Система агрегированного управления нестационарным процессом теплопроводности

Размещено на http://www.allbest.ru//

174

Размещено на http://www.allbest.ru//

Самарский государственный технический университет

Система агрегированного управления нестационарным процессом теплопроводности Работа поддержана грантом РФФИ (проект 09-08-00297), аналитической ведомственной целевой программой «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект №2.1.2/4236) и федеральной целевой программой «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 г.г.» (госконтракт №П231 от 23 июня 2009г)

Рапопорт Эдгар Яковлевич - д.т.н., профессор.

Тян Павел Викторович - аспирант.

Э.Я. Рапопорт

Методы аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) используются в задачах синтеза систем управления с распределёнными параметрами (СРП) на примере нестационарных процессов теплопроводности. Показано, что решения рассматриваемой задачи АКАР с допустимой погрешностью сводятся к построению типовых систем пропорционального регулирования с ограниченными управляющими воздействиями.

Ключевые слова:объекты с распределенными параметрами, агрегированные регуляторы, макропеременные, притягивающие многообразия, системы управления.

Методы аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) [1,2] являются одним из перспективных путей для создания современных систем управления сложными объектами, такими, как объекты с распределёнными параметрами (ОРП). В данной работе исследуются возможности применения подобного подхода к управлению нестационарными температурными полями процессов технологической теплофизики, описываемых нелинейными пространственно-одномерными уравнениями теплопроводности в их модальном представлении [3].

Математическая модель объекта управления

Фундаментальное пространственно-одномерное уравнение теплопроводности

может быть приведено к нелинейному уравнению в частных производных параболического типа [4]:

(1)

нестационарный теплопроводность регулятор

относительно распределённой функции состояния (температурное поле), зависящей от пространственной переменной и времени , с начальными и граничными условиями:

(2)

(3)

(4)

с внутренним распределённым или граничным сосредоточенным управляющими воздействиями, соответственно и .

В линейном приближении при ,

применяя конечное интегральное преобразование по с ядром, равным собственным функциям модели объекта …, где - собственные числа, и весовой функцией [3], получаем описание процесса теплопроводности в виде бесконечной линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

(5)

относительно временных мод разложения в сходящийся в среднем бесконечный ряд по ортонормированной системе где

(6)

В этой системе уравнений - известные постоянные коэффициенты, - заданные значения , и - временные моды распределенного управления

(7)

В подобной форме исходная нелинейная модель (1)-(4) приводится к бесконечной системе нелинейных дифференциальных уравнений в отклонениях и от равновесного состояния объекта и , относительно временных мод разложения в ряд по ортонормированной системе собственных функций линейного приближения исходной модели объекта [5]:

(8)

где - явная функция векторной переменной определяемая разностью действительного и линеаризованного дифференциальных операторов по переменной

В качестве примера рассмотрим процесс нагрева в печи металлической пластины с внешним теплообменом по закону Стефана-Больцмана, который описывается линейным уравнением теплопроводности для пространственно-одномерного объекта с нелинейными краевыми условиями [4]:

(9)

(10)

(11)

Здесь - температура печи и- температурное поле нагреваемой пластины в градусах Кельвина.

Величина с заданными ограничениями рассматривается в качестве сосредоточенного управляющего воздействия :

(12)

Система уравнений (8) принимает в данном случае следующий вид:

(13)

где собственные функции , собственные числа и коэффициенты соответствуют физически родственной линейной краевой задаче Неймана с граничными условиями второго рода [3]:

(14)

и

(15)

Методика синтеза агрегированного регулятора

Дополняя структуру объекта (13) достаточно малоинерционным интегратором с условным управлением на его входе и выходной координатой [2], получим описание объекта в расширенном фазовом пространстве с допустимым граничным управлением в форме типичной нелинейной функции :

(16)

удовлетворяющей заданному ограничению :

(17)

Выбирая агрегированную макропеременную в форме [5]:

(18)

с подлежащими определению коэффициентами обратных связей, получим по методике [2] следующий алгоритм для условного управления в замкнутой системе управления:

, (19)

где  - подлежащая выбору постоянная времени, характеризующая динамику изменения макропеременной.

Уравнение регулятора (19) полностью определяет с учётом соотношений (16) структуру замкнутой системы граничного управления, показанную на рис. 1.

Здесь, согласно (19):

(20)

где - конечное число учитываемых временных мод, определяемое требуемой точностью моделирования температурного поля, и Вычисление вектора по разности производится анализатором состояния согласно соотношениям (6).

При выборе макропеременной в форме (18) сопровождающий функционал качества [2]

Размещено на http://www.allbest.ru//

174

Размещено на http://www.allbest.ru//

Рис. 1. Система управления с агрегированным регулятором

(21)

где на достаточно большом удалении изображающей точки от притягивающего многообразия

где близок на соответствующем временном интервале к критерию быстродействия с выходом управления на предельно допустимые значения или в окрестности этого многообразия при малых значениях , где движение оказывается оптимальным по стандартному квадратичному критерию качества, а при движении вдоль многообразия к началу координат фазового пространства получаем при согласно (16), (18), линейный закон управления

(22)

который, в итоге, нельзя обеспечить только при выходе на заданные ограничения.

В результате, с малой погрешностью искомый алгоритм сводится к значительно более простому виду с ограниченным сигналом на выходе пропорционального регулятора:

(23)

Если принять здесь

(24)

то, согласно (6):

(25)

и в этом случае алгоритм управления (23) сводится к построению системы стабилизации температуры поверхности с пропорциональным регулятором, коэффициент передачи которого равен а его выходной сигнал ограничен заданными значениями и (рис. 2).

Размещено на http://www.allbest.ru//

174

Размещено на http://www.allbest.ru//

Рис. 2. Система граничного управления температурой поверхности пластины

Подобное упрощение структуры системы агрегированного управления становится возможным, если с помощью пропорционального регулятора обеспечивается асимптотическая устойчивость и требуемые качественные показатели процесса управления нелинейной моделью объекта в окрестности его стационарного состояния, описываемой уравнениями (13) с линейной обратной связью (22), (25).

Уравнения первых приближений этой модели принимают следующий вид:

(26)

где, в соответствии с (15):

(27)

и, следовательно, вместо (26) получаем согласно (6) систему уравнений:

(28)

описывающую в условиях (25) процесс управления линеаризованной моделью объекта с отрицательной обратной связью по температуре поверхности при коэффициенте передачи пропорционального регулятора, равном сумме .

В такой ситуации структура разомкнутого контура образуется параллельными соединениями одного интегрирующего и бесконечного числа апериодических звеньев с заведомо положительными коэффициентами усиления, а его передаточная функция где- переменная преобразования Лапласа, определяется с учётом (14) следующим выражением [3]:

(29)

В соответствии с частотным критерием Найквиста замкнутая система будет при этом устойчива при любой величине , что и обеспечивает, согласно теореме Ляпунова [6], асимптотическую устойчивость движения замкнутой системы с исходной нелинейной моделью объекта (13).

Исследование процессов агрегированного управления

В целях численного моделирования объекта управления (9)-(12) используем его представление линейным распределённым блоком с граничными условиями второго рода

(30)

охваченным нелинейной обратной связью по температуре в точке (рис. 3):

Размещено на http://www.allbest.ru//

174

Размещено на http://www.allbest.ru//

Рис. 3. Структурное представление модели объекта

Передаточная функция линейного блока, определяемая выражением (29) в условиях , полностью характеризует его структуру относительно управляемого выхода в которой следует учесть достаточное число апериодических звеньев для обеспечения необходимой точности построения модели.

Дальнейшее построение замкнутых систем управления с регуляторами (19) и (23) проводится согласно их структурам, показанным на рисунках 1 и 2. Подобным образом передаточная функция этого линейного блока относительно выхода линейной модели в любой точке определяется, подобно (29), в следующем виде [3]:

На рис. 4 показаны полученные с помощью программного пакета Matlab результаты численного моделирования процесса управления в синтезируемых системах при

Размещено на http://www.allbest.ru//

174

Размещено на http://www.allbest.ru//

Рис. 4. Результаты численного моделирования.

и - температуры поверхности пластины, в её центре и граничные управляющие воздействия в системах управления с регуляторами, соответственно (19) и (23)

Приведённые данные численного моделирования свидетельствуют о практически пренебрежимой погрешности от замены уравнений агрегированных регуляторов их кусочно-линейным приближением.

Библиографический список

Колесников А.А. Последовательная оптимизация нелинейных агрегированных систем управления. - М.: Энергоатомиздат, 1987.

Колесников А.А. Синергетическая теория управления. -М.: Энергоатомиздат, 1994.

Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. - М.: Высшая школа, 2003.

Самарский А.А., Вабищевич П.Н.Вычислительная теплопередача. -М.: УРСС, 2003.

Рапопорт Э.Я. Элементы синергетической теории управления динамическими системами с распределёнными параметрами // Проблемы управления и моделирования в сложных системах. Труды XIIМеждународной конференции. - Самара: СНЦ РАН, 2010, с.110-119.

Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.2. - М.: Физматлит, 2007.

Размещено на Allbest.ru