Оценка возможности использования непрерывного вейвлет-преобразования для обработки широкополосного частотно-модулированного сигнала

Рассмотрим механизм частотно-временной локализации вейвлет-преобразования. Будем считать, что нетривиальная оконная функцияи функцияпринадлежат. Тогда центрфункции

радиусфункции

при этом ширина оконной функции есть, средняя частота окна

радиус окна в частотной области

Пусть,,, определенные по формулам(9) (12) центры и радиусы вейвлетаво временной и частотной областях, соответственно. Найдем радиус временного окна вейвлет-преобразования, задаваемого базисным вейвлетом, считая что вейвлет нормирован на единицу. Подставив выражение для базисного вейвлетав (9)

,

и выполнив очевидную замену переменных, получаем

,

где

.

Далее, подставив выражение для базисного вейвлетав (10) и повторив замену переменных, получим

,

где

Таким образом, интегральное преобразование вида

где функция окна, переменная, определяющая положение окна на временной оси, ограничено временным окном

Будем считать, что энергия спектра основного вейвлетасосредоточена в области

,(20)

Для произвольного базисного вейвлета, по аналогии с (18), можно записать

,

где,вычисляются, соответственно, по формулам (20), (21) с заменой функциина функцию. Следовательно, для понимания механизма действия вейвлет-преобразования остается получить соотношение междуи,и.Для этого сначала найдем связь между спектрамии:

Подставляя (22) в (20), (21) получим

,

Из (23), (24) очевидно, что спектр базисного вейвлеталокализован в области

.

Таким образом, частотная локализация происходит около центра окна, расположенного в точке, ширина окна равна. Отметим, что отношение центральной частоты к ширине окна

,

не зависит от значения центральной частоты вейвлета,а частотно-временное окно, имеющее площадь, сужается при высокой центральной частотеирасширяется при низкой.

Рис. 1а. Частотно-временная локализация с использованием вейвлетов

Рис. 1б. Частотно-временная локализация с использованием оконного преобразования Фурье[15]с оконной функцией вида

Иллюстрация частотно-временного преобразования с использованием вейвлетов в плоскости время-частота представлена нарис. 1а.Для сравнения нарис. 1бпредставлена иллюстрация частотно-временного преобразования при использовании оконного преобразования Фурье.

1.3 Базисные вейвлет-функции

2.Нулевое среднее:

=0.

(При выполнении условия

вейвлет называется вейвлетомm-го порядка. Вейвлеты данного типапозволяют исключить из рассмотрения наиболее регулярные, полиномиальные составляющие сигнала и проводить анализ мелкомасштабных флуктуаций высокого порядка.)

Вейвлет-спектрW(a,b) представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве, способы визуализации которой могут быть различны. Обычно для анализа частотно-временного состава исследуемого сигнала используют:

1) карту проекций изоуровней или изолиний функцииW(a,b) на плоскость (a,b), позволяющих проанализировать изменение интенсивности амплитуд вейвлет-преобразования на различных частотных масштабах и во времени;

2) карты линий локальных экстремумов данных поверхностей, называемых скелетонами (sceleton), четко выявляющих структуру сигнала;

3) зависимости коэффициентов вейвлет преобразования для выбранного масштаба преобразования от времени.

Примеры исходного сигнала ипредставления результатов его вейвлет преобразования представлены нарис. 3.

Наличие коэффициентов вейвлет-преобразования позволяет также исследовать энергетические характеристики сигнала. Анализ энергетических характеристик сигнала основан на теореме, являющейся аналогом теоремы Парсеваля для преобразования Фурье[10]:

,

где, коэффициенты вейвлет-преобразования функцийf1(t),f2(t), соответственно.

Следствием существования аналога равенства Парсеваля является возможность записать полную энергию сигналаEfв пространстве действительных функций через амплитуды вейвлет-преобразования:

Из (26) видно, что величинуEw(a,b)=W2(a,b), характеризующую энергетические уровни исследуемого сигналаf(t) в пространстве (a,b), можно рассматривать как локальную плотность энергии.

Локальная плотность энергииE?в точкеb=t0(«локальный энергетический спектр»), позволяющая проанализировать временную динамику передачи энергии сигнала по масштабам, имеет вид

Величину

описывающую распределение энергии сигнала по масштабам называют дисперсией вейвлет-преобразования (wavelet variance) или также скалограммой (scalogram).

Можно показать, выразив дисперсию вейвлет-преобразованияEw(a) через спектр энергии сигнала в пространстве ФурьеEF(?)=, что дисперсия вейвлет-преобразования (28) есть сглаженный спектр мощности сигналаEF:

Так как анализируемая функция имеет конечную энергию, а используемый вейвлет нулевое среднее значение, дисперсия вейвлет-преобразованияEW(a) должна стремиться к нулю на левом и правом концах шкалы масштабов. Следовательно, по теореме Ролля, данная функция на указанном интервале имеет по крайней мере один максимум. Положение данных максимумов дисперсии вейвлет-преобразования, аналогично максимумам спектра ФурьеEF(?), связывается с частотами и соответствующими характерными составляющими исследуемого сигнала, обеспечивающими основной вклад в его энергию. Отметим, что данный вывод справедлив для периодических, однако, результаты его экспериментальной проверки, проведенной с использованием различных вейвлетов и различными типами сигналов, показали, что он с достаточной точностью выполняется и для непериодических сигналов[16].

Рис. 4а. Зависимость мгновенных значений модели РС от времени

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ШИРОКОПОЛОСНОГО ЧМ СИГНАЛА

В работе[3]автором было предложено для оценки работоспособности алгоритмов обработки радиолокационных сигналов (РС), получаемых в задаче измерения параметров движения снаряда (ПДС) внутри канала ствола во время выстрела, и оценки их точности использовать модели РС, законы изменения фазы и частоты которых от времени известны. Используем данный подход для

Рис. 4б. Закон ЧМ модели радиолокационного сигнала

Рис. 4в. Нормированный энергетический спектр модели РС

оценки применимости вейвлет-анализа в задаче обработки РС на примеремоделирадиолокационногосигнала,получаемоговзадачеизмеренияПДС бронебойно-подкалиберного снаряда в стволе во время выстрела.Зависимость мгновенных значений модели РС от времени, вычисленная вN=3000 точках,закон ЧМ сигнала и его спектр представлены нарис. 4а 4в, соответственно. Изрис. 4а 4ввидно, что рассматриваемый РС является ЧМ сигналом со сложным монотонно возрастающим законом ЧМ, частота которого изменяется в диапазоне [0;130] кГц за время 4.8 мс.

Предваряя анализ результатов обработки модели РС, получаемого в задаче измерения ПДС в стволе во время выстрела, методом вейвлет-преобразования, особо отметим принципиальное отличие рассматриваемой задачи от известных примеров использования вейвлет-анализа[17], в которых абсолютном большинстве случаев вейвлет-коэффициенты использовались скорее для качественного нежели количественного анализа частотно-временных характеристик сигналов.В рассматриваемой задаче, напротив, необходим не качественный, но количественный анализ, позволяющий с максимально возможной точностью определить закон ЧМ.

Рис. 5а. Вейвлет-спектр модели РС

Рис. 5б. Фрагмент вейвлет-спектра модели

Рис. 6а. Вейвлет-функция базисного вейвлета Койфлета 5-го порядка

Рис. 6б. Спектр базисного вейвлета Койфлета 5-го порядка

Рассмотрим типичные результаты, получаемые при обработке модельного РС методом вейвлет-преобразования (рис. 5). Здесь в качестве базового вейвлета был использован вейвлет Койфлета 5-го порядка, вейвлет-функция и спектр которого представлены нарис. 6. Коэффициенты непрерывного вейвлет-преобразования вычислялись с помощью пирамидального алгоритма Маллата[18]. Масштабные множителиaвейвлет-преобразования изменялись в диапазоне [3;1025]с шагом равным единице, что соответствует диапазону частот [419.7;1.435?105]Гц. Из вейвлет-спектра, представленного нарис. 5, хорошо видно, что с течением времени частота исследуемого сигнала увеличивается. Это проявляется в том, что белые полосы, соответствующие экстремумам РС, смещаются в высокочастотную область (область малых значений масштабных коэффициентов).

Как видно изрис. 5б, на котором представлен фрагмент вейвлет-спектра модели РС, в области высоких частот хорошо различимы чередования темных, соответствующих точкам перехода сигнала через ноль, и светлых полос, соответствующих экстремумам сигнала. Оценка мгновенной частоты по непрерывному вейвлет-спектру может быть получена как обратная величина удвоенного временного интервала между двумя последовательными экстремумами. В данном подходе, являющимся по своей сути методом, основанном на измерении периода сигнала, априори предполагается, что частота сигнала на рассматриваемом временном интервале остается постоянной. Данное предположение для ЧМ сигналов с произвольным законом изменения частоты, вообще говоря, не справедливо, поэтому возможность использования периодомерного способа оценки мгновенной частоты для конкретного ЧМ сигнала требует отдельного исследования. Методика такого исследования описана в[2]на примере РС, получаемых в задаче измерения ПДС в стволе артиллерийской системы во время выстрела, там же получены оценки соответствующих погрешностей и показано, что алгоритм обработки сигнала, базирующий на периодомерном способе измерения частоты, обладает наихудшими точностными характеристиками из всех известных алгоритмов обработки РС. Отметим также, что по вейвлет-спектру невозможно получить оценку закона изменения частоты до момента достижения сигналом первого максимума (как и при использовании фурье-анализа, в котором для оценки частоты сигнала на данном временном интервале необходимо иметь по крайней мере один период сигнала). вейвлет преобразование модельный сигнал

Рассматриваемый РС является ЧМ сигналом со сложным монотонно возрастающим законом изменения частоты, поэтому с течением времени энергия сигнала будет определяться энергией гармоник, находящихся в высокочастотной области. Наиболее эффективно указанное свойство сигнала можно продемонстрировать, используя оконное преобразование Фурье, называемым в[15]«мгновенным спектром». Результатом применения оконного преобразования Фурье является набор мгновенных спектровS(?,ti)

,

гдеti центр временного окна,?t ширина окна, карта линий уровней, которых представлена нарис. 7.

Рис. 7. Карта линий уровня мгновенных спектров модели РС в плоскости «время-частота» (сплошная линия закон ЧМ модели РС)

Изрис. 7видно, что эволюция во времени значений частоты, соответствующей максимальному значению мгновенного спектра, происходит в соответствии с законом ЧМ рассматриваемого сигнала.Более подробное алгоритм обработки РС, получаемых в задаче измерения параметров движения снаряда в стволе во время выстрела, основанный на оконном преобразовании Фурье, и оценки его точностных характеристикпри использовании различных методов спектрального оценивания представлены в[2].

Проводя аналогию с оконным преобразованием Фурье, естественно предположить, что локальная плотность энергииE?(а,t0) (27) («локальный энергетический спектр»), характеризующая временную динамику передачи энергии сигнала по масштабам[4],в момент времениt0принимает максимальное значение в точкеа=am, соответствующей значению мгновенной частоты сигнала в момент времениt0

гдеFc частота базисного вейвлета.

Отметим, что для получения значений частоты вейвлет-преобразования вГцнеобходимо умножить безразмерную частотуна частоту дискретизациианализируемого сигнала:

.

Зависимость мгновенной частоты сигнала от времени, определенная как набор частот, соответствующих максимумам локальных энергетических спектровE?(а,ti),i=1,2,…,N,представлена нарис. 8.

Рис 8а. Результаты обработки модели РС при использовании непрерывного вейвлет-преобразования (гладкая кривая закон ЧМ модели РС)

Рис. 8б. Результаты обработки модели РС при использовании непрерывного вейвлет-преобразования (фрагмент)

Рис 9а. Карта эквипотенциалей функцииW2(a,b) в плоскости«время частота» (сплошная линия истинный закон изменения частоты сигнала)

Рис 9б.Карта эквипотенциалей функцииW2(a,b)в плоскости «время частота» (сплошная линия истинный закон изменения частоты сигнала) (фрагмент)

Полученный результат выглядит достаточно неожиданным: оказывается, что, во-первых, существуют моменты времени, в которыелокальные энергетические спектры имеют максимумы на частотах, существенно отличающихся от истинной мгновенной частоты сигнала. Во-вторых, как видно изрис. 8б, значения частоты, получаемые при анализе дисперсии коэффициентов вейвлет-спектра, всегда оказываются смешенными относительно истинных значений мгновенной частоты сигнала.

Для качественного объяснения полученного результата рассмотрим карту эквипотенциалей дисперсии вейвлет-коэффициентовW2(a,b) в плоскости«время частота»(рис. 9). Сравнение вейвлет-спектра, представленного нарис.5, и карты эквипотенциалей функцииW2(a,b), позволяет сделать вывод о том, что последняя более наглядно отображает частотно-временные особенности исследуемого ЧМ сигнала. Как видно изрис. 9, поверхность, задаваемая набором значенийW2(a,b), состоит из ряда пиков, отделенных друг от друга глубокими впадинами. Существование данных впадин является причиной обнаруженных «провалов» на графике зависимости закона изменения частоты сигнала от времени (рис. 8).

Сравнение зависимости мгновенных значений исходного сигнала от времени (рис. 4а) и карты эквипотенциалей функцииW2(a,b) позволяет сделать вывод о совпадении моментов времени,соответствующих экстремумам исходного сигнала, и координат пиков функцииW2(a,b). Обнаруженное свойство дисперсии вейвлет-коэффициентов позволяет использовать для нахождения закона изменения частоты следующий алгоритм:

1. Определить моменты времениti, соответствующие экстремумам исходного сигнала.

2. Вычислить вейвлет-коэффициентыW2(a,b).

3. Для каждого момента времениti, определить соответствующие значения коэффициентовbi.

4. Для каждого значения коэффициентаbi, найти значенияai, в которых функцияW2(ai,bi)достигает максимального значения.

5. Вычислить, используя набор значенийai, по формуле (32) соответствующие значения частотыFi.

6. Для нахождения значений мгновенной частоты сигнала в промежуточных точках провести интерполяцию данных таблицы, содержащей значенияti,Fi.

ВЫВОДЫ