Применение метода инвариантных эллипсоидов для синтеза управления в линейной задаче слежения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение метода инвариантных эллипсоидов для синтеза управления в линейной задаче слежения

К.О. Железнов, М.В. Хлебников

(Институт Проблем Управления РАН

им В.А. Трапезникова, г. Москва)

В работе рассмотрена задача слежения по состоянию для линейной системы управления. Цель управления состоит в том, чтобы свести к минимуму рассогласование между состоянием системы и задающим сигналом той же размерности, подаваемым на вход системы. Описываемый подход основан на методе инвариантных эллипсоидов, в качестве технического средства используется аппарат линейных матричных неравенств (LMI).

Введение

Целью работы является исследование задачи управления регулируемым выходом линейной системы в одной из разнообразных постановок задачи слежения (см. например, [1, 2, 3, 4]), одна из постановок которой восходит к Р.Калману [5].

Исследование различных постановок задач слежения не теряет актуальности и сейчас. Так, работа [6-7] посвящена решению задачи слежения при помощи контроллера нечеткой логики и оптимизации. В работе [8] описано применение каскадного подхода для задачи слежения. У данной задачи есть приложения и в экономике - например, в [9] описано динамической задачи слежения за эталонным портфелем ценных бумаг с заданной желаемой эффективностью, решение которой сводится к решению системы разностных уравнений.

В отличие от [10], которая посвящена линейной задаче слежения по выходу системы, в данной работе рассматривается задача слежения по состоянию системы. Кроме того, отличаются предположения о задающем сигнале. Так, в работе [10] предполагается, что сигнал удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению, в которое в качестве одного из слагаемых входит ограниченное возмущение. В данной работе предполагается только ограниченность сигнала и его производной (более подробно указано ниже). Такое ограничение позволяет рассматривать более широкий класс задающих сигналов. Цель управления состоит в том, чтобы состояние системы было как можно «ближе» (в некотором смысле) к сигналу, подаваемому на вход системы.

Предлагаемый подход к решению задачи основан на методе инвариантных эллипсоидов [12]; в качестве технического средства используется аппарат линейных матричных неравенств (Linear Matrix Inequalities, LMI) [12]. Такой подход позволил переформулировать исходную задачу к поиску минимального ограничивающего эллипсоида, содержащего выход рассматриваемой системы. В качестве критерия минимальности в работе выбран критерий следа, соответствующий минимизации суммы квадратов полуосей эллипсоида.

С технической точки зрения проблема сводится к решению задачи полуопределенного программирования (Semi-Definite Programming, SDP) и одномерной оптимизации [13]. Для ее решения существуют эффективные программные средства, в частности - свободно распространяемые пакеты SDPT3 и YALMIP на базе системы Matlab.

Эффективность предлагаемого подхода продемонстрирована на примере тестовой задачи из стандартной библиотеки COMPleib [14].

Постановка задачи и основной результат

Рассмотрим линейную непрерывную систему управления

(1)

где фазовое состояние системы, управление, задающий сигнал, удовлетворяющий ограничениям

Задачей является поиск управления, оптимально минимизирующего (в смысле, который будет указан ниже) рассогласование . Тогда

откуда

(2)

Введем составной вектор

,

где .

Система (2) представима относительно нового вектора состояния z в матричной форме:

 (3)

Будем искать регулятор в виде

(4)

где

Система (3) замкнутая регулятором (4) имеет вид

(5)

инвариантный эллипсоид линейный слежение

относительно нового вектора фазового состояния z с возмущением g, которое удовлетворяет условию

(6)

Определение 1. Эллипсоид с центром в начале координат

, (7)

называется инвариантным для динамической системы , если из условия следует для всех моментов времени . Это означает, что вектор фазового состояния системы будет находиться внутри, если он находится в этом эллипсоиде в начальный момент времени.

В дальнейшем все матричные неравенства понимаются в смысле знакоопределенности матриц.

Теорема 1. Решение задачи минимизации

(8)

при ограничениях

(9)

где минимизация проводится по матричным переменным и числовому параметру , определяет матрицу инвариантного эллипсоида для системы (1) и статический регулятор по состоянию , подавляющий внешние возмущения.

Доказательство. Следуя технике, изложенной в [11,16], получим задачу минимизации

при ограничении

(10)

или, применяя лемму Шура [17]

Вводя матричную переменную приходим к утверждению теоремы. Теорема доказана.

Замечание 1. Решение задачи минимизации (8) при ограничениях (9) сводится к решению задачи полуопределенного программирования (SDP) и одномерной оптимизации по скалярному параметру .

Замечание 2. Границы интервала варьирования параметра заранее неизвестны. Отчасти это компенсируется тем, что целевая функция на тестовых примерах всегда оказывается выпуклой.

Замечание 3. При наличии у системы (5) линейного выхода можно рассмотреть линейный образ инвариантного эллипсоида и очевидным образом модифицировать утверждение теоремы.

Чтобы избежать больших значений управления будем требовать выполнения ограничения на управление вида

(11)

Лемма 1. Выполнение ограничения (11) для системы (1) и регулятора (4) гарантируется выполнением условия

где при некотором

Доказательство. Заметим, что если вектор x содержится в эллипсоиде с матрицей P, то его линейный образ Kx попадет в инвариантный эллипсоид с матрицей

Тогда, поскольку в силу (6) , то . Далее, в силу теоремы (1) , поэтому или , так как .

Заметим, что если вектор a принадлежит эллипсоиду с матрицей А, а вектор b - эллипсоиду с матрицей B, то вектор a+b лежит в эллипсоиде с матрицей

.

Поэтому, вектор в инвариантном эллипсоиде с матрицей

Соответственно, условие (11) представимо в виде

Применяя дважды лемму Шура, приходим к утверждению леммы.

Пример

Продемонстрируем предложенный подход на задаче AC5 из библиотеки COMPleib [14]. В матричной форме

(12)

В соответствии с леммой 1 и теоремой 1 исследуем зависимость следа минимального инвариантного эллипсоида от значений и (рис. 1).

Рис.1: Зависимость следа матрицы ограничивающего эллипса от величины ?

Система LMI оказывается совместной не при всехиз-за ограничения на ресурс управления, что вполне понятно с технической точки зрения. Однако в результате минимизационной процедуры удалось определить интервал по, на котором решение существует - [0,5; 2.6].

Численное решение системы производилось при помощи свободно распространяемых пакетов SDPT3 и YALMIP на базе системы Matlab. При построении зависимости, представленной на рис.1 значения параметра изменялись с до с шагом , а значения параметраизменялись с до с шагом .

Заметим, что в результате минимизации функции двух переменных можно определить минимальное значение следа ограничивающего эллипса, которое достигается при и .

Этой паре соответствуют следующие параметры системы:

,

,

а значение следа инвариантного эллипсоида равно 1510.30.

На рис. 2а изображена проекция инвариантного эллипсоида для рассогласования замкнутой системы (12), с матрицей проекции

,

а также проекция траектории системы, начинающейся на границе инвариантного эллипсоида; на рис. 2б показан график управления при задающем сигнале

а) б)

Рис.2 Проекция инвариантного эллипсоида, траектория системы и управление

Отметим, что синтезированное управление стабилизирует систему; при этом величина управления u колеблется в диапазоне при ограничении

Заключение

В статье предложен подход к синтезу обратной связи в одной из постановок линейной задачи слежения. Подход основан на методе инвариантных эллипсоидов, применение которого позволило переформулировать исходную проблему в терминах линейных матричных неравенств и свести поиск инвариантного эллипсоида для выхода системы к задаче полуопределенного программирования, легко решающейся численно. Эффективность метода продемонстрирована на примере тестовой задачи из стандартной библиотеки COMPleib [14].

Литература

1. Мирошник И..В. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. // Мирошник И.,В., Никифоров В.,О., Фрадков А.Л СПб.: Наука, 2000.

2. Краснова С.А. Каскадный синтез наблюдателей состояния динамических систем. М.: Наука, 2006.

3. Ахобадзе А.Г. Задача слежения в линейных многомерных системах при наличии внешних возмущений // Ахобадзе А.Г., Краснова С.А. Автоматика и телемеханика. 2009. №6. С. 21-47.

4. Wang B. Optimal tracking and two-channel disturbance rejection under control energy constraint // Wang B., Guan Z.-H., Yuan F.H Automatica. Vol. 47. Issue 4. P. 733 -138

5. Kalman R. Contributions to the theory of optimal control // Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana. 1960. №1. P.102 -119.

6. Bor-Sen Chen Tracking Design of Uncertain Nonlinear SISO Systems: Adaptive Fuzzy Approach // Bor-Sen, Ching-Hsiang Lee, Yeong-Chan Chang IEEE Transactions on fuzzy systems, vol. 4, №1, February 1996

7. B. Mansouri Output feedback LMI tracking control conditions with criterion for uncertain and disturbed T-S models // B. Mansouri [и др.] Information Sciences 179 (2009), p. 446-457

8. E. Lefeber Tracking Control of an Underactuated Ship // E. Lefeber, K. Y. Pettersen, H. Nijmeijer, IEEE Transactions on control systems technology, vol. 11, №1, January 2003

9. Домбровский В.В. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным портфелем при случайном скачкообразном изменении волатильностей финансовых активов // Автоматика и телемеханика, 2003, №7, с.~77--86

10. Железнов К.О. Применение техники линейных инвариантных эллипсоидов к линейной задаче слежения // Железнов К.О., Хлебников М.В. Труды МФТИ. Том 5. №4 (20). 2013.

11. Хлебников М.В. Оптимизация линейных систем при ограниченных внешних возмущениях (техника инвариантных эллипсоидов) // Хлебников М.В., Поляк Б.Т., Кунцевич В.М. Автоматика и телемеханика. 2011. №11. С.9--59.

12. Boyd S. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory // Boyd S. [и др.]. Philadelphia: SIAM, 1994.

13. Поляк Б.Т. Робастная устойчивость и управление // Поляк Б.Т., Щербаков П.С. М.: Наука, 2002.

14. F. Leibfritz. COMPl_eib: COnstraint Matrix-optimization Problem library - a collection of test examples for nonlinear semidefinite programs, control system design and related problems. Tech.-Report 2004

15. Polyak B.T. Convexity of quadratic transformations and its use in control and optimization // Journ. Optim. Theory and Appl. 1998. V.99. P.533--583.

16. Хлебников М.В. Время установления в линейной динамической системе с ограниченными внешними возмущениями // Автоматика и телемеханика. 2012. №6. C.3-17.

17. Хорн Р. Матричный анализ. // Хорн Р., Джонсон Ч. М.: Мир, 1989.

Размещено на Allbest.ru