На рис.1 представлена схема двухкоординатной бистатической РЛС. Элементы системы размещены в плоскости xOy: приемник (Receiver) R расположен в начале системы координат (в точке О), передатчик (Transmitter) T удален от него в направлении оси Ox на расстояние a, называемое базой. Цель движется в плоскости xOy со скоростью , пересекая линию базы под углом ш в точке , , в момент времени ф; - расстояние от передатчика до цели, - расстояние от цели до приемника. Угол ц характеризует направление прихода рассеянного сигнала:

, (1)

x, y - координаты цели. Доплеровская частота рассеянного сигнала выражается в виде [7, 10]

, (2)

л - длина волны излучения передатчика; t - время; - суммарная дальность цели.

Рис. 1. Схема просветной бистатической РЛС на плоскости

Зона действия системы представляет собой узкую, вытянутую вдоль оси Ox область [4, 5], внутри которой можно принять

и . (3)

2. Угломерно-дальномерный метод

В бистатических РЛС местоположение цели находят угломерно-дальномерным методом по пересечению луча, исходящего из точки (0, 0) под углом ц, и эллипса с фокусами в пунктах (0, 0) и (a, 0) размещения приемника и передатчика и характеризуемого суммарной дальностью l [7, 8]. Координаты точки пересечения рассчитываются по формулам:

, . (4)

Поскольку в просветной РЛС определение координат производится в непосредственной близости от линии базы (3), то для расстояний , , l и угла ц удобно иметь приближенные представления:

, , (5)

, (6)

. (7)

Из (6), (7) следуют приближенные формулы расчета координат по значениям дальности l и угла ц:

, . (8)

В просветной системе с монохроматическим излучением суммарную дальность l можно найти из (2) интегрированием измеренной зависимости f (t):

, (9)

где - значение дальности в момент начала интегрирования. Аналогичный подход - с оценкой дальности по интегрированию доплеровской частоты - в спутниковых системах радионавигации получил название интегрального доплеровского метода [11].

В момент пересечения целью линии базы суммарная дальность принимает минимальное значение , соответственно доплеровская частота переходит нулевой уровень

. (10)

С учетом этого ₍9) принимает вид [12]:

. (11)

Момент ф в (11) определяется по измерениям доплеровской частоты из условия (10) или по измерениям угла ц из условия

, (12)

вытекающего непосредственно из определения угла ц (1) и рис.1.

Из (11) видно, что предложенный в [12] подход к оценке суммарной дальности формально не позволяет отслеживать траекторию до пересечения целью линии базы. В связи с этим актуальным является поиск приближенных методов оценки местоположения цели для характерных случаев ее движения.

3. Формулы расчета координат неманеврирующей цели

Узость зоны действия и непродолжительное время пребывания цели в ней приводят к широкому использованию в просветных бистатических системах модели движения цели с постоянной скоростью и углами ш близкими к 90° [4, 5, 13 и др.]:

, (13)

, (14)

, , - величина скорости, .

В этом случае зависимости (1), (2) угла и доплеровской частоты от времени с учетом (6), (7) принимают вид:

, (15)

. (16)

Из (15), (16) следует, что на небольших удалениях цели от линии базы доплеровская частота и угол являются квазилинейными функциями времени со скоростями изменения:

, (17)

. (18)

Решая систему уравнений (15), (16) относительно координат цели, нетрудно получить для них выражения через измерения доплеровской частоты и угла:

, , (19)

или

, . (20)

В (20) скорости изменения доплеровской частоты и угла определены в соответствии с (15), (17) и (16), (18) через измерения f (t) и ц (t):

, (21)

. (22)

Формулы (20) получаются и из (13), (14) на основе совместного решения уравнений (17), (18).

Кроме того, выражения (19), (20) следуют непосредственно из (8), где l (t) вычисляется по (11) с использованием линейной зависимости f (t) (15), (17):

или .

Момент ф в уравнениях (19) ч ⁽22) можно определить из условий (10), (12). Очевидно, что при квазилинейном характере зависимостей f (t) и ц (t) для этого достаточно двух измерений доплеровской частоты или угла, выполненных в разные моменты времени.

На практике, для уменьшения влияния случайных ошибок измерений, целесообразно проводить аппроксимацию измеренных функций f (t) и ц (t) полиномами первой степени [13,14]:

, (23)

, (24)

коэффициенты которых , и , определяются методом наименьших квадратов по нескольким оценкам доплеровской частоты f и угла ц. Тогда согласно (10), (12) момент ф пересечения целью линии базы можно найти следующим образом:

. (25)

или

. (26)

Подстановка в (19) или в (20) значения ф, найденного по (25) или (26), дает возможность определять координаты цели на протяжении всего времени наблюдения, включая начальные моменты.

Следует отметить, что коэффициенты и полиномов (23), (24) имеют размерность скоростей изменения доплеровской частоты и угла и могут непосредственно использоваться в (20) в качестве их оценок. Так, если значение f (t) определено по (23), и по тем же коэффициентам и рассчитан момент ф (25), то из (21) следует

.

В качестве примера на рис.2 показаны рассчитанные по результатам 1000 независимых численных экспериментов графики математического ожидания (штриховая линия) и среднеквадратичного отклонения (пунктирная линия) ошибки определения координаты x цели по формуле (19) в зависимости от времени наблюдения t. Сплошной линией показан график полной ошибки . Рассмотрена система с , . Цель двигалась со скоростью по траектории с , .

Рис.2. Точность определения координаты x неманеврирующей цели

Зона действия системы условно ограничивалась значениями ; соответственно значение ординаты в начале наблюдения (в момент ) было

Полагалось, что измерения доплеровской частоты f и угла ц выполняются независимо и одновременно с интервалом ; соответственно наблюдение начиналось (), когда было сделано по одному измерению f и ц.

Текущее время t и число n пар одновременно произведенных измерений частоты и угла связаны равенством или . Цель пересекала линию базы спустя 20 с после начала наблюдения ().

Ошибки измерений f и ц распределены по нормальному закону со среднеквадратичными отклонениями частоты и угла и нулевыми математическими ожиданиями.

Коэффициенты аппроксимирующих полиномов (23), (24) находились по последним на текущий момент t измерениям доплеровской частоты и последним измерениям угла соответственно.

До момента использовались все имеющиеся измерения.

Аппроксимированные значения частоты и угла в центре интервала аппроксимации обеспечивали лучшую точность по сравнению с его концами. Поэтому в (19) подставлялись значения и из центра интервала, соответствующие моменту времени ().

Увеличение числа N оценок доплеровской частоты и угла для аппроксимации приводило к снижению в рассматриваемом случае.

Однако использование больших N вряд ли оправдано, поскольку при отклонении курса ш от 90° может приводить и к заметному росту и .

В рассмотренном примере относительные ошибки измерений угла ц существенно превосходили относительные ошибки измерений доплеровской частоты:

. (27)

Поэтому момент ф определялся по (25). Поскольку точность оценки ф была максимальной в момент пресечения целью оси Ox [15], то после пересечения оси Ox значение ф фиксировалось.

Точность определения координаты y цели была заметно лучше, чем координаты x, и графики ошибок y здесь не приводятся.

Проведенные исследования показали возможность получения высокой точности определения координат по приближенным формулам (19), (20) уже в самом начале наблюдения за целью. Для сравнения на рис.2 штрихпунктирной линией показан график потенциальной точности определения координаты x, рассчитанный по матрице Фишера для случая движения цели ортогонально оси Ox [16] (определению подлежали координаты x, y и скорость ; скорость полагалась известной, ).

Рост ошибки в середине интервала наблюдения объясняется повышенной чувствительностью бистатической системы к погрешностям измерений f и ц в окрестности линии базы [8]. Оценки координат здесь можно получать экстраполированием оценок, выполненных до пересечения линии базы.

На участке после пересечения целью линии базы дискретное интегрирование доплеровской частоты согласно (11) и последующая оценка координат по (4) приводили практически к тем же результатам, что показаны на рис.2. Отличие состояло в отсутствии смещений оценок координат. При этом, как и ранее, измерения угла ц предварительно аппроксимировались линейным полиномом (24) на временном интервале длительности , а последующий расчет координат выполнялся в центре интервала - в момент ().

При небольших отклонениях ш от 90° точность определения координат по приближенным формулам (19) на начальных участках также оставалась высокой. Более того возможность оценки координат сохранялась при курсах .

Уточнить полученные оценки параметров траектории неманеврирующего объекта (s, ф, , или s, ф, v, ш) или текущие координаты x (t), y (t) можно на следующем этапе обработки более сложными алгоритмами, например, по методу максимального правдоподобия [6, 16, 17].

Следует отметить, что формулы (20) представляют интерес не только для просветных бистатических, но и для многопозиционных РЛС с измерениями доплеровских частот рассеянного сигнала в пространственно разнесенных приемниках. В них величина щ может находиться по разности частот в приемниках [17, 18].

4. Расчет координат маневрирующей цели

Приближенные формулы оставались пригодными только при небольшом отличии законов изменения координат от линейного (13), (14). Поэтому определение координат маневрирующей цели в бистатических просветных системах имеет свои особенности и требует отдельного рассмотрения.

Простейшей моделью движения маневрирующей цели в просветной системе является движение с постоянным ускорением ортогонально линии базы () [19]:

, ,

где - координата y в момент начала наблюдения, а мгновенная скорость v и ускорение w определяются через коэффициенты и как первая и вторая производная от y (t), т.е.

, .

На рис.3 показаны графики точности определения координаты x цели по формуле (19), построенные по результатам 1000 численных экспериментов для условий приведенного выше примера (рис.2). Отличие состояло в ускорении объекта: вместо принятого ранее для рис.2. В этом случае момент ф пересечения целью линии базы имел значение 18,3 с.

Рис.3. Точность определения координаты x маневрирующей цели

Из рис.3 видно, что движение цели с ускорением приводило к увеличению систематических ошибок определения координат как до, так и после пересечения целью линии базы. Основной причиной этого является отличие законов изменения доплеровской частоты f и угла ц от линейных (15), (16).

Уменьшения систематических ошибок определения координат после пересечения целью линии базы можно, как и в случае неманеврирующей цели, путем дискретного интегрирования оценок доплеровской частоты по (11) и оценке координат по (4). Так, для примера на рис.3 интегральный подход (4), (11) обеспечивал . При этом подход на основе приближений (19) и подход (4), (11) приводили к совпадению графиков среднеквадратичного отклонения на рис.3 в области . Как и ранее, нахождение координат в экспериментах для рис.3 производилось в центре интервала аппроксимации - в момент ().

До пересечения целью линии базы определение координат цели с уменьшением систематических ошибок возможно по (4), (11) при помощи экстраполяции измерений доплеровской частоты полиномами более высоких, чем первая, степеней [14]. (Экстраполяция линейным полиномом приводит к ранее полученной формуле (19) и результатам, показанным на рис.3.) Однако использование полиномов второй и более высоких степеней резко повышает дисперсию ошибок определения координат, что делает такие оценки малоэффективными [14, 19].

Восстановить траекторию цели до линии базы можно ретроспективно (с обратным отсчетом времени), также угломерно-дальномерным методом с непосредственным интегрированием доплеровской частоты (11).

Получаемые с ретроспективой оценки целесообразно использовать на следующем этапе обработки для уточнения координат после момента ф, в частности - на небольшом удалении от оси Ox, где точность их определения наиболее низкая [8]. При этом возможно применение метода максимального правдоподобия [11, 20] с начальным приближением, найденным по ретроспективным оценкам.

5. Влияние высоты полета цели