Z-преобразование сигналов и системных функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Z-преобразование сигналов и системных функций



Введение

Цифровая обработка сигналов оперирует с дискретными представлениями сигналов. Математика дискретных преобразований зародилась в недрах аналоговой математики еще в 18 веке в рамках теории рядов и их применения для аппроксимации функций, однако ускоренное развитие она получила в 20 веке после появления первых вычислительных машин. В принципе, в своих основных положениях математический аппарат дискретных преобразований подобен преобразованиям аналоговых сигналов и систем. Однако дискретность данных требует учета этого фактора, а его игнорирование может приводить к существенным ошибкам. Кроме того, ряд методов дискретной математики не имеет аналогов в аналитической математике.

Распространенным способом анализа дискретных цифровых последовательностей является z-преобразование (z-transform). Оно играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как для аналоговых - преобразование Лапласа. Большое значение z-преобразование имеет для расчетов рекурсивных цифровых систем обработки сигналов, а потому рассматривается отдельной темой перед началом изучения рекурсивных цифровых фильтров.



1. Z-трансформация сигналов [4, 12, 22]

Определение z-преобразования. Z-преобразование представляет собой разложение функций в ряды степенных полиномов по z. Впервые z-преобразование введено в употребление П.Лапласом в 1779 и повторно "открыто" В. Гуревичем в 1947 году с изменением символики на z^-k. В настоящее время в технической литературе имеют место оба вида символики. На практическое использование преобразования это не влияет, т.к. смена знака только зеркально изменяет нумерацию членов полинома (относительно z⁰), числовое пространство которых в общем случае от - до +. В дальнейшем в качестве основной будем использовать символику положительных степеней z, давая пояснения по особенностям отрицательной символики, если таковая имеется.

Произвольной непрерывной функции s(t), равномерно дискретизированной и отображенной отсчетами s_k = s(kDt), равно как и непосредственно дискретной функции, можно поставить в однозначное соответствие степенной полином по z, последовательными коэффициентами которого являются значения s_k:

s_k = s(kDt) Ы TZ[s(kDt)] =s_k z^k = S(z). (1.1)

где z = s+jw - произвольная комплексная переменная. В показательной форме

z = rexp(-jj), где r = |z| = , j = arg(z) =argtg(w/s).

Пример 1: s_k = {1, 2, 0, -1, -2, -1, 0, 0}.



S(z) = 1z⁰+2z¹+0z²-1z³-2z⁴-1z⁵+0z⁶+0z⁷ = 1+2z-z³-2z⁴-z⁵.

В каузальных системах значения импульсного отклика систем существуют при k ? 0 и уравнение (1.1) действует в одностороннем варианте:

H(z) =h_k z^k.

В общем случае, z-преобразование - это степенной ряд с бесконечным количеством членов, поэтому он может сходиться не для всего пространства значений z. Область z, в которой z-преобразование сходится и значения S(z) конечны, называют областью сходимости.

Пример 2: Последовательность (сигнал) конечной длины, непричинная: s_-k = {1, 2, 3, 2, 1}, k = 0, 1, 2, 3, 4.

S(z) = 1z⁰+2z^-1+3z^-2+2z^-3+1z^-4 = 1+2/z+3/z²+2/z³+1/z⁴.

Очевидно, что S(z) = ? при z = 0. Область сходимости - все значения z, за исключением z = 0.

Пример 3: Последовательность конечной длины, причинная (как импульсный отклик каузальной системы): s_k = {1, 2, 3, 2, 1}, k = 0, 1, 2, 3, 4.

S(z) = 1+2z+3z²+2z³+z⁴.

S(z) = ? при z = ?. Область сходимости - все значения z, за исключением z = ?.

Пример 4: Последовательность конечной длины, двусторонняя (как импульсный отклик симметричного фильтра): s_k = {1, 2, 3, 2, 1}, k = -2, -1, 0, 1, 2.



S(z) = 1z^-2+2z^-1+3z⁰+2z¹+1z² = 1/z²+2/z+3+2z+z².

S(z) = ? при z = 0 и z = ?. Область сходимости не включает точки z = 0 и z = ?.

Пример 5: Последовательность бесконечной длины, причинная (как импульсный отклик рекурсивного интегрирующего фильтра): s_k = 0 при k < 0, s = 1 при k ? 0.

S(z) = z^-0+z¹+z²+z³+ … = 1+z+z²+z³+ … = 1/(1-z)

Ряд удовлетворяет условию сходимости только при |z| < 1.

Значения z, для которых S(z) = ?, называются полюсами, а для которых S(z) = 0, называются нулями функции S(z). Как видно из примеров, для последовательностей конечной длины z-преобразование сходится везде кроме точки z=? для имеющих правостороннюю часть (k?0), и точки z=0 для имеющих левостороннюю часть (k<0), в любых их комбинациях. Для бесконечных причинных последовательностей преобразование сходится везде внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.

По заданному или полученному в результате анализа какой-либо системы z-полиному однозначно восстанавливается соответствующая этому полиному функция путем идентификации коэффициентов степеней при z^k с k-отсчетами функции.

Пример 6:

S(z) = 1+3z²+8z³-4z⁶-2z⁷ = 1z⁰+0z¹+3z²+8z³+0z⁴+0z⁵-0z⁶-2z⁷.

s_k = {1, 0, 3, 8, 0, 0, -4, -2}.

Смысл величины z в z-полиноме заключается в том, что она является оператором единичной задержки по координатам функции. Умножение z-образа сигнала s(k) на величину zⁿ означает задержку сигнала (сдвиг вправо по временной оси) на n интервалов: zⁿS(z) ? s(k-n). Чтобы убедиться в этом, достаточно в приведенном выше примере выполнить умножение многочлена S(z), например на z², выполнить обратное преобразование и получить новый сигнал s_k = {0, 0, 1, 0, 3, 8, 0, 0, -4, -2}.

Z-образы с положительными степенями z соответствуют каузальным (физически реализуемым) процессам и системам, которые работают в реальном масштабе времени с текущими и "прошлыми" значениями сигналов. При обработке информации на ЭВМ каузальность сигналов не относится к числу ограничений и возможно использование отрицательных степеней z, соответствующих отсчетам сигналов "вперед". Последнее применяется, например, при синтезе симметричных операторов фильтров, что позволяет производить обработку информации без внесения в сигнал фазовых искажений. При использовании символики z^-1 "прошлым" значениям соответствуют значения с отрицательными степенями z, "будущим" - с положительными.

Основное достоинство z-преобразований заключается в простоте математических операций со степенными полиномами, что имеет немаловажное значение при расчетах цифровых фильтров и в спектральном анализе.

Связь с преобразованиями Фурье и Лапласа. Запишем дискретный сигнал s_k в виде суммы весовых импульсов Кронекера:

s_k = s(kDt) =s(nDt) d(kDt-nDt).

Определим спектр сигнала по теореме запаздывания:

S() =s(kDt) exp(-jwkDt).



Выполним замену переменных, z = exp(-jwDt), и получим:

S() =s(kDt)z^k = S(z).

Отсюда следует, что дискретное преобразование Фурье является частным случаем z-преобразования при z = exp(-jwDt).

Аналогичной подстановкой z = exp(-p) может осуществляться переход к дискретному преобразованию Лапласа. В общем виде:

S(w) = S(z), z = exp(-jwDt); S(p) = S(z), z = exp(-pDt). (1.2)

Обратное преобразование:

S(z) = S(w), w = ln z / jDt; S(z) = S(p), p = ln z/Dt. (1.3)

При отрицательной символике z связь между представлениями осуществляется соответственно подстановками z^-1 = exp(jwDt) и z^-1 = exp(p).

При z^k = exp(-jwkDt) z-преобразование представляет собой особую форму представления дискретных сигналов, при которой на полином S(z) можно ссылаться как на временную функцию (по значениям коэффициентов kDt), так и на функцию частотного спектра сигнала (по значениям аргумента w).

Отображение z-преобразования выполняют на комплексной z-плоскости с Re z и Im z по осям координат (рис. 1).



Рис. 1. Комплексная z-плоскость

В частности, спектральной оси частот w на z-плоскости соответствует окружность радиуса:

|z| = |exp(-jwDt)| = = 1.

Подстановка значения какой-либо частоты w в z = exp(-jwDt) отображается точкой на окружности. Частоте w?= 0 соответствует точка Re z = 1 и Im z = 0 на правой стороне оси абсцисс. При повышении частоты точка смещается по окружности против часовой стрелки, и занимает крайнее левое положение на частоте Найквиста w_N = p/Dt (Re z = -1, Im z = 0). Отрицательные частоты спектра отображаются аналогично по часовой стрелке на нижней полуокружности. Точки w_N совпадают, а при дальнейшем повышении или понижении частоты значения начинают повторяться в полном соответствии с периодичностью спектра дискретной функции. Проход по полной окружности соответствует одному периоду спектра, а любая гармоника спектра сигнала задается на плоскости двумя точками, симметричными относительно оси абсцисс.

Сигналы и системы непрерывного времени очень часто описываются с помощью преобразования Лапласа. Если z=exp(-sDt), где s=s + jw, то

z = exp(-(s + jw)Dt) = exp(-sDt) exp(-jwDt).

Следовательно,

|z| = exp(-sDt), arg(z) = wDt = 2pfDt = 2pf/f_D,

где f_D - частота дискретизации, при этом ось w отображается на z-плоскости единичной окружностью, правая сторона s-плоскости отображается внутрь окружности, а левая сторона - на внешнюю сторону окружности. При использовании символики z^-1 отображение сторон s-плоскости на z-плоскости меняется местами.

2. Пространство z-полиномов [2, 12, 36]

Область сходимости. Полином S(z) (1.1) называют z-образом или z-изображением функции s(kDt). Преобразование имеет смысл для области тех значений z, в которой ряд S(z) сходится, т.е. сумма ряда представляет собой аналитическую функцию переменной z, не имеющую полюсов и особых точек:

|s_k||z|^k < ?

В общем случае, множества z, для которых полиномы S(z) сходится, образуют на z-плоскости определенные области, показанные на рис. 2.



Рис. 2

Из приведенной выше связи z-преобразования с преобразованием Фурье следует, что если функция s(t) имеет спектральное представление S(w), то единичная окружность |z| = |exp (-jw)| = 1 обязательно должна входить в область сходимости полинома S(z). И наоборот, если область сходимости полинома S(z) включает в себя единичную окружность, то дискретное преобразование Фурье функции s(t) - прообраза полинома S(z), должно существовать, а в противном случае - нет. Последнее следует из того, что z-преобразование, являясь более общим случаем преобразования дискретных функций, может существовать и для функций, для которых не существует преобразования Фурье. Примером этого может служить функция единичного скачка:

u_n = 1, n ? 0; u_n = 0, n < 0.

Для преобразования Фурье функции u(n) не выполняется условие абсолютной суммируемости (энергия функции бесконечна). Но для z-преобразования имеем:

|u_k||z|^k =|z|^k < ?, при |z| < 1.

Примеры z-преобразования часто встречающихся на практике дискретных сигналов.

Импульсы Кронекера. В общем случае, для импульса Кронекера в произвольной точке числовой оси:

d(k-n)_?=?? при k=n, d(k-n) = 0 при k ? n.

X_d(z) =d(k-n) z^k = zⁿ.

Для импульса Кронекера в нулевой точке соответственно X_?(z) = z⁰ =1. Ряд X_d(z) сходится на всей z-плоскости.

Функция Хевисайда (единичный скачок, причинная последовательность бесконечной длины, например, импульсный отклик рекурсивного интегрирующего фильтра).

x(k)_--= 0? при k < 0, x(k) = 1 при k 0.

X(z) =z^k = z^k.

Ряд сходится при |z| < 1, при этом его сумма равна:

X(z) = 1/(1-z).

Z-преобразование действительно везде внутри круга единичного радиуса с центром в начале координат.

При использовании символики z^-1:

X(z) = 1/(1-z^-1) = z/(z-1), |z| > 1.

На границе области аналитичности функция X(z) имеет один простой полюс при z=1.

Экспоненциальная функция:

x(k)_?= 0 при k < 0, x(k) = a^k при k 0.

X(z) =x(k) z^k = a^k z^k = (az)^k.

Как и в предыдущем случае, ряд сходится при |az| < 1, при этом:

X(z) = 1/(1-az), |z| < 1/a.

При использовании символики z^-1:

X(z) = z/(z-a), |z| > a.

Комплексная экспонента:

x(k) = exp(jwk), k ? 0; x(k) = 0, k < 0.

X(z) =exp(jwk) z^k =(z exp(jw))^k = 1/(1-z exp(jw)), |z| < 1.

Аналитическая форма z-образов существует для z-преобразований, если возможно свертывание степенного ряда в аналитическое выражение. Выше, в примерах z-преобразования, уже приводилось приведение к аналитической форме z-образов функции Хевисайда и экспоненциальной функции. Ниже в таблице приводится z-трансформация ряда распространенных функций, которые могут использоваться для прямого и обратного преобразования.

Таблица 1

Функция s(k), k?0	z - образ S(z)	z-1 - образ S(z)
b?	b??????z?????????????????|z| < 1	bz / (z-1), |z| > 1
b k	bz / (1-z)2, |z| < 1	bz / (z-1)2, |z| > 1
b k2	bz (1+z) / (1-z)3, |z| < 1	bz (z+1) / (z-1)3, |z| > 1
b ak	b / (1 - za), |z| < ??a	bz / (z - a), |z| > a
bkak	baz?/ (1 - za)2, |z| < ??a	baz / (z - a)2, |z| > a
cos--ak	(1-z cos a) / (1-2z cos a+z2), |z| < 1	z (z-cos a) / (z2-2z cos a+1), |z| > 1
sin?ak	z sin a / (1-2z cos a+z2), |z| < 1	z sin a / (z2-2z cos a+1), |z| > 1
b exp(-ak)	b / (1-z exp(-a)), |z| < 1/exp(-a)	bz / (z-exp(-a)), |z| > exp(-a)
bk exp(-ak)	bz exp(-a) / (1-z exp(-a))2, |z| < 1/exp(-a)	bz exp(-a) / (z-exp(-a))2, |z| > exp(-a)

В таблице приведены преобразования как для символики z, так и для символики z^-1 (по Гуревичу), которая иногда бывает удобней в некоторых математических операциях. Переход из одной символики в другую достаточно прост и выполняется заменой z в одной символике на 1/z в другой.

3. Свойства z-преобразования [2]

Важнейшим свойством z-преобразования является свойство его единственности. Любая последовательность s(k) однозначно определяется z-изображением в области его сходимости, и наоборот, однозначно восстанавливается по z-изображению.

Без углубления в теорию, можно констатировать, что все свойства ДПФ действительны и для z-преобразования. Отметим некоторые из них.

Линейность: Если s(k) = a·x(k)+b·y(k), то S(z) = aX(z)+bY(z). Соответственно, z-преобразование допустимо только для анализа линейных систем и сигналов, удовлетворяющих принципу суперпозиции.

Задержка на n тактов:

y(k) = x(k-n).

Y(z) =y(k) z^k =x(k-n) z^k =zⁿx(k-n) z^k-n = zⁿ x(m) z^m = zⁿ X(z).



Соответственно, умножение z-образа сигнала на множитель zⁿ вызывает сдвиг сигнала на n тактов дискретизации.

Преобразование свертки. При выполнении нерекурсивной цифровой фильтрации односторонними операторами фильтров:

s(k) =h(n) y(k-n), k = 0, 1, 2, …

Z-преобразование уравнения свертки:

S(z) =h(n) y(k-n) z^k =h(n) zⁿ y(k-n) z^k-n =

=h(n) zⁿy(k-n) z^k-n = H(z) Y(z).

Таким образом, свертка дискретных функций отображается произведением z-образов этих функций. Аналогично, для z-преобразования могут быть доказаны все известные теоремы о свойствах z-образов, что вполне естественно, т.к. при z=exp(-jw) эти свойства полностью эквивалентны свойствам спектров функций.

Разложение сигналов на блоки последовательной свертки. Z-преобразование позволяет производить разложение сигналов и функций, например передаточных функций фильтров, на короткие составляющие операции свертки, для чего достаточно приравнять z-полином к нулю, найти его корни a_i, и переписать полином в виде произведения двучленов:

S(z) = a₀(z-a₁)(z-a₂)...,

где а₀- последний отсчет сигнала (коэффициент при старшей степени z).

Но произведению в z-области соответствует свертка в координатной области, и при обратном преобразовании двучлены (z-a_i) превращаются в двухточечные диполи {-a_i,1}, а сигнал длиной N представляется сверткой (N-1) диполей:

s_k= a₀{-a₁,1}_*{-a₂,1}_*{-a₃,1}_* ...

Пример.

s_k = {1.4464, -2.32, 3.37, -3, 1}. S(z) = z⁴-3z³+3.37z²-2.32z+1.4464. a₀ = 1.

Корни полинома

S(z): a₁ = 0.8+0.8j, a₂ = 0.8-0.8j, a₃ = 0.7+0.8j, a₄ = 0.7-0.8j,

S(z) = (z-0.8-0.8j)(z-0.8+0.8j)(z-0.7-0.8j)(z-0.7+0.8j).

Корни полинома представлены на z-плоскости на рис. 1. Корни полинома комплексные и четыре двучлена в координатной области также будут комплексными. Но они являются сопряженными, и для получения вещественных функций следует перемножить сопряженные двучлены и получить биквадратные блоки:

S(z) = (z²-1.4z+1.13)(z²-1.6z+1.28).

При переходе в координатную область: s_k = {1.13, -1.4, 1} _* {1.28, -1.6, 1}.

Таким образом, исходный сигнал разложен на свертку двух трехчленных сигналов (функций).

Дифференцирование. Если имеем s(k) S(z), то z-образ функции s'(k) можно найти, продифференцировав S(z), что бывает полезно для вычисления обратного z-преобразования функций S(z) с полюсами высокого порядка:



s'(k) z dS(z)/dz.

4. Обратное z-преобразование [43]

Методы преобразования. Обратное z-преобразование позволяет восстанавливать дискретную функцию по ее z-образу. Оно широко используется, например, при определении импульсных характеристик рекурсивных цифровых фильтров. В символической форме:

x(k) = TZ^-1[X(z)].

На практике X(z) в процессе расчетов обычно выражается через отношение двух многочленов от z:

X(z) = (b₀+b₁z+b₂z² + …+ b_Nz^N ) / (a₀+a₁z+a₂z² + …+ a_Mz^M ) = (4.1)

= x(0) + x(1)z + x(2)z² + … (4.1')

Самые распространенные методы обратного преобразования из этой формы X(z):

Преобразование интегрированием по контуру (метод вычетов).

Метод разложения на элементарные дроби.

Метод разложения в степенной ряд.

Метод разложения в степенной ряд наиболее прост и пригоден для выполнения на компьютерах, но он не дает решения в аналитической форме. При задании большого числа точек обратного преобразования требуется также следить за возможным нарастанием числовых ошибок вследствие рекурсии его алгоритма.

Два первых метода позволяют получать результаты в аналитическом виде, но требуют вычисления полюсов функции X(z), что может представлять трудности при высоком порядке функции. При высоких порядках полюсов потребуется также дифференцирование соответствующих порядков.

Преобразование интегрированием по контуру относится к числу математически строгих методов. Оно выполняется интегрированием по произвольному замкнутому контуру C, расположенному в области сходимости и окружающему все особые точки (нули и полюсы) z-образа. Интегрирование удобнее выполнять над полюсами, расположенными внутри контура, включающего центр системы координат, т.е. в символике z^-1. В этой символике мы и будем рассматривать данных параграф. Контурный интеграл обратного преобразования:

s_k = (1/2pj) . (4.2)

Согласно теореме Коши о вычетах, интеграл (4.2) равен сумме вычетов (Res) подынтегральной функции относительно всех полюсов этой функции, лежащих внутри контура интегрирования. Каждый вычет связан с определенным полюсом p_k:

Res[F(z), p_k] = [(z-p_k) F(z)] при z=p_k. (4.3)

где F(z) = z^k-1 S(z), m - порядок полюса в точке p_k. Для простого полюса:

Res[F(z), p_k] = (z-p_k) F(z) = (z-p_k) z^k-1 S(z) при z=p_k. (4.3')

Пример. Z-образ функции:



X(z) = z² / (z-0.5)(z-1)².

x(k) = Res[F(z), p₁] + Res[F(z), p₂]. F(z) = z^k-1 X(z) = z^k+1 / (z-0.5)(z-1)².

Функция F(z) имеет простой полюс p₁ = 0.5 и полюс второго порядка p₂ = 1.

Res[F(z), 0.5] = (z-0.5) z^k+1 / (z-0.5)(z-1)² = z^k+1 / (z-1)² |_z=0.5 = 0.5 (0.5)^k / (0.5)² = 2(0.5)^k.

Res[F(z), 1] =[(z-1)² z^k+1 / (z-0.5)(z-1)²] = [(z-0.5)(k+1)z^k-z^k+1] / (z-0.5)² |_z=1= 2(k-1).

Результат:

x(k) = 2[(k-1) + (0.5)^k].

Преобразование разложением на дроби. В этом методе z-образ (4.1) раскладывается на рациональные простые дроби с последующим почленным обратным преобразованием с помощью таблицы. Наиболее просто это выполняется, если функция S(z) может быть разложена по степеням z в символике z^-1, т.е. представлена в следующем виде:

S(z) = s(0) + s(1) z^-1+ s(2) z^-2 + …

Соответственно, в выражении (4.1) отношение многочленов также должно быть в символике z^-1. Если полюсы S(z) первого порядка и N = M, то (4.1) можно разложить на следующую сумму:

S(z) = B₀ + C₁/(1-p₁z^-1) + C₂/(1-p₂z^-2) + … + C_M/(1-p_Mz^-M) =

= B₀ + C₁z/(z-p₁) + C₂z/(z-p₂) + … + C_Mz/(z-p_M) = B₀ +C_kz/(z-p_k). (4.4)

B₀ = b_N / a_N.

где С_k - коэффициенты элементарных дробей, которые являются вычетами функции S(z).

Для вычисления коэффициентов C_k умножим левую и правую стороны выражения (4.4) на (z-p_k)/z и положим z=p_k, при этом в правой части за счет множителя (z-p_k)=0 при z=p_k обнуляются все члены суммы кроме члена с C_k данного полюса, а в левой остается произведение S(z)(z-p_k)/z, что позволяет вычислить значения C_k:

C_k = S(z)(z-p_k)/z |_z=pk (4.5)

Если в (4.1) N < M, то значение B₀ равно нулю. Если функция S(z) в точке z=p_k имеет полюс m-ного порядка, то коэффициент C_k заменяется суммой коэффициентов:

D_i /(z-p_k)ⁱ, (4.6)

D_i = [ X(z) (z-p_k)^m/z], при z=p_k. (4.7)

Пример. Повторим пример преобразования данным способом z-образа функции X(z) = z² / (z-0.5)(z-1)², использованного в предыдущем примере. Функция имеет простой полюс p₁ = 0.5 и полюс второго порядка p₂ = 1.

X(z) = Cz/(z-0.5) + D₁z/(z-1) + D₂z/(z-1)².

С = z/(z-1)² = 0.5/(0.5-1)² = 2.

D₁ = [(z-1)² X(z)/z] = [z / (z-0.5)] |_z=1= -2.

D₂ = (z-1)² X(z)/z = z/(z-0.5) |_z=1= 2.

X(z) = 2z/(z-0.5) + D₁z/(z-1) + D₂z/(z-1)².

Обратное преобразование каждой простой дроби выполним по таблице 1.

Результат:

x(k) = 2(0.5)^k -2 +2k = 2[(k-1) + (0.5)^k].

Результат аналогичен методу вычетов.

Если z-изображение имеет вид дробно-рациональной функции, то разложение на простые дроби с последующим применением таблицы соответствий обычно труда не представляет. Так, например:

S(z) = (b₀+b₁z^-1+b₂z^-2) / (1-az^-1) = b₀/(1-az^-1) + b₁z^-1/(1-az^-1) + b₂z^-2/(1-az^-1).

По таблице соответствия:

X(z) = 1/(1-az^-1) > x(k) = a^k.

Отсюда, с учетом линейности преобразования и свойства задержки:

x(k) = b₀ a^k + b₁ a^k-1 + b₂ a^k-2.

При преобразовании функций со знаменателями более высоких порядков предварительно следует найти полюса функции. Например, для многочлена второго порядка с полюсами p₁ и p₂:

S(z) = 1/(1-a₁z^-1+a₂z^-2) = 1/[(1-p₁z^-1)(1-p₂z^-1).

Представим S(z) в виде суммы дробей с неизвестными коэффициентами b₁ и b₂:



S(z) = b₁/(1-p₁z^-1)+b₂/(1-p₂z^-1) = (b₁- b₁p₂z^-1+b₂-b₂p₁z^-1)/[(1-p₁z^-1)(1-p₂z^-1).

При равенстве знаменателей в этих двух выражениях должны быть равны и числители:

(b₁ + b₂) - (b₁ p₂+b₂ p₁)z^-1 = 1,

а это обеспечивается равенством коэффициентов при одинаковых степенях z. Отсюда получаем систему уравнений:

b₁ + b₂ = 1.

b₁ p₂+b₂ p₁ = 0.

Решая эту систему уравнений, находим значения коэффициентов b₁ и b₂, подставляем коэффициенты в S(z), выраженное в виде суммы дробей, и по таблице соответствия переводим дроби во временные функции.

Метод степенных рядов. Выражение (4.1) можно разложить непосредственно в степенной ряд (4.1') путем деления в столбик, для чего числитель и знаменатель функции выражаются предварительно через нарастающий или уменьшающийся показатель степени z. Обратное z-преобразование степенного ряда очевидно.

Пример нарастающей степени

z. X(z) = (1+2z+z²) / (1-z+0.4z²).

1 + 2z + z² | 1 - z + 0.4z²

1 - z + 0.4z² 1 + 3z + 3.6z² + 2.4z³ + 0.96z⁴ + … Ряд может быть бесконечным.

3z + 0.6z²

3z - 3z² + 1.2z³

3.6z² - 1.2z³

3.6z² - 3.6z³ + 1.44z⁴

2.4z³ - 1.44z⁴

2.4z³ - 2.4z⁴ + 0.96z⁵

0.96z⁴ - 0.96z⁵

0.96z⁴ - 0.96z⁵ + 0.384z⁶, и т.д.

Обратное преобразование выполняется путем идентификации коэффициентов степеней при z^k с k-отсчетами функции: x(k) = {1, 3, 3.6, 2.4, 0.96, …}.

Пример уменьшающихся номеров степени z.

X(z) = (1+2z+z²) / (1-z+0.4z²) > (деление на z^N числителя и знаменателя полинома) > (z^-2+2z^-1+1) / (z^-2-z^-1+0.4).

z^-2 + 2z^-1 + 1 | z^-2 - z^-1 + 0.4

z^-2 - z^-1 + 0.4 1 + 3z + 3.6z² + 2.4z³ + 0.96z⁴ + … Результат тот же.

3z^-1 + 0.6

3z^-1 - 3 + 1.2z

3.6 - 1.2z

3.6 - 3.6z + 1.44z²

2.4z - 1.44z²

2.4z - 2.4z² + 0.96z³

0.96z² - 0.96z³

0.96z² - 0.96z³ + 0.384z⁴, и т.д.

Метод деления полинома (4.1) можно выполнять рекурсивно:

x(0) = b₀ / a₀,

x(1) = (b₁ - x(0) a₁) / a₀,

x(2) = (b₂ - x(1) a₁ - x(0) a₂) / a₀,

…

x(n) = (b_n - (x(n-i) a_i) /a₀, n = 1, 2, 3, …

5. Применение z - преобразования [43]

Описание дискретных систем обработки сигналов с помощью нулей и полюсов - наиболее широкая область использования z-преобразования. Степенной полином передаточной функции системы вида (4.1) с нулями n_i числителя и полюсами p_j знаменателя всегда может быть представлен в виде произведения сомножителей:

H(z) = K(z-n_i) /(z-p_j), (5.1)

где К - коэффициент передачи (усиления) входного сигнала. Полюсы и нули H(z) могут быть действительными и комплексными, при этом для обеспечения действительных значений коэффициентов a_i и b_j в (4.1) комплексные коэффициенты должны быть представлены комплексно сопряженными парами.

Геометрическая оценка АЧХ и ФЧХ системы. Информацию, содержащуюся в H(z), удобно отображать в виде положения нулей (кружками) и полюсов (крестиками) на z-плоскости. Диаграмма нулей и полюсов наглядно отображает свойства системы и ее устойчивость. Для устойчивых систем все полюсы должны находиться за пределами единичной окружности (внутри окружности при символике z^-1) или совпадать с нулями на единичной окружности. На положение нулей ограничений не существует.

По известной диаграмме нулей и полюсов может быть выполнена геометрическая оценка частотной характеристики системы. При z=exp(-jwDt) единичная окружность |z|=1 отображает частотную ось характеристики главного частотного диапазона от w = 0 (при z=1) до 2p (при z=-1). Каждой точке z_s = exp(-jw_sDt) может быть поставлен в соответствие вектор (z_s - n_i) на i-нуль, модуль которого U_i = |(z_s - n_i)| отображает расстояние от z_s до i-нуля, а аргумент f_i = arg(z_s - n_i) - фазовый угол из z_s на i-нуль, а равно и вектор (z_s - p_j) на j-полюс с соответствующим расстоянием V_j = (z_s - p_j) и фазовым углом j_j = arg(z_s - p_j). При этом амплитудная и фазовая характеристики системы могут быть оценены по выражениям при перемещении точки w_s по единичной окружности:

|H(w)| = U_i /V_j, (5.2)

arg(H(w)) = f_i -j_j. (5.3)

По (5.2) нетрудно сделать заключение, что наибольшее влияние на изменение АЧХ по частоте оказывают нули и полюсы, расположенные ближе к единичной окружности. При расположении нуля непосредственно на окружности гармоника w_s в этой точке полностью обнуляется. И, наоборот, при перемещении w_s к полюсу, близкому к единичной окружности, происходит резкое нарастание коэффициента усиления системы.

Вычисление частотной характеристики с помощью БПФ. Так как частотная характеристика дискретной системы - это Фурье образ ее импульсной характеристики, то для систем, описанных в общей форме (4.1), сначала производится разложение H(z) в степенной ряд (4.1'), над коэффициентами которого и выполняется БПФ. Гладкость (разрешение по частоте Df = 1/(NDt)) будет определяться количеством коэффициентов степенного ряда и при необходимости может увеличиваться дополнением ряда нулями.

Альтернативный способ - вычисление БПФ непосредственно коэффициентов b_n числителя и a_m знаменателя выражения (4.1) с последующим алгебраическим делением B(k)/A(k) результатов БПФ. Количество коэффициентов b_n и a_n в (4.1) обычно невелико и для получения достаточно гладких частотных характеристик их продлевают нулями до необходимого значения N = 1/(DtDf).

Анализ устойчивости систем выполняется для рекурсивных систем с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-систем). Такие системы описываются либо непосредственно в виде разностного уравнения, либо передаточной функцией в виде z-образа импульсной характеристики или разностного уравнения. Общее условие устойчивости импульсной характеристики системы:

|h(k)| < ?.

Для рекурсивных систем начальный индекс суммирования равен нулю. Практически это означает, что любой ограниченный входной сигнал в устойчивой системе порождает ограниченный выходной сигнал.

В устойчивой системе все полюсы передаточной функции H(z) должны находиться за границами единичной окружности z=exp(-jwDt) (внутри окружности при символике z^-1). Система с полюсом на единичной окружности считается потенциально неустойчивой, даже если во входном сигнале нет гармоники с частотой, соответствующей положению данного полюса на окружности. Это определяется тем, что в соответствии с (5.1) коэффициент усиления системы в точке полюса равен бесконечности и любой бесконечно малый сигнал на этой частоте даст бесконечно большой сигнал на выходе. Для практических систем понятия бесконечности не существует и можно пытаться принять определенные меры для исключения таких критических частот. Так, например, в интегрирующих системах полюс находится на нулевой частоте и из входного сигнала можно исключить постоянную составляющую, но при этом изменяется и характер интегрирования (интегрируются только динамические составляющие входного сигнала). Следует также учитывать, что во входных сигналах обычно всегда присутствует статистический шум, наблюдаются скачки, присутствует шум квантования и т.п. эффекты с непрерывным частотным спектром, которые могут приводить к огромным ошибкам при обработке данных в потенциально неустойчивых системах. Практически осуществимый способ повышения устойчивости систем - компенсировать полюсы на окружности нулями в этих же точках, но это может приводить к существенному изменению частотной характеристики системы.

Оценку устойчивости рекурсивной системы можно проводить и по виду ее импульсной характеристики (вычислением обратного z-преобразования или подачей импульса Кронекера на вход системы). Если значения коэффициентов увеличиваются по мере роста номеров - система неустойчива. Если они очень медленно уменьшаются - система устойчива минимально, имеет большое время установления рабочего режима, и при определенных условиях может давать большие погрешности в обрабатываемых данных.

Связь разностных уравнений и передаточных функций рекурсивных систем. Стандартная запись разностного уравнения системы (связи входного воздействия x(k) и выходного сигнала y(k) при известных постоянных параметрах нерекурсивной b_n и рекурсивной a_m трансформации сигналов):

y(k) = b_n x(k-n) -a_m y(k-m). (5.4)

От разностного уравнения с использованием свойства задержки z-преобразования

b_n x(k) b_n X(z),

b_n x(k-n) b_n zⁿ X(z),



нетрудно перейти к z-образу разностного уравнения системы:

Y(z) = b_n X(z) zⁿ -a_m Y(z) z^m. (5.5)

Отсюда, передаточная функция системы:

Y(z) (1+a_m z^m) =b_n X(z) zⁿ.

H(z) = Y(z) / X(z) = b_n zⁿ /(1+a_m z^m). (5.6)

И, наоборот, при приведении выражения (4.1) к виду (5.6) (нормировкой на a₀) можно без дальнейших преобразований переходить к выражению (5.4).

Пример. Передаточная функция:

H(z) = 2(1-z) / (2+z).

Определить алгоритм вычислений.

H(z) = Y(z)/X(z) = (1-z) / (1+0.5z).

Y(z) + 0.5 z Y(z) = X(z) - z X(z).

y(k) + 0.5 y(k-1) = x(k) - x(k-1)

Результат:

y(k) = x(k) - x(k-1) - 0.5 y(k-1)



Литература

цифровой сигнал полином

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 198.

2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. - М.: Мир, 1989. - 540 с.

3. Канасевич Э.Р. Анализ временных последовательностей в геофизике. - М.: Недра, 1985.- 300 с.

4. Рапопорт М.Б. Вычислительная техника в полевой геофизике: Учебник для вузов. - М.: Недра, 1993.

5. Новиков Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учебное пособие. СПб, ИАнП РАН, 1999.

6. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. - М., "Вильямс", 2004.

Размещено на Allbest.ru

...