Пакетные вейвлет-преобразования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пакетные вейвлет-преобразования

Введение

вейвлет энтропия спектрограмма

В обычном алгоритме Маллата быстрого вейвлет - преобразования (БВП) при переходе с масштабного уровня m на уровень m+1 функция аппроксимирующих коэффициентов с_m,k разделяется на низкочастотную (c_m+1,k) и высокочастотную (d_m+1.k) части спектрального диапазона, и при дальнейшем увеличении масштабных уровней аналогичному разложению последовательно подвергаются только низкочастотные функции (аппроксимирующие). В пакетном алгоритме БВП операция последовательного частотного расщепления применяется как для низкочастотных, так и для высокочастотных (детализирующих) коэффициентов. В результате возникает дерево расщепления, пример которого (в предельной форме расщепления на всех уровнях) показан на рис. 0.1.

При таком расщеплении вейвлеты каждого последующего уровня образуются из вейвлета предыдущего уровня разделением на два новых вейвлета:

y₁(t) =h_ny(t-n), y₂(t) =g_ny(t-n)

Новые вейвлеты также локализованы в пространстве, но на вдвое более широком интервале. Полный набор вейвлетных функций разложения называют вейвлет-пакетом.

Пакетное вейвлет-преобразование является адаптивным, и широко используется для компрессии сигналов и их очистки от шумов. Оно позволяет более точно приспосабливаться к особенностям сигналов путем выбора соответствующей оптимальной формы дерева разложения, которая обеспечивает минимальное количество вейвлет-коэффициентов при заданной точности реконструкции сигнала, и, тем самым, целенаправленно исключает из обратного БВП незначимые, информационно избыточные или ненужные детали сигналов. Мерой оптимальности обычно служит концентрация числа вейвлет-коэффициентов для реконструкции сигнала с заданной точностью (погрешностью). Оценка информативности набора коэффициентов выполняется по энтропии, под которой обычно понимается величина:

E = exp(-p_n·log(p_n)), p_n = |x_n|² ||x||^-2.

Любое усреднение коэффициентов увеличивает энтропию. При анализе дерева вычисляется энтропия узлов и его разделенных частей c и d. Если при разделении узла энтропия не уменьшается, то дальнейшее ветвление с этого узла не имеет смысла.

Нижеследующее описание вейвлет-преобразований базируется на пакете расширения Wavelet Toolbox в системе Matlab. Для просмотра формы пакетных вейвлетов и получения о них более подробной информации аналогично обычным вейвлетам можно использовать интерфейс GUI (команда 'wavemenu', кнопка 'Wavelet Packet Display' окна 'Wavelet Toolbox Main Menu'), пример окна просмотра вейвлетов приведен на рис. 0.2.

1. Пакетное разложение сигналов /3/

Одномерное вейвлет-разложение. Пакетное вейвлет-преобразование вектора (сигнала) S в рамках полного дерева разложения до уровня N вейвлетом 'wname' выполняется функцией wpdec:

? V = wpdec (S, N, 'wname', TYPE, Р).

Строковый параметр TYPE задает тип энтропии, и может принимать значения 'shannon', 'threshold', 'norm', 'log energy', 'sure' или 'user'. Параметр Р зависит от энтропии:

- если 'shannon' или 'log energy', то Р не используется;

- если 'threshold' или 'sure', то Р - пороговое значение (положительное число);

- если 'norm', то Р - мощность и должна быть равна P?1;

- если 'user', то Р - строка имени m-файла пользователя с входом сигнала S для расчета собственной функции энтропии.

Параметр Е может не указываться, при этом по умолчанию он принимается равным Е='shannon' и значения Р также не требуется.

Двумерное вейвлет-разложение выполняется функцией wpdec2 с теми же значениями параметров.

График дерева пакета и графики коэффициентов разложения в узлах дерева (по указанию) строятся функцией plot(V). На графиках можно просматривать функции разложения во всех узлах дерева, начиная с самого входного сигнала (узел (0,0)). Нумерация узлов может быть изменена на порядковую сверху вниз слева направо (меню: Node Label Index).

Просмотр дерева разложения и коэффициентов декомпозиции может выполняться и функцией drawtree(V), при этом автоматически включается интерфейс графического окна GUI и дальнейшие операции разложения можно выполнять непосредственно в окне с соответствующими широкими возможностями изменения параметров разложения и просмотра сигналов.

Оптимизация построения дерева пакетного разложения выполняется функциями bestlevt и besttree. Они применяются после расчета полного дерева.

Функция bestlevt возвращает полное оптимальное дерево исходного дерева V по критерию энтропии, т.е. разложение дерева по наилучшему уровню, которое может быть и меньшей глубины, чем исходное:

V = bestlevt(V).

[V, E] = bestlevt(V),

где Е - массив значений энтропии в узлах дерева (порядковая нумерация).

Пример оптимизации дерева вейвлет-разложения.

load noisdopp; x=noisdopp; N=3; v=wpdec (x, N, 'db1');

v=wpsplt (v, [3 0]); v=wpsplt (v, 15); plot(v);

blv= bestlevt(v); plot(blv);

На рис. для модельного сигнала noisdopp (в центре) выполнен расчет исходного дерева (слева) до уровня N=3 с дополнительным применением функции разложения для отдельных узлов дерева wpsplt (v, n), где n - номер узла (порядковый или позиционный). Справа на рисунке приведено оптимальное дерево по критерию энтропии. Для обоих деревьев включена порядковая индексация. Применение функции bestlevt показывает, что для данного сигнала разложение 7-го и 15-го узла не понижает энтропии и не имеет особого смысла (при общем пакетном разложении до уровня N=3).

Функция besttree выполняет более глубокий анализ исходного дерева и при разложении узлов предлагает наилучшее дерево по критерию энтропии, прекращая дальнейшее разложение узла, если энтропия ветви начинает увеличиваться.

? V = besttree(V).

? [V, E] = besttree(V), где Е - массив значений энтропии в узлах дерева (порядковая нумерация).

? [V, E, k] = besttree(V), где k - вектор индексов узлов дерева, дальнейшее разложение которых до заданного уровня N прекращено в связи с возрастанием энтропии (порядковая нумерация).

Пример определения наилучшего дерева вейвлет-разложения

load sumsin; x=sumsin (1:200); N=4; v=wpdec (x, N, 'db4'); plot(v);

[btv, E, k]=besttree(v); plot(btv);

На рис. приведен пример оптимизации дерева, при этом вектор k фиксирует значения k = {12,7,6,4} (снизу вверх справа налево начиная с уровня N-1).

Функция V = wp2wtree(V) извлекает из пакетного дерева V дерево только аппроксимирующих и детализирующих коэффициентов нулевой и первой позиции, т.е. коэффициенты c_j,0 и d_j,1 ветвей исходного дерева на последовательных уровнях j = 0, 1, и т.д. Пример модификации приведен на рис. 1.

Модификация энтропии дерева может быть выполнена функцией

? V = entrupd (V, TYPE, P), где Р - оптимальный параметр энтропии, задавать который не обязательно.

Пакетная вейвлет-функция wpfun с форматом

? [WP, X] = wpfun ('wname', M, P),

? [WP, X] = wpfun ('wname', M), где по умолчанию Р = 7,

возвращает пакет вейвлетов 'wname' на двойном интервале 2^-Р, где Р - целое положительное число, на векторе сетки Х. Выходная матрица WP содержит М+1 строку вейвлетных функций W с нумерацией от 0 до М (W₀, W₁, …, W_M).

Нулевая функция W₀ является масштабирующей (скейлинг-функция), первая W₁ - вейвлетной. Для ортогональных вейвлетов процесс вычисления начинается с задания двух фильтров h(n) и g(n) длиной 2М, с вычисление последующих по формуле:

W_2n(x) =h(k) W_n(2x-k).

Пример вычисления вейвлетов приведен на рис. 1.7.

Пакетные вейвлет-коэффициенты разложения в узлах k дерева V возвращаются функцией

X = wpcoef (V, k),

X = wpcoef(V), эквивалент функции X = wpcoef (V, 0).

Пример извлечения вейвлет-коэффициентов разложения (рис. 1.8).

load noisdopp; x=noisdopp;

subplot(311); plot(x); title('signal');

N=3; wp=wpdec (x, N, 'db1');

cf1=wpcoef (wp, [2 0]); subplot(312);

plot(cf1); title ('site 2,0 or 3');

cf2=wpcoef (wp, 7); subplot(313);

plot(cf2); title ('site 3,0 or 7)');

Нумерация узлов может применяться как позиционная, так и порядковая. Если узел не существует, выводится пустая строка (X = []).

2. Преобразования пакетов и реконструкция сигналов /3/

После пакетного разложения сигналов и изучения вейвлет-коэффициентов разложения в узлах дерева обычно производится определенная модификация дерева - ограничение дерева до определенного уровня и отсечка ветвей с малозначимыми коэффициентами или с локальными особенностями сигналов, например - с шумами.

Отсечка пакетного дерева V до определенного уровня разложения L выполняется функцией wpcutree:

V = wpcutree (V, L),

[V, R] = wpcutree (V, L),

где R - вектор индексов конечных (терминальных) узлов.

Пример сечения дерева (рис. 2.1).

load noisdopp; x=noisdopp;

wp=wpdec (x, 3, 'db1');

[nwp, R]= wpcutree (wp, 2); plot(nwp);

Вектор R' (транспонированный) = [3 4 5 6].

Отсечка узлов дерева V с определенной позиции или порядкового номера k выполняется функцией wpjoin:

V = wpjoin (V, k),

[V, S] = wpjoin(V),

где S - вейвлет-коэффициенты всех оставленных узлов дерева,

V = wpjoin(V), эквивалент функции V = wpjoin (V, 0).

Пример отсечки узлов дерева

load noisdopp; x=noisdopp;

wp=wpdec (x, 3, 'db1'); plot(wp);

wpt= wpjoin (wp, 2); plot(wpt);

Выделение локальных сигналов (особенностей сигналов) из узлов k дерева разложения V и восстановление их в исходном масштабе входного сигнала выполняется функцией:

X = wprcoef (V, k),

X = wprcoef(V), эквивалент функции X = wprcoef (V, 0).

Пример определения наилучшего дерева вейвлет-разложения

load sumsin; x=sumsin (1:500); subplot(221); plot(x); axis([100,400, - 3,3]);

v=wpdec (x, 4,'db4'); plot(v); c1= wprcoef (v, 1);

c2= wprcoef (v, 2); c3= wprcoef (v, 15);

subplot(222); plot(c1); axis([100,400, - 2. 2,2.2]);

subplot(223); plot(c2); axis([100,400, - 1. 2,1.2]);

subplot(224); plot(c3); axis([100,400, - 1. 2,1.2]);

Полная реконструкция сигнала по дереву разложения V (пакетное вейвлет-восстановление) выполняется функциями wprec(V) для одномерных, и wprec2 (V) для двумерных разложений.

Литература

1. Дьяконов В., Абраменкова И. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. - СПб: Питер, 2002, 608 с.

Размещено на Allbest.ru