Преобразование Гильберта

Размещено на http://www.allbest.ru/

тема преобразование гильберта

сигналы и линейные системы

То, что не может произойти, никогда не может быть, а если произошло, то не должно нас удивлять.

Марк Туллий Цицерон. Римский философ и политик, I в.д.н.э.

Однако пока не создано строгой математической теории чудес, приходится наоборот не удивляться, когда они не осуществляются, и удивляться, когда они осуществляются.

Николай Пятин. Воронежский геофизик Уральской школы, XX в.

введение

Преобразование Гильберта для любого произвольного сигнала представляет собой идеальный широкополосный фазовращатель, который осуществляет поворот начальных фаз всех частотных составляющих сигнала на угол, равный 90о (сдвиг на /2). Применение преобразования Гильберта позволяет выполнять квадратурную модуляцию сигналов, в каждой текущей координате модулированных сигналов производить определение огибающей и мгновенной фазы и частоты сигналов, выполнять анализ каузальных систем обработки сигналов.

Давид Гильберт (Hilbert, 1862-1943), немецкий математик. Окончил Кенигсбергский университет. В 1895-1930 годах профессор Геттингенского университета. Исследования Гильберта оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, а его деятельность в Гёттингенском университете содействовала тому, что Геттинген являлся одним из основных мировых центров математической мысли.

1. сущность Преобразования Гильберта [1, 2, 21]

преобразование гильберт сигнал подобие

Определение преобразования. Прямое преобразование Гильберта произвольной действительной функции x(t), - < t < , результат которого будем отображать со знаком тильды над индексом исходной функции, задается сверткой x(t) с функцией hb(t) = 1/(t):

(t) = ТН[x(t)] = x(t) * (1/t),

(t) = . (1.1)

Функция 1/(t-) называется ядром преобразования Гильберта. Обратное преобразование Гильберта определяется выражением:

x(t) = - (1.1')

Рис. 1.1.

Интегралы преобразования имеет особую точку a = t- 0, в которой при вычислении используется их главное значение по Коши:

[... +...].

Оператор Гильберта определен по аргументу от - до и имеет полюс в точке t=0 с разрывом значений от - до . Основной участок формы оператора Гильберта и пример преобразования сигнала приведены на рис. 1.1. Функции x(t) и (t) обычно называют сопряженными по Гильберту.

Спектральная характеристика преобразования. Выполним преобразование Фурье функции (1.1). В общей форме:

(f) = TF[(t)] = X(f) Hb(f), (1.2)

(f) =(t) exp(-j2 ft) dt. (1.2')

Заметим, что произведение X(f)Hb(f) не является преобразованием Гильберта спектральной функции X(f). Это не более чем преобразование Фурье свертки функций: x(t)*hb(t) X(f)Hb(f), которое позволяет вычислить результат преобразования Гильберта во временной области через частотную область:

(t) =(f)exp(j2 ft) df =X(f)Hb(f)exp(j2 ft) df .

Рис. 1.2.

Функция hb(t)=1/?t является нечетной, а спектр этой функции, представленный только мнимой частью, является обратной сигнатурной функцией (рис. 1.2):

Hb(f) = TF[1/t] = -jsgn(f) = (1.3)

Рис.1.3.

Соответственно, формулы (1.1) задают преобразование сигнала x(t) системой, частотная передаточная характеристика которой отображается функцией -jsgn(f). Фурье-образ функции (t):

(f) = -j sgn(f)X(f). (1.2")

Изменение спектра сигналов при выполнении преобразования Гильберта. На рис. 1.3 приведено преобразование радиоимпульсного сигнала x(t) с несущей частотой fo в сигнал (t) во временной области непосредственно через операцию свертки по (1.1). Сигнал x(t) является односторонним каузальным. Спектр сигнала содержит реальную и мнимую составляющие, т.е. может быть записан в виде X() = Re(X()) + jIm(X()). Эти составляющие для сигнала x(t) показаны непрерывными кривыми на рис. 1.4.



Рис. 1.4.

При выполнении преобразования (1.2") реальная и мнимая части спектра X() умножаются на -jsgn(). Функция Re(X()) умножается на 1 при <0, на 0 при =0 и на -1 при >0, и тем самым превращается в нечетную мнимую часть Im(()) спектра () функции (t), показанную пунктиром. Это означает, что все косинусные гармоники сигнала, которым соответствует реальная часть спектра сигнала, превращаются в синусные гармоники.

Аналогично на функцию -jsgn() умножается и мнимая функция jIm(X(, при этом сигнатурная функция инвертируется (-jj = 1), что меняет знак левой части функции Im(X( - области отрицательных частот, и превращает ее в реальную четную часть Re(()) спектра (). Синусные гармоники спектра сигнала превращаются в косинусные гармоники.

Угол, на который изменяется фаза гармоник, можно определить из следующих соображений. Частотную характеристику Hb(f) (1.3) можно записать в следующем виде:

Hb(f) = |Hb(f)|exp(j h(f)), где |Hb(f)| = 1.

Hb(f) = -jsgn(f) = , (1.3')

Если спектр функции x(t) также представить в виде

X(f) = |X(f)|exp(j x(f)),

то выражение (1.2) преобразуется к следующей форме:

(f) = |X(f)|exp(j x(f))exp(j h(f)) = |X(f)|exp[j(x(f)+h(f))], (1.2''')

т.е. амплитудный спектр сигнала (t) - как результат преобразования Гильберта сигнала x(t), не изменяется и остается равным амплитудному спектру сигнала x(t). Фазовый спектр сигнала (t) (начальные фазовые углы всех гармонических составляющих сигнала) сдвигается на -90о при f > 0 и на 90о при f < 0 относительно фазового спектра сигнала x(t). Но такой фазовый сдвиг и означает не что иное, как превращение косинусных гармоник в синусные, а синусных в косинусные. Последнее нетрудно проверить на единичной гармонике.

Если x(t) = cos(2 fot), то имеем следующее преобразование Гильберта через частотную область:

(t) = H[x(t)] TF[H[x(t)]] = -j sgn(f)[(f+fo)+(f-fo)]/2. (1.4)

(f) = -j[-(f+fo)+ (f-fo)]/2 = j·[(f+fo)- (f-fo)]/2. (1.5)

Но последнее уравнение - спектр синусоиды. При обратном преобразовании Фурье:

(t) = TF-1[(f)] = sin(2 fot). (1.6)

При x(t) = sin(2 f t) аналогичная операция дает (t) = -cos(2?fot). Знак минус демонстрирует отставание (запаздывание) выходного сигнала преобразования, как операции свертки, от входного сигнала. Для гармонических сигналов любой частоты с любой начальной фазой это запаздывание составляет четверть периода колебаний. На рис. 1.3 этот сдвиг на четверть периода для единичной гармонической составляющей (несущей частоты радиоимпульса) виден достаточно наглядно. Таким образом, преобразование Гильберта, по существу, представляет собой идеальный фазовращатель, осуществляющий фазовый сдвиг на 900 всех частотных составляющих сигналов одновременно.

Сдвиг фазы спектров сигналов x(t) на ?/2 определяет изменение четности и самих сигналов: четный x(t) нечетный (t), и наоборот.

Спектры каузальных функций. Каузальная (физически осуществимая) линейная система (равно как и произвольная причинно обусловленная функция) задается односторонним импульсным откликом (выражением) h(t), t 0, и имеет частотную характеристику H(f):

H(f) = A(f) - jB(f),

где A(f) и B(f) - действительная (четная) и мнимая (нечетная) части частотной характеристики. Осуществим обратное преобразование Фурье для всех частей этого выражения:

h(t) = a(t) + b(t),

a(t) =A(f) cos(2ft) df, b(t) =B(f) sin(2ft) df,

где a(t) и b(t) - соответственно четная и нечетная части импульсного отклика h(t). Условие каузальности для импульсного отклика (h(t) = 0 при t<0) будет выполнено, если при t<0 функции a(t) и b(t) компенсируют друг друга. Тогда общее условие каузальности, как можно наглядно видеть на рис. 1.5, с учетом нечетности функции b(t), запишется в следующем виде:

b(t) = -a(t), b(t) = -h(t)/2, a(t) = h(t)/2, t < 0, (1.7)

b(t) = 0, a(t) = a(0) = h(0), t = 0,

b(t) = a(t) = h(t)/2, t > 0.

Рис. 1.5. Параметры каузальной функции.

Из этих условий следует, что нечетная функция b(t) в каузальной системе однозначно связана с четной функцией:

b(t) = sgn(t)a(t), (1.8)

Осуществляя преобразование Фурье обеих частей данного равенства при известном преобразовании сигнатурной функции (sgn(t) j/?f), получаем:

Im(H(f)) = (j/f) * A(f),

или, с учетом знака мнимой части:

B(f) = -(1/f) * A(f) = -(1/) [A(v)/(f-v)] dv. (1.9)

Аналогично определяется и действительная компонента спектра по мнимой части:

A(f) = (1/f) * B(f) = (1/) [B(v)/(f-v)] dv. (1.10)

Таким образом, реальная и мнимая части спектра физически осуществимых (односторонних) систем, а равно и произвольных каузальных сигналов, связаны парой преобразований Гильберта. Они позволяют производить определение любой, действительной или мнимой, части частотной характеристики каузальной функции путем свертки другой ее части с функцией 1/f.

2. Свойства преобразования Гильберта [1, 2]

Для любых произвольных функций x(t) и y(t), имеющих Фурье - образы X(), Y() и преобразования Гильберта (t) = ТН[x(t)] и (t) = ТН[y(t)], действительны следующие свойства:

Линейность. ТН[ax(t)+by(t)] = a(t)+b(t) при любых постоянных значениях коэффициентов а и b для любых произвольных функций x(t) и y(t).

Сдвиг. ТН[x(t-a)] = (t-a).

Преобразование константы, а в силу линейности преобразования, и постоянной составляющей сигнала, равно нулю. Это прямо следует из нечетности ядра преобразования Гильберта. Отсюда следует, что при преобразовании Гильберта из квадратурной составляющей исключается постоянная составляющая.

Свойство четности и нечетности определяется сдвигом всех гармоник сигнала на /2, при этом четные сигналы x(t) дают нечетные сигналы (t), и наоборот. Это действительно и для произвольных сигналов относительно их четных и нечетных частей.

Последовательное двойное преобразование Гильберта возвращает исходную функцию с обратным знаком ТН[ТН[x(t)]] = ТН[(t)] = -x(t). Это определяется тем, что при двойном преобразовании фазы всех гармоники сигнала сдвигаются на, что изменяет знак их гармоник. Однако в силу исключения из сигнала при первом преобразовании постоянной составляющей, при двойном преобразовании сигнал x(t) восстанавливается с исключенным средним значением по интервалу задания.

Обратное преобразование Гильберта, по существу, это второе преобразование в последовательном двойном преобразовании Гильберта с изменением знака результата:

x(t) = ТH-1[(t)] = -= (t) * (-1/?t). (2.1)

Альтернативная форма вычисления x(t) из (t):

x(t) = TF-1[(j sgn(f)TF[(t)]]. (2.1')

Подобие при изменении масштаба аргумента: ТН[x(at)] = (at).

Энергетическая эквивалентность:

x2(t) dt =2(t) dt. (2.2)

Это следует из теоремы Парсеваля (энергия сигнала равна сумме энергии всех частотных составляющих сигнала) и равенства модулей спектров сигналов x(t) и (t) (энергия сигнала не зависит от его фазовочастотной характеристики).

Свойство ортогональности:

x(t)(t) dt = 0. (2.3)

Если все косинусные составляющие сигнала x(t) превращаются в ортогональные им синусные составляющие сигнала , а синусные - в ортогональные им косинусные, то и сигналы x(t) и должны быть ортогональны. Из теоремы Парсеваля следует:

x(t)(t) dt = X*(f)(f).

Функция X*(f)(f) = -X*j sgn(f)X(f) = -j sgn(f)|X(f)|2 является нечетной, а поэтому определенный интеграл от этой функции по симметричным относительно нуля пределам равен нулю. Ортогональность сигналов наглядно видна на рис. 1.1.

Свойство свертки:

TH[x(t) * y(t)] = (t) * y(t) = x(t) * (t). (2.4)

Это вытекает из следующих соображений. Примем z(t) = x(t) * y(t), при этом:

Z(f) = X(f)Y(f), (f) = -j sgn(f)Z(f) = -j sgn(f) X(f)Y(f).

(f) = [-j sgn(f) X(f)]Y(f) = (t)Y(f) (t) * y(t).

(f) = X(f)[-j sgn(f) Y(f)] = X(f)(f) x(t) *(t).

Отсутствие коммутативности с преобразованием Фурье:

TF[ТН[x(t)]] ТН[TF[x(t)]]. (2.5)

Свойство модуляции: Модулирующие сигналы u(t), как правило, имеют ограниченный спектр, максимальные частоты которого много меньше значения несущей частоты o, при этом:

ТН[u(t)cos(ot)] = u(t)sin(ot). (2.6)

Для четных функций u(t) это свойство очевидно. При переходе в частотную область:

ТН[u(t)cos(o)] -jsgn()[U() * ((+o)+(-o))].

Множитель -jsgn() является знаковой константой по и может быть внесен под интеграл свертки и умножен на ((+o)+(-o)), что, как уже рассматривалось ранее (см. 1.4 - 1.6), при обратном преобразовании Фурье дает u(t)sin(ot).

Аналогично можно показать, что

ТН[u(t)sin(ot)] = -u(t)cos(ot). (2.7)

3. Вычисление преобразования Гильберта [1,2,21]

Преобразование Гильберта аналоговых сигналов целесообразно выполнять не по формулам линейной свертки с оператором 1/?t, который стремится к при t 0, а через спектр аналитической функции:

z(t) = x(t) + j(t) X(f) + j(f) = Z(f). (3.1)

Заменяя в этом выражении функцию (f) = -j sgn(f)X(f), получаем:

Z(f) = [1+sgn(f)]X(f), (3.2)

где функция 1+sgn(f) равна 0 при f < 0, 1 при f = 0 и 2 при f > 0, при этом:

Z(f) = , (3.2')

т.е. спектр функции z(t) является односторонним и устанавливается непосредственно по спектру функции x(t) при f 0 (см. также (1.13)). Обратное преобразование Фурье функции Z(f) должно давать комплексную функцию z(t), при этом из (3.2') следует:

x(t) = Re [2X(f) exp(j2 ft) df], (3.3)

(t) = Im [2X(f) exp(j2 ft) df]. (3.3')

В дискретной форме, при общем числе N отсчетов функции x(t) с шагом t, с шагом по частоте f =1/(N t):

X(nf) = ?tx(kt)exp(-j2kn/N), n = 0,1,...,N/2. (3.4)

х(kt) = fRe[Xo+2X(nf)exp(j2kn/N)]. (3.5')

(kt) = 2fIm[X(nf)exp(j2kn/N)]. (3.5)



Рис. 3.1.

На рис. 3.1 приведен пример преобразования Гильберта, выполненный через частотную область. Естественно, что при реальном использовании преобразования Гильберта выполнять вычисления по (3.5') не требуется.

Оператор дискретного преобразования Гильберта hb(kt) 1/t на интервале от -Т до Т с шагом t можно получить обратным преобразованием Фурье частотной характеристики Hb(f) (выражение 1.3) в интервале от -fN до fN (fN=1/2t). При t=1:

hb(kt) =Hb(f) exp(j2fkt) df =j exp(j2fkt) df -j exp(j2fkt) df = [1/(2kt)][1-exp(-jkt)-exp(jkt)+1] = [1/(kt)][1-(exp(-jkt)+exp(jkt)/2] = [1/(kt)](1-cos(kt)) = [2/(kt)] sin2(kt/2). (3.6)

hb(kt) = 2/(t), k = 1, 3, 5, ... , (3.6')

hb(kt) = 0, k = 0, 2, 4, ... .

Нетрудно убедиться, что коэффициент усиления постоянной составляющей оператора равен нулю, а коэффициент усиления дисперсии помех равен 1.

В частотной области при выполнении преобразования Гильберта спектральных функций оператор свертки hb(k?f)1/?f не отличается от приведенного для временной области.

Литература

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы Учебник для вузов. - М. Высшая школа, 1988.

2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. - М.: Мир, 1989. - 540 с.

21. Рапопорт М.Б. Вычислительная техника в полевой геофизике: Учебник для вузов. - М.: Недра, 1993. - 350 с.

Краткое послесловие

ДАВИД ГИЛЬБЕРТ (1862-1943)

Его называют последним всесторонним математиком и учителем математиков 20 века.

Родился в столице Пруссии Кенигсберге незадолго до объединения немецких государств в Германскую империю. Окончил Кёнигсбергский университет лидером среди сверстников в науке. В 1985 году переехал в Геттинген, место паломничества немецкой математической молодежи. В 1895-1930 годах - профессор Гёттингенского университета.

В математике Гильберт был "классиком", поочередно осваивал области математики и заканчивал освоение, написав хороший учебник и прочитав соответствующий курс для студентов. Гильберт был заботлив с учениками, в которых замечал "искру Божью". Но если она угасала, то вежливо советовал им сменить род деятельности. Бездельников полноценными людьми не считал. Гильберт был открытым человеком, семьей Гильберта были его ученики из всех стран Европы и Америки. Гильберт регулярно устраивал совместные чаепития и турпоходы, во время которых математические дискуссии прерывались студенческим трепом обо всем на свете. Для чопорной немецкой профессуры такой стиль общения со студентами был непривычен; но авторитет Гильберта сделал его нормой в Геттингене, а ученики и стажеры разнесли эту норму по всему свету.

Гильберт начал свои исследования с алгебры и 5 лет наводил в ней порядок. После первых алгебраических увлечений интерес Гильберта сместился в две области геометрии: классическую геометрию Евклида и геометрию бесконечномерных пространств, называемую функциональным анализом. За 23 столетия в геометрии Евклида было выявлено достаточно много пробелов. В 1899 году Гильберт предложил новую, логически более совершенную систему из 20 аксиом. Среди векторных пространств Гильберт выделил то, в котором определены расстояние между точками, угол между векторами и предел последовательности точек. Этот аналог евклидова пространства теперь называют гильбертовым пространством.

Успех внушил Гильберту надежду, что в каждой области математики можно ввести полную и строгую систему из необходимых и достаточных определений и аксиом, а вывод всех прочих утверждений можно формализовать. Гильберт сознавал, что эта гипотеза требует тщательной проверки. В качестве контрольного примера он выбрал знаменитую континуум - гипотезу Кантора из теории множеств. Гильберт попробовал доказать недоказуемость континуум - гипотезы, и это ему удалось. Но когда он попытался доказать ее неопровержимость, то потерпел неудачу. Следовательно, континуум-гипотеза является одной из аксиом теории множеств. Как потом подтвердилось, утверждения вроде континуум-гипотезы найдутся в любой системе аксиом, даже в системе Евклида - "пятый постулат" о параллельных прямых. Надежда Гильберта на полную формализацию математики не сбылась. Но Гильберт не огорчался. Природа оказывается богаче, и развитие науки никогда не прекратится!

В новых и бурно развивающихся ветвях математики - теории множеств, математической логики, теории чисел, алгебраической геометрии, функционального анализа, Гильберт выделил одну-две наиболее трудные проблемы, такие как континуум-гипотеза и непротиворечивость арифметики, распределение простых чисел и трансцендентность числа е..., классификация непрерывных групп и разрешимость диофантовых уравнений. К концу 20 века все эти задачи либо решены, либо доказана их неразрешимость. Гильберт верно угадал самые перспективные точки развития математической науки.

Как-то молодые ученики спросили Гильберта: решение какой задачи было бы сейчас полезнее всего для математики? Стареющий профессор ответил вполне серьезно: "Поймать муху на обратной стороне Луны! Сама эта задача никому не нужна. Но если она будет решена, то, какие могучие методы придется изобрести для этого, и какое множество других важных открытий мы при этом сделаем!"

В последние 10 лет жизни Гильберт бессильно наблюдал распад Геттингенской математической школы под властью нацистов. Их невежественное владычество сдвигало центр мировой научной мысли из Германии на запад, в США. Но в истории науки Давид Гильберт останется самым прозорливым и влиятельным математиком 20 века.

Размещено на Allbest.ru

...