Чои-Вильямс-анализ сигналов с особенностями

Размещено на http://www.allbest.ru/

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

УДК 621.372(075.8)

Чои-Вильямс-анализ сигналов с особенностями

О.В. Лазоренко,

Л.Ф. Черногор

Ключевые слова: время-частотный анализ, нелинейное интегральное преобразование, сигнал с особенностями.

Быстрое развитие науки и техники в области сверхширокополосных (СШП) технологий и появление принципиально новых классов сигналов (фрактальных, фрактальных СШП, прямохаотических СШП, нелинейных СШП и др.) требуют совершенствования как устройств приема и передачи таких сигналов, так и методов их последующей обработки, в частности, время-частотного анализа. Количество публикаций, посвященных генерации, приему и обработке таких типов сигналов, постоянно возрастает [1-7]. Возможностей традиционных методов обработки, основанных на применении преобразования Фурье и его модификаций, оказывается недостаточно для получения желательно более полной информации о время-частотном содержании нестационарных, нелинейных и СШП сигналов и процессов. В связи с этим значительный интерес для их анализа и обработки представляет применение нелинейных время-частотных преобразований класса Коэна [8-11]. Наиболее известным представителем этого класса преобразований является преобразование Вигнера (ПВ). Нелинейные преобразования класса Коэна и, в первую очередь, ПВ дают исследователю оригинальный и эффективный инструмент для анализа сигналов и процессов различной природы (см. например [8, 10, 12]). Несомненным достоинством ПВ является хорошее время-частотное разрешение, инвариантность к сдвигам во временной и частотной областях, наличие маргинальных распределений, отсутствие уширения финитного сигнала во временной области и т.п. (см. например, [8-11, 13]). Однако интерпретация результатов, полученных при помощи ПВ, затруднена наличием интерференции. Существует несколько методов уменьшения ее влияния. При этом приходится частично пожертвовать время-частотным разрешением. Один из таких методов, преобразование Чои-Вильямса (ПЧВ), дает возможность найти необходимый компромисс между время-частотным разрешением и интенсивностью интерференционных структур [14].

Для повышения эффективности анализа время-частотного содержания реальных сигналов и процессов в работах [13, 15-17] положено начало формирования банка данных результатов применения нелинейных преобразований к модельным сигналам различного типа. В настоящей статье, являющейся их логическим продолжением, будут рассмотрены возможности ПЧВ при анализе модельных сигналов с особенностями. Этим объясняется актуальность проведения исследований.

Под сигналом с особенностями будем понимать сигнал, имеющий в своем составе одну или несколько точек, где существуют локальные особенности, т.е. точки, в которых первая производная обращается в бесконечность или не существует, что вызывается резкими скачками амплитуды, частоты, фазы сигнала и т. п. Количественно локальные особенности сигнала характеризуются показателями Липшица, которые вычисляются с помощью метода максимумов модуля непрерывного вейвлет преобразования (см., например, [9, 11]).

Целью работы является изучение достоинств и недостатков ПЧВ и их сравнение с возможностями ПВ и спектрограммы Фурье (СФ) при исследовании модельных сигналов с особенностями.

1. Основные понятия и соотношения

Преобразование Чои-Вильямса, предложенное в 1989 г. Х. Чои и В. Вильямсом задается следующим соотношением [14]:

(1)

где - функция спектральной плотности (ФСП) ПЧВ, символ ”*” означает операцию комплексного сопряжения, - положительный коэффициент, при помощи которого можно управлять уровнем интерференционных членов. С уменьшением влияние интерференции уменьшается. При ПЧВ переходит в ПВ.

Чои-Вильямс-анализ будем проводить для моделей сигналов с особенностями, которые использовались в работах [15, 18, 19]. Они задаются следующими соотношениями:

1) бесконечно короткий импульс (-функция Дирака):

;

2) импульс конечной ширины:

где и - амплитуда и полуширина импульса соответственно. При предельном переходе () эта функция превращается в -функцию Дирака;

3) сумма импульсной помехи и гармонического сигнала:

;

4) резкий скачок амплитуды:

где символом обозначена функция Хэвисайда;

5) резкий скачок фазы гармонического сигнала:

6) резкий скачок частоты гармонического сигнала:

;

7) излом:

8) производная -функции Дирака:

;

9) сумма производной -функции Дирака и гармонического сигнала:

;

10) вертикальный перегиб:

;

11) шпиль:

;

12) сумма шпиля и гармонического сигнала:

.

Достоинства и недостатки Чои-Вильямс-анализа, продемонстрированные на примере изучения простейших моделей сигналов, описаны в работе [16].

При исследовании приведенных выше моделей сигналов с особенностями результаты Чои-Вильямс-анализа будем сравнивать с результатами Вигнер- и Фурье-анализов. Преобразование Вигнера, как известно, задается соотношением [8-11, 20]:

, (2)

где - ФСП ПВ.

Фурье-анализ в работе представлен СФ, которая имеет вид [8-11]:

, (3)

где - оконная функция динамического преобразования Фурье.

При изучении модельных сигналов с особенностями наряду с вычислением ФСП ПЧВ, ПВ и СФ, будем использовать также их энергограммы, которые показывают распределение энергии сигнала (процесса) по различным частотам и задаются соответственно соотношениями [21]:

,

,

.

Интегрирование энергограммы по всем частотам дает энергию сигнала.

2. Результаты численного моделирования

Аналитическое вычисление интегралов (1) - (3) даже для самых простых моделей сигналов сопряжено со значительными, а порой, и непреодолимыми трудностями. Поэтому анализ модельных сигналов с особенностями проводился при помощи системы компьютерной математики (СКМ) MATLAB [22], пакета прикладных программ Time Frequency Toolbox [12], а также оригинального программного обеспечения, разработанного авторами. Формат представления результатов также создан авторами и успешно применяется в работах [16, 23, 24].

На рисунках в левом столбце сверху вниз последовательно расположены: сигнал во временной области, ФСП ПВ, ФСП ПЧВ при ФСП ПЧВ при , ФСП ПЧВ при и ФСП СФ. В правом столбце расположены энергограммы соответствующих преобразований.

При вычислении ФСП СФ всех моделей сигналов применялась оконная функция Хемминга шириной , где - количество отсчетов дискретного вектора сигнала.

Результаты анализа -функции Дирака. Для данной модели ФСП ПВ и ФСП ПЧВ практически не отличаются и представляют собой вертикальную линию вдоль оси частот в момент времени, когда наблюдается сигнал. Это и не удивительно, поскольку ФСП ПВ, в случае применения ПВ к однокомпонентному сигналу, не содержит интерференционных структур. ФСП СФ оказывается значительно уширенной по сравнению с ФСП ПВ и ФСП ПЧВ. Степень этого уширения определяется шириной спектрального окна, используемого при построении СФ.

Анализ импульса конечной ширины

Здесь на ФСП ПВ между двумя вертикальными пиками, отвечающими за начало и окончание импульса, отчетливо наблюдаются интерференционные максимумы. На ФСП ПЧВ для значений и интерференция практически полностью отсутствует, а вертикальные линии выражены еще более ярко. При уменьшении до значения ФСП ПЧВ сглаживается и становится практически неотличимой от ФСП СФ. Последняя оказывается несколько более размытой. При вейвлет-анализе данной модели сигнала [18] можно точно определить моменты времени, где сигнал имеет скачок, но отличить по виду вейвлет-спектрограммы данный сигнал от, например, двух следующих друг за другом -функций Дирака оказывается практически невозможным. Это происходит потому, что вейвлет-преобразование как от константы, так и от линейной функции всегда равно нулю (см., например, [9, 11]). В отличие от вейвлет-анализа нелинейные преобразования класса Коэна, в частности ПВ, ПЧВ и СФ, позволяют различать импульс конечной ширины и сумму двух -функций Дирака. Для них ФСП в промежуток времени между началом и окончанием импульса вблизи нулевой частоты оказывается отличной от нуля.

Анализ суммы импульсной помехи и гармонического сигнала

На ФСП ПВ отчетливо просматриваются горизонтальная и вертикальная линии, которые отвечают соответственно за наличие гармонического колебания и -функции Дирака. При этом картина несколько зашумлена присутствующей интерференцией. На ФСП ПЧВ интерференция отсутствует, но при этом горизонтальная линия несколько уширяется. На ФСП СФ присутствует несколько сглаженная горизонтальная линия, а вертикальная вообще отсутствует. При анализе такого сигнала при помощи ФСП СФ, о присутствии в нем -функции Дирака можно лишь догадываться по некоторому уплотнению горизонтальной линии в момент времени, когда появляется -функция.

Результаты анализа резкого скачка амплитуды сигнала

ФСП ПВ отлична от нуля при низких частотах, когда и сам сигнал отличен от нуля. Также просматривается вертикальный пик, отвечающий за скачок сигнала, но, в целом, картина искажена интерференцией. На ФСП ПЧВ интерференция отсутствует и отчетливо наблюдается момент скачка амплитуды в виде вертикальной линии на время-частотной плоскости при относительно больших значениях . При достижении степени сглаживания ФСП ПЧВ этот пик уменьшается и ФСП ПЧВ становится похожей на ФСП СФ.

Гармонический сигнал без скачка фазы и со скачками фазы и . При малых значениях полученные результаты практически не отличаются от случая, когда этого скачка вообще не существует. Следовательно, при относительно небольших значениях скачок фазы как на ФСП ПЧВ, так и на ФСП ПВ и на ФСП СФ практически не проявляется. Обнаружить же его оказывается возможным при помощи скелетона ФСП ПВ, который представляет собой линии, связывающие локальные экстремумы данной ФСП [15]. При достаточно больших значениях скачка фазы (например, ) на ФСП ПЧВ отчетливо просматривается излом горизонтальной линии и вертикальный пик, свидетельствующие о наличии данной особенности. Излом горизонтальной линии также наблюдается, хотя и более слабо, на ФСП СФ. На ФСП ПВ присутствие скачка фазы даже в этом случае обнаруживается плохо.

Результаты анализа резкого скачка частоты гармонического сигнала, который происходит без скачка фазы

Здесь на ФСП ПВ четко видны две горизонтальные линии, отвечающие за наличие гармонических сигналов двух различных частот, а между ними присутствует осциллирующая интерференционная структура. Поскольку ФСП ПВ может принимать и отрицательные значения, при ее интегрировании по времени интерференционные члены практически компенсируют друг друга и на энергограмме ПВ видны только два пика, соответствующие гармоническим сигналам. Как и следовало ожидать, ПЧВ успешно подавляет интерференцию, при этом его время-частотное разрешение оказывается лучше, чем у ФСП СФ, но несколько хуже, чем у ФСП ПВ.

Результаты анализа излома отчасти напоминают результаты анализа резкого скачка амплитуды. Различие состоит в том, что на ФСП ПЧВ и ФСП СФ в этом случае отсутствует вертикальный пик, который отвечает за резкий скачок амплитуды сигнала и проявляется на ФСП ПВ, ПЧВ и СФ. К сожалению, определить моменты начала и окончания возрастания амплитуды, где сигнал претерпевает излом, при помощи ФСП ПВ, ФСП ПЧВ и ФСП СФ практически невозможно. Тем не менее, эти особенности хорошо обнаруживаются при вейвлет-анализе [18].

На рис. 10 рассмотрен анализ производной -функции Дирака. Эта модель представляет собой предельный случай СШП сигнала, у которого по определению отсутствует постоянная составляющая. При уменьшении частоты, значения ФСП ПВ, ФСП ПЧВ и ФСП СФ в момент времени, когда присутствует сигнал, стремятся к нулю. ФСП ПЧВ при оказывается отличной от нуля при низких частотах, вплоть до нулевого значения частоты, однако это происходит вследствие сильной степени сглаживания ФСП. Энергограммы всех трех преобразований оказываются практически одинаковыми.

Анализ суммы производной -функции Дирака и гармонического сигнала

Здесь ФСП ПВ зашумлена результатами интерференции. На ФСП ПЧВ, так же как и на ФСП СФ четко видны две составляющие сигнала без интерференционных. На ФСП СФ компонента сигнала, отвечающая за наличие производной -функции Дирака, оказывается более размытой, чем на ФСП ПЧВ.

Результаты анализа вертикального перегиба

Здесь ФСП ПЧВ успешно подавляет интерференцию, присутствующую в ФСП ПВ. Результаты Чои-Вильямс-анализа такого сигнала оказываются схожими с результатами, полученными при помощи СФ.

При анализе шпиля ФСП ПВ наиболее, а ФСП СФ меньше всего локализованы на время-частотной плоскости. Время-частотное разрешение ФСП ПЧВ, в этом случае, позволяет более точно определить момент времени, когда сигнал имеет пик.

На время-частотной плоскости ФСП ПВ присутствуют горизонтальная линия, соответствующая гармоническому сигналу, локальное образование, соответствующее наличию шпиля, а так же осциллирующие интерференционные члены в центре между ними. На энергограмме ПВ присутствуют только два пика, которые соответствуют частотным компонентам шпиля и гармонического сигнала. Осциллирующие интерференционные члены, подобно при интегрировании ФСП ПВ взаимно уничтожаются. ПЧВ позволяет практически полностью подавить интерференцию, но происходит это за счет некоторого ухудшения время-частотного разрешения. На ФСП СФ интерференционные члены отсутствуют, видны два сигнала, а так же наблюдается максимум в месте пересечения двух компонент сигнала на время-частотной плоскости.

3. Обсуждение результатов

Полученные результаты демонстрируют, что при анализе сигналов с особенностями ПЧВ в большинстве случаев успешно подавляет интерференцию, которая имеет место в ФСП ПВ. Однако это происходит за счет ухудшения время-частотного разрешения. Тем не менее, даже при малых значениях , когда происходит значительное снижение уровня интерференции, время-частотное разрешение у ФСП ПЧВ остается лучше, чем у ФСП СФ. При исследовании резких скачков амплитуды или фазы ПЧВ позволяет точно определить момент времени, когда этот скачок происходит.

Подавление интерференционных структур при помощи ПЧВ происходит не одинаково во временной и в частотной области. Более качественно подавляются интерференционные структуры, которые появляются между разнесенными по времени компонентами сигнала. Те компоненты сигнала, которые происходят одновременно, но на различных частотах подавляются хуже.

Поэтому в некоторых случаях приемлемое подавление интерференционных максимумов происходит при достаточно больших значениях варьируемого параметра (), а для других сигналов даже при значениях на ФСП ПЧВ все еще присутствует интерференция.

При анализе излома при помощи используемых в работе преобразований оказывается невозможным обнаружить моменты времени, когда сигнал претерпевает излом. Однако можно определить возрастает или убывает со временем амплитуда сигнала по абсолютному значению. При помощи непрерывного вейвлет-преобразования (НВП) [18], наоборот, можно точно ответить на вопрос, когда наблюдаются скачки производной сигнала. Но вейвлет-анализ не позволяет определить поведение сигнала в промежутке времени между скачками производной в случае, когда значение сигнала не изменяется или изменяется линейно.

Таким образом, при исследовании реальных сигналов необходимо одновременно использовать несколько время-частотных преобразований как нелинейных (ПВ, ПЧВ, СФ и др.) так и линейных, таких как непрерывное и аналитическое вейвлет-преобразования [18, 19], оконное и адаптивное [25] преобразования Фурье и др. При этом каждое преобразование в силу своих свойств позволяет выявлять те или иные особенности исследуемого сигнала.

Для всестороннего исследования сигналов различной природы и получения максимального количества информации об их время-частотном содержании авторами разработан комплексный метод анализа сигналов, который получил название системный спектральный анализ [21].

1. Установлены достоинства и недостатки Чои-Вильямс-анализа в случае его применения для изучения время-частотного состава модельных сигналов с особенностями.

2. Продемонстрировано, что подавление интерференционных членов при помощи ПЧВ происходит неравномерно на время-частотной плоскости, что интерференционные члены, возникающие между временными компонентами сигнала, подавляются лучше, чем те, которые появляются между частотными компонентами сигнала.

3. Указано, что для более полного выявления всех особенностей время-частотного содержания сигналов необходимо одновременно применять несколько преобразований как линейных (таких как непрерывное и аналитическое вейвлет преобразования, оконное и адаптивное преобразование Фурье), так и нелинейных (ПВ, ПЧВ, СФ). Каждое, из этих преобразований позволяет выявить те или иные время-частотные особенности сигнала.

чои вильямс сигнал сверхширокополосный

Литература

1. Потапов А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. - М.: Университетская книга, 2005. - 848 с.

2. Дмитриев А. С., Клецов А. В., Лактюшкин А. М., Панас А. И., Старков С. О. Сверхширокополосная беспроводная связь на основе динамического хаоса // Радиотехника и электроника. - 2006. - Т. 51, № 10. - C. 1193-1209.

3. Болотов В. Н., Ткач Ю. В. Фрактальная система связи // Журнал технической физики. - 2008. - Т. 78, № 9. - С. 91-95.

4. Лазоренко О. В., Черногор Л. Ф. Сверхширокополосные сигналы и процессы. Монография. - Харьков: Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, 2009. - 576 с.

5. Дмитриев А. С., Ефремова Е. В., Панас А. И. Прямохаотические беспроводные системы связи: в сб. Фрязинская школа электроники, под ред. А.А. Борисова - М.: Янус-К, 2012, с. 455-475.

6. Ultra Wideband - Current Status and Future Trends / Edited by Matin M. A. - Rieka: InTech, 2012. - 358 p.

7. Ultra-Wideband Radio Technologies for Communications, Localization and Sensor Applications / Edited by Thoma R., Knochel R. H., Sachs Ju., Willms I., Zwick T. - Rieka: InTech, 2013. - 488 p.

8. Cohen L. Time-Frequency Analysis. - N.-Y.: Prentice-Hall, 1995. - 300 p.

9. Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing. The Sparse Way. - N.-Y.: Academic Press, 2010. - 805 p.

10. The Digital Signal Processing Handbook / Editor-in-chief Madisetti V. K. - Boca Raton: CRC Press, 2010. - 876 p.

11. Advances in Wavelet Theory and Their Applications in Engineering, Physics and Technology / Edited by Baleanu D. - Rieka: InTech, 2012. - 634 p.

12. Auger F., Flandrin P., Goncalves P., Lemoine O. Time-Frequency Toolbox Reference Guide. - Houston: Rice University, 2005. - 180 р.

13. Вишнивецкий О. В., Кравченко В. Ф., Лазоренко О. В., Черногор Л. Ф. Преобразование Вигнера и атомарные функции в цифровой обработке сигналов // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2006. - Т. 11, №6. - С. 26-38.

14. Choi H.-J., Williams W. J. Improved Time-Frequency Representation of Multicomponent Signals Using Exponential Kernels // IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. - 1989. - Vol. 37, № 6. - P. 862-871.

15. Вишнивецкий О. В., Лазоренко О. В., Черногор Л. Ф. Вигнер-анализ модельных сигналов с особенностями // Радиофизика и радиоастрономия. - 2008. - Т. 13, № 2. - С. 195-209.

16. Вишнивецкий О. В., Лазоренко О. В., Черногор Л. Ф. Чои-Вильямс-анализ в цифровой обработке сигналов // Радиофизика и радиоастрономия. - 2007. - Т. 12, № 4. - С. 410-432.

17. Вишнивецкий О. В., Лазоренко О. В., Черногор Л. Ф. Анализ нелинейных волновых процессов при помощи преобразования Вигнера // Радиофизика и радиоастрономия. - 2007. - Т. 12, № 3. - С. 295-310.

18. Лазоренко О. В., Лазоренко С. В., Черногор Л. Ф. Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 1. Непрерывное вейвлет-преобразование // Радиофизика и радиоастрономия. - 2007. - Т. 12, № 2. - С. 182-204.

19. Лазоренко О. В., Лазоренко С. В., Черногор Л. Ф. Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования // Радиофизика и радиоастрономия. - 2007. - Т. 12, № 3. - С. 278-294.

20. Wigner E. P. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium // Phys. Rev. - 1932. - Vol. 40. - P. 749-759.

21. Лазоренко О. В., Черногор Л. Ф. Системный спектральный анализ: теоретические основы и практические применения. // Радиофизика и радиоастрономия. - 2007. - Т. 12, № 2. - С. 162-181.

22. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. / Санкт-Петербург, Питер, - 2002. - 608 с.

23. Кравченко В. Ф., Лазоренко О. В. Пустовойт В. И., Черногор Л. Ф. Преобразование Чои-Вильямса и атомарные функции в цифровой обработке сигналов. // ДАН РАН, - 2007. - Т. 413, № 6. - С. 750-753. English Version: Kravchenko V. F., Lazorenko O. V., Pustovoit V. I., and Chernogor L. F. Choi-Williams Transform and Atomic Function in Digital Signal Processing // Doklady Physics. - 2007. - Vol. 52, No 4 - P. 207-210.

24. Лазоренко О. В., Лазоренко С. В., Черногор Л. Ф. Вейвлет-анализ нелинейных волновых процессов. // Успехи современной радиоэлектроники. - 2005. - №10. - С. 3-21.

25. Лазоренко О. В., Панасенко С. В., Черногор Л. Ф. Адаптивное преобразование Фурье // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2005. - Т. 10, № 10. - С. 39-50.

Размещено на Allbest.ru