Исследование метода оптимальной спектрально-финитной фильтрации сигналов с учётом надёжности измерителей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Исследование метода оптимальной спектрально-финитной фильтрации сигналов с учётом надёжности измерителей

А.Э. Медина Падрон, Ю.П. Иванов

СПБГУАП, Санкт-Петербург

Доклад посвящён исследованию метода оптимально-инвариантной комплексной спектрально-финитной фильтрации с идентификацией отказов измерителей без использования контрольной аппаратуры. В работе проводится сравнительный анализ исследуемого метода по точности оценки с фильтрацией Калмана и Альфа-бетта фильрацией.

Введение

В докладе исследуется метод оптимально-инвариантной комплексной спектрально-финитной фильтрации сигналов скорости полёта летательного аппарата на основе использования акселерометра и спутниковой навигационной системы с идентификацией отказов измерителей без использования контрольной аппаратуры. Спектрально-финитный метод обработки сигналов основан на представлении наблюдаемого сигнала в виде частичной суммы ряда Фурье на выбранном скользящем интервале времени относительно полного ортонормального базиса. В качестве ортонормального базиса в работе используется разложение Карунена-Лоэва относительно заданной корреляционной функции сигнала. Оптимальная по критерию В.А. Котельникова идентификация четырёх возможных состояний измерителей осуществляется путём сравнения апостериорных вероятностей нахождения измерителей в состоянии отказа или работоспособности. Состояние отказа определяется значением дисперсий и математических ожиданий погрешности измерителей. Предлагаемый доклад посвящён сравнительному анализу исследуемого метода обработки сигналов с фильтрацией Калмана и Альфа-бетта.

Сравнительная характеристика алгоритмов фильтрации

спектральный финитный фильтрация

Постановка задачи. В докладе ставится задача исследование свойств оптимально-инвариантной оценки скорости полёта летательного аппарата. В работе рассматриваются фильтрация Калмана, Альфа-бетта и спектрально-финитный метод на основе схемы, приведённой на рисунке 1. Так же исследуется способ идентификации параметрических отказов измерителей, определяемых изменениями дисперсий и математических ожиданий измерителей, без использования контрольной аппаратуры.

Рис. 1. Схема фильтра разностного сигнала [6]

Предполагается, что модель измерения представлена в формуле (1).

, i=1..N, (1)

где Y - вектор наблюдений размерностью 2х1;

H - вектор ошибок размерностью 2х1;

Х - скалярный полезный сигнал;

Первая компонента вектора H, H₁ - регулярная ошибка вида (2).

(2)

где a₁,a₂ - случайные величины, некоррелированные друг с другом и с полезным сигналом, с известными дисперсиями и нулевыми математическими ожиданиями, определяющими погрешность акселерометра, з_{фл -} низкочастотная флюктуционная случайная погрешность.

Вторая компонента вектора помех измерения, H₂ - определяет погрешность спутниковой навигационной системы, моделью которой является дискретный белый шум.

Случайные процессы Н1 и H2 распределены по нормальному закону.

Фильтрация Калмана.

Алгоритм фильтрации Калмана - классический [2].

Альфа-бетта фильтрация [4,5].

Альфа-бетта алгоритм представляет упрощённую фильтрацию Калмана, где коэффициент усиления заменяется коэффициентом альфа - по координате, и коэффициентом бетта по скорости. Оценка сигнала производится по следующему алгоритму:

, (3)

где - предсказание сигнала на следующем шаге,

- оценка сигнала на предыдущем шаге,

- интервал дискретизации,

- скорость изменения функции.

, (4)

где, - оценка сигнала на следующем шаге,

- коэффициент корреляции,

- новое измерение.

, (5)

где - скорость изменения функции на следующем шаге,

в - коэффициент бетта.

Коэффициенты альфа и бетта рассчитываются по следующим формулам:

8, (6)

, (7)

, (8)

где - среднеквадратическое отклонение полезного сигнала,

- среднеквадратическое отклонение шума.[4,5]

Спектрально-финитный алгоритм.

Алгоритм финитно-спектральной фильтрации сигнала основан на представлении случайного сигнала на финитном интервале времени в виде частичной суммы ряда Карунена-Лоэва, который является частным случаем ряда Фурье. [6]

Как известно, разложение сигналов в ряд Фурье представляется в виде следующей формулы:

, (9)

Где Ш_k - ортонормальный полный базис Карунена-Лоэва,

С_i,k k-ая-спектральная компонента представления случайного процесса.

Оптимальная оценка сигнала рассчитывается по следующей формуле [ 3 ]:

, (10)

где С_z[i вектор спектральных компонент разностного сигнала z(t)=H₁[i] -H_i[i],

-вектор оптимальной по критерию среднего квадрата ошибки оценки вектора спектральных компонент Cx[i],

- оператор оптимальной оценки определяется из следующего выражения [ ]:

, (11)

где

Методика определения отказов

Каждый из измерителей может находиться в одном из двух возможных состояний m_k(j)=0,1,k=1,2. Состояние измерителя “0” соответствует полной работоспособности измерителя, состояние “1” соответствует множеству состояний частичной работоспобности и полной неработоспобности измерителей. Идентификация состояния измерителей определяется по критерию Котельникова, т.е. по максимальному значению коэффициентов d_m1,m2, которые рассчитываются по формуле [ 12 ].

, (12)

где P_m1,P_m2 - априорные вероятности нахождения измерителей в заданных состояниях;

dу _m1,m2 - априорные значения дисперсий разностного сигнала z в рассматриваемых состояниях измерителей;

zz _m1,m2 - априорные значения математических ожиданий рассматриваемых состояниях измерителей;

ZF _i=Н₁-Н₂ - разностный сигнал на входе фильтра разностного сигнала [1].

Данные коэффициенты определяют апостериорные вероятности нахождения измерителей в соответствующих состояниях, при условии, что получен разностный сигнал ZF_i.

Результаты моделирования

Моделирование производилось в среде программирования LabView 2011. Корреляционная функция з_фл имеет вид . Объём выборки - 100000 точек. Дисперсии изменялись в интервале от 0,5 до 2,5 м/с. Дискрет моделирования 0,01 с. Вероятности безотказной работы измерителей изменялись в интервалах от 0,05 до 0,9. На рисунке 2 показана зависимость дисперсии ошибки оценки фильтрации от дисперсии шума.

Рис. 2. Анализ влияния дисперсии шума на дисперсию ошибки оценки

----- - альфа-бетта фильтрация

-------- - фильтрация Калмана

- - - - спектрально-финитный алгоритм

Как видно из рисунка, при увеличении частоты полезного сигнала фильтрации Калмана и Альфа-бетта понижают свою точность, а спектрально-финитный алгоритм слабо чувствителен к изменению входного сигнала. Фильтрация Калмана обладает наибольшей точностью, спектрально-финитный алгоритм незначительно ей уступает.

Так же было определено быстродействие каждого из алгоритмов, и время переходного процесса.

Таблица 1

Свойства исследуемых алгоритмов фильтрации

Анализ точности идентификации состояния измерителей в зависимости от их априорной вероятности работоспособности приведён на рисунке 3.

Рис. 3. Анализ точности идентификации состояния измерителей

----- - первого измерителя

-------- - второго измерителя

На графике по оси абсцисс отложена ошибка идентификации, по оси ординат - априорная вероятность работоспособности измерителей.

Как видно из рисунка, при повышении надёжности измерителей так же повышается точность идентификации из состояния. При вероятности безотказной работы датчиков от 80%, ошибка идентификации не превышает 10%.

Заключение

На основании проведённого моделирования и сравнительного анализа полученных результатов, можно сделать следующие выводы:

-спектрально-финитный алгоритм обработки сигналов может обеспечить любую заданную точность приближения к фильтрации Калмана путём выбора интервала разложения сигнала в ряд Карунена-Лоэва и размерности используемого базиса N. Он является наиболее универсальным алгоритмом, чем афльфа-бетта и Калман относительно используемого вида корреляционных функций погрешностей измерения, но уступает фильтру Калмана по быстродействию. Альфа-бетта фильтрация обладает точностью ниже, чем у Калмана, и самым высоким быстродействием.

Литература

1. Иванов, Ю.П. Комплексная оптимально-инвариантная инерционная обработка сигналов с учётом отказа измерителей. - СПБГУАП

2. Сейдж Э. Теория оценивания и её применение в связи и управлении //Дж. Мелс, -М.: Связь, 1976.-496с

3. Френкс Л. Теория сигналов. - М.: Советское радио, 1974. - 171 с

4. Koray A. Performance metrics for fundamental estimation filters

5. Rawicz P.L. Efficient a-b Target Tracking Initiation // P.R. Karata, K.M. Murphy - Drexel University, Philadelphia

6. Tech M. Integration of Inertial Navigation System and Global Positioning System Using Kalman Filtering, Mumbai, 2004.

Размещено на Allbest.ru