Исследование киральных электродинамических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

ИССЛЕДОВАНИЕ КИРАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

А.Н. Боголюбов, Ю.В. Мухартова, Гао Цзесин

физический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова, кафедра математики



Аннотация

В работе рассмотрены две задачи: спектральная задача в области с киральным заполнением и начально-краевая задача о возбуждении электромагнитных колебаний в области с неоднородным киральным заполнением. Получено характеристическое уравнение для собственных частот сферического кирального резонатора и вид собственных полей. Для начально-краевой задачи предложена обобщенная постановка, которая в дальнейшем может быть использована для численного решения задач рассматриваемого типа. Доказано существование и единственность обобщенного решения.

Ключевые слова: киральные среды, сферический резонатор, собственные частоты, задача возбуждения.

Abstract

In this paper two problems are considered. The first one is a spectral problem for the area with uniform chiral filling. The second one is the initial-boundary problem of excitation of oscillations in a region with a nonhomogeneous chiral filling. The dispersive equation and the eigenfields are obtained for a spherical chiroresonator. For the initial-boundary problem a generalized formulation, that can be further utilized for the numerical solution, is proposed. The existence and uniqueness of a generalized solution is proved.

Key words: chiral media, spherical resonator, eigenvalues, initial-boundary problem.



Введение

В настоящее время в радиофизике все больший интерес вызывает применение метаматериалов, с использованием которых возможно создание систем и устройств с уникальными свойствами. В частности, большой интерес вызывает создание систем, использующие свойства бианизотропных и киральных сред. Теоретическое исследование таких систем методами математической физики представляет весьма важную и интересную задачу. Можно выделить два класса подобных задач: спектральные задачи, заключающиеся в исследовании резонаторных систем с киральным заполнением, и начально-краевые задачи возбуждения, в которых исследуются процессы возбуждения различных волноведущих систем с киральным заполнением и процессы распространения электромагнитных волн в подобных системах.

Естественные киральные среды были известны с начала 19 века. Термин "киральный" введен Уильямом Томсоном и означает свойство объекта не совмещаться со своим зеркальным отображением (в плоском зеркале) ни при каких перемещениях и вращениях. Естественными киральными объектами являются молекулы сахаров, аминокислот, ДНК и органических полимеров. К числу искусственных киральных объектов можно отнести спирали, лист Мебиуса, неправильный тетраэдр и т.д. [11] - [3]. Известно [4], что в случае киральной среды, изготовленной при помощи произвольным образом ориентированных и равномерно распределенных в некиральном веществе проволочных пружинок, потерями в которых можно пренебречь, материальные уравнения для гармонических по времени полей () имеют вид

, ,

где , , - действительные постоянные, представляющие собой диэлектрическую проницаемость, магнитную проницаемость и киральный адмитанс (параметр киральности) среды соответственно. Более того, как было показано в работе [5], эти материальные уравнения остаются справедливыми для любой киральной среды без потерь, построенной из киральных объектов произвольной формы.

Первая задача, рассмотренная в данной работе, посвящена исследованию электромагнитных экранированных резонаторов, заполненных однородным киральным веществом.Сферические и цилиндрические резонаторы находят широкое применение в различных областях науки и техники [6]-[8]. Отметим, что математическое решение задачи для сферических резонаторов, заполненных обычной некиральной средой, было получено достаточно давно [9]-[11]. Поскольку в последние годы наблюдается особое внимание к искусственным киральным средам микроволнового диапазона, в которых киральность уже не является малой поправкой, то в связи с этим представляется интересным обобщить эти решения на случай кирального резонатора. В работе предложен алгоритм расчета таких систем. В качестве примера исследован сферический киральный резонатор, для которого получено характеристическое уравнение и вид собственных полей. Показано, что в таком резонаторе могут формироваться только гибридные собственные колебания, чистые E- и H- колебания не возбуждаются.

Вторая задача, рассмотренная в работе, заключается в исследовании процесса возбуждении электромагнитных колебаний заданным распределением зарядов и токов в области с неоднородным киральным заполнением. Область, в которой рассматривается задача, может быть либо конечной с идеально проводящей ограничивающей поверхностью, либо представлять собой дополнение к идеально проводящему ограниченному телу. Вводится специальное функциональное пространство, в котором формулируется обобщенная постановка исследуемой начально-краевой задачи. На основе метода Галёркина доказано существование и единственность слабого решения данной задачи.

киральный электромагнитный резонатор



Спектральная задача: ограниченная область с киральным заполнением

Рассмотрим систему уравнений Максвелла в однородной киральной среде, которая характеризуется материальными уравнениями

, , (1)

где , , и - константы. С учетом материальных уравнений для полей E и H получаем систему

,

,

,

.

На границе раздела двух киральных сред с параметрами , , и , , соответственно выполняются соотношения

,

,

,

,

где n - единичный вектор нормали к поверхности, направленный из второй среды в первую, - плотность поверхностного тока, и - плотность поверхностного заряда.

Если вторая среда является идеальным проводником и поле внутри нее равно нулю, на границе выполняются условия идеально проводящей стенки:

,

,

, (2)

,

где - плотность наведенного поверхностного тока, и - плотность наведенного поверхностного заряда.

Рассмотрим теперь достаточно общую спектральную задачу. Предположим, что некоторая область V с граничной идеально проводящей поверхностью заполнена однородным киральным веществом, которое описывается уравнениями (1). Для гармонически зависящих от времени полей получаем краевую задачу

,

,

,

,

.

В отличие от случая обычной некиральной среды, полученные уравнения оказываются связанными. Тем не менее, можно ввести такие линейные комбинации векторов Е и Н

,

,

что уравнения для функций u и v окажутся несвязанными:

, (3)

, (4)

, (5)

. (6)

Определённая сложность решения рассматриваемой спектральной задачи связана с тем, что для векторов u и v нельзя получить на границе условия, не содержащие наведенных токов и зарядов, так как они оба содержат в качестве слагаемого вектор магнитного поля H. Тем не менее, можно предложить следующий алгоритм исследования собственных частот и собственных колебаний кирального резонатора. Сначала строится общее решение системы однородных уравнений (3-6). Далее векторы E и H нужно выразить через найденные векторы u и v и подставить их в однородные граничные условия. Это позволит получить характеристическое уравнение для нахождения собственных частот .



Спектральная задача: сферический киральный резонатор

В данном разделе предложенная методика применяется для исследования сферического резонатора с киральным заполнением. Пусть область V представляет собой шар радиуса R с идеально проводящей границей. Находим решение u, v системы однородных уравнений (3-6), записанных в сферических координатах. Обозначим через e и h комплексные амплитудыполей E и H. Нетрудно убедиться, что с векторами векторы e и h связаны u и v следующим образом

В результате получаем общее решение вида

В этих выражениях введены обозначения и .

Поскольку поверхность шара является идеальным проводником, то для вектора e должно выполняться граничное условие равенства нулю тангенциальной составляющей . Потребуем, чтобы компонента обращалась в нуль при . Для этого должна быть справедлива следующая однородная система уравнений

(7)

Но если система уравнений (7) справедлива, то компонента также обращается в нуль при . Отметим, что при этом автоматически выполняется условие (2) на нормальные составляющие векторов e и h.

Однородная система (7) имеет нетривиальное решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Отсюда получается характеристическое уравнение для нахождения собственных частот сферического кирального резонатора:

(8)

где и .

Рис. 1. Зависимость собственных частот от кирального адмитанса для . На графике приведены отношения частот к значению - наименьшей собственной частоте резонатора при отсутствии киральности (). Индексы E и H у частот означают, что в пределе при они стремятся к собственным частотам E- и H-колебаний соответственно.

На рисунке 1 приведены результаты численного решения уравнения (8), из которых следует, что с ростом параметра значения собственных частот уменьшаются и происходит их сближение.

Заметим, что в случае обычной среды, когда , характеристическое уравнение (8) вырождается в два уравнения

(9)

, (10)

где , так как при этом . Уравнения (9) и (10) - это характеристические уравнения для собственных частот E- и H-колебаний обычного сферического экранированного резонатора с идеально проводящей границей соответственно.

На основании подготовительной теоремы Вейерштрасса (см., например, [12]) можно показать, что решения уравнения (8) непрерывно зависят от параметра киральности . Обозначим через те из них, которые при равном нулю параметре киральности совпадают с частотами E-колебаний обычного сферического резонатора. Воспользуемся первым уравнением системы (7) для того, чтобы найти связь между коэффициентами и . В результате получим выражения для комплексных амплитуд собственных колебаний кирального резонатора

и

которые в пределе при с точностью до множителя совпадут с E-колебаниями обычного сферического резонатора.

Обозначим как решения характеристического уравнения (8), совпадающие при равном нулю параметре киральности с собственными частотами, отвечающими H-колебаниям обычного некирального резонатора. Найдем связь между коэффициентами и с помощью второго уравнения системы (7). В результате получим еще одну серию решений для кирального сферического резонатора

и

которые в пределе при равном нулю параметре киральности с точностью до множителя совпадают с H-колебаниями обычного сферического некирального резонатора. Следовательно, можно сделать вывод о том, что в киральном резонаторе поддерживаются только гибридные собственные колебания.

Начально-краевая задача: возбуждение электромагнитных колебаний в области с киральным заполнением

Пусть - конечное или бесконечное множество в . Если множество конечное, то будем считать, что оно ограничено идеально проводящей поверхностью . Если же множество бесконечное, то будем считать, что - дополнение к области , конечно, ограничено поверхностью и представляет собой идеальный проводник. Пусть область состоит из конечного числа подобластей: причём все из них, кроме может, подобласти , конечны, и общая для подобластей и граница регулярна и ограниченна. В случае бесконечной области подобласть неограниченна. Пусть подобласти имеют однородные киральные заполнения с параметрами , , причём и , если подобласть неограниченна. В этом случае проводник и ограниченные киральные вставки помещены в обычную непроводящую среду, характеризующуюся диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью .

Предположим, что в области имеются сосредоточенные в некоторой конечной области сторонние токи плотности j. При постановке начально-краевой задачи относительно векторов Е и Н будем исходить из системы уравнений Максвелла, материальных уравнений, а также из того факта, что краевое условие для тангенциальной составляющей вектора Е на границе между киральной средой и идеальным проводником имеет такой же вид, как и в случае границы между обычной средой и проводником. В результате приходим к следующей начально-краевой задаче:

(11)

(12)

(13)

(14)

Начально-краевая задача: обобщённая постановка

Пусть , где и - произвольные гладкие трёхкомпонентные функции, обращающиеся в нуль при , такие что они сами и их первые производные квадратично интегрируемы в . Умножим обе части уравнения (11) скалярно в на функцию и обе части уравнения (12) на функцию , сложим полученные равенства и проинтегрируем результат по времени от 0 до Т:

_, (15)

где . В формуле (15) использованы обозначения для скалярных произведений и , , , а также операторов, .

Введем гильбертово пространство и рассмотрим множество: .

Справедливы следующие леммы:

Лемма 1. Область плотна в K, и оператор A замкнут.

Замечание 1. , если и только если выполняются условия:

Лемма 2. Пусть граница области регулярна и ограничена. Тогда любой элемент , такой что форма непрерывна на , принадлежит области , и справедливо равенство

(16)

для любого .

Используя лемму 2, можно сформулировать обобщенную постановку исходной задачи следующим образом:

Необходимо найти функцию , удовлетворяющую равенству

(17)

при любой функции Ф, такой что и обращающейся в нуль при , где и .

Леммы 1 и 2 позволяют на основании метода Галеркина доказать существование и единственность слабого решения задачи:

Теорема 1. Если граница области регулярна и ограничена, то решение задачи (17) существует, и оно единственно.



Заключение

В работе предложен алгоритм исследования экранированных резонаторов, заполненных киральным веществом. В качестве иллюстративного примера рассмотрен сферический киральный резонатор, для которого получены выражения для собственных полей и характеристическое уравнение для собственных частот. Проведенный анализ показал, что в киральном резонаторе могут формироваться только гибридные собственные поля, которые при обращении в нуль параметра киральности вырождаются в обычные E- и H-колебания. Собственные частоты кирального резонатора оказываются меньше соответствующих частот резонатора, заполненного обычной средой.

Также показано, что задача о возбуждении сторонними источниками электромагнитных колебаний в области с неоднородным киральным заполнением, ограниченной идеально проводящей поверхностью, либо являющейся дополнением к ограниченному идеальному проводнику, имеет единственное обобщенное решение. При доказательстве существования решения применен метод Галеркина, который может быть использован в дальнейшем для построения приближенного решения. Полученные результаты являются обобщением на случай киральной среды классических результатов о существовании и единственности решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородностях в среде, которая описывается обычными материальными уравнениями.



Литература

1. Боголюбов А.Н., Мосунова Н.А., Петров Д.А. // Математическое моделирование. 2007. 19, № 5. C.3

2. Кацеленбаум Б.З., Коршунова Е.Н., Сивов А.Н., Шатров А.Д. // Phys. Usp. 1997. 40, 1201.

3. Pelet P. // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1990. 38, №1. P.90

4. Bahr A.J., Clausing K.R. // IEEE Trans. on antennas and propagation. 1994. 42, № 12. P. 1592

5. Jaggard D.L., Mickelson A.R. NJ: Princeton Univ. Press. 1952.

6. Tobar M.E., Mann A.G. // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1991. 39, P. 2077.

7. Guillon P., Jiao X. // Proc. IEE. Part H. 1987. 134

8. Schiller S., Beyer R.L. // Opt.Lett. 1991. 16, P. 1138

9. Фел С.С., Левинсон И.Б., Фридберг П.Ш. // Радиофизика и электроника. 1962. 6, №11. C. 1125.

10. Julien A., Guillon P. // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1986. 34, P.723

11. Tobar M.E., Anstie J.D., Hartnett J.G. // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control. 2003. 50, № 11. P. 1407

12. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М., гос. изд. физ.-мат. лит. 1962.

13. Моденов В.П., Цветков И.В.// Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2004. №3. С. 8.

14. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: “Высшая школа” 1991.

15. Г. Дюво, Ж.-Л. Лионс Неравенства в механике и физике. Москва “Наука”, Главная редакция физико-математической литературы, 1980.

Размещено на Allbest.ru

...