Дискретные измерения и методы восстановления сигнала

Размещено на http://www.allbest.ru/

Таразский государственный университет им. М.Х. Дулати, г. Тараз

Дискретные измерения и методы восстановления сигнала

Сатаев Л.О., Адильбаев А.А.

Поскольку цифровые осциллографы, в отличие от аналоговых, измеряют входной сигнал не непрерывно, а только в дискретные моменты времени, то при представлении осциллограммы пользователю возникает проблема. С одной стороны, прибор должен максимально точно отобразить результаты измерений, не рисуя «отсебятины», с другой - человеку трудно визуально воспринять форму сигнала, изображённого просто набором точек. Посмотрим на примеры на рисунках 1 и 2 (эти и все остальные использованные в статье иллюстрации получены с помощью программы AKTAKOM Oscilloscope Pro версии 2.0.4.5 на осциллографе комбинированного прибора ACK-4106, рис. 3).

Разглядеть сходу в точечном орнаменте первого рисунка синусоидальный сигнал, который обозначен на втором непрерывной линией, человеку со здоровой психикой просто невозможно. Так что необходимость для цифрового осциллографа уметь «нарисовать непрерывную линию по отдельным точкам» даже и не оспаривается, вопрос в другом: как это сделать?

Рис. 1. Изображение осциллограммы дискретными точками

Рис. 2. Изображение осциллограммы с рисунка 1 непрерывной линией

Линейная интерполяция. Задача восстановления аналогового сигнала по его дискретным отсчётам, с точки зрения математики, это не что иное, как хорошо известная задача интерполяции непрерывной функции F(x) по конечному числу N её точек X₀, X₁,… X_i,… X_N [1].

Эти точки, в которых значение функции задано, называются узлами интерполяции. Поскольку в общем случае характер интерполируемой функции заранее неизвестен, то обычно задача интерполяции сводится к задаче кусочной аппроксимации: необходимо подобрать простые аналитические функции, которые будут считаться приближениями к исходной функции между узлами. В самих узлах значения аппроксимирующих функций должны совпадать с заданными значениями исходной функции. Самым простым решением будет аппроксимация линейными функциями вида

f_i(x)=a+b(x-X_i)

Геометрически такая интерполяция представляет из себя ломаную линию, состоящую из соединённых в узлах прямолинейных отрезков (рис. 4).

Рис. 3. Комбинированный прибор (осциллограф-генератор) АСК-4106

аналоговый сигнал интерполяция частота

Рис. 4. Линейная интерполяция

Интерполяция полиномами, проблема звона. Угловато-неряшливый вид линейной интерполяции сразу наводит на мысли, что это не самое точное представление исходного сигнала. Действительно, мы знаем, что полоса пропускания измерительного тракта ограничена, в то время как у изображённой на рисунке 4 остроугольной осциллограммы спектр бесконечен.

Следовательно, более справедливым представлением будет аппроксимация более гладкой функцией. Такое решение даёт, например, метод интерполяции кусочно-кубическими функциями. Идея метода состоит в том, что исходная функция на каждом отрезке [X_i, X_i+1] аппроксимируется многочленом третьей степени (т.е. функцией вида f_i(x)=a+b(x-X_i)+c(x-X_i)₂+d(x-X_i)₃), при этом в узлах совпадают не только значения соседних многочленов, но и их первые производные (т.е.f_i(X_i+1)=f_i+1(X _i+1) и f'_i(X_i+1)=f' _i+1 (X _i+1)) [1].

Значения производных интерполирующих многочленов выбираются произвольно, исходя из дополнительной информации о характере исходной функции. Если никакой дополнительной информации нет, то обычно в качестве значений производных используются разделённые разности:

f'(X_i)=(F(X _i+1)-F(X_i))/(X _i+1-X_i)

Выполнение условия непрерывности производной гарантирует гладкость итоговой осциллограммы, но вызывает неприятный побочный эффект, называемый эффектом звона [1]. Посмотрим на пример, изображённый на рисунке 5.

Обратим внимание на появившиеся выбросы перед фронтом и срезом. Если выброс после фронта ещё можно объяснить возникающими после резкого изменения состояния сигнала затухающими колебаниями, то колебания, возникающие заранее перед событием, это физический нонсенс. На самом деле это ложные выбросы и их появление на осциллограмме обусловлено только выбранным характером интерполирующей функции.

Пользуясь произволом в определении значений производных интерполирующих многочленов, можно попытаться минимизировать эти искажения. Например, интерполяционный метод Акимы учитывает при выборе производной в узлах гладкость исходной функции на соседних с этим узлом участках. Для этого производная в каждом узле полагается равной среднему значению от разделённой разности первого порядка справа и слева, причём усреднение выполняется с весами, соответствующими модулю разделённой разности второго порядка с той же стороны. Пример интерполяции Акимы можно увидеть на рисунке 6, она выполнена для того же набора узловых точек, что и интерполяция Бесселя на рисунке 5.

Рис. 5. Интерполяция кубическими многочленами Бесселя

Рис. 6. Интерполяция сплайнами Акимы SINC-интерполяция (SIN(X)/X), ограничения применимости, фильтр Ланцоша

Интерполяция кусочно-кубическими функциями, или сплайн-интерполяция, как её часто называют, хорошо работает в случаях имеющегося запаса по частоте дискретизации, т.е. в случаях, когда количество точек измерений на период достаточно велико (десятки и более). Но при работе осциллографа в предельных ситуациях, когда частота измеряемого сигнала приближается к частоте Котельникова (см. врезку), т.е. к половине частоты дискретизации, сплайны дают совершенно неудовлетворительный результат. На рисунке 7 показан пример интерполяции синусоидального сигнала частоты 39 МГц, оцифрованного с частотой 100 МГц.

Как видите, интерполяция сплайнами (синяя и зелёная линии), показывают форму сигнала весьма далёкой от исходного синуса. Это и понятно: точек измерений мало и соответственно мало информации о форме сигнала, и нет никакого способа догадаться, что между двумя точками рядом с линией запуска (штриховая вертикальная линия в центре рисунка) сигнал имеет вершину с амплитудой, значительно превышающей ближайшие узловые точки. Или всё же такой способ есть?

Да, такой способ имеется. Хоть мы и не можем увеличить количество точек на период, но мы можем учесть дополнительные соображения, которые помогут нам восстановить форму сигнала.

Мы можем уверенно предположить, что спектр измеряемого сигнала ограничен частотой Котельникова [2]. Действительно, ведь если это не так, то нарушены условия применимости прибора, сделанные измерения заведомо некорректны, и мы их можем вовсе не обрабатывать, а сразу выкинуть. Следовательно, для построения интерполяционной кривой мы можем воспользоваться формулой интерполяции Sin(X)/X, являющейся следствием теоремы Котельникова:

Заметив, что в нашем случае разность между узловыми точками Xi+1-Xi постоянна и равна периоду дискретизации, а также используя традиционное обозначение:

,

можем записать формулу sinc-интерполяции в более кратком виде:

Темно-красная линия на рисунке 6 построена именно с помощью этого вида интерполяции, и её преимущество перед сплайн-интерполяцией в этом случае очевидно [2].

К сожалению, и этот метод не лишён недостатков. Во-первых, как видно из его базовой формулы, он требует для вычисления каждой промежуточной точки суммирования бесконечного ряда слагаемых, учитывающих все возможные дискретные измерения сигнала в прошлом и будущем, что, конечно, физически нереализуемо. И, во-вторых, даже если мы волевым решением ограничимся только имеющимися в осциллограмме точками, вычислительная сложность метода значительно выше, чем при интерполяции сплайнами. Если для вычисления кусочных многочленов количество операций растёт линейно с увеличением длины осциллограммы, то для sinc-интерполяции, как и для родственного ей преобразования Фурье, объём вычислений растёт как квадрат этой длины.

На практике обычно и с первой, и со второй проблемами борются использованием оконных функций, ограничивающих область вычислений интерполируемой точки некоторыми небольшими окрестностями, причём вес ближайших узловых точек выше, чем дальних. Подходящими оконными функциями могут быть выбраны такие, как треугольное окно или окно Гаусса. В программе AKTAKOM Oscilloscope Pro для этой цели применяется оконная функция Ланцоша, также построенная на использовании sinc-функции [3].

Третий недостаток sinc-интерполяции является продолжением его основного достоинства - ограниченности спектра восстанавливаемого сигнала. На рисунке 8 представлен прямоугольный сигнал с частотой 5 МГц, оцифрованный с частотой 100 МГц. Это максимальная частота дискретизации реального режима для осциллографа ACK-4106, но этот прибор имеет ещё и стробоскопический режим, поэтому его полоса пропускания выше необходимых по Котельникову 50 МГц и тоже составляет 100 МГц. В результате sinc-интерполятор, обрезая в осциллограмме все компоненты спектра выше 50 МГц, показывает значительные звоновые искажения сигнала (тёмно-красная линия), особенно заметные по сравнению с интерполяцией по методу Акимы (зелёная линия).

Рис. 7. Интерполяция при низкой частоте дискретизации: частота сигнала 39 МГц, частота дискретизации 100 МГц, синяя линия - интерполяция многочленами Бесселя, зелёная - интерполяция методом Акимы, красная - sinc-интерполяция

Рис. 8. Интерполяция прямоугольного сигнала: частота сигнала 5 МГц, частота дискретизации 100 МГц, зелёная линия - интерполяция методом Акимы, красная - sinc-интерполяция

На рисунке 9 можно сравнить спектры сигналов (см. врезку) после интерполяции Акимы и после sinc-интерполяции [4].

Плюсы и минусы различных видов Интерполяции. Автоматический выбор Метода.

Самый простой и быстрый способ интерполяции - линейная интерполяция, просто соединяющая узловые точки прямыми отрезками. При подробном рассмотрении формы сигнала качество картинки неудовлетворительное, но в случаях, когда частота исследуемого сигнала невелика по сравнению с частотой дискретизации, а количество точек, изображаемых на экране, напротив, сравнимо с его разрешением, использование этого метода оправдано из-за самой высокой скорости работы.

Рис. 9. Спектр интерполированных сигналов: диапазон графика по горизонтали от 0 до 100 МГц. Курсором отмечена частота 50 МГц - половина частоты дискретизации. Для уменьшения размытия гармоник использовано окно Ланцоша. Красным изображён спектр прямоугольного сигнала после интерполяции методом Акимы, чёрным - спектр того же сигнала после sinc-интерполяции. заметен резкий спад в полосе частот выше частоты Котельникова

Интерполяция сплайнами несколько медленнее линейной, но качество воспроизведения сигнала значительно выше. Используя различные методы сплайн-интерполяции, например, Бесселя для более гладкого восстановления сигнала или Акимы для минимизации ложных осцилляций, можно качественно и быстро восстанавливать низкочастотные сигналы.

Наконец, sinc-интерполяция представляет наилучшие возможности восстановления высокочастотных сигналов по минимуму узловых точек. Однако, является самой медленной из рассмотренных (например, на современном компьютере sinc-интерполяция полной осциллограммы из 64000 точек в программе AKTAKOM Oscilloscope Pro занимала чуть более трёх секунд, при этом сплайн-интерполяция той же осциллограммы - всего 250 миллисекунд). Кроме того, заведомо ограничивает спектр восстанавливаемого сигнала, что может приводить к появлению сильного звона на участках сигнала с крутыми фронтами [3].

Таким образом, зная общие особенности измеряемого сигнала, следует использовать разные методы интерполяции.

В большинстве современный недорогих USB осциллографах такой выбор отсутствует и пользователь, не зная и не имея возможности изменить какиелибо параметры интерполяции, не видит реальный измеряемый сигнал и, таким образом, неверно интерпретирует результаты измерений. Что приводит в свою очередь к большим ошибкам в решении реальных измерительных задач.

В тоже время, основными достоинствами программного обеспечения АКТАКОМ Oscilloscope Pro последней версии 2.0.4.5 являются как возможность выбора пользователем метода интерполяции, который он считает наиболее подходящим для его условий измерений (либо отключение интерполяции), так и возможность программы автоматически выбирать метод в зависимости от параметров сигнала. Последний режим рекомендуется для начинающих пользователей и установлен в программе по умолчанию.

Литература

1. Афонский А. А., Дьяконов В. П. Измерительные приборы и массовые электронные измерения. Под ред. проф. В. П. Дьяконова. М.: СОЛОН-Пресс. 2007.

2. Афонский А. А., Дьяконов В. П. Цифровые анализаторы спектра сигналов и логики. Под ред. проф. В. П. Дьяконова. М.: СОЛОН-Пресс. 2009.

3. Афонский А.А., Суханов Е.В. «Осциллографы Вашей мини USB-лаборатории АКТАКОМ». Журнал контрольно-измерительные приборы и системы, 2008, №1, стр. 13.

4. Афонский А.А., Суханов Е.В. «LabVIEW в USB лаборатории». Журнал контрольно-измерительные приборы и системы, 2005, №6, стр. 29.

Размещено на Allbest.ru