Управление и наблюдение через каналы связи с ограниченной пропускной способностью

Размещено на http://www.allbest.ru/

Управление и наблюдение через каналы связи с ограниченной пропускной способностью

Б.Р. Андриевский

А.Л. Фрадков

Дан краткий обзор результатов решения задач управления и наблюдения при ограниченной скорости передачи данных через входящие в системы цифровые каналы связи. Рассмотрены условия принципиальной разрешимости этих задач, приведены прикладные примеры по минимизации объема передаваемых данных.

Статья написана по материалам выступления Б.Р. Андриевского на XXVII Общем собрании Академии навигации и управления движением 27 мая 2009 и доклада А.Л. Фрадкова на Первой всероссийской молодежной летней школе «Управление, информация и оптимизация» 22 июня 2009 г.

Введение

В настоящее время все более широкое применение находят задачи обеспечения согласованного поведения множества взаимодействующих систем. Данные задачи характеризуются тем, что измерение текущих параметров управляемого процесса, формирование управляющего воздействия и его отработка осуществляется множеством пространственно-распределенных устройств: датчиков, регуляторов и исполнительных устройств, причем управление имеет децентрализованный характер [2-8]. К этим системам относятся такие сложные технические комплексы как мобильные сенсорные сети [9, 10], самоорганизующиеся сети связи [11], кооперативные группы мобильных роботов и беспилотных летательных аппаратов, энергетические, промышленные, оборонные и другие современные системы [12-17]. Ограничение скорости передачи данных между отдельными элементами систем по каналу связи оказывает существенное влияние на процессы получения информации (наблюдение) и управления в таких системах. Прежде всего эти ограничения возникают вследствие квантования данных и дискретности по времени процесса передачи информации. Несмотря на то, что общая пропускная способность канала связи может быть значительной, отдельным узлам системы оказывается доступной лишь малая часть информации о процессах в системе, а это приводит к ошибкам передачи данных, что существенно сказывается на качестве управления. Задаче определения границ для скоростей передачи данных, при которых обеспечение заданных целей функционирования в принципе осуществимо, в последнее десятилетие уделено значительное внимание, см. напр., работы [18-21] и библиографию в них. Конечно, эти важнейшие для разработки систем вопросы обсуждались и ранее, как только появились цифровые системы управления, однако для работ последних лет характерно систематическое изучение задачи и формулировка результатов в информационных терминах. Кроме того, предшествующие работы были посвящены, в основном, анализу ошибок в существующих схемах, тогда как на новом этапе ставится и задача синтеза систем с учетом информационных ограничений.

Задача синтеза систем при ограниченной пропускной способности каналов связи между отдельными компонентами близка к задачам построения цифровых систем с квантованием по уровню в том смысле, что для них можно выразить количество передаваемых данных между отдельными элементами системы в единицах количества информации. Но между ними имеются весьма существенные отличия [22]. Действительно, в системах с квантованием по уровню характеристика преобразователя (шаг квантования), как правило, фиксирована, в то время как при передаче данных по каналу связи единственным ограничением на кодирующее устройство является количество символов используемого алфавита. Функция кодирования может меняться во времени, завися от всех предшествующих измерений. Эта дополнительная степень свободы фундаментально меняет существо в рассматриваемой задачи, так как устройство обработки данных (кодер) может эффективно выбирать подлежащие измерению величины путем целенаправленного изменения функции кодирования. Кроме того, при передаче данных по каналу связи имеется запаздывание, величина которого растет линейно от количества разрядов кодовых слов. Следовательно, начиная с некоторого значения увеличение числа разрядов кодера может привести к снижению точности оценивания из-за устаревания переданных данных.

Вопросам построения систем управления и оценивания через каналы связи с ограниченной скоростью передачи данных и посвящается настоящая статья.

В разделе 2 описана общая структура систем управления и оценивания, содержащих цифровой канал связи, и приведены сведения о ранних исследованиях по влиянию квантования сигналов по уровню в дискретных системах. Раздел 3 посвящен условиям принципиальной разрешимости задач управления и оценивания при ограниченной скорости передачи данных для линейных систем. Нелинейные системы рассмотрены в разделе 4, а раздел 5 посвящен решению прикладных задач.

1. Учет и минимизация ошибок квантования данных в системах управления и оценивания

передача данные скорость ограниченный

1.1 Структура систем управления и оценивания с цифровым каналом связи

Рис. 1. Структура системы управления через цифровой канал связи

В рассматриваемых работах исследуются системы управления и оценивания, содержащие цифровой канал связи, структуры которых представлены, соответственно, на рис. 1 и 2.

В системах управления (рис. 1) измеренное датчиком значение выхода объекта управления в дискретные моменты времени () преобразуется кодирующим устройством (кодером) К в соответствующий символ конечного алфавита кодирования , передаваемый через цифровой канал связи на декодирующее устройство (декодер) Д, где происходит восстановление значения в виде сигнала . Поскольку часть информации теряется из-за конечности алфавита , а также дискретизации процесса по времени, возникает ошибка в передаче данных по каналу связи. Погрешности измерений, преобразования и искажение сигнала при передаче по каналу связи приводят к дополнительным ошибкам. Кроме того, во многих задачах следует учитывать и запаздывание в канале связи. Сигнал используется регулятором Р для формирования управляющего воздействия , которое также может подвергаться кодированию и передаваться по каналу связи на исполнительные устройства (актуаторы) для возействия на объект управления (ОУ). В зависимости от реализации конкретной системы квантованию может подвергаться только выход объекта или только управление. Таким образом, в замкнутом контуре системы управления появляются дискретные по времени и по уровню нелинейные устройства, влияющие на поведение системы.

Рис. 2. Структура системы оценивания через цифровой канал связи

В системах оценивания (рис. 2) требуется выработать оценку состояния протекающего в объекте процесса по результатам измерений выхода объекта , переданных по дискретному каналу. Устройство оценивания (наблюдатель) работает в таких системах на основе восстановленного декодером сигнала , отличающегося от на ошибку . Отдельный интерес представляет в этой связи ситуация, когда оцениваемый процесс известным образом зависит от некоторого измеряемого воздействия . Этими данными целесообразно воспользоваться для более точного оценивания (например, на базе калмановской фильтрации), однако может возникнуть потребность и в передаче по каналу связи измерений , что приводит к ошибкам квантования и возрастанию загрузки канала.

Ограничение скорости передачи данных по каналу связи можно выразить в информационных терминах. Пусть алфавит имеет элементов. Тогда на каждом шаге по каналу передается бит данных. Если передача осуществляется в дискретные моменты времени , где - интервал квантования по времени (или его усредненное значение), то скорость передачи данных в битах в секунду составляет бит/с. В этой связи говорят о наличии «информационных ограничений» (information constraints) в задачах управления и оценивания.

Таким образом, при наличии цифрового канала связи в системах управления и оценивания возникают задачи исследования его влияния на динамику и точность процессов, а также связанные с ними задачи синтеза, обеспечивающего наиболее полное использование имеющихся ресурсов при ограниченном объеме передаваемых по каналу данных. Эти задачи возникли одновременно с появлением цифровых систем управления (в 1950-х годах) и приобрели новое звучание в связи современным развитием многокомпонентных систем управления и наблюдения, работающих через сети связи.

1.2 Ранние работы по исследованию влияния квантования

Работы по исследованию влияния квантования по уровню и дискретизации по времени сигналов в системах управления и фильтрации (оценивания) появились вместе с внедрением цифровых вычислительных устройств в системы обработки информации и управления. В ранних работах по исследованию влияния эффекта квантования по уровню сигнала в цифровых системах устройство квантования («квантователь», или «кодер») обычно рассматривалось как источник независимого случайного дискретного процесса (шума), действующего аддитивно с полезным сигналом [23-28] (рис. 3).

Рис. 3. Представление кодера в виде источника аддитивного шума

Такое допущение позволяет существенно упростить исследование. Однако оно является слишком грубым, если величина шага квантования соизмерима с диапазоном изменения передаваемой величины [27,29-32]. Квантование по уровню в замкнутой системе дискретного времени может вызвать колебательные процессы, аналогичные автоколебаниям в непрерывных нелинейных системах. Аналитическое определение параметров этих процессов возможно только в простейших случаях. Упростить исследование можно на основе приближенного численно-аналитического метода гармонической линеаризации для дискретных систем [27, 33].

Задача уменьшения уровня погрешностей, вызванных квантованием в контуре управления, обычно рассматривалась как задача минимизации некоторого функционала. Наиболее ранними публикациями в этом направлении являются работы [34-36]. Рассматривается замкнутая динамическая система, включающая объект управления, измерительное устройство, фильтр Калмана, регулятор и квантователь. Считается, что объект управления подвержен внешним стохастическим возмущениям, учитываются также стохастические шумы измерения. Для квадратичного функционала качества, линейного объекта управления, гауссовских внешних воздействиях в [36] формулируется теорема разделения, согласно которой задачи оптимизации регулятора, наблюдателя и кодера могут решаться независимо. Результаты, изложенные в работе [36], приводят к кодеру с переменными параметрами, что существенно усложняет применение полученных результатов в системах реального времени. Для векторного сигнала управления эти результаты получили развитие в [37]. Отмечено, что если для системы со скалярным управлением имеется возможность рассчитать параметры квантователя заранее, то в случае векторного управления они должны определяться в процессе работы системы (в зависимости от текущей реализации процесса). Близкие результаты приведены в [38], где рассматривается задача оптимальной стабилизации линейного стохастического дискретного объекта с квадратичным целевым функционалом. В этой работе предложена структура, в которой на сенсор поступает не сигнал с выхода объекта , а «инновация» - рассогласование между выходом объекта и его условным средним значением, вырабатываемым с помощью фильтра Калмана. Таким образом, согласно [36, 37], для использования теоремы разделения при квантовании сигнала управления следует применять нестационарный кодер в прямой цепи, а при квантовании сигнала измерений, в соответствии с [38], кодер должен охватываться обратной связью. Заметим, что предложенный в [38] метод предвосхищает результаты более поздних работ [39-42], в которых кодированию подвергается не выход объекта, а невязка между ним и прогнозируемым значением («инновации»). Статьи [44-46] посвящены построению настраиваемых (адаптивных) квантователей, в которых диапазон преобразования сигнала автоматически изменяется в процессе работы. Указанные работы посвящены только задаче передачи сигналов. В ряде последующих работ [47-50] рассматривается использование адаптивных квантователей в замкнутых системах управления и оценивания.

Таким образом, на ранней стадии исследований квантование по уровню рассматривалось как аппроксимация вещественного числа конечным числом разрядов, являющаяся источником ошибки в системе. Со временем появилась альтернативная точка зрения, согласно которой квантованное измерение непрерывной величины является объектом, содержащим некоторую неполную информацию относительно [51]. В последней работе сформулирована и следующая задача: «При каких условиях и в каком смысле мы можем стабилизировать неустойчивую дискретную систему с помощью обратной связи, зависящей только от квантованных измерений состояния объекта?». Решению этой задачи посвящено значительное число публикаций, кратко рассмотренных ниже.

2. Задачи управления и наблюдения при ограничениях на пропускную способность канала связи. Теорема о скорости передачи данных

Задача оценивания состояния при ограничениях на пропускную способность канала связи сформулирована в [52]. В отличие от классического подхода, принятого в теории оценивания, при котором сигнал наблюдений представляется непрерывным процессом, искаженным аддитивным шумом, здесь считается, что сигнал кодируется и передается через канал связи, обладающий ограниченной пропускной способностью. В этой же работе отмечено, что с точки зрения оценивания состояния динамических систем предположения ни о простоте выборки входного сигнала, ни о нерекурсивности процедуры кодировавния не являются приемлемыми.

Задача определения минимальной пропускной способности канала связи, при которой возможно обеспечить требуемую точность оценивания, ставится в работе [22]. Предполагается, что весь вектор состояния может быть точно измерен на стороне источника данных, а задача состоит в передаче результатов измерений через цифровой канал связи с пропускной способностью в бит на шаг. В работе предложены функции кодирования-декодирования для различных видов плотности распределения начального состояния объекта. Полученное в [22] достаточное условие относительно значения развито в последующих работах в виде теоремы о скорости передачи данных (Data Rate Theorem). Теорема о скорости передачи данных является фундаментальным результатом, устанавливающим наименьшее значение , при котором задача стабилизации (оценивания) для линейных систем разрешима в принципе. Дадим представление об этой теореме на основе работы [53], где изучена экспоненциальная стабилизируемость линейного объекта в смысле достижения экспоненциальной моментной устойчивости. Для простоты изложения представим результат для детерминированного начального состояния.

Пусть линейный объект управления с постоянными параметрами описывается разностным уравнением

(1)

где , , - векторы состояния, выхода и управления, - матрицы соответствующих размеров. Для объекта (1) считаются выполненными обычные условия управляемости и наблюдаемости. Пусть сенсор соединен с регулятором через цифровой канал связи, по которому на каждом шаге передается не более битов данных. Если в замкнутом контуре имеются и другие каналы, ограничивающие скорость передачи данных, например - между регулятором и исполнительным устройством, то в качестве выбирается наименьшее значение по контуру. Тогда можно обеспечить стабилизацию со степенью устойчивости , , если выполнено неравенство

(2)

где - корни характеристического многочлена матрицы . Для иллюстрации этого результата рассмотрим следующий числовой пример [1]. Пусть требуется стабилизировать в верхнем (неустойчивом) положении физический маятник с приведенной длиной 5 м. Тогда устойчивость системы (при малых начальных отклонениях от состояния равновесия) может быть обеспечена при бит/с. Если же требуется обеспечить длительность переходного процесса не более 1 c, то должно быть выполнено условие бит/с. Заметим, что полученные границы достаточно «мягкие»: обычно при решении подобных задач скорость передачи данных в десятки раз больше.

В [39, 54] рассматривается задача линейно-квадратичного оптимального управления, но в отличие от классической постановки считается, что имеются ограничения на мощность сигнала, передаваемого по каналу связи между выходом объекта и регулятором. Показано, что для таких систем принцип разделения справедлив и линейный регулятор является оптимальным. Получено оптимальное соотношение между затратами на управление и передачу данных по каналу связи. Показано что неустойчивость объекта управления тесно связана с требованиями на пропускную способность канала связи: если скорость передачи данных по каналу ниже некоторой границы, то функция потерь неизбежно становится бесконечной и систему невозможно даже стабилизировать. Предполагается выполненным так называемое «условие эквивалентности данных» (equi-memory condition), согласно которому как кодер, так и декодер принимают решения на основе одной и той же информации. Соблюдение этого условия является важным, так как дает возможность кодеру наблюдать за ошибкой между истинным состоянием объекта (известным на стороне кодера) и оценкой состояния, вырабатываемой декодером. Если условие эквивалентности данных не выполнено, то рассогласование между состоянием кодера и декодера для неустойчивого объекта растет экспоненциально. Поэтому в работе [39] требуется, чтобы состояние кодера включало значение выхода декодера на предыдущем шаге. Таким образом, должна иметься некоторая обратная связь между выходом декодера и кодером. Одной из возможностей является вычисление выхода на стороне кодера. Для этого кодеру должны быть переданы точные значения управляющего воздействия, а закон управления должен быть инвертируемым.

Работа [40] посвящена задаче стабилизации с помощью обратной связи дискретного линейного детерминированного объекта. Считается фиксированным только число уровней квантования, а другие параметры кодера могут меняться при работе системы. Показано, что именно такой подход позволяет достичь асимптотической устойчивости при квантовании по уровню. Делается акцент на том, что имеется возможность изменять чувствительность квантователя на основе текущих данных. В качестве примера приведена фотокамера с изменением масштаба изображения (zooming), имеющая фиксированное число пикселей. Информационные ограничения выражаются тем, что известно лишь, какому из фиксированного числа блоков квантования (гиперпараллелепипедов) принадлежит состояние объекта в данный момент времени. В [55] показано, что грубейший (coarsest) квантователь, который стабилизирует линейную дискретную систему, является логарифмическим и может быть получен решением специальной задачи синтеза линейно-квадратичного оптимального управления. Авторы [55] отмечают, что такой способ управления соответствует интуитивному представлению о том, что чем дальше состояние системы от заданного, тем менее точная информация о нем требуется, поэтому, чтобы направить движение системы в нужном направлении, достаточно использовать неточное управление. В [55] обсуждается и задача использования квантователей с конечным числом уровней («конечный квантователь»). Показано, что при его использовании достигается практическая устойчивость замкнутой системы.

3. Учет информационных ограничений - нелинейные системы

В работах [56-64] исследована задача синхронизации нелинейных систем при неопределенности параметров и ограниченой скорости передачи информации в канале связи между ведущей и ведомой системами. Предложен метод адаптивной синхронизации, основанный на использовании адаптивных наблюдателей и нестационарных кодирующих устройств. На примере адаптивной синхронизации хаотических систем Чуа получены численные характеристики процесса синхронизации при различной загрузке канала связи и показана возможность использования полученных результатов для передачи информации модулированием хаотического сигнала. Разработаны методы синхронизации и оценивания состояния для нелинейных систем с кодерами полного порядка, обеспечивающие при минимальной загрузке канала связи асимптотически точное решение задачи при отсутствии возмущений [65, 66]. На основе метода пассификации [60] предложен закон управления в обратной связи по ошибке синхронизации (оценивания). Показано, что ошибка синхронизации экспоненциально стремится к нулю (при отсутствии возмущений и помех), если скорость передачи данных по каналу связи превосходит некоторое пороговое значение, ниже которого синхронизация неосуществима. Результаты, полученные для задачи синхронизации, непосредственно распространяются на задачи слежения и оценивания состояния. Для работы в условиях искажений и помех предложен и исследован для конкретных задач метод настройки кодирующего устройства, при котором обеспечивается практическая синхронизация (оценивание) с точностью, зависящей от уровня погрешностей и скорости передачи данных по каналу связи. Для дискретных систем решение задачи асимптотически точной синхронизации на основе кодеров полного порядка получено в [61], где предложен алгоритм управления с обратной связью по выходу. В работе показано, что, если вычисления как в ведущей, так и в ведомой системах производятся идентично, может быть получена ошибка синхронизации, близкая к достижимой точности вычислений, определяемой «машинным ». Если же вычисления выполняются неидентичным образом (например, если вычислительные устройства в узлах имеют разную разрядность), то после некоторого промежутка синхронизации наблюдается ее потеря вследствие неустойчивости хаотических систем. Для таких ситуаций возможно обеспечение практической синхронизации путем использования для вычислений арифметики с фиксированной точкой. Результаты распространены в [64] на сетевые системы имеющие топологию вида «дерево».

4. Решение прикладных задач

Как отмечено в [67, 68], в прикладных задачах обычно было принято отделять коммуникационный аспект системы управления от ее динамических свойств, так как это упрощает исследование и обычно успешно используется в классических задачах управления. Ситуация существенно меняется, когда одно устройство управления (принятия решений) управляет многими подсистемами через канал связи с ограниченной пропускной способностью. К подобным системам относятся телеуправляемые беспилотные летательные аппараты (БПЛА), группы мобильных скоординированных роботов для планетарных исследований, системы управления энергией в мобильной связи, социально-экономические и другие системы. В таких системах последовательное взаимодействие со всеми подсистемами может оказаться невозможным из-за физических ограничений. Например, для БПЛА условия скрытности могут быть препятствием для осуществления непрерывной связи с центральным пунктом управления. Удаленность от Земли роботов-планетоходов и ограниченность их бортовых энергетических ресурсов приводят к разреженности передаваемых данных. Кроме того, когда число подсистем превосходит некоторый порог, как в задачах управления множеством микродвигателей, связь со скоростью, потребной для управления в реальном времени, оказывается неосуществимой.

В литературе описано применение изложенных выше методов управления и оценивания к решению прикладных задач. Основное внимание уделяется задачам наблюдения за движущимися объектами.

В [69] рассмотрена задача управления работой сенсоров и передачей данных при слежении за маневрирующей целью. В частности, рассматриваются следующие две типичные ситуации. В первой из них антенна с управляемым лучом используется для слежения за несколькими целями (предполагается взаимная независимость движений целей). Рассматривается задача: какую из целей в каждый момент должно выбирать устройство визирования, чтобы оптимизировать заданный целевой функционал?. Другая ситуация возникает, когда несколько сенсоров подключены через мультиплексор к каналу связи с ограниченной пропускной способностью для передачи данных о движении цели компьютеру, выполняющему слежение за целью на основе данных от различных сенсоров. В этом случае надо выбрать способ наилучшего переключения потоков данных, передаваемых от сенсоров по каналу связи так, чтобы при заданной ограниченной скорости передачи данных по каналу связи было достигнуто «оптимальное» слежение за целью. Задача минимизации информационных потоков о движении цели при слежении несколькими сенсорами рассматривается в [70]. Минимизация достигается за счет имеющейся корреляции между измерениями разных сенсоров. Процедура кодирования/декодирования информации, позволяющая существенно уменьшить загрузку канала передачи данных при оценивании состояния объекта и управлении в закмкнутом контуре, реализована для управления углом тангажа лабораторного стенда «Вертолет» Quanser-LAAS [48]. Экспериментальные результаты подтвердили осуществимость и эффективность предложенного метода для работы в реальных условиях. Реализованная в эксперименте скорость передачи данных оказалась в 30 раз ниже скорости, используемой в штатной системе управления.

Задача перехвата движущейся цели при получении информации о ней со стороны различных (движущихся и неподвижных) источников при информационных ограничениях подробно исследуется в [13].

Заключение

Анализ публикаций, представленных в обзоре, и ряда других публикаций, позволяет сделать бесспорный вывод: в настоящее время наблюдается сближение теории информации и теории управления. Этот процесс можно квалифицировать как возврат к первоначальному целостному пониманию кибернетики как науки об управлении и связи. Таким образом, для новой тематики не нужно искать новое название: это не что иное, как кибернетика в том смысле, как ее определял ее основатель Н. Винер: «наука об управлении и связи в живом организме и машине» [71]. Данный краткий обзор дает представление об основных результатах в указанной области, полученных за последние десятилетия. Центр тяжести дальнейших исследований перемещается к задачам управления нелинейными и сетевыми системами, а также к учету вычислительных ограничений в задачах управления и оценивания.

Литература

1. Воронов, А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1990.

2. Матросов, В.М. Теория устойчивости многокомпонентных нелинейных систем / В.М. Матросов, Р.И. Козлов, Н.И. Матросова. - М.: Физматлит, 2007.

3. Savkin A.V. Analysis and synthesis of networked control systems: Topological entropy, observability, robustness and optimal control // Automatica. - 2006. - Vol. 42. - P. 51-62.

4. Antsaklis P., Baillieul J. Guest editorial special issue on networked control systems // IEEE Trans. Automat. Contr. - 2004. - Vol. 49, N 9. - P. 1421-1423.

5. Baillieul J., Antsaklis P. J. Control and communication challenges in networked real-time systems //Proc. IEEE. - 2007. - Vol. 95, N 1. - P. 9-28.

6. Hespanha J.P., Naghshtabrizi P., Xu Y. A survey of recent results in networked control systems //Proc. IEEE. 2007 vol. 95, no. 1, pp. 138-162.

7. Olfati-Saber R., Fax J.A., Murray R.M. Consensus and cooperation in networked multiagent systems //Proc. IEEE. 2007. vol. 95, no. 1, pp. 215-233.

8. Giordano V., Ballal P., Lewis F., Turchiano B., Jing Bing Z. Supervisory control of mobile sensor networks: math formulation, simulation, and implementation // IEEE Trans. Syst., Man, Cybern. B, 2006. vol. 36, no. 4, pp. 806-819.

9. Joo-Ho L., Hashimoto H. Controlling mobile robots in distributed intelligent sensor network // IEEE Trans. Ind. Electron. - 2003. - Vol. 50, N 5. - P. 890-902.

10. Шиллер Й., Мобильные коммуникации. - Вильямс, 2002.

11. Savkin A.V. The problem of coordination and consensus achievement in groups of autonomous mobile robots with limited communication //Nonlinear Analysis. - 2006. - Vol. 65. - P. 1094-1102.

12. Malyavej V., Manchester I.R., Savkin A.V. Precision missile guidance using radar/multiple-video sensor fusion via communication channels with bit-rate constraints // Automatica. 2006. - Vol. 42, -P. 763-769.

13. Урличич, Ю.М. Семейство технологических наноспутников для экспериментальных исследований/IV Межд. конференция-выставка «Малые спутники. Новые технологии, миниатюризация» / Ю.М. Урличич, А.С Селиванов. Королев, Московской обл.: Росавиакосмос, 2004, Т. 3, С. 227.

14. Kumar V., Rus D., Singh S. Robot and sensor networks for first responders Pervasive Computing, 2004. vol. 3, no. 4, pp. 24-33.

15. Samad T., Bay J.S., Godbole D. Network-centric systems for military operations in urban terrain: The role of UAVs //Proc. IEEE, 2007. vol. 95, no. 1, pp. 92-107.

16. Rao V.G., D'Andrea R. Patch models and their applications to multivehicle command and control//IEEE Trans. Syst., Man, Cybern. B, 2007. vol. 37, no. 3, pp. 680-691.

17. Nair G.N., Fagnani F., Zampieri S., Evans R. Feedback control under data rate constraints: An overview//Proc. IEEE, 2007. vol. 95, no. 1, pp. 108-137.

18. Baillieul J., Antsaklis P.J. Control and communication challenges in networked real-time systems //Proc. IEEE, 2007. vol. 95, no. 1, pp. 9-28.

19. Hespanha J., Naghshtabrizi P., Xu Y. A survey of recent results in networked control systems//Proc. IEEE, 2007. vol. 95, no. 1, pp. 138-162,

20. R. Murray, Ed., Control in an information rich world: report of the panel on future directions in control, dynamics, and systems. Pasadena: Caltech, 2002. http://www.cds.caltech.edu/~murray/cdspanel/

21. Nair G.N., Evans R.J. State estimation via a capacity-limited communication channel /Proc. 36th IEEE Conference on Decision and Control, vol. WM09. San Diego, Califomia USA: IEEE, Dec. 1997, pp. 866-871.

22. Widrow B. Statistical analysis of amplitude-quantized sampled-data systems//Trans. AIEE, 1961. vol. 79, no. 2, pp. 555-567.

23. Лиу, Б. Анализ погрешностей цифровых фильтров, реализуемых арифметическими операциями с плавающей запятой / Б.Лиу, Т. Канеко // ТИИЭР, 1969. Т. 57, №. 10, С. 49-63.

24. Лиу Б. Влияние конечной длины слова на точность цифровых фильтров//Зарубежная радиоэлектроника, 1973. №. 6.

25. Введение в цифровую фильтрацию / Под ред. Р. Богнера и А. Константинидиса. - М.: Мир, 1976.

26. Динамика систем управления ракет с бортовыми цифровыми вычислительными машинами/ В.Д. Аренс / Под ред. М. С. Хитрика и С. М. Федорова. Изд. 2-е. - М: Машиностроение, 1976.

27. Gray R.M., Neuho D.L. Quantization//IEEE Trans. Inform. Theory, 1998. vol. 44, pp. 2325-2383.

28. Delchamps D.F. Stabilizing a linear system with quantized state feedback//IEEE Trans. Automat. Contr., 1990. vol. 35, no. 8, pp. 916-924.

29. Koplon R., Sontag E.D. Linear systems with sign-observations// SIAM J. Control Optim., 1993. vol. 31, no. 5, pp. 1245-1266.

30. Feely O. A tutorial introduction to nonlinear dynamics and chaos and their application to sigma-delta modulators//Int. J. Circuit Theory Applicat., 1997. vol. 25, pp. 347-367.

31. Baillieul J. Feedback coding for information-based control: Operating near the data rate limit/Proc. 41st IEEE Conf. on Decision & Control, vol. ThP02-6, Las Vegas, Nevada, USA, Dec. 2002, pp. 3229-3236.

32. Цыпкин, Я.З. Теория нелинейных импульсных систем / Я.З. Цыпкин, Ю.С. Попков. - М: Наука, 1973. - 414 с.

33. Tou J.T. Optimum Design of Digital Control Systems, N.Y.: Academic, 1963.

34. Lewis J.B., Tou J.T. Optimum sampled-data systems with quantized control signals//Trans. AIEE, 1965. vol. 82, no. 2, pp. 195-201.

35. Larson R.E. Optimum quantization in dynamic systems//IEEE Trans. Automat. Contr., 1967. vol. 12, pp. 162-168.

36. Fischer T.R. Optimal quantized control//IEEE Trans. Automat. Contr., 1982. vol. 27, no. 4, pp. 996-998.

37. Curry R.E. A separation theorem for nonlinear measurements//IEEE Trans. Automat. Contr., 1969. vol. 14, pp. 561-569.

38. Tatikonda S., Sahai A., Mitter S. Control of LQG systems under communication constraints/Proc. 37th IEEE Conference on Decision and Control, vol. WP04. Tampa, Florida USA: IEEE, Dec. 1998, pp. 1165-1170.

39. Brockett R.W., Liberzon D. Quantized feedback stabilization of linear systems//IEEE Trans. Automat. Contr., 2000. vol. 45, no. 7, pp. 1279-1289.

40. Matveev A.S., Savkin A.V. Optimal state estimation in networked systems with asynchronous communication channels and switched sensors/Proc. 40th IEEE Conference on Decision and Control, vol. TuM13. Orlando, Florida USA: IEEE, Dec. 2001, pp. 825-830.

41. Nair G.N., Evans R.J. Mean square stabilisability of stochastic linear systems with data rate constraints/Proc. 41st IEEE Conference on Decision and Control, vol. WeM02. Las-Vegas, Nevada USA: IEEE, Dec. 2002, pp. 1632-1637.

42. Williamson D. Finite wordlength design of digital Kalman filters for state estimation//IEEE Trans. Automat. Contr., 1985. vol. AC-30, no. 10, pp. 930-939.

43. Golding L.S., Schultheiss P.M. Study of an adaptive quantizer//Proc. IEEE, 1967. vol. 55, no. 3, pp. 293-297.

44. Goodman D.J., Gersho A. Theory of an adaptive quantizer//IEEE Trans. Commun., 1974. vol. COM-22, no. 8, pp. 1037-1045.

45. Venayagamoorthy G.K., Zha W. Comparison of nonuniform optimal quantizer designs for speech coding with adaptive critics and particle swarm//IEEE Trans. Ind. Applicat. 2007. vol. 43, no. 1, pp. 238-244,

46. Gomez-Estern F., Canudas de Wit C., Rubio F., Fornes J., Adaptive delta-modulation coding for networked controlled systems/Proc. Amer. Contr. Conf., N.Y., USA, July 11-13, 2007, frA20.6.

47. Andrievsky B., Fradkov A.L., Peaucelle D. State estimation over the limited-band communication channel for pitch motion control of LAAS Helicopter benchmark/Proc.17th IFAC Symp. Aut. Contr. Aerospace (ACA'2007), Toulouse, France, June 2007.

48. Andrievsky B. Adaptive coding for transmission of position information over the limited-band communication channel/Proc. 9th IFAC Workshop Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOSP 2007). Saint Petersburg, Russia: IFAC, Aug. 29-31, 2007.

49. Zheng J., Duni E.R., Rao B.D. Analysis of multiple-antenna systems with finite-rate feedback using high-resolution quantization theory //IEEE Trans. Signal Processing, 2007. vol. 55, no. 4, pp. 1461-1475.

50. Delchamps D.F. The 'stabilization' of linear systems with quantized feedback/Proc. 27th IEEE Conference on Decision & Control, vol. WP1. Austin, Texas, USA: IEEE, Dec. 1988, pp. 405-410.

51. Wong W.S., Brockett R.W. Systems with finite communication bandwidth constraints. Part I: State estimation problems//IEEE Trans. Automat. Contr., 1997. vol. 42, no. 9, pp. 1294-1299.

52. Nair G.N., Evans R.J. Exponential stabilisability of finite-dimensional linear systems with limited data rates // Automatica. 2003. Vol. 39. pp. 585-593.

53. Tatikonda S., Sahai A., Mitter S. Control of LQG systems under communication constraints/Proc. American Control Conference. San Diego, California USA: AACC, June 1999, pp. 2778-2782.

54. Elia N., Mitter S.K. Stabilization of linear systems with limited information//IEEE Trans. Automat. Contr., 2001. vol. 46, no. 9, pp. 1384-1400.

55. Фрадков, А.Л. Адаптивная синхронизация нелинейных систем / А.Л. Фрадков, Б.Р. Андриевский // Изв. вузов. Приборостроение. - 2007. - Т. 50, № 10. - С. 17-23.

56. Fradkov A.L., Andrievsky B., Evans R.J. Chaotic observer-based synchronization under- information constraints//Physical Review E, vol. 73, p. 066209, 2006.

57. Fradkov A.L., Andrievsky B., Evans R.J. Adaptive observer-based synchronization of chaotic systems with first-order coder in the presence of information constraints//IEEE Trans. Circuits Syst. I, 2008. vol. 55, no. 6, pp. 1685-1694.

58. Fradkov A.L., Andrievsky B., Evans R.J. Controlled synchronization of one class of nonlinear systems under information constraints. 2007, Dec. http://arxiv.org/abs/0712.0636v1

59. Фрадков, А.Л. Метод пассификации в задачах адаптивного управления, наблюдения и синхронизации/ Нелинейные системы. Частотные и матричные неравенства / А.Л. Фрадков, Б.Р. Андриевский Под ред. А.Х. Гелига, Г.А. Леонова, А.Л. Фрадкова. М.: Физматлит, 2008, pp. 452-499.

60. Fradkov A.L., Andrievsky B., Andrievsky A. Observer-based synchronization of discrete-time chaotic systems under communication constraints / Proc. 17th IFAC World Congress. Seoul, Korea: IFAC, 2008.

61. Fradkov A.L., Andrievsky B., Evans R.J. Chaotic observer-based synchronization under information constraints//Physical Review E, 2008. - Vol. 78. -P. 036210 1-6.

62. Fradkov A.L., Andrievsky B., Evans R.J. Hybrid quantised observer for multi-input-multi-output nonlinear systems//Proc. 2008 IEEE Multi-conference on Systems and Control, USA, Sept. 2008, FrB03.3.

63. Fradkov A.L., Andrievsky B., Evans R.J. Synchronization of nonlinear systems under information constraints//Chaos, 2008. - Vol. 18, N 3. - P. 037109-037109-11.

64. Fradkov A.L., Andrievsky B., Evans R.J. Synchronization of passifiable Lurie systems via limited capacity communication channel//IEEE Trans. Circuits Syst. I, 2009. - Vol. 56, N 2. - P. 430-439.

65. Fradkov A.L., Andrievsky B., Evans R.J. Synchronization of passifiable Lurie systems via limited capacity communication channel /Proc. 47th IEEE Conf. Decision and Control, Dec. 2008. - P. 441-446.

66. Hristu D., Morgansen K. Limited communication control//Systems & Control Letters, 1999. - Vol. 37, N. 4. - P. 193-205.

67. Wong W.S., Brockett R.W. Systems with finite communication bandwidth constraints -Part II: Stabilization with limited information feedback//IEEE Trans. Automat. Contr., 1999. - Vol. 44, N 5. - P. 1049-1053.

68. Evans R., Krishnamurthy V., Nair G., Sciacca L. Networked sensor management and data rate control for tracking maneuvering targets //IEEE Trans. Signal Processing. 2005. - Vol. 53, N 6. - P. 1979-1991.

69. La Scala B.F., Evans R.J. Minimum necessary data rates for accurate track fusion/Proc. 44th IEEE Conference on Decision and Control, and the European Control Conference, 2005. - Vol. ThIA20. Seville, Spain: IEEE, Dec. 2005. - P. 6966-6971.

70. Винер, Н. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине. - М.: Наука, 1983.

Размещено на Allbest.ru