Использование некогерентного излучения для томографии сред с поглощением

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Использование некогерентного излучения для томографии сред с поглощением

В.П. Якубов, Д.В. Лосев

Томский государственный университет

Рассматривается задача о томографии пространственно распределенного некогерентного источника излучения. Задача решается на основе обращения интегрального уравнения, сформулированного для углового распределения интенсивности, измеряемого на поверхности определенного радиуса. Предлагаемое обратное интегральное преобразование обобщает известные решения и учитывает ослабление, как за счет сферической расходимости, так и за счет экспоненциального ослабления.

Введение

В настоящее время методы томографии признаются самыми перспективными для целей интроскопии неоднородных сред и диагностики биологических тканей [1]. Получаемая с их помощью информация отличается как объемом, так и точностью при сохранении наглядности представления. Область применения этих методов чрезвычайно широка: от медицины до геофизики и аэрономии. Постоянное расширение области применения томографических методов определяет непрерывное совершенствование как самих этих методов, так и способов зондирования сред. Для зондирования сред начинают использоваться более низкочастотные виды электромагнитных полей (радиотомография [2, 3], импедансная томография [4], магнитная томография [5]). Методы обработки волновых проекций становятся более тонкими, начинают учитываться эффекты, которыми ранее пренебрегалось (дифракция, рефракция, поглощение), а также их комбинации. Сдерживающим здесь является сложность рассматриваемых явлений и слабая разработанность математических методов. Что касается применения прямых численных решений, то их устойчивость и точность оставляет желать лучшего.

Базовым методом математического обеспечения современных томографов является метод обратных проекций и его модификации. Наиболее устойчивыми и точными являются методы, основанные на использовании различных интегральных преобразований. Например, для восстановления двумерных неоднородностей при круговой схеме обзора эффективным методом является разложение снятых теневых проекций по круговым гармоникам в сочетании с т.н. каузальным или некаузальным решениями [6]. Однако ядра этих преобразований обладают особенностями в окрестности начала координат, и это приводит к неустойчивости решения. Для томографии распределения некогерентных источников предложен метод сведения задачи к интегральному уравнению типа свертки и решения его с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье [7]. Во всех этих случаях поглощением излучения в среде приходится пренебрегать или считать его исчезающе малым, иначе задача просто не решается. Неучет этого влияния (особенно, при использовании слабого по интенсивности излучения или сильного поглощения в среде) может приводить к значительным погрешностям восстановления томограмм. Несмотря на актуальность этой задачи, как отмечается в обзоре [8], методов, учитывающих фоновое поглощение излучения в произвольной неоднородной среде, вплоть до последнего времени в мире не разработано. Исключение составляет малоинтересный случай осесимметричных сред. В настоящей работе предлагается математическое решение общей задачи.

Интегральное уравнение задачи

Рассмотрим задачу о пространственном распределении плотности интенсивности источника излучения в предположении его некогерентности и локализации внутри объема , ограниченного сферой радиуса (рис.1). На границе этой сферы наблюдаемая интегральная интенсивность некогерентного излучения описывается выражением [9]:

.(1)

Рис. 1. Геометрия задачи.

Здесь - коэффициент линейного поглощения по интенсивности для фоновой среды в которой распространяется поле излучения. Как видно из (1), при этом наряду с фоновым поглощением учитывается ослабление излучения за счет сферической расходимости.

Для простоты будем рассматривать случай - диаграммы направленности приемной антенны в двух плоскостях с ориентацией максимума по прямой с прицельным расстоянием . Обозначим через угловое положение точки приема в плоскости наблюдения, проходящей через центр сферы. При этом в системе координат, связанной с точкой приема, интегрирование по телесному углу снимается, и выделяемое излучение определяется как

,(2)

где интегрирование ведется вдоль прямой, проведенной из точки наблюдения в направлении с прицельным расстоянием (рис. 1). Полученное выражение напоминает собой как бы "взвешенные" теневые проекции, используемые в классической томографии. Весовой экспоненциальный множитель введен для учета фонового поглощения в среде распространения. Подчеркнем, что именно появление этого множителя не позволяет для обращения (2) воспользоваться известными томографическими решениями, что и отмечается в [8].

Заметим, что радиус вектор , соответствующий текущей точке на прямой интегрирования в выбранном сечении объема, определяется полярным углом и полярным радиусом , который связан с переменной интегрирования соотношением: . Верхний знак (-) берется, когда точка интегрирования лежит на прямой интегрирования ближе к точке наблюдения , чем прицельная точка . Нижний знак (+) берется, когда точка интегрирования лежит дальше. При этом соответственно полярный угол определяется как .

Для дальнейшего анализа удобно перейти в интеграле (2) к интегрированию по полярной переменной , предварительно представив распределение интенсивности источника излучения в виде ряда Фурье по круговым гармоникам:

.(3)

В результате интеграл (2) представляется в виде разложения:

,(4)

(5)

Соотношения (3) - (5) представляют собой решение прямой задачи многоракурсного сканирования распределенного источника излучения . Интегральное соотношение (5) является интегральным уравнением для решения обратной задачи - восстановления внутреннего распределения по измерениям интенсивности излучения на поверхности объема .

Решение задачи томографии в условиях поглощения

Уравнение (5) является уравнением, обобщающим два известных частных случая. Во-первых, это случай отсутствия фонового затухания в среде , но произвольного распределения . Для этого случая известны четыре решения: каузальное, некаузальное [6], с использованием обратного интегрального преобразования Меллина [1] и

с использованием преобразования к уравнению в свертках [7]. Укажем здесь лишь каузальное решение:

.(6)

Во-вторых, это случай осевой симметрии (), но при наличии затухания . Решение для этого случая предложено в [10]:

.(7)

Предлагаемое нами общее решение уравнения (5) имеет вид:

(8)

Очевидно, что выражение (8) содержит в себе как частные случаи и решение (6) при , и решение (7) при .

Для доказательства справедливости решения (8) подставим его в исходное уравнение (5), которое при этом должно превратиться в тождество. Меняя порядок интегрирования, получаем, что

,(9)

где для внутреннего интеграла введено обозначение:

(10)

В приложении будет показано, этот интеграл тождественно (при любых входящих в него параметрах!) равен . Но если , то соотношение (9) переходит в равенство:

томография пространственный некогерентный излучение

.

Это равенство становится тождеством, если выполняется условие , означающее условие отсутствия излучения из объема при визировании по касательной к нему. Последнее всегда выполняется, если все источники располагаются внутри сферы радиуса . Достаточно лишь сделать величину большой.

Восстановление томограммы по многоракусным измерениям интенсивности излучения сводится к нахождению коэффициентов разложения

и последовательному выполнению интегрального преобразования (8) и суммирования (3).

Заключение

Таким образом, было показано, что задача томографии может быть решена не только в классическом случае непоглощающей среды, чему соответствуют различные методы обращения преобразования Радона, но и в случае учета произвольного постоянного поглощения в среде. Это дает возможность повышения точности известных методов и расширения сферы применения томографических методов на новые области науки и техники.

Литература

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 160 с.

2. Куницын В.Е., Терещенко Е.Д. Томография ионосферы. - М.: Наука, 1991. - 176 с.

3. Якубов В.П., Машаруев М.Л., Славгородский С.А., Лосев Д.В., Шипилов С.Э. Микроволновая томография неоднородных сред // Оптика атмосферы и океана, 1997, Т.10, № 12, с. 1500-1507.

4. Корженевский А.В., Корниенко В.Н., Культиасов М.Ю., Культиасов Ю.С., Черепенин В.А. Электроимпедансный компьютерный томограф для медицинских приложений // ПТЭ, 1997, № 3, с. 133-140.

5. Корженевский А.В., Черепенин В.А. Магнитоиндукционная томография // Журнал Радиоэлектроники, 1998, № 1, http://jre.cplire.ru/win/dec98/1/text.html.

6. Hansen E.W. Theory of circular harmonic image reconstruction // J. Opt. Soc. Amer. 1981, V.71, № 3, p. 304-308.

7. Якубов В.П., Лосев Д.В. Пассивная томография двумерной структуры неоднородных сред // Оптика атмосферы и океана, 1997, Т.10, № 2, с. 177-183.

8. Cormack A.M. Some early radiotherapy optimization work // Int. J. of Imaging Systems and Technology, 1995, V. 6, № 1, p.2-5.

9. Федоров Г.А., Терещенко С.А. Вычислительная эмиссионная томография. - М.: Энергоатомиздат,1990. - 184 с.

10. Cormack A.M. Representation of function by its line integrals, with some radiological applications // J. Applied Physics. 1963, V. 34, № 9, p. 2722-2727.

11. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. - 304 с.

Приложение

Для доказательства тождества воспользуемся методом вычисления интегралов с помощью теории вычетов. Сначала, путем замены и введения обозначения , сведем интеграл (10) к виду

где: Интегралы такого типа вычисляются как вычет в бесконечно удаленной точке [11]:

, .

Интеграл для мнимой части элементарно вычисляется, если переписать как

Очевидно, что при имеем , и . Таким образом, искомый интеграл представляет собой чисто вещественную величину.

Для нахождения значения оставшегося интеграла с помощью простых тригонометрических преобразований перепишем функцию в виде

и найдем ее производную по переменной :

С учетом этого очевидно, что

Отсюда можно записать, что

,

но при доказываемое тождество прямо вытекает из каузального решения. Таким образом тождество доказано в случае наличия поглощения.

Размещено на Allbest.ru