В СВЧ диэлектрометрии слоисто-разнородных сред широкое распространение получили резонаторные способы измерений и соответствующие им первичные РИП. В частности, для измерений параметров слоистых образцов весьма эффективны четвертьволновые РИП с коаксиальной измерительной апертурой (КИА) [2, 3].

Структуры РИП с КИА можно разделить на открытые и закрытые. Они схематично представлены на рис.1. Здесь І - область резонатора (может быть заполнена диэлектриком с ), ІІ - воздушный зазор (не прикасаться к образцу, может отсутствовать), ІІІ - исследуемый образец с комплексной диэлектрической проницаемостью , за образцом расположен экран.

Аналитическая модель РИП с КИА построена методом частичных областей с использованием граничных соотношений для компонент поля. В ее основе положены тензорные функции Грина для цилиндрических систем [4, 5]. Благодаря выбору основного типа колебаний резонатора и осесимметричности системы в ней существует только азимутальная составляющая магнитного поля (). Электрическая компонента имеет радиальную составляющую () и осевую (), которая наиболее сильна вблизи апертуры.

В резонаторной камере и толще образца радиальная составляющая ослабевает и равна нулю у металлических торцов системы. Поэтому для составления аналитической модели в качестве функций источников выбраны тангенциальные составляющие на границах - . Тогда, согласно [4], для магнитного поля над и под верхней плоскостью образца имеем:

, (1)

, (2)

где , - поперечные волновые числа, ; - комплексная диэлектрическая проницаемость слоя; - волновое число в свободном пространстве.

Приравнивая (1) и (2) и, учитывая, что интегралы будут равны, когда равны подынтегральные функции, можно выразить компоненту на плоскости образца через на плоскости апертуры:

. (3)

Теперь магнитное поле выражается только через и при подстановке (3) в (1) и (2) интегрирование по радиусу можно ограничить интервалом от до (рис.1, а).

Магнитное поле под плоскостью апертуры также выражается только через :

. (4)

Поле над плоскостью апертуры также выражается только через :

, (5)

где - радиальные функции; - нормы радиальных функций; - корни уравнения ; - поперечные волновые числа: ; , - функции Бесселя и Неймана соответственно.

При для радиальной функции имеет место [5]:

. (6)

Eе норма

. (7)

При для радиальной функции справедливо [4]:

. (8)

Ее норма:

. (9)

В этом случае в соответствии с граничными условиями для компонент магнитного поля также . Но провести процедуру, аналогичную той, которая позволила получить выражение (3), в данном случае невозможно, поскольку модовый спектр поля в коаксиале дискретный. Поэтому для составления аналитической модели можно воспользоваться приближением заданного поля (Gіven Fіeld Method - GFM). Погрешность использования такого приближения обсуждалась в [6].

Численная модель основана на широко используемом в современных программных продуктах методе конечных элементов (Fіnіte Elements Method - FEM), поэтому отдельного описания не требует.

Решение задачи теоретической градуировки РИП с КИА требует учета и эффективного подавления влияния мешающих факторов различной природы. При этом особое внимание нужно уделить излучению из открытого конца резонаторного датчика, поскольку этот эффект является следствием волновой природы процессов в системе резонатор-образец.

В частности, в работе [3] было отмечено, что при расчетах в квазистатическом приближении параметров КИА и РИП в целом наблюдается появление значительной систематической ошибки вследствие пренебрежения потерь на излучение.

В [7] дана оценка влияния потерь на излучение на интегральные характеристики РИП с КИА для области значений электрофизических параметров объектов диагностики, в которой эти потери наиболее существенны, и определена доля СВЧ энергии, излучаемой в зазор.

Для дальнейшего уточнения доли потерь энергии СВЧ поля, излучаемого в зазор, необходимо рассмотреть поведение некоторых интегральных характеристик РИП с КИА в двух случаях: когда излучение принципиально невозможно (структура с замкнутыми границами), и для реальной структуры, в которой могут возникать потери на излучение. Анализ показывает, что такими характеристиками являются фундаментальные сигналы измерительной информации (ФСИИ) - отношения изменений резонансной частоты и добротности системы.

Расчет ФСИИ структуры, изображенной на рис.1, а, которая моделирует реальную конструкцию электродинамической системы резонатор-образец, неограниченной в радиальном направлении в области образца, проводился с помощью приближения заданного поля. Расчет закрытой структуры (рис.1, б) проведен с помощью численного решения методом конечных элементов, заданного на собственные значения для уравнений Гельмгольца в осесимметричной области, границы которой заданы идеально проводящими. Ограничивающий радиус в этой модели выбирается из условия отсутствия паразитных типов колебаний в зоне расположения образца. По полученным собственным значениям определяются резонансная частота и добротность системы.

Анализ результатов численного моделирования СВЧ РИП

Рассмотрим сначала результаты расчетов для конструкции без зазора. На рис.2 приведены зависимости отношений от электрофизических параметров образца, рассчитанные методами заданного поля и конечных элементов. Индекс "no gap" означает, что расчеты проводились для структуры без зазора. Для удобства по одной из осей приведен логарифм тангенса угла диэлектрических потерь в образце. Расчеты проводились при следующих значениях геометрических параметров резонатора: ; (в конструкции с зазором); ; . Более высокое значение при расчетах для бесконечного образца поясняется тем, что к потерям, которые внесены в электродинамическую систему образцом, подаются потери на излучение в объем образца.

Одновременно следует отметить, что наличие хорошего совпадения результатов оценки ФСИИ при разных подходах свидетельствует о высокой достоверности обоих вариантов.

а б

Рис. 2. Зависимости от электрофизических параметров образца

.

а б

Рис. 3. Зависимости от электрофизических параметров образца для конструкции и зазором

На рис.3 приведены графики при тех же координатах, рассчитанные для конструкции с зазором (индекс "gap").

В отличие от предыдущих зависимостей (рис.2), здесь очевидно как качественное, так и количественное расхождение результатов. В этом случае в области малых потерь также справедливо соотношение , что свидетельствует о значительной роли потерь на излучение при формирования ФСИИ. Однако при увеличении диэлектрической проницаемости и потерь сигнал, рассчитанный для закрытой структуры, значительно больше, чем сигнал для открытой структуры. Существенное качественное расхождение полученных зависимостей в области больших значений диэлектрической проницаемости и тангенса угла потерь можно трактовать в общих соображениях наличием вклада волновых процессов, которые учитывают при расчетах открытых систем, в то время как в закрытых системах рассматривается только колебательный процесс.

Для количественной оценки расхождений рассмотрим отношения ФСИИ, полученных для закрытой (cls) и открытой (opn) систем. Так, для отношения измерений добротности эта величина имеет вид

, . (10)

На рис.4 приведены графики зависимостей этих величин от электрофизических параметров образца.

а б

Рис. 4. Зависимости ФСИИ от электрофизических параметров образца

Следует обратить внимание, что в конструкциях без зазора в закрытой системе сигнал меньше, чем в открытой. При этом рост потерь в образце и уменьшение его диэлектрической проницаемости приводит к росту расхождения этих сигналов. В закрытой конструкции с зазором результат расчета почти везде больше, но есть область значений электрофизических параметров, при которых . Таким образом, анализ рис.4 свидетельствует о проблемности определения влияния излучения в зазор на ФСИИ РИП.

Преимущество закрытой системы с зазором в этом случае однозначно свидетельствует о неадекватности моделирования РИП КИА в виде конструктивов, изображенных на рис.1, б. Обнаруженный факт повышения уровня сигнала заслуживает внимания.

Влияние волновой компоненты на ФСИИ систем с преобладающим колебательным процессом, можно качественно и количественно оценить, исследуя в первую очередь зависимость чувствительности от диэлектрической проницаемости среды. Именно эта зависимость может существенно отличаться для колебательного и волнового процессов взаимодействия.

Для оценки чувствительности РИП с КИА рассмотрим зависимость вида для анализируемых моделей РИП КИА (рис.5).

а б

в г

Рис. 5. Зависимость параметра чувствительности от электрофизических параметров

На представленных графиках обращает внимание тот факт, что параметр чувствительности имеет разный знак для конструкций без зазора и с зазором. Причем это наблюдается как у открытых, так и у закрытых систем.

Количественное расхождение результатов для этих моделей можно трактовать с позиций вклада волнового процесса. Как и следовало ожидать, это расхождение больше для конструкций с зазором.

Выводы