Оценка параметров фракталов в смеси хаотических сигналов по спектру мощности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Алтайский государственный университет, г. Барнаул

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ФРАКТАЛОВ В СМЕСИ ХАОТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ПО СПЕКТРУ МОЩНОСТИ

С. А. Останин

Многие процессы природе протекают таким образом, что их динамические переменные представляют собой функции с дробной размерностью (в том числе, фракталы).В работе[1]представлен обзор использования фракталов и дробных операторов в радиотехнике и электронике.Методы фрактального анализа используютв разных областях биологии и медицины [2-8].

С целью повышения отношения сигнал/шум,при регистрации сигнала осуществляют фильтрацию. В случае, когда шум или сигнал занимают узкую полосу, а так же в случае, когда сигнал и шум занимают неперекрывающиеся участки спектра, эта задача решается просто. Если сигнал представляет собой фрактал, шум и сигнал обычно имеют перекрывающиесяполосы спектра. Однако, используя тот факт, что спектр мощности фрактального сигнала имеет характерный вид, спектральный анализ можно использовать для оценки параметров сигнала, например, фрактальной размерности.

Пусть наблюдаемая величинапредставляет собой аддитивную смесь сигналови:

В отношении сигналовиизвестно, что они представляют собой случайные функции полученные в результате дифференцирования или интегрирования белого шума. фрактальный сигнал акустический размерность

Пусть Фурье образы сигналовиимеют вид:

гдеi- мнимая единица;- круговая частота;,-параметры, характеризующие порядок (в том числе дробный) производной или интеграла белого шума;,- параметры, определяющие интегральную мощность сигналов. Спектры мощностиисигналовиимеют вид

,

.

В работах [9-10] показано, что приисигналпредставляет собой фрактал,фрактальная размерностькоторого определяется как

Следовательно, по спектру мощности наблюдаемой величиныможно определить наличие или отсутствие фрактала в сумме сигналов,и определить его размерность.

Фурье образфункции, в силу линейности Фурье преобразования, имеет вид

Спектр мощностифункцииопределятся как

Найдем иФурье образа. Учитывая, что

,

выражение (7) можно записать как

,

Следовательно

Подставляя (9) и (10) в (8)получим:

Введем обозначения:

,

С учетом (11)можно записать как

.(12)

Как видно из (12),спектр мощностисуммы фрактальных сигналов симметричен относительно параметров обоих сигналов. Параметры,,,найти изспектр мощностипри,или,не представляется возможным. При,ивыражение (12) имеет вид

.

Прологарифмируем уравнение (13) и найдем параметры,одного из сигналов:

Функциюможно получить в результате линейной аппроксимации функциипри. Параметрнаходим из (14) по двум значениямна разных частотахи:

Параметрнаходим из (14) при условии:

Параметрыивторого сигнала определяем аналогично, аппроксимируялинейной функцией

при.

Рис. 1. Спектр мощности суммы сигналов разной фрактальной размерности с параметрами,,,.

На рисунке 1 показан пример спектра мощности (в логарифмическом масштабе) суммы сигналовиФурье образы которых имеют вид

и.

В результате линейной аппроксимации спектра мощностиполучены уравнения

Используя (15) и (16), из уравнений (19) и (20) получены значения параметров,,. Этот результат хорошо согласуется со значениями параметров спектров,(15).

Для анализа реальных сигналов в среде визуального программированияLabVIEWбыл создан генератор суммы акустических случайных сигналов(рисунок 2) и(рисунок 3) со спектрами мощностии. На рисунке 4 показан сигнал, поступающий на акустический излучатель.

Рис. 2. Сигналс.

Рис. 3. Сигналс.

Рис. 4. Сигнал.

Упрощенная схема установки для передачи сигналапо акустическому каналу и анализа показана на рисунке 5. Акустический излучатель 1 был расположен на расстоянии 1м от микрофона 2. Сигналмикрофона поступал на вход звуковой карты компьютера. Компьютер рассчитывалспектр мощностисигнала микрофона в логарифмическом масштабе (рисунок 6), усреднял его по 500 реализациям,осуществлял линейную аппроксимацию и оценивал параметры,случайных сигналови.

Рис. 5. Схема установки для передачи сигналапоакустическомуканалу:1 - акустический излучатель,2 - микрофон.

Рис. 6. Спектр мощностисигнала микрофона усредненный по 500 реализациям.

В результате автоматического анализа спектра мощности акустического сигнала были полученыи. Относительное отклонение оценки параметровиот заданных значений (- 1.45 и 1.45) составило около одного процента. В соответствии с (6) значение параметраодного из сигналов соответствует фрактальной размерностиD=1.04 (значениюисходной компоненты смеси соответствует фрактальная размерностьD=1.05).Таким образом, установлено что анализ спектра мощности позволяет оценивать независимые параметры хаотических сигналов с различными статистическими свойствами в аддитивной смеси.

Литература

1.Потапов А.А. Фракталы, скейлинг и дробные операторы в радиотехнике и электронике: современное состояние и развитие// № 1, 2010, М.: ИРЭ РАН. http://jre.cplire.ru/jre/jan10/4/text.html

2.M. E. Dokukin, N. V. Guz, R. M. Gaikwad, C. D. Woodworth, I. Sokolov. Cell Surface as a Fractal: Normal and Cancerous Cervical Cells Demonstrate Different Fractal Behavior of Surface Adhesion Maps at the Nanoscale // Phys.Rev. Lett.,2011,V.107, 028101.

3.PhinyomarkА.,Phukpattaranont P. et. all. Electromyography (EMG) signal classification based on detrended fluctuation // Fluctuation and Noise Letters, 2011, V.10, № 3, p.281-301

4.Исаева В.В., Каретин Ю.А., Чернышев А.В., Шкуратов Д.Ю. Фракталы и хаос в биологическом морфогенезе / Институт биологии моря ДВО РАН, 2004, 128 с.

5.Waliszewski P., Konarski J. Neuronal differentiation and synapse formation occur in space and time with fractal dimension // Synapse. 2002. V. 43.P. 252-258.

6.Лебедева Н.Н.,Бецкий О.В. Фракталы в биологии и медицине // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника,№10, 2002. с.49-59.

7.Крестьева И.Б., Цыганов М.А., Асланиди Г.В.,Медвинский А.Б., Иваницкий Г.Р. Фрактальная самоорганизация в популяциях бактерий Escherichia coli: экспериментальное исследование // ДАН. 1996. Т. 351, № 3, с. 406-409.

8.Havlin S.,Buldyrev S.V.et all. FractalsinBiologyandMedicine // Chaos.Solitons& Fractals,1995, V.6, p.171-201.

9.Berry M.V. Diffractals // J. Phys. A. 1979. V.12. N6, p. 781-797.

10.Berry M.V., Lewis Z.V. On the Weierstrass-Mandelbrot fractal function.// Proc. R. Soc. Lond., 1980, A 370,р.459-484.

Аннотация

Приводятся результаты спектрального анализа смеси хаотических сигналов. Аналитически показано, чтопо спектру мощности можно обнаружить наличие фрактального сигнала в смеси с шумом и выполнить оценку параметров фрактала. Приведены результаты спектрального анализа тестового акустического сигнала и определена его фрактальная размерность.

Ключевые слова:фракталы, спектральный анализ.

The results ofspectral analysis ofa mixture ofchaotic signals.It is shown analyticallythatthe power spectrumcandetect the presenceof a fractal signalmixed withnoise andperformparameter estimationof the fractal.The results ofspectral analysis ofthe acoustic signaland thetestis defined by its fractal dimension.

Keywords:fractals, spectral analysis.

Размещено на Allbest.ru