Стационарные режимы в системе связанных автогенераторов, синхронизуемой фазорасщепленным внешним сигналом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сибирский физико-технический институт при Томском государственном университете

СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ В СИСТЕМЕ СВЯЗАННЫХ АВТОГЕНЕРАТОРОВ, СИНХРОНИЗУЕМОЙ ФАЗОРАСЩЕПЛЕННЫМ ВНЕШНИМ СИГНАЛОМ

Антипов В. Б., Антипов И. В.

Аннотация

фазорасщепленный амплитуда автогенератор колебание

Для системы из произвольного числа N связанных автогенераторов, синхронизуемой фазорасщепленным гармоническим сигналом, установлена гистерезисная зависимость амплитуды суммарного вектора колебаний от амплитуды внешнего воздействия. Полоса синхронизации системы пропорциональна N-й степени амплитуды внешнего сигнала.

1. Введение

В системе, состоящей из N взаимно синхронизованных автогенераторов (АГ), на которую дополнительно воздействует внешний синхронизующий сигнал, могут существовать N стационарных режимов. Для этого необходимо, чтобы указанный внешний сигнал к каждому отдельному АГ с порядковым номером подводился с фазовым сдвигом . Стационарный режим инвариантен по отношению к скачкам фазы внешнего сигнала на дискреты вида , что позволяет выделять когерентное опорное колебание при приеме ФМ сигналов с подавленной несущей. Основные характеристики таких систем и примеры их практического применения изложены в [1-4].

В данной работе анализируются семейства амплитудно-фазовых и частотно-фазовых характеристик систем с произвольным числом АГ, дается векторно-геометрическая интерпретация стационарных режимов, определяются границы их существования в области изменения нормированных амплитуд и расстроек. Основные отличия от случая заключаются в существовании минимальной и максимальной амплитуд внешнего воздействия, а также в степенной зависимости полосы частот синхронизации от амплитуды.

2. Векторная интерпретация стационарных режимов

В теории колебаний принято изображать состояние системы, совершающей периодические колебания, вектором в плоскости комплексной переменной. Модуль вектора соответствует амплитуде колебаний, а поворот относительно выбранного направления - фазе колебаний относительно условного нулевого значения. Для определенности в задании декартовых координат (X,Y) совместим ось X на плоскости комплексной переменной с нулевым направлением.

Применим этот формализм для отображения стационарного режима системы из взаимно синхронизованных автогенераторов, каждый из которых дополнительно находится под воздействием внешнего гармонического колебания, подводимого к АГ с порядковым номером k с фазовым сдвигом и с амплитудой . По соображениям симметрии удобно сместить значение нулевого отсчета фазы на , так что фазы векторов внешнего воздействия далее будут иметь значения

.

Кроме того, придадим длинам векторов нормированные значения , где - амплитуда колебаний в контуре АГ. На фазовой диаграмме эти векторы образуют симметричную звезду.

Рассмотрим систему уравнений для фаз АГ, каждый из которых синхронизуется суммой гармонических воздействий со стороны остальных АГ, а также внешним гармоническим воздействием:

, (1)

где - обобщенная расстройка, считаемая одинаковой для всех АГ, - коэффициент взаимной связи. Заметим, что, поскольку , то суммирование допускается проводить по всем включая .

В стационарном режиме правые части системы обращаются в ноль. Раскладывая тригонометрические функции, имеем:

(2)

В терминах векторного анализа выражения в скобках представляют собой проекции на оси координат некоторого вектора. Он образован умноженной на суммой векторов колебаний всех АГ, которую назовем суммарным вектором , плюс вектор внешнего воздействия.. В свою очередь, и представляют собой такие же проекции вектора колебаний . Продолжая векторную аналогию, замечаем, что левая часть выражения (2) является Z-проекцией векторного произведения . Таким образом, расстройка представляется вектором, перпендикулярным плоскости XY:

. (3)

Рассмотрим случай нулевой расстройки, . В этом случае, как естественно предполагать, каждый вектор оказывается ориентированным точно вдоль направления векторной суммы . Вектор ориентируется вдоль одного из равноправных направлений, характеризуемых углами относительно направления, принятого за нулевое. На рис.1 приведены варианты расположения векторов при . В центре конфигурации расположена звезда, образованная векторами внешнего воздействия . Стрелки, ориентированные остриями к центру, - возможные положения вектора . Векторы колебаний отдельных АГ для каждого состояния лежат на линиях, соединяющих начало соответствующего суммарного вектора с концами векторов .

Рис. 1 Варианты расположения векторов колебаний в системе 4-х АГ

Рассмотрим эволюцию векторной диаграммы в зависимости от амплитуды внешнего воздействия (рис.2). При все АГ работают синфазно, соответствующие им векторы направлены одинаково, длины их складываются алгебраически. При относительно малой величине векторы колебаний индивидуальных АГ испытывают небольшие отклонения от суммарного вектора, длина которого остается почти неизменной. По мере увеличения раскрыв веера, образованного пучком индивидуальных векторов, увеличивается, а длина суммарного вектора уменьшается. В конце концов, с достижением некоторого критического значения , длина суммарного вектора обращается в ноль, индивидуальные векторы располагаются вдоль соответствующих векторов , неоднозначность стационарного режима исчезает.

Рис. 2 Конфигурации векторов колебаний при различных амплитудах внешнего сигнала

3. Стационарные режимы при отсутствии расстроек

Формальное векторное представление позволяет достаточно наглядно и с небольшим объемом вычислений найти значения параметров стационарного режима. Считая по-прежнему , воспользуемся соотношением , чтобы установить связь между параметрами и , в том числе предельное значение последнего. Рассмотрим диаграмму рис.3, где показано, как сложением векторов, соответствующих сумме внутренних воздействий и внешнему воздействию на отдельный АГ, образуется вектор , вдоль которого и ориентируется вектор колебаний данного АГ.

Рис. 3 Определение направления для вектора колебаний индивидуального АГ

Легко видеть, что

(4)

(5)

(6)

Отсюда

(7)

Для того чтобы выполнялось последнее равенство, потребуем, чтобы обратилась в ноль функция

.

Применим метод касательных, последовательно заменяя оценочное значение значением .

Производная, вычисляемая с помощью выражений (4-6), имеет вид

(8)

Посредством ряда итераций для любых значений можно найти соответствующую величину , а затем и все . Неоднозначный режим существует, если амплитуда внешнего сигнала не превышает некоторого граничного значения, при котором обращается в ноль. Векторная диаграмма позволяет определить и это граничное значение. Рассмотрим фрагмент конфигурации (рис.4), имеющей место при .

Рис. 4 Расположение векторов при

Для малых значений разность углов может быть выражена приближенно в виде. Поскольку , можно заменить на, то есть

;

.

В первом слагаемом косинус исчезающе малого аргумента можно принять за единицу, а во втором слагаемом - синус приравнять к аргументу. Суммируя приближенные равенства, получаем:

.

Поскольку для симметричной векторной звезды сумма косинусов равна нулю, то

,

и предельное значение амплитуды внешнего сигнала, при котором суммарный вектор обращается в ноль, составляет

.

Разлагая квадраты синусов, получаем окончательный результат

,

так как в силу упомянутой симметрии .

Рис. 5 Зависимость векторной суммы от амплитуды внешнего сигнала

Результаты вычислений иллюстрируются графиком зависимости для системы из шести АГ (рис. 5). На графике виден плавный ход кривой до некоторого критического значения амплитуды, после чего происходит скачок к нулю. Подобный ход кривой наблюдается и для других значений N. Скачок к устойчивому положению происходит приблизительно (хотя не вполне точно) в той области, где , что не соответствует оценке, полученной с помощью рис.4. Тем не менее, указанное решение имеет смысл: если теперь амплитуду изменять от больших значений в меньшую сторону, это нулевое решение продолжает существовать вплоть до предсказанного порога .

Таким образом, существует гистерезисная область, где в зависимости от предыстории реализуется один из возможных режимов. В их число входят равновероятных по реализации режимов, отличающихся дискретными значениями фаз, а также однозначный режим (исключением является случай , для которого зависимость остается монотонно убывающей и амплитудный гистерезис отсутствует). На вышеупомянутом графике условно показана не проявляющаяся в расчетах по формулам (7, 8) ветвь кривой, соответствующая неустойчивому (хотя и формально существующему) решению. Чтобы продемонстрировать наличие этой ветви, достаточно, используя производную

,

решить уравнение (7) относительно и построить график зависимости , сохраняя ориентацию координатных осей. Семейство таких графиков приведено на рис. 6.

Рис. 6 Семейство зависимостей с ветвями устойчивых и неустойчивых состояний

Вид их, как следовало ожидать, аналогичен виду предыдущего графика за исключением случая . Поскольку в гистерезисной области всегда существует вероятность срыва многозначного режима, для практических применений логично считать предельно допустимым значением величину . Координаты граничных точек гистерезисных кривых находятся из условия , применяя которое к (7), приходим к требованию ; в свою очередь, нуль функции находится с помощью итераций, в которых используется производная

.

Зависимость граничного значения амплитуды сигнала от числа АГ графически представлена на рис. 7. За исключением двух-трех начальных точек, она довольно хорошо приближается к линейному закону.

Рис. 7 Максимальные амплитуды сигнала для многозначных режимов в системах с различным числом АГ

Поведение пучка векторов можно отдаленно уподобить поведению спиц зонтика, пребывающего в двух устойчивых положениях: частично сложенным или полностью раскрытым, причем переход между этими положениями происходит скачкообразно и с гистерезисом.

4. Стационарные режимы в системе с расстройкой

При наличии расстройки симметрия векторной конфигурации нарушается. В соответствии с (3), каждый индивидуальный вектор отклоняется от направления, задаваемого векторной суммой . Как следствие, сам суммарный вектор отклоняется от исходного направления . Численные расчеты показывают, что отклонения индивидуальных векторов от направлений мало заметны на фоне отклонения всей конфигурации от оси симметрии. На рис. 8 изображен пример семейства векторных диаграмм, соответствующих нулевой и ненулевой расстройкам системы; указанные отклонения составляют доли градуса, то есть практически не видны.

Рис. 8 Векторные конфигурации в режимах без расстройки и с расстройкой

Для практических целей представляет интерес величина допустимой расстройки, при которой существует неоднозначный режим, инвариантный к скачкам фазы внешнего сигнала. В случае двух одинаково настроенных АГ, синхронизуемых сигналом с произвольной расстройкой, аналитические соотношения для стационарного режима получаются при использовании замены переменных:

, .

Решение системы при этом имеет вид:

Значение синуса в первой формуле не может превышать единицу, поэтому допустимая расстройка оказывается пропорциональной отношению  ,-- то есть квадрату амплитуды внешнего сигнала. Учитывая вышеуказанные ограничения на величину l, а также тот факт, что полоса взаимной синхронизации в системе пропорциональна m,-- заключаем, что и достижимая полоса внешней синхронизации составляет приблизительно такую же величину.

Для более сложных систем приходится находить максимально допустимые значения расстроек путем перебора значений в ходе интегрирования уравнений (1). Касательно реального частотного масштаба заметим, что он определяется многими факторами, зависящими от конкретной схемной реализации, поэтому ограничимся ссылкой на вполне естественный параметр , который определяет полосу взаимной синхронизации связанных АГ. Допустимая расстройка, нормированная относительно величины , характеризует, какую долю от полосы взаимной синхронизации составляет полоса синхронизации системы внешним сигналом в интересующем нас режиме.

Априори можно предложить два варианта зависимости максимальной расстройки от амплитуды внешнего сигнала. Первый, по методу индукции, предполагает степенную зависимость полосы синхронизации от амплитуды внешнего сигнала с показателем степени, равным числу АГ: для двух - вторая степень, для четырех - четвертая и т.д. Второй вариант предполагает, что под действием внешнего сигнала в системе возникает возмущение конфигурации, пропорциональное амплитуде. В свою очередь, полоса синхронизации определяется произведением указанного возмущения на амплитуду, то есть в любом случае остается квадратичной относительно. Второй вариант более привлекателен для практики, однако численные расчеты показывают, что реализуется первый вариант, то есть пропорциональность полосы синхронизации амплитуде в степени .

Результаты расчетов полосы синхронизации представлены на графике рис 9. Для удобства сопоставления результатов по оси абсцисс отложены значения амплитуды, поделенные на ее предельное значение , а по оси ординат - корни соответствующей степени от максимальных расстроек. В такой форме представления рассматриваемые зависимости довольно близки к прямо-пропорциональным, более того, они мало отличаются одна от другой и в области, близкой к началу координат, аппроксимируются выражением

.

С учетом того, что расстройка может быть как положительной, так и отрицательной, а предельным значением считается , оценим максимальную полосу синхронизации, которая может быть реализована в системе:

,

причем масштабом частоты, согласно вышеприведенным рассуждениям, служит полоса попарной взаимной синхронизации АГ, составляющих систему.

Рис. 9 Допустимые расстройки с системах с различным числом АГ

Рассматривая практические возможности схем на основе связанных АГ в режиме восстановления подавленной несущей ФМ сигнала, нужно констатировать, что с ростом числа АГ резко возрастает крутизна зависимости полосы синхронизации от амплитуды внешнего сигнала, а приемлемые величины допустимых расстроек имеют место в области таких значений амплитуд, при которых наблюдается нестабильность и гистерезис. Это обстоятельство требует принятия мер по обеспечению высокой амплитудной стабильности внешнего сигнала и высокой частотной стабильности самих генераторов. Дополнительным осложняющим обстоятельством является наличие нижнего порогового значения амплитуды внешнего сигнала вследствие неизбежной взаимной расстройки между контурами отдельных АГ [4]. Вероятнее всего, практическое значение имеют системы с числом АГ не более четырех. Приведем экспериментальные данные [4], иллюстрирующие этот вывод. В испытанных системах из двух АГ в диапазоне 1,2 ГГц типичное значение полосы синхронизации составляет 2-2,5%; в диапазоне 1-2 МГц в схеме на двух синхронизуемых релаксационных генераторах достигнута полоса синхронизации 10% при теоретической оценке 14%. В системе из четырех АГ диапазона 2 МГц неоднозначный режим с восстановлением несущей был реализован на уровне эффекта, причем полоса синхронизации составляла доли процента.

5. Заключение

Система из произвольного числа АГ в режиме работы, обеспечивающем восстановление подавленной несущей ФМ сигнала, обладает свойством амплитудного гистерезиса в области максимальных значений амплитуды внешнего сигнала. Амплитуда, соответствующая границе гистерезисной области, пропорциональна числу АГ. Полоса синхронизации внешним сигналом в системе из N автогенераторов пропорциональна амплитуде внешнего сигнала, возведенной в степень N. Для практического применения наиболее пригодны системы с небольшим числом АГ.

6. Литература

1. Антипов В.Б. Схема восстановления несущей фазомодулированных сигналов на основе системы связанных автогенераторов. Доклады IV междунар. н.-т. конф. "Радиолокация, навигация, связь". Воронеж, 1998, с. 631-638.

2. Antipov V.B. Carrier recovery cirquit using a set of coupled oscillators. The third Int. Symposium SIBCONVERS'99 Proceedings. Tomsk, 1999. Copyright@1999 by the IEEE, inc. Vol. 1, p 93-95.

3. Антипов В.Б., Федоров Е.В., Антипов И.В. Исследование функционального узла на основе системы связанных автогенераторов. - Тез. докладов Третьей МНТК “Электроника и информатика - XXI век“, М., МИЭТ, 2000, с 406-407.

4. Антипов В.Б., Антипов И.В., Тельпуховский Е.Д. Исследование фазового демодулятора на основе системы связанных автогенераторов. Доклады VIII междунар. н.-т. конф. "Радиолокация, навигация, связь". Воронеж, 2002, с. 2176-2181.

Размещено на Allbest.ru