Применение векторов Фарадея в теории антенн

1. Выписываем рациональные выражения подходящих дробей порядка разложений (34) и (43).

2. Подставляем их в формулу (39).

3. К полученному рациональному выражению применяем алгоритм Евклида (последовательное деление многочленов с остатком) для разложения в цепную дробь и получения выражений коэффициентов.

Коэффициенты зависят от . При переходе от n-й сферической гармоники к (n+1)-й изменение значений элементов лестничной цепи (34) происходит по следующей схеме:

Табл. 1

номер элемента	1	2	…	n	(n+1)	(n+2)
Номер гармоники	n	1	3	…	2n-3	n
	(n+1)	1	3	…	2n-3	2n-1	(n+1)

Добавляется последний элемент, а предыдущий меняет своё значение. Такая же закономерность сохраняетсяи в коэффициентах , поэтому при вычислениях достаточно ограничиться коэффициентами и .



(Символ означает, что левая часть пропорциональна правой с положительным множителем.) Вычисление этих коэффициентов достаточно трудоёмко и осуществлено с использованием программного продукта “MAPLE”.

Решение нашей задачи основано на следующей теореме:

Пусть.

1. положительные числа

удовлетворяют системе неравенств:

2. - произвольная положительно-вещественная функция,

3. .

Тогда

1.

- положительно-вещественная функция,

2. Функция

- положительно-вещественная функция выходной проводимости четырёхполюсника Чу, то есть, существует положительно-вещественная функция нагрузки, такая что

3. В полосе частот коэффициент отражения

удовлетворяет неравенству: .

Вычисление потенциального коэффициента усиления антенны как функции минимальной рабочей частоты.

Выписанная в условии 1 теоремы система неравенств образована многочленами от трёх переменных , , и (с целыми коэффициентами). Для каждой гармоники необходимо найти функцию, удовлетворяющую всем неравенствам и определяющую наибольшее положительное значение . При увеличении номера гармоники новыми неравенствами являются лишь два последних.

Заметим, что при оба этих неравенства выполнены при всех значениях. Следовательно, область положительности всех многочленов лежит между осью и наименьшим положительным корнем каждого многочлена. При каждом следует выбрать наименьший корень из корней двух многочленов. При этом оба неравенства будут выполнены, причём, одно из неравенств - в слабом смысле (больше или равно).

Чтобы конкретно сравнить силу неравенств в разных областях , нужно воспользоваться методами качественного, асимптотического решения алгебраических уравнений высокой степени. Наглядный метод нахождения асимптотики корней алгебраических уравнений с двумя неизвестными был разработан ещё Ньютоном [41, 42]. Каждый многочлен от двух переменных - это сумма конечного числа одночленов вида. Для множества всех одночленов данного многочлена с неравными нулю коэффициентами построим на плоскости систему точек с целочисленными координатами. Выпуклая оболочка этой системы точек называется многоугольником Ньютона. На рис. 7 показаны такие системы точек и их выпуклые оболочки для вторых многочленов из первых 3-х пар неравенств, определяемых многочленами (16).



Рис. 7. Многоугольники Ньютона

Стороны многоугольников, обращённые к началу координат, определяют асимптотику малых решений, внешняя сторона - асимптотику больших решений. Главные члены асимптотики определяются одночленами, соответствующими точкам, лежащим на сторонах многоугольника. Остальные одночлены оказывают тем меньшее влияние, чем дальше от рассматриваемой стороны многоугольника расположены соответствующие точки. Если в многочлене оставить только главные одночлены, а остальные отбросить, получим укороченное уравнение, определяющее главный член асимптотики решения. Для нижних сторон многоугольников, обращённых к началу координат, укороченные уравнения двучленные:

(45)

Их решения определяют главный член асимптотики при малых значениях:

(Кстати, асимптотика при определяет знаменитую кубическую зависимость Чу.)

Из системы неравенств при очевидно, а при остальных можно доказать, что более сильные ограничения при малых значениях дают решения вторых неравенств из выписанных пар.

Большим значениям соответствуют внешние стороны многоугольников Ньютона, которые проходят через несколько точек рассматриваемого множества и наклонены под углом 45° к осям системы координат. Это означает, что главный член больших решений всех выписанных многочленов один и тот же: . Чтобы определить, какое из неравенств пары сильнее, главного члена недостаточно. Нужно привлекать второй член асимптотического ряда Пюизё. Численные результаты показывают, что при больших значениях более сильным всегда оказывается первое неравенство, которое и определяет соответствующую часть решения. При значениях, удовлетворяющим обоим уравнениям пары, оба неравенства равносильны. Если величины превышают эти значения, для определения интересующего нас решения нужно численно решать первое уравнение пары, в противном случае - второе.

Выражение предельного коэффициента передачи можно получить из формулы (40).

Кривые предельных решений неравенств для 10-ти первых номеров сферических гармоник показаны на рис. 8. Значения коэффициентов передачи, согласно формуле (3), умножены здесь на (2n+1) - максимальный к.н.д. соответствующей сферической гармоники. На графике приведены только решения, отвечающие согласованию в полубесконечной полосе частот - случай Кружками обозначены точки стыка разных алгебраических ветвей решений.

Рис. 8. Предельные усиления по отдельным гармоникам.

Для получения предельного усиления всей антенны необходимо сложить усиления по отдельным гармоникам, в соответствии с выражением (31). На рис. 9 показаны графики предельного усиления антенн в зависимости от на нижней частоте полосы согласования. Три сплошные кривые соответствуют различным полосам согласования, параметризированным значениями добротности, определённой формулой:

(При обычно используемом определении добротность равна половине этой величины). При нашем определении добротность отвечает полубесконечной полосе частот. Нижний график (точечный) - соответствует геометрооптическому пределу усиления:

Второй снизу пунктирный график соответствует предельному усилению, определяемому отсечкой Харрингтона [30]:

Рис. 9. Границы физически реализуемого усиления антенны

спиральный вектор кроссполяризованный

Предельные ограничения усиления антенны при работе даже в самой широкой полосе частот (неограниченной сверху) превышают как предельное геометрооптическое усиление, так и усиление, определяемое отсечкой высших сферических гармоник по Харрингтону.

Приведено определение векторов Фарадея, которые можно трактовать, как электромагнитные волны идеальной круговой поляризации. Даны примеры их применения в теории антенн: в задаче обеспечения отсутствия кроссполяризованного излучения при рассеянии, при вычислении векторных высокочастотных асимптотик в дифракционных задачах.

Исследована структура сферических волн векторов Фарадея в спиральном базисе. На основе этого исследования и теоретического анализа показано, что потенциальная возможность эффективной концентрации излучения антенны заданных размеров зависит от рабочей полосы частот, то есть, от информационной пропускной способности антенны. Ограничения усиления определяются фильтрующими свойсвами пространства, окружающего антенну. От конструкции антенны зависит возможность достижения предельных параметров. Предложен алгоритм вычисления предельного усиления антенны. Приведены численные результаты.

Литература

1. Meister E., Meister L., Quaternion Boundary Value Problems for Canonical Objects in Continuum Physics //Advances in Clifford Algebras, 2001. - 11(82), 231-246,

2. Вайнштейн Л.А., Электромагнитные волны. «Радио и связь», 1988

3. Silberstein L.// Ann. Phis., 1907. - 22, - 24,

4. Bateman H., The mathematical analysis of electrical and optical wave-motion, 1915 г. (Русский перевод: Бейтмен Г., Математическая теория распространения электромагнитных волн, 1958 г.)

5. Lewin L. Theory of waveguides, //London, Butterworth and Co Ltd., 1975. (Русский перевод: Левин Л., Теория волноводов, - М.: Радио и связь, 1981. - 311 с.)

6. Яглом И.М., Комплексные числа и их применение в геометрии, УРСС, 2004

7. Rumsey V.H. A New Way of Solving Maxwell's Equations, IRE Transactions on Antennas and Propagation, 1961, Sept., 461-465

8. Третьяков С.А. Электродинамика сложных сред: киральные, биизотропные и некоторые бианизотропные материалы, //Радиотехника и электроника, 1994.- т.39, в.10, с.1457-1470

9. Шевченко В. В., Обратные волны в киральных средах и волноводах. Радиотехника и электроника, 2005, т.50, №11, с.1369-1373

10. Lakhtakia A. Beltrami fields in chiral media, //Singapore; River Edge, N.Y., World Scientific, 1994. - 535 p.

11. Козлов А.И., Логвин А. И., Сарычев В.А., Поляризация радиоволн, изд-во «Радиотехника», Кн. 1 (2005). Кн. 2 (2007)

12. Beltrami E., Considerazioni idrodinamiche,--Rendiconti del reale Instituto Lombardo, Milano, 1889, t.XXII, p. 121-130, см. также: “Opere Matematiche di Eugenio Beltrami”, Milano, 1920, T.IV, 87,300-309

13. И.С. Громека, Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости,--Учёные записки Казанского университета, 1881, см. также: Собрания сочинений, Изд-во АН СССР, Москва, 1952, с. 76-148

14. Craig Th., On certain possible cases of steady motion in a viscous fluids.--American Journal of Mathematics, 1880, v.3, p.276

15. Сакс Р.С. Обобщённо эллиптические операторы и задачи математической физики. Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук. - СПб. 1998. - 38 с.

16. Коган Б.Л., Об источниках кроссполяризованного излучения, Радиотехника и Электроника, 2004, том 49, №4, с.421-430.

17. H.C. Minnet, B. Mac A. Thomas, A Method of Synthesizing Radiation Pattern with Axial Symmetry, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1966., - v. , Sept., p.654-656.

18. Коган Б.Л., Электромагнитные поля круговой поляризации, Докторская диссертация, 2004

19. P.-S. Kildal, Definition of artificially soft and hard surfaces in for electromagnetic waves, Electron. Lett., v.24, no.3, pp. 168-170, Feb. 4, 1988

20. Keller J.B. Geometrical theory of diffraction.--J. Opt. Soc. of Amer., 1962, v.52, № 2, p.116-130

21. Боровиков В.А., Кинбер Б.Е., Геометрическая теория дифракции, «Связь», 1978

22. Боровиков В. А., Краевые волны в задаче дифракции на криволинейной поверхности с ребром. Препринт ИПМ АН СССР, 1973, №63

23. Коган Б.Л., Асимптотическая оценка дифракционных потерь двухзеркальной антенны Кассегрена при низком уровне облучения края контррефлектора, Антенны, выпуск 2 (41), 1998

24. Д.А. Варшалович, А.Н. Москалёв, В. К. Херсонский: Квантовая теория углового момента. (аппарат неприводимых тензоров, сферические функции, 3nj-символы), «Наука», Ленинград, 1975 г.

25. Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я., Представления группы вращений и группы Лоренца, 1958

26. Виленкин Н.Я., Специальные функции и теория представления групп, «Наука», ГРФМЛ, 1965

27. Oseen C.W. Die Einsteinsche Nadelstichstrahlung und die Maxwellschen Gleichungen. //Ann. Phys., 69, 202, 1922

28. Chu L.J. Physical Limitations of Omni-Directional Antennas//Journal of Applied Physics, 1948, 19, December, -1163-1175

29. Бахрах Л.Д., Кременецкий С.Д., Синтез излучающих систем, М., «Сов. радио», 1974 г.

30. Harrington R.F. On the Gain and Beamwidth of Directional Antennas.//IRE Transactions on antennas and propagations, 1958, July, 219-225.

31. Фано Р. Теоретические ограничения полосы согласования произвольных импедансов. Пер. с англ. - М.: Сов. радио, 1965, 70 с.

32. Hansen R.C. Fundamental Limitations in Antennas. //Proceedings of the IEEE, 1981, 69, No.2, February, -170-182

33. Коган Б.Л. Теория широкополосного согласования. //Сборник научно-методических статей по прикладной электродинамике, - М.: «Высшая школа», 1980.- в.3, - с. 162-182.

34. Коган Б.Л., Наибольшее усиление физически реализуемой антенны, «Антенны», в.2(105), 2006 г., с.4-12

35. Ефимов А.В., Потапов В.П. J-растягивающие матрицы-функции и их роль в аналитической теории электрических цепей. //Успехи математических наук, - 1973. - т. XXVII, -в. 1(169), - 65-130

36. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов. - М.: Гос. изд. физ. - мат. лит., - 1961, -312 с.,

37. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. - М.: Из-во Наука, ГРФ-МЛ, - 1973, - 552с.

38. Ковалишина И.В. Аналитическая теория одного класса интерполяционных задач. //Изв.АН СССР. Сер.мат. - 1983.-47, №3.-С.455-497

39. Helton J. W. Broadbanding:-Gain Equalization Directly From Data. //IEEE Tr. on circuits and systems, - 1981. - CAS-28, No.12, December, 1125-1137

40. Справочник по специальным функциям, под ред. М.Абрамовица и И.Стиган, M.: Наука, ГРФМЛ, 1979. - 830 c. (С.41, раздел 4.3.95)

41. Чеботарёв Н.Г. «Многоугольник Ньютона» и его роль в современном развитии математики.// «Исаак Ньютон», АН СССР, 1943, С.99-126,

42. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. -М.: Из-во Наука, 1979, 254 с.

43. Джоунс У., Трон В. «Напрерывные дроби: Аналитическая теория и приложения» , 1985

44. Буслаев В.И. «Введение в аналитическую теорию непрерывных дробей», 2006

45. Аров Д.З. Реализация матриц-функций по Дарлингтону. Изв. АН СССР, 37:6 (1973), 1299-1331.

Приложение 1

Выражение основных электродинамических соотношений в терминах векторов Фарадея.

1. Векторный потенциал

Для свободного пространства

(П1.1)

векторы поля выражаются через векторный потенциал по формуле:

(П1.2)

В результате подстановки этого выражения в уравнение (П1.1) для векторного потенциала получаем стандартное уравнение Гельмгольца:

. (П1.3)

с известным решением:

(П1.4)

в котором - функция Грина:

а интегрирование распространяется по объёму, занимаемому токами.

2. Найдём выражение поля элементарного диполя с направлением вдоль вектора :

Из формулы (П1.4) следует выражение для векторного потенциала диполя:

Подставляя это выражение в (П1.2), получим

(П1.5')

Или

(П1.5)

Преобразуем слагаемые с дифференциальными операторами:

(П1.6)

(П1.7)

Подставляя (П1.6), (П1.7) в (П1.5), получим:

Вне области, содержащей источник, первое слагаемое можно отбросить, получим следующее выражение для поля элементарного диполя:

(П1.8)

Вычислим выражение (П1.8), используя явный вид функции Грина :

-- единичный вектор, направленный от точки «истока» к точке «наблюдения» .

Получаем следующее окончательной выражение:

(П1.9)

3. Лемма Лоренца.

Пусть и -- одноимённые векторы Фарадея, либо оба вектора правой поляризации, либо оба левой. Случай с двумя разноимёнными векторами Фарадея рассматривать бессмысленно, потому что они удовлетворяют разным уравнениям и не взаимодействуют между собой. Запишем уравнения Максвелла для векторов и :



Умножим скалярно первое уравнение на , а второе на и вычтем из первой строки вторую:

Или

(П1.10')

По теореме Гаусса-Остроградского получаем выражение леммы Лоренца:

(П1.10)

Здесь -- замкнутый объём с границей , -- внешняя нормаль.

Используем лемму Лоренца для вывода выражения поля вне замкнутой поверхности через касательные составляющие поля на поверхности.

Положим в (П1.10): -- поле в объёме

-- поле элементарного диполя, -- единичный вектор вдоль диполя. точки внутри объёма .

Подставляя эти выражения в интегральное выражение леммы Лоренца, получаем:

Или

Если источников поля в объёме нет, то выражение упрощается:

(П1.11)

Это выражение можно упростить дальше, выразив смешанные произведения.

,

-- это касательные составляющие поля к поверхности , которые можно обозначить как поверхностную плотность «тока»:



Подставляя эти выражения в (П1.11), получим выражение составляющих поля через поверхностный «ток»:

(П1.12)

В этом выражении вектор -- это вектор, на направление которого проектируется поле в точке наблюдения , единичный вектор зависит от взаимного положения точек истока и наблюдения.

После вычисления производных получим:

(П1.12ґ)

Из выражения (П1.12ґ) следует формула для векторных составляющих поля в дальней зоне (диаграммы направленности):

(П1.13)

Векторы Фарадея в дальней зоне идеально поляризованы по кругу, поэтому в спиральном базисе диаграмма направленности каждого вектора Фарадея будет иметь лишь одну ненулевую составляющую.

Спиральный базис вводится по правилу [24]:



С учётом этих соотношений поле в дальней зоне, выраженное через касательные составляющие поля на поверхности , можно вычислить по формуле:

(П1.14)

Поле же другой спиральной составляющей убывает быстрее, чем . Поэтому, для любого и любого решения уравнений Максвелла вне гладкой ограниченной поверхности, удовлетворяющего условию излучения на бесконечности, касательные составляющие решения на поверхности удовлетворяют условию:

(П1.15)

4. Формула Стреттона - Чу.

В формуле Стреттона - Чу излученное поле выражается через касательные и нормальные составляющие поля на поверхности.

В формуле (П1.10) для леммы Лоренца выберем поле в виде поля электрического диполя в форме (П1.5):

Получим выражение для поля в области, свободной от источников в виде:

Преобразуем последнее слагаемое, для этого воспользуемся тождеством:

,

а также тем, что для любого векторного поля и любой замкнутой поверхности

,

а в области, где отсутствуют токи,

.

Тогда

или, после перестановки элементов смешанного произведения, получим:

(П1.16)

Это и есть формула Стреттона-Чу, выраженная в терминах векторов Фарадея.

Приложение 2

Некоторые частные случаи и рекуррентные формулы для сферических функций .

Матричные элементы неприводимых представлений группы вращений:

определены для значений индексов, удовлетворяющих неравенствам:

. (П2.1)

Индекс в представлении векторных полей отвечает номеру векторной составляющей. Для электромагнитных полей круговой поляризации индекс принимает значения 0 и ±1.

Для функций справедливы следующие соотношения симметрии:

при

а также

Функции, отвечающие граничным значениям индексов в неравенстве (П2.1) имеют следующее явное представление:



Функции с индексами выражаются с помощью одночленных рекуррентных формул:

Для выражения функций с индексами справедливы двучленные рекуррентные соотношения:

Для всех остальных функций при увеличении индекса на единицу применяется трёхчленная рекуррентная формула:

При соответствующих значениях индекса трёхчленная формула переходит в двучленную и одночленную.

Приложение 3

О разложении в бесконечную цепную дробь и доказательстве теоремы о предельном согласовании четырёхполюсника Чу.

Информацию относительно сходимости разложения функции

в бесконечную цепную дробь

можно найти в [43], или [44]. Функция - аналитическая в комплексной плоскости с двумя разрезами по мнимой оси, симметричными относительно начала координат. Разрезы соответствуют частотным областям, в которых требуемый коэффициент передачи мощности больше нуля. Края разрезов являются точками ветвления функции.

Рис. 10

Сходимость бесконечной цепной дроби в области вне разрезов неравномерная, ухудшается при приближении к разрезам. Дробь типа (43) можно трансформировать (с сохранением скорости сходимости) [44] к виду, для которого справедлива теорема Ван Флека [43], утверждающая сходимость цепной дроби в симметричном угловом секторе в правой полуплоскости с вершиной в нуле и раствором меньше 180є. Численные расчёты подтверждают сходимость. В проколотом круге с центром в нуле и радиусом меньшем расстояния до разреза сходимость достаточно хорошая, значит, коэффициенты разложения в цепную дробь хорошо описывают характеристики этой функции в окрестности нуля передачи исследуемых электрических цепей. А нам именно это и требуется, потому что мы хотим определить влияние нуля передачи на предельно достижимые коэффициенты передачи сферических гармоник.

Уровень сложности доказательства теоремы о предельном согласовании четырёхполюсников Чу зависит от рассматриваемого класса положительных вещественных функций. Доказательство сравнительно элементарное в случае рациональных функций. Чтобы можно было ограничиться этим случаем нужно, чтобы и требуемая частотная характеристика передачи мощности сферической гармоникой была рациональной. Но любая рациональная передаточная функция, общая для всех гармоник, заведомо не пропустит гармоники с более высоким номером, чем порядок рациональности передаточной функции. Следовательно, с рациональной передаточной функцией невозможно определить предельное усиление антенны достаточно большого размера. По этой причине в данной статье выбрана ступенчатая передаточная характеристика. Можно, конечно, использовать рациональную аппроксимацию ступенчатой передаточной функции, свою для каждого номера сферической гармоники. Это легко сделать с помощью баттервортовской или чебышёвской передаточных функций. В этом случае уравнения, определяющие предельно допустимую полосу согласования, усложнятся за счёт добавления параметров, характеризующих качество аппроксимации, однако принципиально такой подход возможен.

В данном приложении даётся доказательство применительно к рациональному случаю. Более тонкое математическое доказательство для случая самых общих положительных вещественных функций, определяемых интегральным критерием Неванлинны, здесь не приводится. Во-первых, идея доказательства в обоих случаях одна и та же, во-вторых, данная статья предназначена для инженеров. Кстати, если экономно определить промежуточный класс положительных вещественных функций, охватывающий рассматриваемый случай, и не выходить за его пределы, то можно ограничиться достаточно простым доказательством.

Отметим ещё один математический нюанс. Аналитические свойства передаточной функции наследуются импедансом согласующего устройства, соединённого с антенной. Аналитические свойства ступенчатой функции не соответствуют критерию Арова [45] применимости теоремы Дарлингтона. Поскольку целью данной работы не является конкретная реализация антенны с максимально возможным усилением, а только определение предельно допустимого усиления антенны, невозможность выделения согласующего устройства, нагруженного на единственный чисто активный импеданс, не препятствует достижению цели. Для конкретной реализации согласующих устройств, обеспечивающих оптимальную передачу сферических гармоник нужно пользоваться рациональной аппроксимацией характеристики передачи.

Переходим к доказательству теоремы о предельном согласовании четырёхполюсников Чу.

Первое утверждение теоремы следует из положительности коэффициентов , неотрицательности коэффициента , и положительной вещественности . Здесь используется следующие свойства положительных вещественных функций: сумма двух положительно вещественных функций положительно вещественная, а обратная величина к положительной вещественной функции тоже является положительной вещественной функцией.

Первая часть 2-го утверждения о том, что функция

положительно вещественная, следует из положительной вещественности составляющих в правой части формулы и представления:

.

Вторая часть 2-го утверждения доказывается более сложно. То, что коэффициенты цепного разложения совпадают с коэффициентами цепного разложения четырёхполюсника Чу следует из взаимной обратимости алгоритма преобразования их в коэффициенты цепного разложения функции .

То, что остаточная функция в представлении

- положительно вещественная следует из положительной вещественности , а также того, что процедура последовательного отщепления реактивных импедансов с полюсом в нуле передачи не меняет значения активной части импеданса на оси частот . Только доказательство этого утверждения требует более тонких математических рассуждений в общем случае нерациональных положительно вещественных функций.

Последнее утверждение теоремы следует из представления:

поскольку является ограниченно вещественной функцией, полученной из положительно вещественной функции по формуле

,

а удовлетворяет требуемому неравенству по построению.

Размещено на Allbest.ru

...