Моделирование процессов дискретного взаимодействия в ЛБВ с резонаторными замедляющими системами

Особенности взаимодействия электронов и поля в ЛБВ с резонаторными замедляющими системами определяются характером распределения полей в такой системе. Поскольку амплитуды полей вдоль резонаторной замедляющей системы изменяются от максимального значения в зазоре взаимодействия до минимального в пролетном канале, взаимодействие электронного пучка с полем происходит дискретно в ограниченных областях. Наиболее общим при решении задач данного типа является дискретный подход.

Анализ методов решения задачи дискретного взаимодействия в ЛБВ с резонаторными замедляющими системами [1-7] показывает многообразие форм уравнений возбуждения. Они сформулированы в двух формах дифференциальной и интегральной. Интегральная форма может быть получена независимо либо из дифференциальной формы уравнения возбуждения. При дискретном подходе аналогом дифференциальной формы является разностная форма уравнений возбуждения, а интегральной - форма в виде конечного ряда. Исследования, проведенные в работе [8], показали, что с помощью формальных преобразований известные уравнения возбуждения сводятся к конечно-разностным уравнениям двух типов:

(1) (2)

Коэффициенты этих уравнений могут быть выражены через коэффициенты матрицы передачи шестиполюсника, моделирующего ячейку резонаторной ЗС, возбуждаемую током, как это сделано в (1,2), элементы эквивалентной схемы ячейки или электродинамические характеристики ЗС, в случае использования полевых методов. Обосновать использование той или иной математической модели, при описании дискретного взаимодействия, позволяет разностная форма электродинамической теории возбуждения [9].

Согласно этой теории возбуждения, суммарное поле разностное уравнение для полного поля Е, возбуждаемого произвольным током имеет вид

(3)

Правая часть уравнения определяется возбуждающим током и имеет вид

,

где ,

- объемы одного периода системы, причём - объём справа, - слева от данного сечения ..

Разностное уравнение (3) является точным следствием обычных формул возбуждения и справедливо при произвольном выборе сечения z. При решении уравнения (3) для конечного отрезка системы краевые условия накладываются на Е и ?E или их комбинации на одной или двух границах отрезка.

В предположении постоянства фазы в зазоре взаимодействия и при проведении усреднения поля по сечению пучка (одномерная теория) интегралы по k-1 и k+1 зазорам в правой части разностного уравнения возбуждения обращаются в ноль, и в уравнении для k-го зазора остается только ток данного зазора

(4)

Это уравнение можно переписать также относительно потенциала на зазоре

(5)

Нетрудно видеть, что оно совпадает по форме с уравнением (2).

Таким образом, для описания ЛБВ с дискретным взаимодействием, в которых фаза поля в зазорах взаимодействия в продольном направлении остается постоянной, электродинамически обоснованным является использование разностного уравнения (2). Этому уравнению соответствует шестиполюсник, у которого входы возбуждения полем и током объединены. Секция ЛБВ, возбуждаемая заданным током, в этом случае моделируется цепочкой таких шестиполюсников (рис.1), что позволяет легко учитывать граничные условия на концах секции и отражения, возникающие при объединении в секцию неидентичных ячеек.

Рис.1. Модель секции ЛБВ, составленная из шестиполюсников.

Адекватность математической модели дискретного взаимодействия определяется точностью задания коэффициентов конечно - разностного уравнения, имеющих определенный электродинамический смысл (5) и определяемых через коэффициенты матрицы передачи четырехполюсника, который получается из шестиполюсника в отсутствии возбуждающего тока. Этот четырехполюсник, в свою очередь является математической моделью ячейки резонаторной ЗС. Его коэффициенты определяют точность восстановления электродинамических характеристик моделируемой резонаторной замедляющей системы. Таким образом, их правильный выбор обеспечивает одновременно адекватное описание процессов дискретного взаимодействия в ЛБВ и электродинамических процессов в замедляющей системе.

Коэффициенты матрицы передачи этого четырехполюсника могут быть определены в результате решения внутренней электродинамической задачи или при использовании эквивалентных схем. Точные электродинамические методы не применимы из-за больших затрат вычислительных ресурсов, которые возрастают еще больше при решении задачи дискретного взаимодействия. Известная эквивалентная схема для данного типа шестиполюсника [10] требует для своего построения предварительных экспериментальных исследований в каждом конкретном случае и не обеспечивает необходимой точности во всей полосе пропускания. Поэтому целесообразно использовать модели резонаторных замедляющих систем, построенные методом эквивалентных систем [11].

Метод эквивалентных систем является разновидностью метода частичных областей и позволяет строить простые модели резонаторных ЗС, описывающие их электродинамические характеристики с требуемой точностью. Вместо того чтобы анализировать процессы в исходной ЗС, имеющей сложную конфигурацию границ, производится её замена на эквивалентную систему с аналогичными свойствами, построение модели которой методом частичных областей упрощается.

При построении эквивалентной системы исходная замедляющая система разбивается на частичные области плоскостями перпендикулярными направлению распространения СВЧ энергии в ней. Выделенные частичные области заменяются волноведущими каналами с конфигурацией границ, для которой известно аналитическое решение внутренней электродинамической задачи. В результате получается эквивалентная замедляющая система. Для описания частичных областей этой системы вводятся эквивалентные , что позволяет перейти при их описании к эквивалентным линиям передачи - базовым элементам и единообразно описать их матрицами передачи четырехполюсников.

На основе анализа условий сшивания полей на границах частичных областей проводится соединение четырехполюсников в эквивалентную схему ячейки анализируемой замедляющей системы и определяется ее суммарная матрица передачи. Разным типам замедляющих систем соответствуют разные схемы соединения базовых элементов. Поскольку при этом используются одни и те же базовые элементы, процесс построения модели унифицируется.

Идентичность свойств исходной и эквивалентной замедляющих систем обеспечивается подбором размеров эквивалентной ЗС.

В случае, когда границы реальной и эквивалентной ЗС совпадают, при описании базовых элементов используются размеры реальной ЗС.

Если границы не совпадают, для определения размеров эквивалентной системы используются разные подходы:

- приближенные соотношения, связывающие размеры реальной и эквивалентной замедляющих систем [12];

- определение размеров эквивалентной системы в результате параметрической оптимизации по опорным точкам, полученным в результате натурного или численного эксперимента [13];

- использование регрессионных зависимостей, связывающих размеры эквивалентной и реальной замедляющих систем [14].

Построение эквивалентной системы рассмотрим на примере ЗС типа ЦСР со щелями связи, повернутыми на 180⁰, представленной на рис.2.

Рис.2. Замедляющая система типа ЦСР со щелями связи повернутыми на 180⁰.

Эта ЗС имеет сложную аксиально-симметричную конфигурацию, однако, если предположить отсутствие связи между резонаторами через пролетные каналы, распространение СВЧ энергии в ней осуществляется по пути, выделенному сплошной линией на рис.2.

Плоскостями перпендикулярными направлению распространения СВЧ энергии выделяются частичные области: область щели связи (2); область центральной части резонатора (3); периферийная область резонатора (1) (рис.2.). Области, выделенные в резонаторе, имеют прямоугольное и Н-образное поперечные сечения, размеры которых меняются по длине. Каждой выделенной области ставится в соответствие регулярный волноведущий канал с простой конфигурацией границ, не совпадающей с границами ячейки. Ячейке аксиально-симметричной ЗС (рис.2) ставится в соответствие эквивалентная ЗС, составленная из отрезков прямоугольных и Ш-образного волноводов (рис.3), для которых известно решение внутренней задачи электродинамики.

Рис.3. Эквивалентная замедляющая система, составленная из отрезков прямоугольных волноводов.

Исключая из рассмотрения влияние изгибов, то есть, не учитывая высшие типы волн, получают линейную эквивалентную систему, представленную на рис.4.

Рис.4. Волноводно-резонаторная модель ячейки ЦСР.

Выделенные волноведущие каналы, в соответствии с методом эквивалентных систем, заменяются эквивалентными линиями передачи с для волны Н₁₀, распространяющейся в них. Каждый волноведущий канал описывается своей матрицей передачи , и линейная эквивалентная система представляется в виде каскадного соединения четырехполюсников - эта модель получила название волноводно-резонаторная модель (ВРМ). ВРМ ячейки ЗС типа ЦСР представлена на рис.4. Суммарная матрица передачи , связывающая эквивалентные токи и напряжения на входе и выходе ВРМ, определяется перемножением матриц передач отдельных участков

(6)

Через элементы этой матрицы передачи определяются дисперсия и сопротивление связи рассматриваемой замедляющей системы, и она является основой модели ячейки ЦСР, возбуждаемой током.

Дисперсия моделируемой ЗС типа ЦСР определяется по формуле

, (7)

в которой учитывается геометрический поворот вектора напряженности электрического поля от ячейки к ячейке добавлением ?. В выражении (7):

- набег фазы р-ой гармоники на период D реальной ЗС;

- набег фазы волны, распространяющейся по ячейке эквивалентной линейной ЗС с периодом ;

p=0,±1,±2....

Дисперсионное уравнение относительно имеет следующий вид

(8)

Для определения сопротивления связи рассматривается возбуждение ВРМ заданным током - , включенным на отрезке Н-образного волновода (рис.5).

Рис.5. Возбуждение ячейки ЦСР заданным током .

Выделение ячейки эквивалентной ЗС осуществляется так, чтобы возбуждающий источник тока оказался включенным на ее входе. и - входные импедансы отброшенных частей эквивалентной системы. Для бесконечной системы .

Входная проводимость в точке включения источника тока определяется соотношением:

(9)

где - характеристические входные сопротивления, пересчитанные слева и справа к точке возбуждения .

Величины определяются из уравнения

, (10)

где - элементы суммарной матрицы передачи для трех базовых элементов (рис.5), с "+" посчитанные справа к точке , с "-" слева к точке при нагрузках на концах, соответственно и .

Окончательно входная проводимость в точке определяется выражением

(11)

С учетом того, что напряжение на зазоре , а мощность волны, бегущей от точки возбуждения , сопротивление связи

; (12)

где - амплитуда поля в зазоре,

- коэффициент формы зазора.

В рассматриваемой модели наличие потерь может быть учтено введением постоянной затухания для каждого волноведущего канала составляющего ВРМ.

Как показали исследования, построенная таким образом модель ЗС типа ЦСР правильно отражает электродинамические процессы, происходящие в ней. Количественное соответствие достигается выбором размеров эквивалентной системы. При использовании приближенных соотношений, связывающих размеры реальной и эквивалентной замедляющих систем, соответствие достигается при изменении размеров в следующих пределах:

, , , ,

При использовании для настройки модели опорных точек область ее адекватности существенно расширяется

Максимальная относительная погрешность расчета коэффициента замедления составляет 1%, сопротивления связи - 5%. На рис.6 проведено сравнение рассчитанных и экспериментальных электродинамических характеристик.

Рис.6. Сравнение экспериментальных и рассчитанных электродинамических характеристик для ЗС типа ЦСР при настройке всех десяти (сплошная линия), или четырех (пунктир) параметров ВРМ по четырем опорным точкам.

Использование регрессионных зависимостей, связывающих размеры реальной и эквивалентной ЗС, позволяет с высокой точностью рассчитывать ее электродинамические характеристики при изменении размеров в области, для которой построены регрессионные зависимости. На рис.7 проведено сравнение рассчитанных и экспериментальных характеристик в этом случае.

Рис.7.Экспериментальные и рассчитанные по ВРМ, с привлечением регрессионной модели (сплошная линия), электродинамические характеристики ЗС типа ЦСР при изменении угла раскрыва щели связи. Дисперсионные характеристики, по которым строилась регрессионная модель, отмечены пунктиром.

Высокая точность восстановления дисперсионных характеристик обеспечивается точностью определения коэффициентов матрицы передачи, моделирующей ячейку замедляющей системы. Это в свою очередь обеспечивает адекватность модели дискретного взаимодействия.

С помощью метода эквивалентных систем могут быть построены модели разных резонаторных систем, в частности прямоугольной формы, которые используются в ЛБВ миллиметрового диапазона.

3. Моделирование оконечных устройств секций ЛБВ на основе резонаторных замедляющих систем