Восстановление коэффициента преломления неоднородной среды с осевой симметрией по фазовой характеристике прошедшего поля

Размещено на http://www.allbest.ru/

Институт радиотехники и электроники РАН

ВОССТАНОВЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРЕЛОМЛЕНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ С ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ ПО ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ПРОШЕДШЕГО ПОЛЯ

А.С. Венецкий

В.А. Калошин



В статье рассмотрена задача нахождения коэффициента преломления ограниченной неоднородной среды с осевой симметрией по заданной фазовой характеристике прошедшего через нее поля. Предложены и исследованы две аналитические методики получения решения в приближении геометрической оптики. Первая из них, основана на использовании разложения всех параметров задачи по степеням отношения расстояния от оси системы к толщине среды на оси. Вторая - на использовании слоистой модели неоднородной среды, причем внутри каждого слоя коэффициент преломления полагается постоянным. Первая методика может применяться для градиентных сред, а вторая как для слоистых, так и градиентных сред (при использовании достаточно большого количества слоев).

В задачах диагностики неоднородных сред, при синтезе градиентных или слоистых линзовых антенн [1,2] необходимо найти профиль коэффициента преломления. В данной работе рассматриваются задача определения профиля коэффициента преломления осесимметричной ограниченной неоднородной среды по фазовой характеристике выходного фронта. Падающий лучевой фронт здесь и далее предполагается сферическим с источником на оси симметрии среды.

В цилиндрической системе координат, связанной с осью симметрии среды z , среда характеризуется тремя функциональными зависимостями: функция z=f(r) , описывающая первую границу среды (на которую падает сферический фронт), z=?(r) - функция, описывающая вторую границу среды, и n(r) -коэффициент преломления среды.

В силу осевой симметрии задачи здесь и далее достаточно рассмотреть ход лучей в одной из плоскостей, проходящих через ось симметрии среды (рис.1). Уравнение семейства лучей в этой плоскости имеет вид [1]

где а - лучевой параметр, n(y) - коэффициент преломления, f(y)и ?(у) - формы сечения поверхностей среды. Здесь и далее осевая толщина среды принята за 1.

Рис. 1

Из уравнения лучей (1) получаем соотношение

в случае, когда траектория луча монотонна и

в случае, когда траектория луча немонотонна. Верхний предел р в последних двух интегралах есть точка максимума луча. При у=р знаменатель в подынтегральных функциях обращается в 0.

Закон преломления на левой границе связывает углы падения и преломления:



где ?1=arctg(1/f?(y1) - угол наклона касательной к поверхности в точке у1 к оси Ох, - угол наклона касательной к преломленному лучу в точке у1, ?1- угол, образуемый лучом, выходящем из источника с осью Ох (рис.1) С помощью алгебраических преобразований соотношение (3) можно привести к виду

Аналогично из закона преломления на правой границе можно получить соотношение

Предполагается, что выходящий лучевой фронт удовлетворяет закону:

где ?2 - угол наклона выходящего луча, ?2 >0 когда выходящий луч пересекает ось Ох справа от границы среды, ?(у) - некоторая заданная гладкая функция, удовлетворяющая условию ?(0)=0.

Постановка задачи состоит в нахождении n(y), удовлетворяющего интегральному уравнению (2) (или 2а) и условиям (4), (5), (6) для всех лучей, прошедших через среду, причем f(y) и ?(у)предполагаются заданными. Будем также предполагать, что выходящий лучевой фронт является регулярным (не образует каустик) и функция у(х), описывающая уравнение любого луча внутри линзы имеет не более одного максимума.

Будем использовать две методики решения задачи. В первой методике как и работе [2] решение ищется в виде разложения в ряд по четным степеням у. Вторая методика использует слоистую модель непрерывной среды, причем внутри каждого слоя коэффициент преломления предполагается постоянным. Сначала будем искать решение, используя первую методику. Для этого представим

, ,

где no2=n2(0) - задано, коэффициенты f2k, ?2k - заданы, с2k (k=1,2,3,…) - неизвестные коэффициенты, подлежащие определению. В данной работе мы ограничимся случаем среды с с2>0 (n(y) в центре образует локальный максимум).

Соотношение (6), описывающее выходящий лучевой фронт, представим в виде:

где ?2к-1 (к=1,2,3,…) заданы.

Преобразуем левую часть соотношения (4). Для этого представим sin?1, cos?1, f?(y1) в виде разложений по степеням у1:

,



где

,

,

, .

Тогда

,

где

g1(a)=2f2(a-1)-?1, g3(a)=4f4(a-1)+2f2?2+?3, g5(a)=6f6(a-1)+4f4?2-2f2?4-?5,

g2=g12, g4=2g1g3 , g6=2g1g5+g32.

Согласно разложениям (7), соотношение (4) можно записать в виде

где ?2=no2-a2.

Из (9) следует, что для центрального луча (у1=0) a=no и ?=0.

Так как g2+c2>0 при всех значениях а, то можно обратить (9) относительно у1, т.е. представить у12 в виде ряда по степеням ?2:



Где

, ,

Теперь аналогичным образом преобразуем условие на правой границе (5):

где h2=h12, h4=2h1 h3 , h6=2h1 h5+h32 ,

, ,

,

, , ,

, .

Обратим ряд (11) относительно у22:

где

, ,

Из (10) и (12) следует

, i=1,2

Преобразуем уравнение (2). Используя разложение (7), подынтегральное выражение в (2) представим в следующем виде:

,

где р - корень уравнения n2(p)-a2=0 . Из представления (7) следует, что

.

Тогда имеет место разложение:

и, следовательно,

.



Коэффициенты R2k, Q2k (k=0,1,2,…) выражаются через коэффициенты рядов (7) и (16). Так, первые три имеют вид

Ro=?2 /p2, R2=c4+p2c6 , R4=c6 ,

Qo=p/? , Q2= -1/2p3/?3(c4+p2c6) , Q4=3/8p5/?5(c4+p2c6)2-1/2p3/?3c6

Используя разложение (14), интеграл в (2) можно представить в виде суммы интегралов:

а интеграл в (2а)

Где

Все интегралы I2k выражаются явно:

, ,

,

Подставляя вместо у1, у2, р в последних формулах выражения (13), (15) и (16), заменяя arcsin(y/p) и (p2-y2)1/2 в них формулами Тейлора с нужным числом степеней ? и приводя в (18) и (18а) члены с одинаковыми степенями ?, получаем : ось слоистый градиентный

?2=no2-

Где, для монотонных лучей

,

,

, ( i=1,2),

.

И для немонотонных лучей:



Преобразуем теперь правую часть уравнения (2). Пусть ?(a)=?(y2)-f(y1). Используя разложения (7), (10) и (12) и приводя подобные члены, можно записать

Где

, ,

.

Интегральное уравнение (2) можно записать теперь в виде

I(a) = ?(a),

где I(a) задается рядом (19), а ?(а) - рядом (20).

Тождество (21) выполняется при всех значениях параметра а , в том числе и при а=no, соответствующему центральному лучу. Приравнивая левую и правую части тождества (21), а также их производные при а=no получаем систему уравнений для определения c2k:

,

,

В приведенной системе первое уравнение содержит с2, второе уравнение содержит с2, с4, третье - с2,с4,с6 и т.д., что определяет метод решения - сверху вниз.

Первое уравнение системы (22) в случае монотонных лучей имеет вид:

а в случае немонотонных:

Уравнения являются трансцендентными относительно с2 и могут быть решены только численным методом. С помощью тригонометрического преобразования (23) может быть приведено к виду

а уравнение (23а) к виду

где А1 и А2 определяются соотношениями (10) и (12).

Второе уравнение системы (22) является линейным относительно с4. Приведем его решение для случая монотонных лучей:



где

, ,

И для случая немонотонных лучей

Где

Решая третье уравнение системы (22) (линейное относительно с6 ), можно определить с6 и т.д.

Приведем пример, иллюстрирующий существование двух решений поставленной задачи в классе монотонных и немонотонных лучей. Рассмотрим среду, ограниченную двумя квадратичными поверхностями f(y)=f0 + f2y2 и ?(y)=f0+1+ ?2y2, при f2=?2=0.1, которая преобразует сферический фронт с радиусом 1 в сферический фронт радиусом 10. По приведенным формулам было найдено 2 закона изменения n(y) - один для монотонного, а другой - для немонотонного класса лучей до четвертого члена разложения. На рисунке 2 приведены графики зависимостей n(y), кривая с цифрой 1 для монотонного класса лучей, кривая 2 - для немонотонного класса.

Рис.2

Перейдем к рассмотрению другой методики. Будем искать решение n(y) в классе кусочно-постоянных функций. Сечение среды в этом случае будет представлять собой набор дискретных слоев (рис. 3) с постоянным значением n(y) внутри каждого слоя. При рассмотрении данной методики будем предполагать, что лучи - монотонные кривые.

Рис.3

Зададим h1 - толщину первого слоя и выберем ?о так, что луч выйдет из среды в точке у2=h1 . Выбором h1 всегда можно добиться, чтобы разность фазы этого луча и идеальной фазы была меньше заданной ошибки. Слой с параметрами h1 и n1=no будет первым слоем синтезированной среды.

Предположим, следуя методу математической индукции, что мы уже определили i?1 слоев, т.е. знаем nj, hj , j=1,…, i?1. Опишем процедуру нахождения i?го слоя, т.е. ni, hi.

Рассмотрим луч, выходящий из источника под углом ?1=i?o . Пусть слой, в который попадет этот луч имеет номер k. Будем считать, что k < i, в противном случае будем уменьшать ?1 до тех пор, пока не станет k < i. Точку выхода луча из среды будем считать второй границей искомого i-го слоя yi+1. Рассчитаем оптический путь луча до выхода из среды

где уо-точка входа луча в среду, а ?k определяется из закона преломления на левой границе

,

где ?=arctg(1/f?(yо) - угол наклона касательной к поверхности в точке пересечения луча со средой к оси Ох. Si - отрезок луча в определяемом i - м слое - можно найти из теоремы синусов:

?i= ?(yi) , ,

.

Li - абсцисса точки пересечения луча с границей i-го слоя.

Толщины слоев предполагаются достаточно малыми, что позволяет заменить функцию ?(у), описывающую правую поверхность, на кусочно-линейную

при yi? y?yi+1.

Также с помощью линейной интерполяции выразим фазу в точке уi+1

Приравнивая правые части соотношений (26) и (28) и используя равенство (27), получаем уравнение для определения ?i

где ,

F - принятая погрешность фазы.

Исключением из последнего уравнения неизвестного коэффициента ni с помощью равенства

, где q=nkcos?k =nk+1cos?k+1=…

уравнение приводится к виду



,

где , .

Решение последнего уравнения

,

где ? определяется равенствами

,

P=Wsin?i , R=Wcos?i+V , U=2-Wsin?i.

После находим ni в искомом слое

и высоту i-го слоя

.

Далее переходим к определению по приведенной схеме i+1 слоя и т.д.

В качестве примера для проверки точности обеих методик использовалась градиентная среда с законом изменения коэффициента преломления как в линзе Микаэляна [1]. Первая поверхность среды предполагалась плоской, вторая поверхность задавалась квадратичной функцией

Рис.4

На рисунке 4 приведены кривые разности рассчитанного коэффициента преломления n(y) и заданного для среды с 500 слоями (пунктиром) и для среды с 1000 слоев - сплошной линией.

Штрих-пунктирной линией показана соответствующая разность, полученная с использованием формул (24)-(25). Видно, что точность восстановления коэффициента преломления с использованием степенного разложения, как и следовало ожидать, быстро падает с увеличением y. Падение точности при использовании модели слоистой среды более медленное и имеет колебательный характер.



Литература

1. Зелкин Е.Г., Петрова Р.Н., Линзовые антенны, М., Сов.Радио, 1974 г.

2. Венецкий А.С., Калошин В.А., Синтез градиентной линзовой антенны с осевой симметрией и криволинейной формой преломляющих поверхностей, Радиотехника и электроника, 1997, том 42, №12, с.1452-1458.

Размещено на Allbest.ru

...