Новый подход для расчета электродов, формирующих мощный цилиндрический пучок

Размещено на http://www.Allbest.ru/

ФГУП

Исследовательский центр имени М.В. Келдыша

Новый подход для расчета электродов, формирующих мощный цилиндрический пучок

А.А. Бармин,

Р.Н. Ризаханов

Москва, Россия

Аннотация

Рассматривается задача расчета электродов, формирующих осесимметричный пучок в режиме ограничения тока пространственным зарядом. При определении полного поля проводится систематический учет распределения поля пространственного заряда пучка. Приводится аналитическое выражение поля системы электродов в пространстве. Обсуждается ход нулевой эквипотенциали.

Введение

Проблема расчета осесимметричной системы электродов, формирующей цилиндрический пучок в режиме ограничения тока пространственным зарядом, принадлежит к классу задач, допускающих точное аналитическое решение, и поэтому носит методологический характер. Общепринятым является метод, предложенный в [1], когда осуществляется вырезка цилиндрической части потока Чайльда-Ленгмюра, а конфигурация электродов, обеспечивающих формирование такого пучка, определяется из решения задачи Коши уравнения Лапласа. Однако в такой постановке игнорируется то обстоятельство, что потенциал является суперпозицией потенциалов электродов и пространственного заряда пучка. Поэтому перед расчетом формы электродов следует уточнить распределение потенциала. Для этого к распределению поля Чайльда-Ленгмюра следует добавить поле пучка. Ясно, что это особенно важно вблизи катода, где плотность заряда пучка достигает больших значений (в гидродинамическом приближении стремится к бесконечности).

В настоящей работе представлено аналитическое решение рассматриваемой задачи формирования цилиндрического пучка с учетом распределения поля пространственного заряда пучка. Получены относительно простые выражения для расчета эквипотенциалей (т.е. формы электродов) в различных частях пространства. Исследован ход нулевой эквипотенциали вблизи катода.

Внешнее поле для формирования цилиндрического пучка

Поток Чайльда-Ленгмюра характеризуется следующими зависимостями потенциала и плотности от продольной координаты

(1)

Для расчета конфигурации электродов, формирующих осесимметричный пучок диаметром , поступают следующим образом. Из потока Чайльда-Ленгмюра удаляют пространственный заряд, внешний по отношению к выделенному пучку, а произошедшие вследствие этого изменения поля компенсируют электродами. Форма и потенциалы последних подбираются такими, чтобы поле внутри пучка не изменилось.

Традиционно данная проблема сводится к следующей задаче [2]:

(2)

где -- оператор Лапласа, -- радиус пучка.

Ее решение получено, например, в [3] и имеет вид

(3)

Эквипотенциали в распределении определяют конфигурацию и потенциал электродов, формирующих цилиндрический пучок.

Данный подход представляется обоснованным, если электроды полностью или частично погружены в пучок или, хотя бы, подходят вплотную к его границе. То есть, когда можно утверждать, что потенциальное распределение, в основном, задается непосредственно электродами.

Однако в ряде случаев (например, электронная пушка, генерирующая мощный пучок) электроды должны иметь отверстия, существенно превышающие поперечные размеры пучка. В формировании потенциала заметную роль начинает играть пространственный заряд самого пучка. Тогда потенциал в задаче (2) оказывается суперпозицией потенциала формирующих электродов и пространственного заряда :

Действительно, по построению при , что и обеспечивает соответствующие граничные условия при ; при .

Поле пространственного заряда, распределенного по закону (1), с учетом его "отражения" в плоском катоде имеет вид

(4)

где -- полный эллиптический интеграл первого рода,

(5)

Таким образом, поле для формирования цилиндрического пучка может быть рассчитано по формуле

(6)

где имеет вид (3), а находится из (4).

Конфигурация электродов

цилиндрический осесимметрический пучок эквипотенциал

Форма электродов и их потенциалы могут быть определены как эквипотенциали распределения (6). На рис. 1 приведены эквипотенциали решений (3) и (6). Из их сравнения следует, что различие в распределениях потенциалов при ничтожно, так как здесь влияние пространственного заряда незначительно. Поэтому новый подход на больших расстояниях от катода дает те же конфигурации электродов, что традиционный.

Чем ближе к катоду, тем различия значительнее. В этой связи более внимательно рассмотрим нулевую эквипотенциаль, играющую большую роль в формировании пучка. Найдем угол, под которым она выходит с катода. Для этого воспользуемся двумя обстоятельствами.

Во-первых, в малой окрестности края катода () задачу можно рассматривать как плоскую. Во-вторых, если в декартовой системе координат () потенциал плоскости меняется вдоль по закону (потенциал вдоль не меняется), то нулевая эквипотенциаль имеет вид

(7)

В частности, при .

Рассмотрим закон изменения в (6) при и .

Из условия получения решения (2) имеем при . Исследуем поведение . Вводя обозначение , можно представить выражение (5) в виде

Воспользовавшись разложением

,

справедливым при , получим

Аналогичным образом имеем

Подставляя полученные соотношения в (4), получим

т.е. поле пропорционально первой степени . Так как при малых , то из (7) получаем, что искомый угол равен . Иными словами, нулевая эквипотенциаль спрягается с катодом гладким образом, без образования углов. Это является принципиальным отличием от традиционного решения, утверждающего, что эквипотенциаль составляет с нормалью к поверхности катода угол . Подробнее форма нулевой эквипотенциали приведена на рис. 2. Здесь же дана нулевая эквипотенциаль, полученная из (3).

Проведем более детальное сравнение формы эквипотенциалей, получающихся при классическом и новом подходах. Новые эквипотенциали располагаются ближе к катоду. Учет пространственного заряда приводит к тому, что границе пучка перпендикулярна лишь нулевая эквипотенциаль, а остальные подходят к ней под углом, что существенным образом отличается от хода эквипотенциалей, полученных при пренебрежении пространственным зарядом. В последнем случае, как показано в [3], наоборот, все эквипотенциали, кроме нулевой, перпендикулярны границе пучка, а нулевая подходит под углом .

Полученные результаты позволяют утверждать, что традиционное и уточненное решения различаются вблизи катода. При этом разность является важной скорее в методологическом плане, чем в практическом. Тем не менее, в ряде задач, например, при создании электронных пушек для формирования пучков с малым фазовым объемом (эмиттансом), необходимо точное соблюдение конфигураций и потенциалов электродов для минимизации аберраций. И тогда применение уточнения дает возможность решить поставленную задачу. Следует также отметить, что различия двух решений могут быть иными в случае пучков других конфигураций (например, сходящихся).

Аналогично, для формирования планарного пучка (), полученного из потока Чайльда-Ленгмюра (1), необходимо электродами создать следующее распределение поля вне пучка (воспользовавшись симметрией системы относительно плоскости , приведем выражение лишь для )

Список литературы

1. Пирс Дж. Теория и расчет электронных пучков. М.: Советское радио, 1956.

2. Молоковский С.И., Сушков А.Д. Интенсивные электронные и ионные пучки. М.: Энергоатомиздат, 1991.

3. Ризаханов Р.Н. Аналитическое решение задачи формирования интенсивного осе-симметричного цилиндрического пучка // РЭ. Т. 51. №2. 2006. С. 226-227.

Размещено на Allbest.ru