Аналитические методы и модели управления надежностью систем при неточной исходной информации

Размещено на http://www.allbest.ru/

На правах рукописи

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Аналитические методы и модели управления надежностью систем при неточной исходной информации

Масоди Дмитрий Анварович

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации

Москва - 2008

Работа выполнена в Вычислительном Центре им. А.А. Дородницына РАН.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Дедков В.К.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бутусов О.Б.;

доктор физико-математических наук, профессор Ишмухаметов А.З.

Ведущая организация: Российский Университет Дружбы Народов (РУДН).

Защита диссертации состоится «28» февраля 2008 г. в «14» часов на заседании Диссертационного совета Д002.017.03 в Вычислительном Центре им. А.А. Дородницына РАН по адресу: 119333, г. Москва, ул. Вавилова, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН им. А.А. Дородницына.

Автореферат разослан: 2008 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-математических наук Мухин А.В.

надежность бортовой аппаратура космический

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Практика производства и эксплуатации высоконадежных малосерийных объектов космической техники показывает необходимость предъявления требований к надежности космической техники уже на этапе разработки, с тем чтобы технические характеристики проектируемых объектов обеспечивали требуемый уровень надежности. При этом сокращаются как объемы заводских, так и летных испытаний.

В такой постановке задача управления надежностью является «обратной» задачей по отношению к прогнозированию надежности, являющемуся прямой задачей оценивания надежности.

Задача управления надежностью сложных технических систем или задача синтеза составляющих комплекса условий испытаний является следствием решения проблемы анализа надежности сложных систем, естественным завершением круга вопросов, связанных с созданием сложных технических объектов с заданными эксплуатационными характеристиками, в частности с заданной надежностью.

В математической модели управления надежностью заданными являются классы функций, описывающие законы изменения характеристик надежности, и характеристик условий применения уникальных объектов, а искомыми являются требуемые законы распределения характеристик технического качества.

Под управлением надежностью понимается получение законов изменения характеристик качества системы на основе требуемого закона изменения надежности.

Данная задача относится к классу обратных задач математической теории надежности. Обратные задачи являются некорректными, т. е. их решения неустойчивы к изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа, по существу, являются плохо поставленными. Они принадлежат к классу некорректно поставленных задач.

Если исходные данные известны приближенно, то упомянутая неустойчивость приводит к практической неединственности решения в рамках заданной точности и к большим трудностям в выяснении смысла получаемого приближенного решения.

Исходные данные задачи управления надежностью, получаемые обычно путем статистической обработки результатов измерений, содержат случайные погрешности. Поэтому при построении приближенных решений и при оценке их погрешностей, в зависимости от характера исходной информации, возможен как детерминированный подход, так и вероятностный.

Основы теории решения некорректных задач заложили академики А.Н. Тихонов, М.А. Лаврентьев и их последователи. Особенности решения некорректных задач теории надежности изложены в работах В.К. Дедкова и Н.А. Северцева.

К настоящему времени разработано большое число как общих, так и частных методов решения некорректных задач, нашедших разнообразное применение на практике. Методом решения некорректных задач, нашедшим наиболее широкое применение, является метод регуляризации, предложенный А.Н. Тихоновым. Большинство других, как существующих, так и разрабатываемых методов, как правило, являются модификациями этого метода. Однако применение метода регуляризации требует решения сложных вариационных уравнений, нахождение параметра регуляризации является самостоятельной, подчас довольно сложной, задачей, а само решение возможно получить, как правило, только применяя численные методы. Из анализа существующих методов решения обратных задач управления надежностью следует, что для практических приложений желательно иметь несколько иной метод, пусть менее общий, но позволяющий относительно просто получать регуляризованные (устойчивые) решения некорректных задач аналитическим путем.

Данная диссертационная работа посвящена разработке аналитического метода решения задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

Целью диссертационного исследования является разработка аналитического метода решения задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации, применимого также для решения многих других некорректных задач физики и техники.

Методы исследования. В работе, на основе классических результатов и методов решения некорректных задач, с использованием аппарата математического и функционального анализа, теории операторных и интегральных уравнений, линейной алгебры, математической статистики и теории вероятностей разработан аналитический метод решения задачи управления надежностью.

Достоверность и обоснованность полученных результатов основана на корректности постановок задач, строгом использовании математических методов. Все полученные результаты имеют строгие доказательства.

Научная новизна. В диссертации впервые поставлена, проанализирована и решена аналитическим методом задача управления надежностью сложных технических систем с приближенно известными и случайными исходными данными. Разработан новый аналитический метод решения некорректных задач математической теории надежности.

Практическая полезность. Результаты диссертации применены в задаче управления надежностью сложных технических систем, в частности, космических систем, действующих в условиях переменных нагрузок. Разработанный метод позволяет проектировать элементы космических систем с заданными характеристиками надежности.

Личный вклад.

1) Проведен качественный анализ задачи управления надежностью, позволивший получить основные зависимости и проанализировать причины неустойчивости решения.

2) Разработан новый аналитический метод решения задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

3) Получены необходимые и достаточные условия устойчивости получаемого решения.

4) В диссертации решена задача управления надежностью элементов бортовой аппаратуры космического аппарата, действующих в условиях случайных нагрузок, с приближенно известными законами распределения.

5) Автором подготовлен пакет прикладных программ и проведен численный эксперимент, результат которого свидетельствует о практической работоспособности алгоритмов, разработанных в диссертации.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на Международном симпозиуме «Надежность и качество» - 2007, г. Пенза и на Международной научной конференции «Фундаментальные проблемы системной безопасности», г. Москва, 2007 г. Результаты работы также обсуждались на семинаре отдела Безопасности и устойчивости систем Вычислительного Центра им. А.А. Дородницына РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 научных работ, из них 2 работы - в изданиях, рекомендованных ВАК. Общий объем публикаций 30 с.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации 130 с. Библиографический список включает 114 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении приведена общая характеристика представленной работы, включающая актуальность темы исследования, ее цель, методы и область исследования, достоверность, научную новизну, практическую значимость, реализацию результатов, полученных в работе. Также во введении приведено краткое содержание диссертации.

В первой главе диссертации дается постановка общей задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации. Анализируются качественные аспекты данной задачи как проблемы прикладного системного анализа и обработки информации. Приводится определение задачи управления надежностью, как получения законов изменения характеристик качества системы на основе требуемого закона изменения надежности при заданных законах внешнего воздействия на элементы сложной технической системы (нагрузках).

Уравнения связи между характеристиками комплекса испытаний и показателями надежности, полученные методом косвенного измерения показателей надежности, даны в следующей форме

(1)

(2)

где - распределение вероятности отказа по числу испытаний;

- функция надежности (дополнительная функция распределения времени безотказной работы);

- случайное наибольшее значение нагрузки в одном испытании при стационарном (в стохастическом смысле) процессе нагружения;

- случайная величина сопротивляемости, необратимые изменения которой в процессе испытаний не учитываются;

и - соответственно: функция распределения наибольшего значения нагрузки в одном испытании и функция распределения сопротивляемости;

- функция распределения наибольшего значения нагрузки после испытаний;

- число испытаний в серии.

Система (1)-(2) представляет собой математическую модель задачи управления надежностью при отсутствии старения исследуемого объекта. Данные уравнения это интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода.

При решении прямой задачи, т. е. задачи анализа (прогнозирования) надежности в качестве измеренных характеристик выступают случайные переменные и , а определяемой является случайная величина . По условиям обратной задачи (задачи управления) измеренными являются и , а определяемой - .

Функция (функция распределения случайной величины ) считается непрерывной. Тогда

и уравнение (1) запишется в виде

где функция есть плотность функции распределения случайной величины .

Функцию можно содержательно интерпретировать как фазовую траекторию системы в координатах время-надежность. Функция есть, в этом случае, управление, определяющее необходимый закон изменения технических характеристик системы, позволяющий получить требуемый закон изменения надежности . Управляемыми параметрами системы являются способы агрегирования подсистем, технические характеристики отдельных элементов, методы контроля качества и т. д.

В диссертации принято допущение, что функция распределения наибольшего значения нагрузки после испытаний подчиняется закону экстремальных распределений и имеет вид:

(3)

где и - параметры распределения.

Функция надежности записывается в виде:

Уравнение (1) записывается в «стандартной» форме

(4)

где - ядро интегрального уравнения.

Из физического смысла задачи следует, что функции и принадлежат классу , т. е. классу функций с интегрируемым квадратом модуля на соответствующем интервале. Это означает, что данные функции принадлежат гильбертову пространству .

Параметры распределения и определяются статистическим путем на основе анализа экспериментально полученных данных и, следовательно, являются неточными. Неточность связана как с погрешностью измерений, так и погрешностью, возникающей при статистической обработке данных.

Функция , задаваемая исходя из требований по надежности к проектируемой системе, также является неточной. Это объясняется тем, что реальное распределение отказов не может абсолютно точно соответствовать теоретической функции распределения. Поэтому правильнее задавать класс функций распределения, удовлетворяющих определенным ограничениям. Это усложняет задачу, но зато более адекватно отражает ее физическую сущность.

Далее в первой главе проводится анализ уравнения (4) и доказывается неустойчивость его решения. Т. е. бесконечно малым изменениям функции могут соответствовать произвольные изменения решения . Таким образом, устанавливается некорректность задачи управления надежностью.

Для задачи управления надежностью характерно то обстоятельство, что не только левая часть уравнения (4), но и сам интегральный оператор заданы приближено. Это делает задачу нахождения решений уравнения (4) «существенно некорректной».

Таким образом, в математической постановке, задача управления надежностью состоит в нахождении решения уравнения (4), устойчивого к изменению исходных данных при неточно заданных операторе и левой части.

Далее в первой главе описывается методика обработки исходной информации в задаче управления надежностью, т. к. от правильности принятых статистических гипотез и качества обработки информации в большой степени зависит эффективность и точность решения основной задачи.

Особенностью задачи управления надежностью является анализ поведения системы на длительном интервале времени (от нескольких месяцев до нескольких лет). В этом случае случайные флуктуации переменных внешних воздействий на систему (внешних нагрузок) «сглаживаются», а сами переменные внешние нагрузки приобретают характер стационарных случайных процессов.

В диссертации приводятся статистические методы получения характеристик внешних воздействий в виде параметров стационарного в широком смысле случайного процесса и анализируются их особенности.

Во второй главе диссертации проводится анализ причин некорректности (неустойчивости) в постановках задач, дается определение корректности по Тихонову и приводится понятие регуляризующего оператора. Рассматриваются также существующие методы решений некорректных задач, проводится их анализ и сравнение.

В начале второй главы приводится постановка задачи регуляризации неустойчивых решений.

Задачу

, (5)

где , , называют корректной по Тихонову на множестве, а само множество называют ее множеством (классом) корректности, если:

1) точное решение задачи существует и принадлежит множеству , т. е. ;

2) решение единственно на множестве , т. е. оператор обратим на множестве ;

3) существует непрерывная зависимость решения от правой части , когда вариации не выводят решение за пределы множества , т. е. оператор непрерывен в относительной топологии множества .

При решении уравнения типа (5) естественно исходить из предположения, что точные данные задачи известны лишь приближенно, т. е. в действительности считать известной пару , аппроксимирующую в выбранной топологии пару .

Пусть , - метрические пространства, а оператор взаимно однозначен. Параметрическое семейство определенных на всем пространстве многозначных отображений

называется регуляризатором (регуляризирующим оператором или алгоритмом) задачи (5) на множестве , а называется множеством регуляризуемости, если для всякого числа существует и значение параметра такие, что при любых элементах

( - область определения оператора )

и , , для произвольного элемента будет справедливо неравенство . Иными словами, существует возможность выбрать значение параметра независимо от элемента таким образом, чтобы множества сходились к точке при .

В настоящее время известно большое число методов решения широкого класса некорректных задач. Эти методы можно условно разделить на два больших класса: вариационные методы и методы, основанные на численных приближениях.

В диссертации проводится анализ вариационных методов решения некорректных задач, а именно: метода квазирешений, метода регуляризации и метода невязки.

Анализ вариационных методов позволил определить границы их применения, трудности, возникающие при их использовании на практике, и вычислительные особенности нахождения устойчивых решений.

В конце второй главы кратко рассматриваются численные методы решения некорректных задач, имеющие более узкую область применимости по сравнению с вариационными методами, на примере метода итераций и конечноразностного (сеточного) метода.

По результатам подробного анализа существующих методов решения некорректных задач делается вывод о необходимости разработки нового метода решения некорректной задачи управления надежностью и формулируются требования, которым он должен отвечать.

Третья глава посвящена разработке метода решения некорректных задач в гильбертовом пространстве, в частности решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, т. е. математической модели задачи управления надежностью сложных технических систем.

Ключевым моментом, на котором основывается разрабатываемый метод, является свойство изоморфизма гильбертовых пространств: любые два сепарабельных гильбертова пространства изоморфны между собой.

Это означает, что пространства и - изоморфны между собой и их можно не различать, поскольку они представляют собой различные реализации одного и того же гильбертова пространства.

Здесь - гильбертово пространство элементами которого являются последовательности чисел таких, что

, -

гильбертово пространство функций интегрируемых с квадратом модуля на соответствующем интервале.

Изоморфное отображение осуществляется при помощи разложения функция в ряд Фурье по ортонормированной системе функций. В функциональном анализе доказывается, что в сепарабельном гильбертовом пространстве всякая полная ортонормированная система является базисом, т. е для любого имеет место разложение

(6)

Причем

(равенство Парсеваля).

Ряд в правой части (6) называется рядом Фурье элемента по ортонормированной системе , а числа С - коэффициентами Фурье. С - поле комплексных чисел.

Итак, между всевозможными последовательностями чисел со сходящимся рядом из их квадратов, т. е. пространством , и функциями гильбертова пространства существует взаимно-однозначное соответствие.

Далее рассматривается матричное представление линейного ограниченного оператора в ортонормированном базисе.

Пусть - определенный на всем сепарабельном гильбертовом пространстве линейный ограниченный оператор, а - ортонормированный базис гильбертова пространства. Положим

, j, k = 1, 2, … .

Матрица определяет оператор .

Основываясь на рассмотренных свойствах гильбертовых пространств, в третьей главе систематически излагается новый метод решения некорректных задач. Доказываются необходимые и достаточные условия регуляризации решений.

Рассматривается операторное уравнение первого рода (5).

Исходные данные, т. е. пара , известны приближенно. Иными словами, вместо точных данных заданы приближенные данные , где числа и характеризуют погрешности исходных данных в естественной метрике гильбертова пространства

, . (7)

Задача, подлежащая исследованию, заключается в построении по приближенным данным такой последовательности приближенных решений , которая сходится к точному решению уравнения (5) при условии сходимости исходных данных

.

Разложим по данной ортонормированной системе функций оператор , правую часть и неизвестную функцию уравнения (5). Иными словами, сопоставим функциям и их коэффициенты Фурье в ортонормированной системе , а оператору - бесконечную матрицу его коэффициентов.

, где ;

, где ;

, где .

Данное соответствие есть изоморфизм линейных пространств и .

Уравнение (5) в пространстве запишется в матричном виде

 (8)

или в виде бесконечной системы линейных уравнений

(9)

Обозначим бесконечную матрицу и вектор-столбцы уравнения (8), по аналогии с (5), , , и запишем (8) в виде

(10)

Систему (10) удобно преобразовать к виду

, (11)

где , а - диагональная матрица (в простейшем случае - единичная).

Далее, после преобразований, получаем

(12)

Решая данную бесконечную систему мы получим последовательность приближенных коэффициентов Фурье искомой функции .

В метрике пространства квадратичная погрешность значений вектора определяется как

. (13)

После проведения преобразований, получаем

где

(14)

Таким образом, при . То есть, при стремлении погрешности исходных данных к нулю, значения коэффициентов Фурье искомой функции стремятся к своим точным значениям.

Далее, в третьей главе, доказывается теорема, являющаяся теоретической основой метода решения задачи управления надежностью.

Теорема. Устойчивое (к малым изменениям ) приближенное решение уравнения (5) дается с помощью оператора

(15)

( - параметр регуляризации), если брать равным целой части функции , т. е.

, где при , , , а .

Доказательство. Так как для всякого , то

.

Так как ряд

сходится, то его остаток стремится к нулю при .

Далее, применяя неравенство Коши-Буняковского, получим

при .

Таким образом, устойчивое к малым изменениям исходных данных решение уравнения (5) дается конечной суммой (15) (конечным рядом Фурье), т. е. в аналитическом виде.

Регуляризация решения некорректной задачи осуществляется при помощи согласования погрешности решения и погрешности исходных данных путем изменения размерности редуцированного конечномерного пространства.

Четвертая глава диссертации посвящена решению задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации. Для оценки точности решения задачи управления надежностью методом, разработанным в третьей главе, проводится серия расчетов согласно следующему алгоритму:

1) Правая часть уравнения (4) считается известной и решается прямая задача: определяется ;

2) Полученное значение подставляется в левую часть уравнения (4), а функция считается неизвестной. Поиск неизвестной функции , стоящей в правой части интегрального уравнения, представляет собой обратную задачу по отношению к задаче, решаемой в п. 1. Далее, поставленная некорректная задача решается аналитическим методом, разработанным в данной диссертации;

3) Сравнивается полученное решение с изначально заданной функцией с целью оценки степени согласования полученного решения с заданным (т.е. оценки точности искомого решения).

Необходимо отметить, что как ядро уравнения (4) , так и полученную на первом этапе решения левую часть следует считать приближенно заданными с погрешностями и соответственно.

Принадлежность функций и пространству следует из физической сущности задачи.

Для изоморфного отображения пространства в пространство , необходимо вычислить коэффициенты Фурье левой части интегрального уравнения и коэффициенты матричного представления оператора по определенной ортонормированной системе функций. Ортонормированная система функций на интервале строится на основе полиномов Эрмита, заданных формулой

Эта система принимается в качестве базиса пространства .

Решение некорректной задачи управления надежностью устойчивое к изменению исходных данных получается в виде отрезка ряда Фурье по данной ортонормированной системе функций.

В диссертации проводится анализ полученного решения, оценка его погрешности, на основе чего сделан вывод о достаточной степени согласованности полученного решения с теоретически заданным.

В четвертой главе рассматривается практически важная задача управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции (СОК) космических аппаратов (КА) серии «А».

Основными дестабилизирующими факторами или нагрузками, влияющими на работоспособность систем КА в условиях космического полета являются тепловые, радиационные, электрические, механические и др. Существенную роль среди нагрузок, действующих на бортовые устройства КА, играют тепловые нагрузки. Фактически тепловым воздействиям подвержены все без исключения устройства борта КА. Не все они в равной мере чувствительны к этим нагрузкам и не для всех устройств те значения температуры, которые имеют место в различных режимах эксплуатации КА, опасны в отношении отказов. Для контроля за температурным режимом бортовых устройств в различных точках как внутренних отсеков КА, так и на его внешних элементах установлены датчики температуры.

Анализ показывает, что наибольшей чувствительностью к тепловым нагрузкам отличаются устройства системы ориентации и контроля (СОК). СОК обеспечивает успокоение, ориентацию и удерживание осей КА относительно орбитальной системы координат. Нормальными условиями эксплуатации, оговоренными в технической документации, для этих датчиков являются определенные диапазоны температур.

Анализ результатов телеизмерений показывает, что тепловое воздействие на датчики СОК имеет характер стационарного случайного процесса.

В четвертой главе диссертации первоначально проводится проверка статистических гипотез о стационарности и эргодичности тепловых процессов на основе данных телеизмерений. С этой целью вычисляются нормированные корреляционные (автокорреляционные) функции случайного процесса. Нормированная автокорреляционная функция для -го центрированного случайного процесса вычисляется по формуле:

(16)

где - длительность реализации, по которой оценивается ;

- текущее значение времени сдвига;

- оценка дисперсии случайного процесса.

Для проверки предположения о стационарности процессов по их корреляционным (автокорреляционным) функциям для каждой реализации процесса с помощью компьютера рассчитываются нормированные корреляционные функции центрированных случайных процессов. Изменение начала отсчета ординат процесса во времени при вычислении автокорреляционных функций существенно не изменяет ее значений при одних и тех же значениях аргумента , что является свидетельством стационарности рассматриваемых процессов в широком смысле.

В диссертации была предпринята также попытка проверки эргодичности тепловых процессов. Проверка показала, что усредненная нормированная корреляционная функция быстро затухает ( при ). Как известно, это является достаточным условием эргодичности стационарного случайного процесса.

Затем проверяется гипотеза о стохастической независимости наибольших значений температуры. Для этого используется критерий серий. Определяются параметры функции распределения наибольшего значения температуры . Затем проверяется достоверность гипотезы о законе экстремальных распределений некоррелированных наибольших значений температур , при помощи критерия (критерий Мизеса).

Задаваясь левой частью уравнения (4) (распределением вероятности отказа по числу испытаний), в результате решения обратной задачи, получается требуемый закон распределения сопротивляемости на временном интервале года.

В качестве требуемого закона распределения вероятности отказа принимается геометрический закон распределения:

, (17)

где - есть вероятность появления отказа в единичном испытании. Иными словами закон распределения (17) описывает вероятность появления отказа в -м испытании.

Особенностью данной задачи является то, что, во-первых, ядро интегрально оператора, функции и есть вероятностные законы распределения, параметры которых получены путем статистической обработки данных определенного (конечного) числа испытаний; а во-вторых, то, что все члены интегрального уравнения заданы приближенно, с определенной степенью погрешности. Все это превращает классическую некорректную задачу (4) в «существенно» некорректную задачу.

Поставленная некорректная задача управления надежностью датчиков системы ориентации и стабилизации космических аппаратов серии «А» решена в четвертой главе разработанным в диссертации аналитическим методом.

В результате расчетов были сделаны следующие рекомендации к характеристикам технического качества датчиков системы ориентации и коррекции: датчики должны устойчиво функционировать при значениях температуры не превышающей . Это означает, что при данном уровне технических характеристик датчиков их надежность будет изменяться согласно заданному закону на интервале времени года. Полученные результаты позволяют на этапе проектирования уточнить требования к характеристикам датчиков системы ориентации и коррекции при условии достижения требуемого уровня надежности, что позволяет сократить цикл испытаний и доработок проектируемого изделия.

В заключении приводятся основные результаты данной диссертационной работы.

Основные результаты диссертационной работы

1) Разработан новый аналитический метод решения задачи управления надежностью сложных технических систем при неточной исходной информации.

2) Проведен качественный анализ задачи управления надежностью, позволивший получить основные зависимости и проанализировать причины неустойчивости решения.

3) Проанализированы вычислительные особенности решения задачи управления надежностью, связанные со стохастичностью параметров математической модели управления надежностью и наличием случайных погрешностей.

4) Доказана устойчивость решения, получаемого разработанным в диссертации аналитическим методом, к изменениям исходных данных.

5) Решена задача управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции космических аппаратов серии «А». В результате чего получена возможность выбора на этапе проектирования оптимальных технических решений, учитывающих заданные законы изменения характеристик надежности.

6) Разработанный метод апробирован вычислительными экспериментами. Приведенные примеры расчетов показали удовлетворительную сходимость полученных решений к заданным.

7) На основе полученных численных результатов решения задачи управления надежностью датчиков системы ориентации и коррекции космических аппаратов серии «А» выработаны рекомендации к техническим характеристикам датчиков с целью получения заданного закона изменения надежности.

Публикации по теме диссертации

1. Масоди Д.А. Разработка аналитического метода решения некорректных задач // Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза, 2007. С. 223-225.

2. Дедков В.К., Масоди Д.А. Новый подход к решению обратной задачи надежности // Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза, 2007. С. 186 - 188.

3. Дедков В.К., Масоди Д.А. Условия некорректности обратных задач // Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза, 2007. С. 184-185.

4. Масоди Д.А., Ефимов И.А. Постановка некорректных задач теории эффективности // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. М.: ВЦ. им А.А. Дородницына РАН. 2007. С. 54 - 61.

5. Дедков В.К., Масоди Д.А. Метод обобщенных рядов Фурье для решения некорректных задач теории эффективности // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. М.: ВЦ. им А.А. Дородницына РАН. 2007. С. 62 - 70.

6. Дедков В.К., Северцев Н.А., Масоди Д.А. Обратная задача теории надежности в поставарийной диагностике // Международный симпозиум «Надежность и качество». Труды, г. Пенза, 2007. С. 188-191.

Размещено на Allbest.ru

...