Анализ автомодуляционных явлений в системе связанных магнитного и упругого осцилляторов на основе модели потенциала

Модель динамического фазового перехода

Рассмотрим условия формирования стохастического режима колебаний более подробно. Потенциальный барьер потенциала третьего порядка (52) (рис. 3а) можно рассматривать как границу между двумя принципиально различными динамическими состояниями системы. Правее этой границы имеют место ограниченные колебания, левее - уход системы на бесконечность.

Переход системы через вершину потенциального барьера можно рассматривать как переход из одного состояния в другое - из ограниченного колебательного в безгранично нарастающее. Для описания такого перехода воспользуемся аппаратом, подобным развитому Л.Д. Ландау для фазовых переходов второго рода [37]. В качестве «параметра порядка» возьмем отклонение координаты осциллятора от точки, соответствующей вершине потенциального барьера.

Рассмотрим рис. 8, иллюстрирующий развитие во времени координаты осциллятора и его скорости по мере приближения к барьеру.

Рис. 8. Потенциальный барьер (а) и развитие во времени относительной координаты осциллятора (параметра порядка) (б) и его скорости (в) по мере приближения к вершине барьера

На рис. 8а сплошной линией показан потенциальный барьер, соответствующий кубическому потенциалу вида (52):

, (58)

построенному при параметрах , . Вершина барьера, соответствующая координате обозначена буквой G. Параметр порядка имеет вид:

, (59)

то есть в точке равен нулю. Разложение потенциала с точностью до второй степени параметра порядка имеет вид:

, (60)

где - постоянное слагаемое, которое определяется совпадением исходного потенциала и его разложения в точке .

При принятых при построении рис. 3а параметрах оптимальное разложение получается при и , то есть получаем:

. (61)

Построенный по этой формуле потенциал показан на рис.8а пунктирной линией. Видно, что до уровня расхождение сплошной и пунктирной кривой не превышает . Стрелкой вверху показано направление движения осциллятора по мере того, как он взбирается на барьер.

В теории релаксации параметра порядка фазового перехода второго рода Ландау-Халатникова [37, стр. 517] предполагается, что скорость изменения этого параметра пропорциональна производной от потенциала по координате.

Для оценки характера изменения скорости осциллятора от времени по мере приближения к барьеру, воспользуемся аналогичным предположением, то есть будем считать, что эта скорость пропорциональна действующей на осциллятор потенциальной силе:

, (62)

где - постоянный коэффициент.

Для оценки величины этого коэффициента решим уравнение (62) относительно (например, методом разделения переменных [38]). При этом с точностью до постоянного коэффициента получаем:

, (63)

то есть параметр порядка релаксирует во времени с постоянной

. (64)

Из этого выражения находим искомый коэффициент пропорциональности в выражении (62):

. (65)

Согласно выполненному в разделах № 10 и № 11 рассмотрению фазовой задержки, можно полагать, что для успешной реализации квазихаотического режима время релаксации параметра порядка должно превышать длительность периода возбуждения , то есть должно выполняться неравенство . Для численной оценки положим, что такое превышение выполняется вдвое, то есть: , откуда получаем:

. (66)

При принятых при построении рис.3 параметрах с учетом , получаем: .

Выражение (63) принимает вид:

. (67)

Зависимость параметра порядка от времени, построенная по этой формуле, имеет вид, показанный на рис. 8б. Видно, что уже за время действия первого периода вынуждающей силы (при ) параметр порядка уменьшается до величины от своего начального значения, а при времени двух периодов () падает почти до нуля (до ).

Для оценки скорости изменения параметра порядка воспользуемся соотношением (62), где найдем из (52). В результате получаем:

. (68)

Подставляя в соответствии с (63), находим:

. (69)

Построенная по этой формуле зависимость скорости от времени показана на рис. 8в. Можно видеть, что за время двух периодов возбуждения () скорость падает почти до нуля, а дальше уменьшается еще более по экспоненциальному закону.

Соответствующее время фазовой задержки с точностью до постоянного коэффициента принимает вид:

, (70)

то есть во времени возрастает по экспоненте, что и обеспечивает необходимое для реализации стохастического режима сильное изменение фазы при малом изменении координаты осциллятора.

Следует отметить, что столь сильное изменение фазы возможно только в ближайшей окрестности потенциального барьера, тогда как при некотором удалении от него изменение фазы уже не будет столь значительным и вместо квазихаотического режима № 3 реализуется более или менее регулярный режим № 2. То есть резкой границы между этими режимами нет и переход является плавным и беспороговым. Можно полагать, что переход от регулярного режима к нерегулярному сопровождается заметным расширением спектра колебаний, что могло бы служить критерием такого перехода. Заметим, что поиск подобного критерия мог бы явиться предметом самостоятельного исследования.

Замечание. Следует заметить, что рассмотренный здесь переход системы от колебаний внутри ямы к уходу на бесконечность в классическом смысле фазовым переходом не является, так как здесь нет двух различных состояний вещества как двух различных фаз. Однако по обе стороны от барьера здесь имеют место два различных динамических состояния осциллятора, переход между которыми по амплитуде возбуждения носит пороговый характер. Примененный здесь математический аппарат близок к традиционному аппарату описания фазовых переходов [37], поэтому предложенная здесь модель по аналогии названа «моделью динамического фазового перехода».

Критичность стохастического режима

В предыдущем разделе на примере кубического потенциала для одного осциллятора показано, что условия, требуемые для возбуждения квазихаотического режима № 4, выполняются. Однако более подробная проверка показывает, что в случае единственного осциллятора интервал параметров режима №4 является крайне узким. Так из рис. 4д и 4е можно видеть, что колебания, приближаясь к хаотичности, все же сохраняют значительный элемент регулярности. Действительно, при увеличении амплитуды возбуждения от (рис. 4д) до (рис. 4е), то есть всего на , довольно регулярный режим (хотя и осложненный вторичной модуляцией) уже сменяется уходом системы на бесконечность. Поэтому успешная реализация квазихаотического режима для одного осциллятора в известной степени затруднена (что, по крайней мере, относится к исследованному здесь случаю совпадения частот). Однако для системы из двух осцилляторов квазихаотический режим реализуется уже в полной мере. Особенно хорошо это наблюдается на рис. 2в в работе [30], где нерегулярность проявляется для обоих осцилляторов в равной степени, причем колебания одного из них от колебаний другого заметно отличаются. Можно полагать, что для рассмотрения механизма таких колебаний, наряду с бесфлуктуационной моделью фазового перехода, надо учитывать флуктуации параметра порядка. Более того, учет флуктуаций, вследствие их случайного характера, может позволить описать условия ухода системы на бесконечность, происходящего не сразу после включения возбуждения, а по прошествии нескольких переколебаний, подобно тому, как это показано на рис. 4е. Однако этот вопрос также требует более подробного исследования.

Рассмотрены нелинейные вынужденные колебания намагниченности и упругого смещения в нормально намагниченной ферритовой пластине, обладающей магнитоупругими свойствами. Исходная задача, содержащая семь уравнений первого порядка и четыре граничных условия, сведена к квадрированной системе из двух уравнений второго порядка без граничных условий. Путем численного решения квадрированной системы выявлены четыре принципиально различных режима колебаний: режим № 1 - колебания регулярные без модуляции (синусоидальные); режим № 2 - колебания с ограниченной амплитудой и регулярной модуляцией (автомодулированные); режим № 3 - колебания с ограниченной амплитудой и квазислучайной модуляцией (квазистохастические); режим № 4 - колебания с неограниченно нарастающей амплитудой (уход системы на бесконечность).

С целью максимальной формализации рассматриваемой задачи получена обобщенная система уравнений, описывающая вынужденные колебания двух связанных осцилляторов. Показано, что присутствующая в такой системе уравнений связь осцилляторов не только через переменные, но и через производные, обусловлена спецификой исходной магнитоупругой системы, для полного описания которой, вследствие ее гиромагнитной природы, требуется пять уравнений первого порядка, что эквивалентно колебаниям системы с двумя с половиной степенями свободы.

В процессе исследования ухода системы на бесконечность (режим № 4) показано, что в его основе могут лежать два принципиально различных механизма: при наличии связи через производные - связь через переменные, линейная в обоих уравнениях; в отсутствие связи через производные - связь через переменные, квадратичная в первом уравнении и линейная во втором. Первый из этих механизмов может быть интерпретирован на основе модели отрицательного сопротивления, второй - на основе модели потенциала. С помощью представления потенциала в виде степенной функции обеих переменных показано, что для ухода системы на бесконечность необходимым условием является нечетность какого-либо из степенных слагаемых, тогда как четность может компенсировать уход на бесконечность, обусловленную слагаемыми со степенью на единицу меньшей.

Записана упрощенная система, содержащая связь только через переменные не выше третьего порядка, соответствующую потенциалу четвертого порядка. Показано, что, благодаря наличию двух с половиной степеней свободы, потенциалы для каждого из уравнений должны отличаться друг от друга, давая собственный вклад в обобщенные силы.

Рассмотрена возможность возбуждения в такой системе колебаний автомодуляционного характера. Показано, что наиболее простым достаточным условием существования таких колебаний, при действии возбуждения только на первый осциллятор, является наличие в первом уравнении слагаемого второго порядка, а во втором - первого. Показано, что в силу подобия колебаний второго осциллятора колебаниям первого, достаточно рассмотреть вынужденные колебания только одного осциллятора с квадратичной нелинейностью, потенциал для которого является кубическим.

Рассмотрены свободные и вынужденные колебания осциллятора с кубическим потенциалом. Показано, что свободные колебания возможны только в пределах потенциальной ямы, ограниченной с одной стороны бесконечным ростом потенциала, а с другой - потенциальным барьером, по обратную сторону от которого потенциал стремится к минус бесконечности. Для вынужденных колебаний возможны все четыре основных режима, сменяющие друг друга по мере увеличения амплитуды возбуждения, причем первые три режима реализуются внутри потенциальной ямы, а четвертый - с выходом из нее за пределы потенциального барьера.

На основе последовательного рассмотрения различных этапов развития колебаний во времени построена модель фазовой задержки, позволяющая объяснить значительное (на несколько периодов) рассогласование фаз колебаний осциллятора относительно вынуждающей силы. Путем аналогичного рассмотрения построена модель двухамплитудных колебаний, являющихся частным случаем режима № 2 - регулярных автоколебаний с модулированной амплитудой. Показано, что решающую роль здесь играет задержка вынужденных колебаний относительно действующей силы, обусловленная уменьшением скорости движения в ближней окрестности точки максимума барьера потенциала. При этом периодичность колебаний проявляется в повторении от цикла к циклу одного и того же движения осциллятора в области поворота на пологом близком к вершине барьера участке потенциала.

Рассмотрены условия возможности реализации квазихаотического характера колебаний осциллятора (режим № 3). Показано, что необходимым условием такого режима является приближение осциллятора к вершине потенциального барьера настолько близко, что малые изменения его координаты приводят к большому изменению времени задержки. Для интерпретации увеличения времени задержки предложена модель динамического фазового перехода, предполагающая скорость изменения отклонения координаты осциллятора от максимума барьера (параметра порядка) пропорциональной величине действующей на осциллятор потенциальной силе. На основе предложенной модели оценена степень зависимости времени задержки осциллятора вблизи вершины барьера от величины приближения к ней. Показано, что по мере приближения осциллятора к барьеру время задержки возрастает экспоненциальным образом, стремясь к бесконечности, что и является причиной стохастизации колебаний.

На основе сравнения квазихаотических режимов для одного и двух осцилляторов показано, что в случае двух осцилляторов стохастичность колебаний выражена значительно сильнее, чем для одного, причем подобие колебаний второго осциллятора колебаниям первого в значительной степени нарушается.

Литература

колебание намагниченность автомодуляционный фазовый

1. Физическая энциклопедия. Т. 1. М.: Советская энциклопедия. 1988. Статья «Гиперзвук».

2. Такер Дж., Рэмптон В., Гиперзвук в физике твердого тела. М.: Мир. 1975.

3. Поверхностные акустические волны. Под ред. Олинера А.М.: Мир. 1981.

4. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.: Наука. 1981.

5. Bleustein J.L. // Appl. Phys. Lett. 1968. V.13. P. 412.

6. Гуляев Ю.В. // ПЖЭТФ. 1969. Т. 9. С. 63.

7. Кикучи Е. Ультразвуковые преобразователи. М.: Мир. 1972.

8. Голямина И.П. // Магнитострикционные излучатели из ферритов. В кн.: Физика и техника мощного ультразвука. Кн. 1. Источники мощного ультразвука. М.: Наука. 1967.

9. Физическая акустика. Под ред. Мэзона У., Терстона Р. Т. 1-7. М.: Мир. 1966-1974.

10. Comstock R.L., LeCraw R.C. // J. Appl. Phys. 1963. V. 34. № 10. P. 3022.

11. Suhl H. // J. Phys. Chem. Sol. 1957. V. 1. № 4. P. 209.

12. Моносов Я.А. // Нелинейный ферромагнитный резонанс. М.: Наука. 1971.

13. Захаров В.Е., Львов В.С., Старобинец С.С. // УФН. 1974. Т. 114. № 4. С. 609.

14. Temiryazev A.G., Tikhomirova M.P., Zilberman P.E. // J. Appl. Phys. 1994. V. 76. № 12. P. 5586.

15. Зильберман П.Е., Темирязев А.Г., Тихомирова М.П. // ЖЭТФ. 1995. Т. 108. № 1. С. 281.

16. Гуляев Ю.В., Зильберман П.Е., Темирязев А.Г., Тихомирова М.П. // РЭ. 1999. Т. 44. № 10. С. 1262.

17. Гуляев Ю.В., Зильберман П.Е., Темирязев А.Г., Тихомирова М.П. // ФТТ. 2000 Т. 42. № 6. С. 1062.

18. Gerrits Th., Schneider M.L., Kos A.B., Silva T.J. // Phys. Rev. B. 2006. V. 73. № 9. P. 094454(7).

19. Власов В.С. Исследование релаксационной и нелинейной динамики магнитных и магнитоупругих колебаний пленок и частиц. Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. МГУ. 2007.

20. Власов В.С., Котов Л.Н., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2009. Т. 54. № 7. С. 863.

21. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Электронный "Журнал радиоэлектроники", 2013, № 11, c. 1-38. http://jre.cplire.ru/jre/nov13/3/text.html, http://jre.cplire.ru/jre/nov13/3/text.pdf.

22. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Электронный "Журнал радиоэлектроники", 2014, № 1, c. 1-42. http://jre.cplire.ru/jre/jan 14/11/text.html, http://jre.cplire.ru/jre/jan 14/11/text.pdf.

23. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2015. Т. 60. № 1. С. 79.

24. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // РЭ. 2015. Т. 60. № 3. С. 297.

25. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Сборник трудов XXI Международной конференции «Электромагнитное поле и материалы». М.: НИУ МЭИ. 2013. С. 188.

26. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Сборник трудов XXI Международной конференции «Электромагнитное поле и материалы». М.: НИУ МЭИ. 2013. С. 199.

27. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Сборник материалов X Международной зимней школы-семинара «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС-2013). Саратов: Изд. центр «Наука». 2013. С. 78.

28. Котов Л.Н., Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Вестник Челябинского государственного университета. 2013. № 25 (316). Физика. Вып. 18. С.27.

29. Власов В.С., Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Сборник трудов XXII Международной конференции «Электромагнитное поле и материалы». М.: НИУ МЭИ. 2014. С. 161.

30. Иванов А.П., Шавров В.Г., Щеглов В.И. // Электронный «Журнал радиоэлектроники». 2015. № 5. http://jre.cplire.ru/jre/may15/4/text.html, http://jre.cplire.ru/jre/may15/4/text.pdf.

31. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. М.: Наука. 1988.

32. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. М.: Физматлит. 2003.

33. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М.: Наука. 1978.

34. Лагранж Ж. Аналитическая механика, т. 1, 2. М.: Гостехиздат. 1950.

35. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика (Теоретическая физика, т. I). М.: Наука. 1965.

36. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. М.: Наука. 1970.

37. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика (Теоретическая физика, т. Х). М.: Наука. 1979.

38. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.Л.: ОГИЗ. Гос. изд. техн.-теор. лит. 1945.

Размещено на Allbest.ru