Синтез линейной непрерывной системы автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

- Разомкнутые САУ. Сущность принципа разомкнутого управления заключается в жёстко заданной программе управления. То есть управление осуществляется «вслепую», без контроля результата, основываясь лишь на заложенной в САУ модели управляемого объекта. Примеры таких систем: таймер, блок управления светофора, автоматическая система полива газона, автоматическая стиральная машина и т. п.

В свою очередь, различают:

- разомкнутые по задающему воздействию;

- разомкнутые по возмущающему воздействию.

Характеристика САУ. В зависимости от описания переменных системы делятся на линейные и нелинейные. К линейным относятся системы, состоящие из элементов описания, которые задаются линейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями.

Если все параметры уравнения движения системы не меняются во времени, то такая система называется стационарной. Если хотя бы один параметр уравнения движения системы меняется во времени, то система называется нестационарной или с переменными параметрами.

Системы, в которых определены внешние (задающие) воздействия и описываются непрерывными или дискретными функциями во времени, относятся к классу детерминированных систем.

Системы, в которых имеет место случайные сигнальные или параметрические воздействия и описываются стохастическими дифференциальными или разностными уравнениями, относятся к классу стохастических систем.

Если в системе есть хотя бы один элемент, описание которого задается уравнением частных производных, то система относится к классу систем с распределенными переменными.

Системы, в которых непрерывная динамика, порождаемая в каждый момент времени, перемежается с дискретными командами, посылаемыми извне, называются гибридными системами.

Примеры систем автоматического управления. В зависимости от природы управляемых объектов можно выделить биологические, экологические, экономические и технические системы управления. В качестве примеров технического управления можно привести:

- системы дискретного действия или автоматы (торговые, игровые, музыкальные);

- системы стабилизации уровня звука, изображения или магнитной записи. [1]

1. Постановка задачи

Целью курсовой работы является синтез линейной непрерывной системы автоматического управления по заданным показателям качества процессов управления в установившемся и переходном режимах работы.

Рассматриваемые системы автоматического управления (САУ) являются различными электромеханическими системами управления. В качестве исходных данных приняты параметры системы и показатели качества процесса управления.

Задачами курсовой работы являются:

- преобразование структурной схемы и определение передаточных функций разомкнутой и замкнутой систем по управляющему и возмущающему воздействиям;

- исследование системы на устойчивость методом логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ);

- построение желаемой логарифмической частотной характеристики системы по заданным показателям качества;

- синтез корректирующего устройства на основе заданных показателей качества переходного процесса методом ЛЧХ;

- разработка схемы корректирующего устройства;

- составление уравнений для скорректированной системы.

- определение показателей качества;

- критерии и количественные характеристики надежности.

2. Преобразование структурной схемы

2.1 Определение передаточной функции системы

Для исследования системы используем структурную схему (рисунок 1)

Рисунок 1 - Структурная схема

Структурная схема представлена следующими типовыми звеньями с передаточными функциями [1]:

А1 - усилительное звено:

;

А2 - апериодическое звено:

;

А3 - идеально интегрирующие:

;

А4 - апериодическое звено:

;

A5 - усилительное звено:

.

Значения коэффициентов K_i, T_i приведены в таблице 1

Таблица 1 - Коэффициенты передаточных функций

Ki	K1	K2	K4	K5
Значение	6,5	8	0,8	0,5
Ti	T1	T2	T4	T5
Значение	-	-	0,5	1,2

Составляем уравнения передаточных функций системы [1]

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид:

(6)

3

Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид:

(7)

3 

3. Исследование устойчивости исходной системы

3.1 Критерий Гурвица [1]

Чтобы система автоматического управления (САУ) была устойчива, необходимо и достаточно чтобы определитель Гурвица и его диагональные миноры имели положительный знак.

=0

;

;

;

(8)

(9)

(10)

Вывод: САУ устойчива т.к. определитель Гурвица и его диагональные миноры имеют положительный знак.

3.2 Критерий Михайлова [1]

Для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова D(iw) при изменении w от 0 до повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол , где 3 - порядок характеристического уравнения.

;

.

Определяем мнимую и вещественную часть, и они имеют вид:

Рассчитываем значения для построения графика (рисунок 1), которые будут занесены в таблицу 2

Таблица 2 - Значение для построения вектора кривой

	0	1,2	6,03
	26	0	(-592,13)	()
	0	296,32	0	()

;

Рисунок 2 - Определение устойчивости по Михайлову.

Вывод: CАУ устойчива, так как вектор кривой Михайлова D(iw) при изменении w от 0 до повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол , где 3 - порядок характеристического уравнения.

3.3 Критерий Найквиста [1]

САУ устойчива в замкнутом состоянии, если годограф разомкнутой системы не охватывает точки с координатами [-1; i0] на комплексной плоскости (рисунки 3;4).

Определяем мнимую и вещественную часть, и они имеют вид:

(11)

(12)

(13)

.

Рассчитываем в Microsoft Excel 2010 значения, которые будут занесены в таблицу 3 для построения годографа (рисунок 3,4).

Рисунок 3 - Определение устойчивости по Найквисту



Рисунок 4 - Определение запаса устойчивости по Найквисту

Таблица 3 - Значения для построения годографа

w	0	0,1	1	2	3	5	8	10	50	150	300	400	500
U(w)	-	15,98448	1,278689	-2,48077	-2,11461	-1,10203	-0,49399	-0,32669	-0,1383	-0,00154	-0,00039	-0,00022	-0,00014
V(w)	-	-11,9344	11.9344	-5,09615	-2,25406	-0,63195	-0,17094	-0,08972	-0,00075	-2,8E-05	-3,5E-06	-1,5E-06	-7,5E-07

По рисунку 3 определяем запас устойчивости, который ранен ().

Вывод: САУ устойчива т.к. годограф разомкнутой системы не охватывает точки с координатами [-1; i0] на комплексной плоскости (рисунки 3,4).

3.4 Определение устойчивости по графикам логарифмическим амплитудно-частотным и фаза-частотном характеристикам (ЛАЧХ, ЛФЧХ) [1]

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ нужно разбить передаточную функцию на звенья.

Идеально интегрирующие звено имеет вид:

(14)

Апериодическое звено имеет вид:

(15)

Апериодическое звено имеет вид:

(16)



Форсирующие дифференцирующие звено имеет вид:

(17)

Рассчитываем частоты для построения ЛАЧХ, ЛФЧХ:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

Для построения ЛФЧХ составляем уравнение

Рассчитываем в Microsoft Excel 2010 значения, которые будут занесены в таблицу 4 для построения ЛФЧХ

Таблица 4 - Значения для построения ЛФЧХ

w	0,1	0,2	0,5	1	2	5	10
f	-111,02	-78,243	-63,435	-84,89	-116,194	-150,205	-164,652
w	20	50	100	200	500	1000	10000
f	-172,26	-176,898	-178,45	-179,224	-179,69	-179,84	-179,98

Рассчитываем запас устойчивости:

Графики ЛАЧХ, ЛФЧХ указаны в приложение А.

Вывод: САУ устойчива т.к. запас устойчивости равен но не соответствует заданным параметрам. Необходимо ввести корректирующее устройство.

4. Синтез корректирующего устройства

Рассчитываем частоты:

(23)

передаточный система разомкнутый частотный

Определяем постоянные времени, которые имеют вид:

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

Составляем по ЛАЧХ корректирующую передаточную функцию, которая имеет вид:

(31)

График ЛАЧХ приведён в приложении А.

По ЛАЧХ составляем схему корректирующего устройства (Приложение Б), используя справочник типовых схем корректирующих устройств.

5. Исследования устойчивости скорректированной системы

Находим скорректированную передаточную функцию, для этого перемножаем корректирующую передаточную функцию и общую передаточную функцию.

Разомкнутая передаточная функция имеет вид:

Замкнутая передаточная функция имеет вид:

5.1 Критерий Гурвица [1]

Чтобы система автоматического управления (САУ) была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и его диагональные миноры имели положительный знак.

;

;

;

(32)

(33)

(34)

Вывод: САУ устойчива т.к. определитель Гурвица и его диагональные миноры имеют положительный знак.

5.2 Критерий Михайлова [1]

Для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова D(iw) при изменении w от 0 до повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол , где 3 - порядок характеристического уравнения.

;

Определяем мнимую и вещественную часть, и они имеют вид:

Рассчитываем значения (таблица 5) для построения графика (рисунок 5)

Таблица 5 - Значения для построения вектора кривой

	0	1,2	31,95
	32500	0	(-2283376)	()
	0		0	()

;



Рисунок 5 - Определение устойчивости по Михайлову

CАУ устойчива так как , вектор кривой Михайлова D(iw) при изменении w от 0 до повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол , где 3 - порядок характеристического уравнения.

5.3 Критерий Найквиста[1]

САУ устойчива в замкнутом состоянии, если годограф разомкнутой системы не охватывает точки с координатами [-1; i0] на комплексной плоскости (рисунка 6).

Определяем мнимую и вещественную часть:

(35)

(36)

(37)

Рассчитываем в Microsoft Excel 2010 значения, которые будут занесены в таблицу 5 для построения годографа (рисунок 6).

Рисунок 6 - Определение устойчивости по Найквисту

Таблица 6 - Значение для построения годографа

w	0	0,1	1	2	3	5	8	10	50	150	300	400	500
U(w)	-	16,60985	1,278689	-2,48077	-2,11461	-1,10203	-0,49399	-0,32669	-0,1383	-0,00154	-0,00039	-0,00022	-0,00014
V(w)	-	-28,98267	11.9344	-5,09615	-2,25406	-0,63195	-0,17094	-0,08972	-0,00075	-2,8E-05	-3,5E-06	-1,5E-06	-7,5E-07

5.4 Определение устойчивости по графикам ЛАЧХ, ЛФЧХ [1]

Для построения ЛАЧХ нужно передаточную функцию разбить на звенья.

Идеально интегрирующие звено имеет вид:

(38)

Апериодическое звено имеет вид:

(39)

Апериодическое звено имеет вид:

(40)

Форсирующие дифференцирующие звено имеет вид:

(41)



Рассчитываем омеги для построения ЛАЧХ, ЛФЧХ:

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

Для построения ЛФЧХ составляем уравнение:

Таблица 7 - Значения для графика ЛФЧХ

w	0,1	0,2	0,5	1	2	5	10
f	-111,59	-78,999	-60,907	-70,191	-80,6702	-91,1966	-99,5884
w	20	50	100	200	500	1000	10000
f	-111,89	-136,387	-154,66	-166,701	-174,601	-177,29	-179,73

Графики ЛАЧХ, ЛФЧХ указаны в приложении А.

Рассчитываем запас устойчивости:

Вывод: САУ устойчива, т.к. запас устойчивости равен ().



6. Построение вещественной частотной характеристики (ВЧХ) [1]

Для нахождения мнимой и вещественной части p (оператор) заменяем на iw

Определяем вещественную часть:

(47)

(48)

.

Рассчитываем в Microsoft Excel 2010 значения, которые будут занесены в таблицу 7 для построения ВЧХ (рисунок 7).



Рисунок 7 - Вещественная частотная характеристика

ВЧХ, разбитая на трапеции, представлена в приложении В.

Определяем параметры трапеций, которые имеют вид:

(49)

(50)



Таблица 8 - Значение для построения ВЧХ

w	1	3	4	5	6	7
P(w)	1,004375	0,954427	0,913824	0,865544	0,811818	0,75478
w	8	9	10	11	13	15
P(w)	0,696321	0,638005	0,581048	0,526334	0,425775	0,338522

6.1 Определение показателей качества

Результаты расчета трапеций в Microsoft Excel 2010 для построения графика переходного процесса (рисунок 8), занесены в таблицы 9,10.

Таблица 9 - Значения для трапеции 1

t0	0	0,4	1	1,4	2	2,4
h(t0)	0	0,1269	0,3096	0,4223	0,5712	0,6548
t1	0	0,0222	0,0556	0,0778	0,1111	0,1333
x1	0	0,3299	0,8050	1,0980	1,4851	1,7025
t0	3	4	5	6	8	10
h(t0)	0,7546	0,8561	0,8951	0,9028	0,9110	0,9386
t1	0,1667	0,2222	0,2778	0,3333	0,4444	0,5556
x1	1,9620	1,2259	2,3273	2,347	2,3686	2,4404
t0	20	30	40	50	60	70
h(t0)	0,9668	0,9795	0,9837	0,9875	0,9894	0,9905
t1	1,1111	1,6667	2,2222	2,7778	3,3333	3,8889
x1	2,5137	2,5467	2,5576	2,5675	2,5724	2,5753

Таблица 10 - Значения для трапеции 2

t0	0	0,4	1	1,4	2	2,4
h(t0)	0	0,1523	0,3811	0,5256	0,6624	0,7806
t2	0	0,0026	0,0066	0,0093	0,0133	0,016
x2	0	-0,244	-0,609	-0,809	-1,059	-1,249
t0	3	4	5	6	8	10
h(t0)	0,8950	1,0076	1,0420	1,0366	1,0200	1,0304
t2	0,02	0,0267	0,0333	0,04	0,0533	0,0666
x2	-1,432	-1,612	-1,667	-1,659	-1,632	-1,649
t0	20	30	40	50	60	70
h(t0)	0,9450	0,9987	1,0020	0,9995	0,9993	1,0006
t2	0,1333	0,2	0,2666	0,3333	0,4	04666
x2	-1,512	-1,5979	-1,603	-1,599	-1,599	-1,601

Рисунок 8 - График переходного процесса

Полный график переходного процесса представлен в приложении Г.

Определяем ,они имеют вид:

Расчёты для определения показателей качества делаем по формулам 51-53, где

; (51)



где - оценка быстродействия системы, с;

; (52)

где - время установления, с;

. (53)

где - перерегулирование, %.



7. Оценка и контроль надежности технических устройств по результатам их испытаний.

7.1 Основные положения выборочных испытаний

Испытания технических устройств на надежность производятся с целью определения реального уровня их надежности. Естественно, что испытаниям подвергается выборка из генеральной совокупности. По результатам испытаний выборки судят о надежности всей генеральной совокупности.

Для устройств, работающих дискретно, непосредственно из опыта определяется вероятность безотказной работы (вероятность отказа) по методике описанной ниже.

Исчерпывающей характеристикой надежности устройств с непрерывным характером работы служит закон распределения времени безотказной работы. Если известен вид закона и его параметры, то легко определить любую, интересующую нас характеристику надежности. Статистическое определение закона распределения времени безотказной работы связано с большими затратами сил и средств. Техническая сторона этого вопроса хорошо описана в учебной литературе, посвященной испытаниям, и поэтому в данной книге не рассматривается.

В ряде случаев вид закона распределения времени безотказной работы бывает известен. В таком случае опытным путем находятся оценки параметров закона и затем необходимые характеристики надежности в частности вероятность безотказной работы как функция распределения, т. е.

где - оценка вероятности безотказной работы за время

оценки параметров распределения.

7.2 Экспоненциальное распределение [3]

Экспоненциальное распределение характерно для внезапных отказов элементов и систем. Плотность вероятности экспоненциального распределения задается уравнением

f(t)=, (54)

где л - интенсивность отказов есть величина, обратная средней наработке до отказа л=1/Т.

Оценки параметра А экспоненциального распределения могут быть получены по формулам. соответствующим планам испытаний [3] и приведенным в таблица 11 .

Во втором столбце этой таблицы располагаются условные трехбуквенные обозначения планов. Которые расшифровываются следующим образом:

- первая бука n означает объем выборки, подверженной испытаниям;

- второй буквой Б или В обозначены планы без восстановления выборки или с восстановлением ее соответственно;

- третья буква (n, или , или d) в условном обозначении плана указывает на признак окончания испытания.

Планы, предусматривающие испытания до отказа всех испытываемых элементов выборки, обозначены буквой n; планы с окончанием испытаний через заданное время обозначены буквой ; буквой d обозначены платы с окончанием испытаний после появления установленного числа d отказов. Таким образом, символом [n, В, , например, обозначен план с восстановлением выборки объема п и окончанием испытаний по истечении времени Символ [n, Б,d] относится к плану без восстановления выборки с окончанием испытаний после d отказов. Кроме указанных выше символов в таблице приняты также следующие обозначения:

где--время от начала испытаний до d--го отказа;

-- суммарная наработка.

Формулы, содержащиеся в таблица 11, удобно обозначать двузначными числами, у которых первая цифра--номер строки (план), а вторая--номер столбца. Например‚ в таблице формула. обозначенная номером (14),записывается в виде л=n/.

Таблица 11 - План испытаний для случая экспоненциального распределения (оценка параметра л)

Для определения доверительных границ л при d?0 необходимо пользоваться таблицей квантилей xu-квадрат распределения таблице 11, в которой параметрами являются вероятность P(1- или и число степеней свободы ? равное , в зависимости от плана.

Для определения при d=0 в плане [n, Б, , нужно определить коэффициент по таблице 16. Учитывая, что при экспоненциальном распределении

а

получим:

(55)

Для этих целей можно воспользоваться и непосредственно таблица 11.

В том случае. когда число степеней свободы ? (2n в планах [n. Б, n] или 2d в других планах) более 100,формулы для определения доверительных границ, приведенные в таблице 11, не могут быть реализованы ввиду ограниченности таблицы 12. При таких объемах испытаний выборочная оценка средней наработки на отказ распределена нормально и поэтому могут быть использованы формулы для границ Т при нормальном распределении времени безотказной работы, в соответствии с которыми

=T±. (56)

Получение значения S при этом может отказаться затруднительным и в ряде случаев невозможным. Тогда следует воспользоваться свойством экспоненциального распределения, у которого х=Т‚ а следовательно, S?T.

При планировании объема испытаний для случая экспоненциального закона распределения времени безотказной работы необходимо определить, сколько экземпляров и сколько времени нужно испытывать, чтобы получить из опыта интенсивность отказов с ошибкой, не превосходящей заданную. Если заданная предельная ошибка выражена в процентах и равна х, то можно записать

=? (57)

Тогда для плана [n,Б,n]имеем

(58)

Это соотношение при заданных ? и позволяет определить объем испытаний n с помощью таблицы 12. Для удобства решения этой задачи составлена таблица 13 для значений =?‚ в которой входами являются d=n и a=Таблица 13‚ очевидно, может быть использована для определения n в планах [n, Б, n].

При планах [n, Б, объем испытаний определяется величинами n и . При испытаниях регистрируется число отказов d. Очевидно, что между d и существует неявная связь. Поэтому по величине ?=, пользуясь таблицей 14, составленной для вероятности a=0,95‚ находим d. Затем по числу d и заданному значению доверительной вероятности определения объема испытаний с помощью таблицы 15 находим коэффициент , и по формуле получаем примерный объем испытаний

n d (59)

где --ожидаемое значение л. Если n или задается заранее, то из произведения n, легко определить искомое.

Для планов [n, Б, ] объем испытаний определяется значениями n и d. Число отказов d можно определить по таблицы 13‚ исходя из заданного ?=и доверительной вероятности . Величина n влияет только на длительность испытаний: чем больше n, тем скорее будет достигнуто число отказов d и, следовательно, время испытаний будет меньшим.

В случае планов типа [n, В, ] испытанию подлежат n объектов в течение времени Время косвенно связано с числом отказов d при испытаниях, которое определим по таблице 13 для заданных ? и . Для того чтобы по числу d найти необходимые п и c вероятностью , воспользуемся вспомогательным коэффициент , определяемым из таблице 15 по известным d и.

Наконец, установим предполагаемое значение , находим по формуле (59) произведение n Для планов типа [n, В, d] объем испытаний определяется величинами n и d, которые находятся так же, как и в случае ‚планов типа [п, Б, d].

Задача. При эксплуатации 240 невосстанавливаемых объектов в течение года общей наработкой 480000 час выбыло из строя 80 объектов. Найти верхнюю границу интенсивности отказов с вероятностью =0,95, если известно, что отказы распределены по экспоненциальному закону.

Решение. В данном случае имеет место план [n, B, ]. Определяем

Исходя из данных, что S?T и определяя по табл. П.7.5 находим по формуле (56)

Откуда



Заключение

Подводя итоги выполненной работы, в процессе которой был проведен анализ и синтез данной в задании системы, особым типом задач были задачи, связанные с синтезом корректирующих устройств, удовлетворяющие заданным показателям качества переходного процесса.

Целью первой задачи было преобразование исходной САУ к одноконтурному виду. Передаточные функции определенных звеньев при этом преобразовывались, образовывали эквивалентные звенья с новыми передаточными функциями. Для анализа устойчивости использовался частотный метод Найквиста, который основывался на графическом построении ЛФЧХ. Этот метод дал положительную оценку устойчивости САУ. Синтез производился с использованием логарифмических характеристик с построением исходной, желаемой ЛАЧХ, ЛАЧХ корректирующих устройств (в случае синтеза параллельного корректирующего устройства была построена также ЛАЧХ охватываемого участка).

Затем были проверены показатели качества скорректированной САУ. Проверялись запасы устойчивости по амплитуде и по фазе, после построения графиков переходных процессов проверялись показатели этих процессов, такие как перерегулирование, время переходного процесса, колебательность. В итоге, в содержании вывода по работе было дано сравнение двух видов коррекций, выявлены их основные положительные и отрицательные стороны.



Список литературы

1 Ким, Д. П. Теория автоматического управления: Том 1 Линейные системы: учебник. / Д. П. Ким. - М.: Физматлит,2016. - 312с. - IBSN 978-5-9221-0858-4.

2 Шишов О.В. Теоретические средства автоматизации и управления: учебное пособие. / О. В. Шишов. - М: НИЦ ИНФРА-М ,2016. - 396с. - ISBN 978-5-16-010325-9

3 Шишмарев, В. Ю. Диагностика и надёжность автоматизированных систем: учебник. / В. Ю. Шишмарев. - М.: Academia, 2013. - 352с. - ISBN 978-5-7695-6919-7

Размещено на Allbest.ru

...