В данной работе представлена сравнительная оценка упомянутых выше методов расчета наноантенн из УНТ. Отличительные особенности таких антенн - большое отношение длины плеча вибратора к его радиусу, которое может быть порядка 10⁷, и значительная величина поверхностного импеданса за счет больших значений кинетической индуктивности и квантовой емкости антенны [3]. Основное внимание уделено выбору метода расчета электродинамических параметров структур, обладающих первой из особенностей, а именно - структур, у которых отношение характерных размеров отличается на несколько порядков.

В нашем случае это - отношение ( - длина плеча вибратора из УНТ, - его радиус). Сравнительная оценка проводилась для метода интегральных уравнений (ИУ) (пакет программ Wire), одной из модификаций метода FDTD (пакет CST Microwave Studio [4]) и метода конечных элементов (пакет HFSS [5]). Для этого были вычислены зависимости входного сопротивления одиночного вибратора (рис.1) от отношения с использованием упомянутых методов. При этом предельным было выбрано значение .

Рис.1. Анализируемая модель вибратора

Результаты вычислений активной части входного сопротивления приведены на рис.2, а реактивной части - на рис.3. Также частично результаты вычислений представлены в таблице.

Рис.2. Зависимость активной части входного сопротивления вибратора от отношения

Рис.3. Зависимость реактивной части входного сопротивления вибратора от отношения

Результаты моделирования вибратора разными методами

При расчете с помощью метода интегральных уравнений была использована методика и пакет программ электродинамического анализа на основе интерго-дифференциального уравнения Поклингтона, предложенныеи подробно описанные в [6]. В этой работе показано, что хорошее количественное совпадение результатов расчетов с использованием предложенной методики и разработанного пакета программ с известными данными других авторов свидетельствует о работоспособности и достоверности методики и разработанного пакета программ. В методе ИУ все поля в структуре выражаются через некоторую величину, заданную на поверхности (электрический и магнитный ток). Проблема сложных сред в ИУ, имеющих сложную форму всегда связана с поиском подходящего представления функции Грина, выражающей поля в структуре через токи на некоторых поверхностях. Особый случай - задачи, связанные с расчетом излучения в свободное пространство. Поскольку функция Грина свободного пространства хорошо известна, то, следовательно, и реализация метода ИУ не вызывает затруднений. Кроме того использование метода ИУ в ряде случаев позволяет существенно уменьшить размерность решаемой задачи, что приводит к увеличению скорости решения и экономии компьютерных ресурсов. Поэтому, в рассматриваемой задаче можно ожидать преимущества метода ИУ по сравнению с упомянутыми выше методами. Действительно, как видно из рис.2, вычисленные с использованием метода ИУ результаты обладают достаточной устойчивостью и, кроме того, как показали результаты расчетов, данный метод обладает очень высокой эффективностью.

Вычисленные с использованием метода МКЭ значения активной части входного сопротивления, как видно из рис.2, существенно отличаются от значений, полученных с использованием метода ИУ.

На наш взгляд, это различие обусловлено следующим. Метод МКЭ является вариационным методом решения электродинамических задач в пространственно-частотной области. Он позволяет определить распределение электрического и магнитного полей в некоторой области пространства, называемой областью моделирования. Для этого вся область моделирования разбивается на подобласти (конечные элементы), в пределах каждой из которых искомые распределения поля аппроксимируются некоторыми простыми функциями с неизвестными коэффициентами. Подстановка этих аппроксимаций в исходный вариационный функционал и минимизация данного функционала приводит к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных коэффициентов аппроксимации. Размерность полученной СЛАУ непосредственно связана с числом подобластей и, следовательно, с их размерами. При решении электродинамических задач размеры подобластей обычно выбираются значительно меньше рабочей длины волны и должны быть меньше типичных размеров исследуемой электродинамической структуры. Такое требование приводит к тому, что при расчете распределений полей проволочных структур подобласти, расположенные вблизи провода, имеют размеры порядка радиуса проводника. Так как размеры всей области моделирования определяются большим из характерных размеров структуры (который в нашем случае равна длине вибратора 2l), то для структур с большим отношением число подобластей достаточно велико и, следовательно, матрица полученной СЛАУ имеет большой порядок. Поэтому, главная трудность в методе МКЭ - это обращение матрицы большого порядка при решении системы линейных уравнений (порядок матрицы СЛАУ при расчете вибратора с ~1500 был около 10⁵). Данная процедура требует значительного времени и может приводить к ошибкам вычислений, что объясняет различие полученных результатов.

Метод FDTD относится к общему классу сеточных методов решения дифференциальных уравнений. Так же как и в методе МКЭ, в этом методе, определяется распределение электрического и магнитного полей в области моделирования. Эта область также разбивается на подобласти, размеры которых должны быть значительно меньше рабочей длины волны и типичных размеров исследуемой электродинамической структуры. Существенным отличием метода FDTD от метода МКЭ является то, что это метод решения электродинамических задач в пространственно-временной области. Данное обстоятельство позволило в 1966 г. K. S. Yee предложить удобную дискретизацию области моделирования и эффективный алгоритм для нахождения распределения полей, в котором отсутствует процедура решения СЛАУ большого порядка и связанные с этим проблемы сходимости и устойчивости решения. Вследствие этого результаты расчета активной составляющей входного сопротивления, полученные с использованием метода FDTD, довольно близки к результатам, полученным на основе интегральных уравнений, однако полученное решение не обладает достаточной устойчивостью (см. рис.2).

Отмеченные выше особенности результатов расчета активной части входного сопротивления в основном присутствуют при расчете реактивной составляющей (рис.3). Однако при расчете реактивной составляющей с использованием метода FDTD появляется различие в величине X_вх по сравнению с значениями, рассчитанными на основе методов ИУ и МКЭ. Это объясняется различными моделями точки питания, используемыми в различных методах (рис.4).

Рис.4. Модели точки питания для разных методов: а - ИУ; б - МКЭ; в - FDTD

В методе ИУ в качестве модели точки питания используется бесконечно узкая щель (рис.4, а), в МКЭ в качестве модели области питания используется щель конечной ширины в предположении однородного распределения электрического поля (рис.4, б), в FDTD использовано возбуждение сосредоточенным источником тока (рис.4, в).

Из приведенных графиков можно сделать заключение, что метод интегральных уравнений показывает достаточную точность и стабильность и является более эффективным в сравнении с методами FDTD и МКЭ при моделировании нановибраторов из УНТ. Отличительная особенность метода интегральных уравнений - это не только точность расчета, но и скорость, что позволяет быстро получить корректные характеристики.

В процессе проведения расчетов было также установлено, что метод конечных элементов (программный пакет HFSS) не позволяет проанализировать нановибраторы, так как при увеличении (свыше 150) программа показывает некорректные результаты моделирования. И при этом резко увеличивается время расчета.

Таким образом, в статье представлены результаты, демонстрирующие, что моделирование наноизлучателей из углеродных нанотрубок наиболее целесообразно проводить используя метод интегральных уравнений.

Заключение