Представление случайных процессов векторной рекуррентной циркулянтной моделью второго порядка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ)

Представление случайных процессов векторной рекуррентной циркулянтной моделью второго порядка

В.П. Волчков

Н.Е. Поборчая

А.М. Шлома



При цифровой обработке сигналов и изображений в радиолокации и связи часто возникает необходимость в наилучшей аппроксимации наблюдаемого случайного процесса дискретной динамической моделью определенного порядка. Причем модель должна быть такой, чтобы в дальнейшем ее можно было использовать для эффективного решения задач сглаживания, параметрического спектрального анализа, обнаружения, распознавания и др. Под эффективностью мы здесь понимаем не только простую структуру получаемых оптимальных алгоритмов обработки, но и одновременно возможность их быстрой вычислительной реализации. Для многих известных динамических моделей, например, авторегрессии или авторегрессии-скользящего среднего [1], последнее может служить ограничительным фактором их применения, если динамический порядок модели велик. В результате разработчикам часто приходится «деформировать» полученный оптимальный алгоритм с целью его упрощения, но при этом, естественно, теряются и его оптимальные свойства. В данной работе указанное противоречие предлагается разрешить, строя оптимальный синтез алгоритмов на заранее подходящем классе моделей сигналов, который, с одной стороны, достаточно широк, чтобы обеспечить хорошую аппроксимацию реальных сигналов, а, с другой стороны, позволяет получить эффективную реализацию полученных алгоритмов. Для этой цели используется подход [2], при котором для синтеза выбирается класс аппроксимирующих динамических моделей сигналов, обладающих свойством симметрии (инвариантности) по отношению к конечной группе циркулянтных преобразований. Эта группа действует на вектор состояния динамической модели в некотором скользящем временном окне размера и обеспечивает в этом окне наилучшую аппроксимацию исходного случайного процесса. Аппроксимирующие свойства вне данного окна будут зависеть от параметра зацепления соседних скользящих окон и динамического порядка модели. В данной работе порядок динамической аппроксимации увеличен до двух, что позволило улучшить ее аппроксимирующие свойства, по сравнению с аналогичной моделью, описанной в [2]. Кроме того, показано, что при одном и том же динамическом порядке , применение рекуррентных моделей скользящего окна вместо известных авторегрессионных моделей обеспечивает лучшую аппроксимацию случайного процесса и более адекватные спектральные оценки. В то же время установлено, что циркулянтная симметрия векторной рекуррентной модели позволяет диагонализировать структуру матриц, входящих в соответствующий оптимальный алгоритм сглаживания и упростить его вычислительную реализацию. Для этого достаточно применить к этой модели -точечное дискретное преобразование Фурье (ДПФ), т.е. перейти к базису ее собственных функций. Для предложенной векторной рекуррентной модели второго порядка получены алгоритм вычисления ее оптимальных параметров по заданной корреляционной функции сигнала и выражения для корреляционной функции аппроксимирующего процесса. Определены критерии качества аппроксимации и по ним проведен сравнительный анализ с другими известными моделями. На основе предложенной модели построены оптимальные рекуррентные алгоритмы фильтрации и сглаживания во временной и спектральной областях. Экспериментально исследованы точностные характеристики этих алгоритмов, подтверждающие их высокую эффективность.

Рекуррентная циркулянтная аппроксимация 2-го порядка случайного процесса с известной корреляционной функцией

Пусть случайный сигнал представляет вещественную последовательность

, (1)

полученную в результате дискретизации по времени непрерывного стационарного (в широком смысле) случайного процесса на конечном интервале . При этом сигнал (1) имеет нулевое математическое ожидание и известную корреляционную функцию

, , (2)

где , - оператор математического ожидания. Аппроксимируем последовательность другим вещественным стационарным случайным сигналом , который описывается векторным стохастическим разностным уравнением [3]:

(3)

Здесь - n-мерный вектор, заданный в скользящем временном окне, , , ; , , , - натуральные числа; - показывает, сколько общих элементов у соседних векторов (параметр зацепления); ; - оператор взятия целой части числа; - округление до ближайшего целого ; - символ Кронекера; - n-мерный вектор формирующего шума. Параметры модели , - вещественные циркулянтные матрицы размерности , причем - невырожденная. Запись , в (3a) означает, что -ое значение аппроксимирующего процесса является -ой компонентой вектора , т.е. процедура распаковки векторного процесса (3) сводится к последовательному выстраиванию векторов в один столбец: . Модель (3) будем называть рекуррентной циркулянтной n-моделью 2-го порядка. Фактически, она является дальнейшим развитием аналогичной модели 1-го порядка, приведенной в [2].

Напомним [4], что элементы любой циркулянтной - матрицы , удовлетворяют условию , (где «» - вычитание по модулю ). Семейство всех таких матриц образует линейное коммутативное подпространство евклидового пространства квадратных -матриц со скалярным произведением и нормой

, , .

Обозначим , тогда задача наилучшей аппроксимации сводится к нахождению оптимальных параметров модели (3) по критерию минимума среднего квадрата ошибки (СКО)

, (4)

Определим корреляционные матрицы векторных стационарных случайных процессов и :

(5)



Нетрудно убедиться, что , . Если взять ковариации , от обеих частей равенства (e33) и учесть и (5), то получим

(6)

, (7)

. (8)

Уравнения (6)-(8) можно записать в следующем виде

, ,

тогда

, (9)

. (10)

Определим симметрические квадратные корни корреляционных матриц

,. (11)

Тогда справедливы представления , , где - случайный вектор, , а выражение для ошибки аппроксимации в скользящем временном окне и критерий (4) преобразуются к виду

,

,

где запись в неявном виде указывает на зависимость от матричных параметров модели (3). Следовательно, оптимальное решение данной экстремальной задачи является проекцией матрицы на евклидовое подпространство циркулянтных матриц . Это решение единственное и определяется выражением [5]:

, (12)

где - оператор ортогонального проектирования на подпространство ; - циркулянтная матрица перестановок размерности , множество степеней которых образует ортогональный базис в .

Пусть - корреляционные матрицы векторного процесса (3), удовлетворяющего критерию (4), и покажем, что все они могут быть вычислены из исходных корреляционных матриц с помощью преобразования (12). Используя представление , имеем . Отсюда при с учетом (11),(12)



. (13)

Если , воспользуемся известными [5] свойствами оператора :

, , ,

и выполним тождественные преобразования

, т.е.

. (14)

Таким образом, алгоритм наилучшей, по критерию (4), аппроксимации стационарного случайного процесса (1) рекуррентной циркулянтной моделью 2-го порядка (3) состоит в следующем. Сначала по заданной корреляционной функции (2) строятся корреляционные матрицы , затем по формулам (13), (14) вычисляются , с помощью которых по (9) и (10) определяются матричные параметры модели (3).

Заметим, что описанные в [2] рекуррентная циркулянтная модель 1-го порядка и ее алгоритм идентификации могут быть получены из формул (6)-(8), (13),(14), если в них положить . Соответствующие выражения имеют вид

(15)



Наконец, нерекуррентная циркулянтная модель [5], описывающая N-стационарный случайный процесс, может рассматриваться как рекуррентная модель 0-го порядка, получаемая из (3), если в ней положить

, , ,

при этом

, (16)

где - корреляционная функция (2) исходного процесса. Отметим, что процедуры оценивания параметров рекуррентных моделей (9)-(10), (15) не зависят от . Поэтому они будут справедливы и на бесконечном интервале представления сигнала.

Корреляционная функция аппроксимирующего процесса и ее особенности

Пусть аппроксимирующий процесс описывается рекуррентной моделью (3), а его параметры выбраны по описанному выше алгоритму идентификации. Тогда его корреляционную функцию на интервале можно представить в виде

(17)

где определяется (3а); , - корреляционная матрица векторного процесса (3b), отвечающая временному сдвигу . Если обе части уравнения (3b) умножить справа на и определить математическое ожидание, получим

,

Отсюда, с учетом (3c), (5) и свойства стационарности приходим к рекуррентному уравнению

(18)

где начальные условия определяются формулами (13), (14), (9). Как частный случай, при получаем аналогичные выражения для рекуррентной циркулянтной модели 1-го порядка

(19)

Для нерекуррентной циркулянтной модели и с учетом (16), (17)

, (20)

Формулы (16)-(20) полностью определяют алгоритм вычисления корреляционной функции аппроксимирующего процесса для любой указанных циркулянтных моделей. Как следует из (17) , структура корреляционной функции сильно зависит от величины параметра зацепления . Если , имеем



, (21)

т.е. корреляционная функция (21) имеет n-периодическую структуру, а соответствующая корреляционная матрица

. (22)

является эрмитовой блочно-теплицевой с циркулянтными блоками , , количество которых равно . Однако, при циркулянтная структура блоков нарушается.

Все сказанное справедливо для рекуррентных циркулянтных моделей 1-го и 2-го порядка. В случае нерекуррентной модели (16) корреляционная функция (20) и соответствующая корреляционная матрица

(23)

становятся циркулянтными.

Отметим, что специальная структура матриц (22), (23) позволяет значительно упростить вычислительные алгоритмы оптимальной обработки аппроксимирующих процессов . Для этого достаточно применить к ковариационным матрицам унитарное блочно-диагональное преобразование подобия вида

(24)

приводящее к блочно-теплицевой матрице с диагональными блоками . (Здесь - унитарная матрица Фурье, «» - символ эрмитового сопряжения). Mатрица имеет разреженную структуру с большим числом нулей. Кроме того, она имеет простой и эффективный алгоритм обращения [6], причем обратная матрица также является разреженной. В частном случае (23), преобразование (24) приводит к диагональной матрице .

Анализ аппроксимирующих свойств циркулянтных n-моделей

В разделе 1 мы фактически показали, что для стационарного случайного процесса (1) с заданной корреляционной функцией (2) наилучшим рекуррентным циркулянтным приближением 2-го порядка является процесс, описываемый стохастическим уравнением (3) с параметрами . При этом, варьируя параметром зацепления и размером скользящего окна можно изменять структуру циркулянтной модели (3) и ее аппроксимирующие свойства. Процедуру выбора адекватной структуры будем называть - идентификацией модели. В нашем случае она сводится к выбору таких значений и , при которых удовлетворяется выбранный критерий качества аппроксимации (см. ниже).

Для упрощения дальнейшего изложения обозначим модель (3) с оптимально выбранными параметрами через , аналогичную рекуррентную циркулянтную модель 1-го порядка [2] - через , нерекуррентную циркулянтную модель [5] (нулевого динамического порядка) - через . Наконец, общую модель случайного процесса (1) с произвольной корреляционной функцией (2) обозначим через . Заметим, что в частном случае модели , описывают известные процессы авторегрессии 1-го и 2-го порядков, у которых параметры совпадают с решением уравнений Юла-Уолкера [1].

Для сравнительного анализа аппроксимирующих свойств указанных моделей поступим следующим образом. Выберем непрерывный случайный сигнал с известной корреляционной функцией , дискретизируем его по времени с шагом и запишем дискретную корреляционную функцию , на конечном интервале . Затем, следуя описанным в разделе 1 процедурам, аппроксимируем полученный дискретный случайный сигнал , циркулянтными моделями , , и вычислим по формулам (17)-(20) их корреляционные функции , которые обозначим , , , соответственно. Тогда для сигнала и всех указанных его моделей можно определить соответствующие корреляционные матрицы , , , и среднеквадратически-эквивалентные случайные процессы , , , где , симметрический квадратный корень из матрицы, - случайный N-вектор, с параметрами . Для оценки качества аппроксимации сигнала , циркулянтными моделями будем использовать следующие характеристики и критерии.

К1. Текущие среднеквадратические ошибки (СКО) аппроксимации на отрезке и усредненные по времени относительные СКО :

, , (25)

,

где индекс соответствует порядку аппроксимирующей циркулянтной модели, - дисперсия значений случайного сигнала ..

К2. Спектральные плотности мощности (СПМ), которые рассчитываются по соответствующим циклическим корреляционным функциям [6, c.426]:

, (26)

, (27)

где частотный индекс; - спектральная плотность сигнала .

Ниже для проведения эксперимента выбран дискретный случайный сигнал с корреляционной функцией

, (28)

, , , , ,

Алгоритм идентификации рекуррентных моделей , состоял в следующем. Среди возможных значений параметров , методом перебора выбирались те, при которых текущие ошибки аппроксимации (25) оказывались минимальными, а в их поведении отсутствовала периодичность (последнее гарантирует устойчивость аппроксимирующих характеристик модели). Эксперимент показал, что для наилучшая аппроксимация случайного сигнала с корреляционной функцией (28) у модели достигается при , , а у модели - при , .

Если же , т. е. когда аппроксимация сигнала осуществляется в пределах размеров скользящего окна рекуррентной модели, то минимум ошибки (25) в обоих случаях достигается при , а величина этой ошибки практически одинакова.

Рис. 1. Текущие ошибки аппроксимации,

Рис. 2. Спектр плотности мощности (PSD),

На рис. 1 и рис. 3 представлены графики текущих ошибок (25) для всех указанных значений параметров и , а на рис. 2, рис. 4 - спектральные плотности мощности (26) соответствующих аппроксимирующих процессов. Кроме того, для сравнения на этих же рисунках приведены аналогичные графики, отвечающие известным [1] авторегрессионным моделям 1-го и 2-го порядков , . Анализ этих кривых на рис. 1 и рис. 2 показывает, что при применение рекуррентных циркулянтных моделей 2-го порядка, вместо моделей 1-го порядка, позволяет улучшить аппроксимацию как во временной, так и в частотной областях. При этом средние относительные ошибки для моделей , , соответственно, равны , , а выигрыш по точности составляет . В то же время, эти модели проигрывают нерекуррентной модели , что объясняется гораздо большим числом параметров, участвующих в описании этой модели. Кривые на этих же рисунках показывают, что модели , по сравнению с авторегрессионными моделями , того же динамического порядка обладают более хорошими аппроксимирующими свойствами. При этом для моделей , , средние относительные ошибки (25) равны , , а соответствующие проигрыши по точности составляют , (здесь в нижнем индексе указывает на авторегрессионную модель). Интересно также отметить, что двухмодальность спектра исходного сигнала (кривая PSD(k) на рис.2) воспроизводится только моделью . Чтобы выявить этот факт с помощью модели авторегрессии, пришлось бы использовать модель с динамическим порядком 4.



Рис. 3. Текущие ошибки аппроксимации,

Рис. 4. Спектр плотности мощности (PSD),

Кривые на рис. 3 показывают, что при , (т.е. когда интервал аппроксимации сигнала совпадает с размером скользящего окна) текущие и средние ошибки (25) для моделей , становятся очень маленькими: . Это почти в три раза меньше , чем у нерекуррентной модели . В результате спектры PSD(26) для этих моделей на рис. 4 практически совпадают со спектром (27) исходного сигнала. Последнее имеет важное практическое значение, так как в отличие от , рекуррентные модели скользящего окна , являются параметрическими. Это позволяет строить на их основе эффективные алгоритмы параметрического спектрального оценивания сигналов [7], [8]. Причем, равенство ошибок означает, что для стационарных сигналов (1) выигрыш от увеличения динамического порядка модели скользящего окна отсутствует.

Можно показать, что ситуация меняется, если анализируемый скалярный сигнал и его дискретная аппроксимация (3a) являются нестационарными, например, - узкополосный сигнал, у которого центральная частота изменяется во времени. Если при этом векторный аппроксимирующий процесс (3b) стационарен (в широком смысле), то все изложенное в разделе 2, касающееся нахождения оптимальных параметров модели, оказывается справедливым. Второй порядок у модели в данном случае позволяет более адекватно описывать сигнал и синтезировать алгоритмы многоканальной частотной автоподстройки.

Применение рекуррентных циркулянтных моделей для субоптимальной фильтрации

В данном разделе будет показано, что циркулянтность и хорошие аппроксимирующие свойства модели позволяют синтезировать эффективные вычислительные алгоритмы фильтрации и сглаживания (далее эти понятия уточняются) случайных сигналов на конечном интервале. Рассмотрим сначала применение для субоптимальной фильтрации сигнала (1). Пусть дискретный стационарный случайный процесс с заданной корреляционной функцией (2) наблюдается на фоне белого гауссовского шума



, (29)

с параметрами , ( - символ Кронекера). Требуется, используя аппроксимацию сигнала , на основании текущей выборки построить субоптимальную фильтрационную оценку сигнала по критерию минимума среднего квадрата ошибки (СКО):

(30)

Применяя методику, описанную выше в разделе 1, аппроксимируем случайный сигнал , рекуррентной n-моделью (3). Тогда соответствующее векторное уравнение наблюдений принимает вид

(31)

где в число наблюдаемых координат включены только те, которые по формуле (3a) непосредственно участвуют в формировании скалярного случайного сигнала . В результате субоптимальная фильтрация (30) сводится к фильтрации векторного сигнала по критерию

(32)

с последующей распаковкой его оценок в скалярный вариант по формуле



(33)

Отметим, что минимум в (30) и (32) берется по всем линейным оценкам, зависящим от текущей выборки и допускающим рекуррентную структуру .

Для уменьшения количества вычислительных операций перейдем в спектральную область, осуществив дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

, ,

где - унитарная матрица Фурье; наличие звездочки «*» в нижнем индексе далее означает, что соответствующий вектор или матрица относятся к спектральной области ДПФ. Тогда (3b) и (31) преобразуются к виду:

, (34)

,

где согласно известному свойству циркулянтных матриц [6] , , - являются диагональными. Расширяя вектор состояния, запишем (34) в следующей форме:

(35)

,

В результате экстремальная задача (32) преобразуется к виду



и решается с помощью многомерной линейной фильтрации Калмана. Алгоритм вычисления оценок расширенного процесса имеет вид:

,

, (36)

Далее, используя обратное ДПФ, возвращаемся во временную область и осуществляем распаковку скалярных значений оценок , с учетом их временной расстановки внутри соответствующих векторов модели (3): , , .

Напомним, что в формулах (34)-(36) параметры рекуррентной n-модели , выбираются из условия наилучшей аппроксимации в соответствии с методикой, описанной выше в разделе 2, т.е. на основе известной корреляционной функции (2). Кроме того, все блочные матрицы, входящие в алгоритм (36), состоят из диагональных подматриц, что обеспечивает его вычислительную эффективность. Результаты статистического моделирования алгоритма (36) для разных аппроксимирующих моделей приводятся ниже в разделе 8.

Применение рекуррентных циркулянтных моделей для субоптимального сглаживания на закрепленном интервале

Рассмотрим теперь задачу оптимального рекуррентного сглаживания на интервале . В этом случае требуется на основании всей выборки построить субоптимальную рекуррентную оценку n-сглаживания сигнала по следующему критерию минимума СКО:

: , (37)

что с учетом модели (3) эквивалентно

: (38)

Отметим, что минимум в (37) и (38) берется по всем линейным оценкам , , зависящим от выборки и допускающим рекуррентную структуру . Таким образом, оптимальные оценки n-сглаживания в каждый момент времени учитывают гораздо больший объем информации, чем при n-фильтрации по критерию (30). Известно [9], что алгоритм оптимального сглаживания (на закрепленном интервале ) для рекуррентных марковских моделей вида (35) включает в себя фильтрацию в прямом времени, а затем дополнительное сглаживание фильтрованных оценок в обратном времени. Поэтому с учетом полученного ранее алгоритма n-фильтрации (36), алгоритм n-сглаживания в спектральной области принимает вид

(39)

,



Нач. усл.:

Здесь - оценки фильтрации и сглаживания расширенного вектора n-модели (35), соответственно; , ковариационные матрицы ошибок фильтрации и экстраполяции из алгоритма (36); - матрицы ошибок сглаживания.

Далее, используя обратное ДПФ, возвращаемся во временную область , выделяем в полученном векторе первую компоненту и осуществляем распаковку скалярных сглаженных оценок , с учетом их временной расстановки внутри векторов , , .

Отметим, что для любой из перечисленных выше аппроксимирующих моделей , , сглаживание по критерию (38) может быть выполнено с помощью нерекуррентного фильтра Винера [10]:

, , (40)

где - вектор аппроксимирующего процесса , отвечающий рекуррентной модели m-го порядка; - его корреляционная матрица (22) или (23); - соответствующий вектор оценок сглаживания, - вектор наблюдаемого процесса (29). В частности, при алгоритм (40) соответствует аппроксимирующей модели и эквивалентен рекуррентному алгоритму (39). Для исходного процесса (1) в виде вектора с корреляционной матрицей , алгоритм оптимального сглаживания Винера имеет аналогичный вид

, , (41)

где - вектор сглаженных оценок, - ковариационная матрица апостериорных ошибок сглаживания.

При больших cпециальная блочная структура корреляционной матрицы (особенно в случае нулевого параметра зацепления ) позволяет значительно упростить вычислительную реализацию алгоритма сглаживания (41), если применить к нему унитарное спектральное преобразование из формулы (24):

, (42)

Как уже отмечалось в разделе 2, матрицы , сильно разреженные, причем процедура матричного обращения допускает эффективную вычислительную реализацию. В частном случае, для циркулянтной модели (при ) все матрицы в алгоритме (42) будут диагональными. Для возвращения во временную область и получения сглаженных оценок , достаточно применить к спектральным оценкам (42) обратное преобразование .

Таким образом, в спектральной области нерекуррентный алгоритм сглаживания Винера для аппроксимирующих процессов , может оказаться более предпочтительным, чем рекуррентный . На практике, фильтр Винера (42) целесообразно применять, если , а . Для больших значений , которые, например, характерны для задач обработки изображений, рекуррентный алгоритм сглаживания (39) более целесообразен, поскольку его реализация требует меньшего объема оперативной памяти и позволяет рекуррентно следить за качеством получаемых оценок.

Экспериментальное исследование полученных алгоритмов фильтрации и сглаживания

Статистическое моделирование алгоритмов фильтрации и сглаживания выполнялось с использованием пакета прикладных программ MATLAB. Для имитации входного сигнала в эксперименте выбран дискретный случайный сигнал с корреляционной функцией (28). Выше было показано, что рекуррентные модели со структурой , обеспечивают его наилучшую аппроксимацию. Поэтому для анализа эффективности алгоритмов фильтрации и сглаживания в дальнейшем будут использоваться именно указанные модели. Наблюдаемый зашумленный сигнал формировался в соответствии с выражением (29) при отношении сигнал/шум дБ (, ).

Для исследования алгоритмов фильтрации (36), синтезированных по моделям , , рассчитывались текущие и усредненные по времени среднеквадратические ошибки (СКО) фильтрации , по формулам:

, (43)

,



Здесь - количество реализаций, участвующих в эксперименте, , - i-ые отсчеты j-ой реализации сигнала и его фильтрационной оценки, соответственно; - порядок исследуемой модели, . Относительные ошибки строились путем нормирования усредненных абсолютных ошибок к аналогичным ошибкам (нижней апостериорной границе ошибок), которые соответствуют оптимальным оценкам фильтра Винера (41) и рассчитывались одновременно с оценками фильтрации. Такая нормировка позволяет оценить потенциальные возможности улучшения качества .

Графики текущих СКО представлены на рис.5, значения относительных ошибок фильтрации для моделей , , соответственно, равны , , а выигрыш по точности для составляет .

Рис. 5. Ошибки фильтрации для рекуррентных моделей ,



Анализ кривых рис. 5 показывает, что применение модели позволяет уменьшить не только средний уровень апостериорных ошибок фильтрации, но и их дисперсию (разброс относительно среднего уровня кривой). При этом потенциально обе оценки могут быть улучшены примерно на , если перейти от фильтрации (36) к сглаживанию (41).

Для сравнительного анализа качества оценок сглаживания, получаемых при применении различных аппроксимирующих моделей , , воспользуемся алгоритмом (40), полагая, соответственно, Значения и в рекуррентных моделях - те же, что и в задаче фильтрации; корреляционные матрицы рассчитывались по формулам (22), (23) с использованием соответствующих корреляционных функций . Для получения нижней границы ошибок сглаживания использовался оптимальный нерекуррентный алгоритм Винера (41), построенный для общей стохастической модели с использованием заданной корреляционной матрицы , процесса (1). Имитируемый входной сигнал и зашумленные наблюдения (29) для всех исследуемых алгоритмов те же, что и в эксперименте фильтрации. Качество сглаживания оценивалось по текущим среднеквадратическим ошибкам:

, (44)

,

Здесь , - i-ые отсчеты j-ой реализации сигнала и оценки сглаживания для соответствующей модели; и - те же, что и в эксперименте фильтрации. Кроме того, для модели , используя матрицу (41), вычислялись теоретические СКО, , которые позволяют судить о состоятельности получаемых оценок. Для указанных моделей рассчитывались также усредненные по времени относительные ошибки фильтрации

, (45)

Отметим, что одинаковая нормировка у ошибок , и один и тот же массив входных реализаций сигнала обеспечивают корректность их сравнения.

Графики всех текущих СКО (44) представлены на рис. 6, значения относительных ошибок сглаживания для моделей , , соответственно, равны , , , а выигрыш по точности для по отношению к составляет . Сравнительный анализ кривых рис. 6 показывает, что применение модели вместо позволяет значительно уменьшить ошибки сглаживания. При этом немного проигрывает нерекуррентной модели в середине интервала сглаживания, но зато имеет существенно меньшие ошибки сглаживания на его краях, практически приближаясь к теоретическим значениям . По сравнению с фильтром Винера (41), в котором отсутствуют ошибки аппроксимации, проигрыш у моделей и оказывается относительно небольшим и составляет , . Однако в рассматриваемой задаче . Поэтому рекуррентная реализация алгоритма сглаживания (39) для модели по вычислительным затратам может оказаться более предпочтительной, чем нерекуррентная реализация для модели .



Рис. 6. Ошибки сглаживания (44) для всех рассматриваемых моделей



Литература

цифровой сигнал корреляционный

1. С.Л. Марпл-мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990.

2. Волчков В.П. Оптимальное рекуррентное представление случайных сигналов в базисах функций Виленкина-Крестенсона.// Радиотехника и электроника, 1997, т. 42, № 8, с. 947-958.

3. В.П. Волчков, Н.Е. Поборчая. Применение рекуррентных циркулянтных моделей второго порядка для аппроксимации и фильтрации случайных процессов. VI Всероссийская конференция «Радиолокация и радиосвязь», (19-22 ноября) Москва, 2012 г. Сб. докладов, Том.1, с. 105-108.

4. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

5. Волчков В.П. Фидуциальное оценивание m-стационарных гауссовских случайных процессов.// Радиотехника и электроника, 1997, т. 42, № 2, с. 150-160.

6. Воеводин И.И., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. М.: Наука, 1987.

7. В.П. Волчков. Параметрическое спектральное оценивание случайных сигналов с использованием m-рекуррентных моделей.// Радиотехника и электроника, 1998, т. 43, № 4, с. 421-437.

8. В.П. Волчков. Фидуциальное оценивание центральной частоты случайного квазигармонического сигнала в базисе дискретных экспоненциальных функций.

9. Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. М: Энергия, 1973.

10. Ахмед Н., Рао К.Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. Пер. с англ. Т.Э. Кренкеля. М: Связь, 1980.

Размещено на Allbest.ru

...