Размещено на http://www.allbest.ru/

Математичні моделі функційної безпечності та безвідмовності відновлюваних технічних засобів у разі використання мажоритарного резервування «2» із «3»

У системах керування відповідальними технологічними процесами у багатьох випадках використовують мажоритарне резервування «2» із «3» [1, 2].

Математичні моделі, що наведені у роботах [3,6], не враховують ступінь впливу тривалості відновлення небезпечних відмов у кожному каналі резервування на кількісні показники безпечності та безвідмовності мажоритарних систем «2» із «3» (МС), не дозволяють визначити допустиму максимальну тривалість усунення небезпечних відмов та мінімальний період діагностування кожного каналу резервування.

Для визначення математичних моделей функційної безпечності у разі експоненціального закону розподілу небезпечних відмов у кожному каналі резервування (_н= const) необхідно скласти розрахунково-логічну схему і граф безпечності ( рисунок 1, а,б) з урахуванням спідвідношення N_вб=/_н.

Небезпечна відмова системи настає тоді, коли відбудеться небезпечна відмова будь-яких двох каналів резервування та мажоритарний елемент МЕ сформує небезпечний сигнал. Імовірність небезпечної відмови дорівнює ймовірності перебування МС у стані S₂:

Q_н (t)= P₂ (t).

Імовірність безпечної роботи дорівнює сумі ймовірностей перебування МС у станах S₀ і S₁,

Р_б (t)=P₀(t)+ P₁(t).

Рисунок 1 - Розрахунково-логічна схема і граф безпечності відновної системи у разі використання мажоритарного резервування «2» із «3»

Для визначення ймовірностей P₀(t), P₁(t) і P₂(t) складають систему диференційних рівнянь Колмогорова, яка з урахуванням спідвідношення N_вб=/_н має вигляд:

(1)

Після прямого перетворення Лапласа, з урахуванням нульових початкових умов: Р₀ (t=0)=1, P₁(t=0)= Р₂(t=0)=0, одержують:

(2)

Спочатку виконують перетворення першого рівняння системи (2):

P₀(s)[s+3_н]= N_вбн P₁(s)+1,

P₀(s)=, (3)

Підставляючи отриманий вираз у друге рівняння системи (2), одержують

.

Звідси

;

;

. (4)

Після заміни в третьому рівнянні системи (2) зображення Р₁(s) на вираз (4) воно матиме вигляд:

. (5)

Далі позначають через S₁, S₂ корені квадратного рівняння знаменника P₂(s), які визначають у такий спосіб:

,

або

,

.

З урахуванням уведених позначень, вираз (5) буде мати вид:

.

Після використання оберненого перетворення Лапласа для рівняння P₂(s) одержують формулу для визначення ймовірності небезпечної відмови МС:

(6)

Звідси одержують імовірність безпечної роботи МС

Після перетворення першого показника ступеня (при _нt) шляхом домноження та ділення на однаковий сполучений доданок отримаємо:

(7)

Для більшості практичних випадків (при N_вб > 100), коли

імовірність безпечної роботи дорівнює

, (8)

Для визначення середнього наробітку до небезпечної відмови використовують рівняння ймовірності безпечної роботи

Р_б (t)=1 - P₂(t). (9)

Після прямого перетворення Лапласа рівняння (6.22), одержують

. (10)

З урахуванням приведення виразу (10) до загального знаменника, зображення функції безпеки буде мати вигляд:

. (11)

Середній наробіток до небезпечної відмови визначають з урахуванням формули

. (12)

Після заміни в рівнянні (12) зображення ймовірності безпечної роботи на вираз (11) одержують

, (13)

або, з урахуванням уведення індексу відновлення безпечної роботи МС N_вб=/_н = Т_ср.н/ Т_вб, одержують

(14)

де - Т_ср.н1 - середній наробіток до небезпечної відмови одного каналу резервування.

При великих значеннях індексу N_вб (N_вб > 200) збільшення середнього наробітку до небезпечної відмови при введенні мажоритарного резервуваня”2” із „3” залежить практично тільки від співвідношення інтенсивності відновлення та інтенсивності небезпечних відмов каналів резервування (індексу відновлення N_вб )

. (15)

Для цього випадку використовують також рівноцінну формулу

. (16)

Аналіз формул (14) - (16) показує, що тривалість відновлення є дуже важливим чинником підвищення функційної безпечності МС, навіть у разі відносно великої імовірності небезпечної відмові у кожному каналі резервування.Інтенсивність небезпечних відмов МС розраховується на базі формули (8):

(17)

С урахуванням того, що тривалість відновлення складається з тривалості діагностування та усунення небезпечних відмов у кожному каналі резервування, тобто Т_в = Т_д +Т_у, для великих, реальних на практиці значень індексів відновлення (N_вб > 100), інтенсивність небезпечних відмов усієї структури МС дорівнює:

 (18)

З цієї формули знайдемо максимально допустиме значення періоду діагностування небезпечних відмов у кожному каналі резервування МС, а також максимально допустиму інтенсивність небезпечних відмов одного каналу резервування для досягнення допустимої (нормованної) інтенсивності небезпечних відмов:

; (19)

. (20)

Мінімально допустиме значення наробітку до небезпечної відмови одного з каналів резервування МС при _н.1.мах= соnst та фіксованих максимально допустимих значеннях Т_д.мах и Т_у.мах) визначається наступним чином з виразу (20):

. (21)

Для визначення коефіцієнта безпеки К_б необхідно використовувати граф стану МС (рисунок 1), у якому додається ребро графа S₂-S₁. При відсутності відновлення, у випадку перебування системи в стані S₂, коефіцієнт безпеки К_б = 0. Це обумовлено тим, що коли є навіть мінімальна ймовірність переходу системи в стан небезпечної відмови, час перебування системи в цьому стані без відновлення буде дорівнювати нескінченності.

Коефіцієнт готовності МС до безпечної роботи визначається в сталому режимі його роботи, тому систему диференційних рівнянь перетворюють у систему алгебраїчних рівнянь:

. (17)

Розв'язання системи (17) виконують з урахуванням додаткової умови

Р₀+Р₁+Р₂=1. (18)

З першого та третього рівнянь системи (17) отримаємо:

, (19)

, (20)

. (21)

Підставляючи вирази (19)-(21) у рівняння (18) і розв'язуючи його, одержують:

, (22)

З урахуванням виразів (19) і (20)

; (23)

. (24)

Коефіцієнт готовності до безпечної роботи МС визначається сумою ймовірностей перебування системи в безпечних станах (S₀,, S₁)

. (25)

Коефіцієнт готовності до безпечної роботи МС із мажоритарним резервуваням «2» із «3» залежить тільки від індексу відновлення каналів резервування і дуже підвищується при його збільшенні, особливо при великих його значеннях.

У разі використання мажоритарного резервуваня «2» із «3» граф безвідмовності по відношенню до захисних відмов має вигляд подібний до рис.1, але в ньому замість інтенсивності небезпечних відмов необхідно використати інтенсивність захисних відмов. Тому формули для розрахунку усіх показників безвідмовності є подібними до показників функційної безпечності, тільки в них замість інтенсивності небезпечних відмов необхідно використати інтенсивність захисних відмов.

Висновки

По вищенаведеним математичним моделям визначаються показники функційної безпечності, які порівнюються з показниками, що є нормативними або задаються Замовником. Також на їх базі можуть бути обґрунтовані основні вимоги до МС з функційної безпечності:

- максимально допустиме значення періоду діагностування небезпечних відмов елементів МС, який повинен виконуватися гарантовано автоматично або експлуатаційним персоналом;

- максимально допустиме значення інтенсивності небезпечних відмов одного з каналів резервування;

- мінімально допустиме значення наробітку до небезпечної відмови одного з каналів резервування.

У разі використання мажоритарного резервування «2» із «3» прискорення відновлення (зменшення періоду діагностування та тривалості усунення відмов):

суттєво (на кілька порядків) може змінювати як показники фукнкційної безпечності, так і безвідмовності таких об'єктів;

призводить до суттєвого збільшення готовності об'єктів.

У порівнянні з варіантом «2» із «2» функційна безпечність мажоритарного резервування «2» із «3» у 3 рази зменшується, безвідмовність та готовність на кілька порядків підвищується. Для досягнення безпечності при мажоритарному резервуванні «2» із «3», що дорівнює безпечності при навантажувальному резервуванні «2» із «2», необхідно у 3 рази зменшити тривалість відновлення небезпечних відмов у кожному каналі мажоритарного резервування.

Список літератури

функційний безпечність мажоритарний

1.Кустов В.Ф. Микропроцессорная система электрической централизации стрелок и сигналов без релейной аппаратуры и рельсовых цепей / В. Ф. Кустов // Вестник Металлургтранса и Союзпогрузтранса. - 2009. - № 4. С. 36-47.

2. ООО «НПП САТЭП». Системы и устройства. [Электронный ресурс] - Режим доступа: http:// www.satep.com.ua/ - 22.02.2010 г.- Загл. с экрана.

Размещено на Allbest.ru