Приближённое решение плоской задачи терминального управления геостационарным спутником с помощью двигателя малой тяги

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 629.78

Приближённое решение плоской задачи терминального управления геостационарным спутником с помощью двигателя малой тяги

В.В. Салмин,

А.С. Четвериков

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет), Самара

Решена плоская задача терминального управления геостационарным аппаратом в дискретной постановке. Разработан трёхшаговый алгоритм терминального управления периодом, эксцентриситетом и долготой стояния с помощью двигателя малой тяги. Получены аналитические выражения оценки затрат характеристической скорости при коррекции орбиты.

Геостационарная орбита (ГСО) является одной из наиболее востребованных орбит для прикладных космических аппаратов (КА) различного назначения. Действие различного рода возмущений в течение продолжительного интервала времени на движение КА по орбите приводит к отклонению параметров орбиты от требуемых значений. В связи с этим необходимо постоянно проводить коррекцию орбиты. Применение электрореактивных двигателей(ЭРД) малой тяги позволяет существенно снизить расход рабочего тела при коррекции орбиты и тем самым увеличить время существования КА на орбите.

В работе [1] приведены численные алгоритмы управления КА на ГСО с помощью двигателей малой тяги. Однако они достаточно сложные и обладают плохой сходимостью. двигатель тяга орбита

Предлагаемый доклад посвящён разработке трёхшагового алгоритма коррекции орбиты геостационарного КА с помощью ЭРД малой тяги.

Постановка задачи

Рассмотрим движение КА по ГСО в плоскости орбиты, то есть вектор состояния Х будет включать в себя период обращения КА на орбитеТ, эксцентриситет орбиты е и долготу точки стояния л:

В результате действия различных возмущений будем иметь вектор отклонения состояния ?Х = {?T, ?л, ?e}Т. Здесь ДТ = Т - ТЗ, Де = е - еГСО, Дл = л - лР, гдеТ, е, л - текущие значения периода обращения, эксцентриситета и долготы точки стояния КА на орбите соответственно; ТЗ - период обращения КА на ГСО, равный звёздным суткам ТЗ = 86164,09 с; еГСО = 0 - эксцентриситет геостационарной орбиты; лР - долгота рабочей точки стояния КА.

После проведения корректирующего манёвра вектор ?Х переходит в вектор ?ХК = {?TК, ?лК, ?eК}Т. Тогда задача управления формулируется как задача оптимального управления с функционалом

, (1)

где Л - матрица постоянных коэффициентов.

Примем, что корректирующий манёвр реализуется за счёт создания малого трансверсального ускорения аТ. Вектор управленияu состоит из последовательности длительностей активных и пассивных участков ,

где ф1…фk - длительности активных участков, на которых действует малое трансверсальное ускорение;tп1…tпk - длительности пассивных участков.

Математическая модель плоского движения геостационарного КА под действием малого трансверсального ускорения

Уравнения движения КА под действием трансверсальной ускорения aTв равноденственных элементах имеют вид [2]

,

, (2)

,

где , ;;;p - фокальный параметр; - истинная аномалия; - долгота восходящего узла; - аргумент перицентра; - гравитационный параметр Земли.

Учитывая малое значение эксцентриситета, пренебрежём малыми членами в уравнениях системы (2)и, решив эту систему дифференциальных уравнений, получим выражение для изменения эксцентриситета на активном участке

Переходя от равноденственных к оскулирующим элементам, получим

где - е0, Т0, ?0 соответственно эксцентриситет орбиты, период обращения и истинная аномалия в начальный момент времени; ф - длительность активного участка.

Из полученного выражения для эксцентриситета следует, что максимальное уменьшение эксцентриситета имеет место, если включение ЭРД будет в точке, где истинная аномалия удовлетворяет условию:

, при аТ>0, (3)

, при аТ>0, (4)

где .

Если предположить, что ЭРД включается только в момент времени, когда истинная аномалия принимает значение, определяемое выражением (3) или (4), и учитывая, что продолжительность активного участка ф имеет малую величину по сравнению с величиной периода обращения в начальный момент включения двигателя Т0, то выражение для эксцентриситета в этом случае имеет вид или в дискретном виде

,

k = 0…N-1, (5)

где N - число шагов коррекции орбиты. Шаг представляет собой последовательность пассивного и активного участков.

Продолжительность пассивных участков в этом случае определяется следующими выражениями

, при аТ>0, (6)

, при аТ<0. (7)

В вектор состояния X помимо эксцентриситета входят ещё период обращения КА Tи долгота точки стояния л.

Период обращения КА на орбите через равноденственные элементы определяется выражением

. (8)

Из (8), учитывая малость трансверсального ускорения и продолжительность его действия, получим уравнение, описывающие изменение периода обращения КА при действии на негомалого трансверсального ускорения аТ в течение времени ф в дискретном виде

.

Изменение средней долготы в дискретном виде будет описываться следующим уравнением

Таким образом, дискретная модель плоского движения геостационарного КА под действием малого трансверсального ускорения имеет вид:

,

(9)

k = 0…N-1,

где tП(k) определяется из (6) или (7).

Решение плоской задачи терминального управления

Для модели движения (9) необходимо решить задачу терминального управления с функционалом (1).

Примем, что структура управления состоит из трёх активных участков AB, CD, EO(рисунок 1) соответственно продолжительностью ф0, ф1, ф2 и двух пассивных участков соответственно продолжительностью tП1 и tП2. На участке ABпроисходит уменьшение эксцентриситета донуля, на участке CDэксцентриситет увеличивается до некоторого значения e', затем на участке EOэксцентриситет снова уменьшается до нуля. Такая структура управления позволяет гарантированно привести КА с двигателем малой тяги в заданную точку ГСО с требуемой точностью по периоду, долготе и эксцентриситету.

На рисунке 1.1 представлено изменение эксцентриситета при выбранной структуре управления.

Рис 1. Изменение эксцентриситета при трёхшаговой структуре управления

Учитывая выбранную структуру управления и используя при решении задачи подход, основанный на методе динамического программирования, получено аналитическое решение задачи терминального управления для дискретной модели движения КА (9)

,

где

, при аТ<0,

, при аТ>0,

где

На рисунках 2 и 3 представлен пример моделирования коррекции орбиты геостационарного КА с помощью ЭРД малой тяги. При этом продолжительности активных и пассивных участков равны: ф0 = 7758 с, ф1 = 1997 с, , ф2 = 1998 с, tп1 = 260200 с ? 3 суток, tп2 = 40170 с ? 0,46 суток.

Конечные отклонения параметров орбиты составили: периода орбиты ДТK = 1,3c, долготы точки стояния ДлK = 0,150, эксцентриситета ДeK = 1Ч10-4.

Рис.2. Фазовая траектория движения геостационарного КА при коррекции орбиты с помощью ЭРД малой тяги

(а0 = 0,001 м/с2, ДТ0 = 1000 с, e0= 0,005, Дл0 = 0,087 рад)

Рис. 3. Изменение эксцентриситета орбиты геостационарного КА при проведении коррекции орбиты с помощью ЭРД малой тяги

(а0 = 0,001 м/с2, ДТ0 = 1000 с, e0= 0,005, Дл0 = 0,087 рад)

Выражение для оценки затрат характеристической скорости при коррекции геостационарной орбиты с использованием ЭРД

Получим выражение для оценки затрат характеристической скорости при коррекции ГСО с помощью ЭРДУ на основе трёхшагового алгоритма терминального управления, рассмотренного выше, как функции начальных граничных условий.

Затраты характеристической скорости определяются уравнением

. (11)

Подставляя выражения (10) для ф0, ф1 и ф2 в (11) и производя несложные преобразования, получим выражение для оценки затрат характеристической скорости в виде функции от начальных граничных условий (Т0, e0):

при ДТ0> 0,

где знак «+» при ,знак «-» при;

при ДТ0< 0,

где знак «+» при , знак «-» при.

На рисунке 4 представлена зависимость затрат характеристической скорости от начальных граничных условий ДТ0 и е0 при коррекции ГСО с помощью ЭРДУ на основе трёхшагового алгоритма терминального управления.

Рис.4. Затраты характеристической скорости при коррекции ГСО с помощью ЭРДУ на основе трёхшагового алгоритма терминального управления: сплошные линии -ДТ0> 0, пунктирные линии - ДТ0< 0

В результате решения поставленной задачи получено приближённое аналитическое решение задачи терминального управления для плоского движения геостационарного КА с двигателем малой тяги в виде трёхшагового алгоритма терминального управления периодом орбиты, долготой и эксцентриситетом. При моделировании движения КА под действием малого трансверсального ускорения алгоритм показал достаточно высокую точность. Так, при использовании предложенного трёхшагового алгоритма управления конечные отклонения по периоду составили порядка 1-2 секунды, по долготе - 0,1 - 0,150, по эксцентриситету - порядка 10-4. Продолжительность корректирующего манёвра при начальных значениях отклонения долготы стояния в пределах 50 составила порядка 5-10 суток, при больших значениях отклонения долготы стояния продолжительность может составлять до нескольких десятков суток.

Также получены аналитические выражения для оценки затрат характеристической скорости корректирующего манёвра, использующего трёхшаговый алгоритм терминального управления.

Список использованных источников

1. Чернявский Г. М. Управление орбитой стационарного спутника [Текст] / Г. М. Чернявский, В. А. Бартенев, В. А. Малышев. - М.: Машиностроение, 1984. - 144 с.

2. Самойлович Г. В. Система параметров для описания орбит космических аппаратов [Текст]. - Искусственные спутники Земли, Изд-во АН СССР, 1963, вып. 16. С. 136 - 139.

Размещено на Allbest.ru