора. Но обычно применяемые сравнительно простые фильтры нижних частот имеют импульсную реакцию, отличную от нуля при любом значении . Это приводит к тому, что выходное напряжение фильтра в момент отсчета зависит не только от принимаемого элемента сигнала, но и от предыдущих элементов аналогично тому, как это имеет место на выходе высокочастотного фильтра в схеме узкополосного приема по огибающей.

Указанное явление существенно повышает вероятность ошибок, и для борьбы с ним приходится применять фильтры с относительно широкой полосой пропускания, при которой реакция к моменту в достаточной степени затухает. В результате величина в интеграле в значительной части области интегрирования оказывается существенно меньше единицы; это приводит к «неполному интегрированию» помехи, т. е. к уменьшению отношения постоянной составляющей к флюктуирующей составляющей напряжений на выходе фильтра, фигурирующего под знаком функции .

Многочисленные расчеты различных авторов показывают, что для различных характеристик фильтров нижних частот наилучшее компромиссное решение между условиями получения достаточно малых остаточных напряжений от предшествовавших элементов сигнала и наилучшего усреднения шума получается, когда эффективная полоса пропускания фильтра нижних частот приблизительно равна. При этом энергетический проигрыш (относительно приема с интегрированием после детектора) составляет 2-4 дБ.

Интегрирование или фильтрацию можно применить также после частотного детектора в схеме приема по мгновенной частоте. Для приближенного вычисления вероятности ошибки при можно также принять распределение усредненной мгновенной частоты нормальным. В случае П-образного фильтра с полосой пропускания , полагая интервал корреляции равным , повторяя те же рассуждения, что и при выводе (47), приходим к следующему результату:

Поскольку частоты сигнала должны попадать в полосу пропускания фильтра, то даже не предусматривая запаса полосы пропускания на нестабильность, следует считать . Поэтому наименьшая вероятность ошибок при таком приближении равна

т. е. энергетический проигрыш по сравнению с когерентным приемом равен примерно 2 дБ, а по сравнению с оптимальным некогерентным приемом -- около 1 дБ. Этот небольшой проигрыш вызван в основном частичной потерей информации в ограничителе.