Преобразование структурных схем. Определение устойчивости САР алгебраическими методами. Определение устойчивости САР частотными методами

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра Теплотехники и Теплоэнергетики

Практические работы №3,4,5

По дисциплине: «Теория автоматического управления и автоматизация тепловых процессов».

на тему: «Преобразование структурных схем. Определение устойчивости САР алгебраическими методами Определение устойчивости САР частотными методами».

Вариант 5

Выполнил:

студент гр. ТЭ-15

Гоцул Ю.Д.

Проверил:

Чуркин И.С.

Санкт-Петербург

2018 г.



Преобразование структурных схем

Цель работы: закрепить полученные знания по преобразованию структурных схем САР и получить навыки в определении передаточных функций систем, представленных структурной схемой.

Основные теоретические положения.

Одним из способов графического описания системы является представление системы в виде структурной схемы.

На структурной схеме все элементы системы представлены их передаточными функциями. Графически элементы изображаются в виде прямоугольников с обозначениями их передаточных функций. Входные и выходные сигналы элементов и всей системы изображаются стрелками с обозначениями сигналов.

При анализе системы, заданной структурной схемой, обычно решается задача определения передаточной функции всей системы по передаточным функциям её элементов.

Различают три основных типа соединения звеньев между собой: последовательное, параллельное и цепь с обратной связью.

При последовательном соединении передаточная функция всей цепи равна произведению передаточных функций звеньев (рис. 3.1а)

Рис.3.1: а- последовательное соединение; б- параллельное соединение; в- цепь с обратной связью.

.

При параллельном включении звеньев результирующая передаточная функция равна сумме передаточных функций звеньев (рис. 3.1б)

.

Для цепи с обратной связью (рис.3.1в) передаточная функция всей цепи определяется формулой

.

В последней формуле знак + относится к отрицательной обратной связи, а знак - к положительной.

Возможны и такие соединения звеньев, которые нельзя отнести ни к одному из указанных типов соединений. Это так называемые, перекрещивающиеся связи.

Рис.3.2 Схема с перекрещивающимися связями.

Рис. 3.3 Структурная схема после преобразования.

Для определения передаточной функции цепи, имеющей перекрещивающиеся связи, можно преобразовать структурную схему таким образом, чтобы перекрещивающихся связей не было, и вся схема представляла бы комбинацию типовых соединений. Для этого нужно перенести через звено (группу звеньев) по ходу сигнала, либо в обратном направлении узел или сумматор, с тем, чтобы избавиться от перекрещивания. При этом, чтобы свойства системы не изменились, вводится фиктивное звено.

Пример подобных преобразований показан на рис.3.3. Узел 1 (рис.3.2) перенесем через звено и введем фиктивное звено (рис.19).

В полученной схеме перекрещиваний нет. Для нахождения передаточной функции всей цепи можно использовать формулы для типовых схем соединения звеньев. Передаточная функция всей цепи равна

.

При переносе узла либо сумматора следует придерживаться следующих рекомендаций.

Нужно переносить либо узел к узлу, либо сумматор к сумматору, обходя при этом некоторое звено. При этом вводится фиктивное звено с тем, чтобы свойства схемы не изменились.

Стоящие рядом два узла можно менять местами, не вводя при этом фиктивного звена.

Стоящие рядом два сумматора можно менять местами, не вводя при этом фиктивного звена.

Стоящие рядом узел и сумматор менять местами не рекомендуется.

Выполнение работы

Исследуемая автоматическая система регулирования режима работы одного из тепловых объектов задана в виде структурной схемы, передаточных функций звеньев, входящих в систему, а также цифровых данных, характеризующих параметры каждого звена.

Необходимо выполнить преобразование исходной структурной схемы и определить передаточную функцию автоматической системы регулирования.

Исходные данные:

Рисунок 4.Структурная схема данной САР.



Таблица 1

Варианты	Передаточные функции звеньев
5

Таблица 2

Преобразование структурной схемы:

Шаг 1: последовательное соединение звеньев и :

Шаг 2: эквивалентная передаточной функции звена c отрицательной обратной связью и :

Шаг 3: последовательное соединение звеньев и :

Шаг 4: эквивалентная передаточная функция звена c отрицательной обратной связью:

Вывод: Освоен навык преобразования структурных схем и преобразование их передаточных функций соответственно.

Передаточная функция замкнутой САР:

.

Определение устойчивости САР алгебраическими методами

структурная схема передаточный соединение

Цель работы: закрепить полученные знания по определению устойчивости САР алгебраическими методами

Основные теоретические положения

Одним из основных критериев работоспособности любой САР является ее устойчивость.

Под устойчивостью САР понимается свойство системы возвращаться к состоянию установившегося режима после устранения возмущающего воздействия.

Устойчивость означает, что колебания, возникшие в системе под воздействием внешних факторов, должны затухать. В неустойчивой системе при приложении к ней внешнего воздействия будут возникать колебания с нарастающей амплитудой, т. е. будет наблюдаться расходящийся процесс.

Примером устойчивой системы может быть обыкновенный маятник. При отклонении его из состояния равновесия (внешнее возмущение) через некоторое время он вновь придет в состояние равновесия (рис.35). Примером неустойчивой системы может быть шарик, находящийся на выпуклой поверхности. Если вывести шарик из состояния равновесия, то он уже не вернется в прежнее состояние (рис.36)

Рисунок. 4.1

Неустойчивость системы может быть вызвана большой инерционностью элементов САР, малой чувствительностью измерительной аппаратуры и датчиков, неправильной настройкой коэффициентов усиления элементов и другими факторами.

В неустойчивой системе выходной параметр будет стремиться к бесконечности, в устойчивой - к нулю.

Графики переходных процессов в неустойчивой (а) и устойчивой (б) системах приведены на рис.4.2.

В общем случае динамические свойства АСР описываются дифференциальным уравнением n-го порядка, решение которого можно представить суммой двух решений: частного решения, что характеризует установившееся состояние системы, и решения без правой части, что характеризует собственные колебания системы -- переходную составляющую процесса регулирования. Собственные колебания системы в операторной форме могут быть описаны однородным уравнением вида

,

Рис. 4.2

где: . . . , -- постоянные коэффициенты, зависящие от параметров системы.

Характеристическое уравнение будет иметь вид:

Уравнение имеет п корней: от до .

Линейная АСР будет устойчивой, если все вещественные корни и вещественные части комплексных корней характеристического уравнения будут отрицательны.

Неустойчивыми являются все разомкнутые астатические системы, так как их характеристические уравнения имеют сомножителем оператор (р), а следовательно, и нулевые корни. Таким образом, чтобы определить, устойчива или неустойчива АСР, достаточно определить корни ее характеристического уравнения. Однако это является сложным, особенно при решении уравнений свыше третьего порядка. Поэтому в теории автоматического регулирования и в инженерной практике широко используются косвенные методы исследования АСР на устойчивость, так называемые критерии устойчивости, позволяющие судить об устойчивости динамической системы, не прибегая к вычислению корней характеристического уравнения.

Критерий устойчивости И. А. Вышнеградского

Основоположник теории автоматического регулирования И. А. Вишнеградский предложил критерий устойчивости, имеющий общее значение для любых динамических систем, описываемых обыкновенным линейным дифференциальным уравнением третьего порядка.

Для устойчивости линейной системы третьего порядка необходимо и достаточно следующее:

а) все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными:

;

б) произведение средних коэффициентов характеристического уравнения должно быть больше произведения крайних коэффициентов, т. е.

Границе устойчивости соответствует наличие пары чисто мнимых корней:

или наличие нулевого корня = 0, однако при всех остальных положительных коэффициентах.

Для данной САР:

1.Характеристическое уравнение замкнутой системы принимает вид:

а) все коэффициенты характеристического уравнения положительные:

б) произведение средних коэффициентов характеристического уравнения больше произведения крайних коэффициентов, т. е.:

Вывод: согласно критерию Вышнеградского данная линейная система третьего порядка-устойчива.

Алгебраический критерий устойчивости Раусса -- Гурвица

По критерию Раусса--Гурвица автоматическая система регулирования будет устойчивой, если все корни характеристического линейного или линеаризованного уравнения будут иметь отрицательное значение, а это будет в том случае, когда все определители, составленные из коэффициентов характеристического уравнения, положительны.

Для данной САР:

1.Характеристическое уравнение замкнутой системы принимает вид:

Для систем третьего порядка:

при ,

В этом случае система устойчива, так как коэффициенты характеристического уравнения положительны и

Определение устойчивости САР частотными методами

Учебная цель: закрепить полученные знания по определению устойчивости САР частотными методами.

Основные теоретические положения

Графоаналитический частотный критерий устойчивости Л.В. Михайлова

Для исследования АСР на устойчивость с помощью критерия Михайлова необходимо сначала получить характеристическое уравнение замкнутой системы. Допустим, имеем уравнение вида

Затем в характеристическом уравнении производится замена оператора (р) комплексным числом j. В результате замены будет получена функция комплексного переменного, в которой может принимать любые значения от + ? до --?:

После этого необходимо выделить мнимую и вещественную части уравнения, учитывая, что а

W(j)=U()+iV().

Тогда члены уравнения с четными показателями будут вещественными, а с нечетными показателями -- мнимыми, т. е.

()² = -- ²; ()³ = -- ³; ()⁴ = ⁴; ()⁵ = ⁵ и т. д.

При изменении частоты от 0 до ? вектор функции комплексного переменного будет поворачиваться против часовой стрелки (т. е. в положительном направлении) около начала координат, изменяя одновременно свою длину. Этот вектор принято называть вектором Михайлова.

Система, описываемая линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, будет устойчива, если годограф вектора Михайлова при изменении от 0 до ? начинается в точке на положительной вещественной полуоси и последовательно обходит против часовой стрелки п квадрантов и не обращается в нуль, где n -- порядок характеристического уравнения системы.

Годографы вектора Михайлова для устойчивых и неустойчивых АСР изображены на рис. Если годограф вектора Михайлова проходит через 0,. не заходя в очередной квадрант, то АСР на частоте, соответствующей прохождению вектора через 0, находится на границе устойчивости.

Выполнение работы

1. Определим устойчивость АСР (ЛР №3) с помощью критерия Михайлова. Передаточная функция замкнутой АСР имеет вид:

Характеристическое уравнение:

Произведем замену в характеристическом уравнении оператора () комплексным числом j:

W() =

Выделим из этого выражения мнимую и вещественную части:

U;

V

Рисунок 5. Годограф Михайлова для данной САР.

Определим значения мнимой и вещественной частей выражения при различных значениях (от 0 до ?).

Данные расчета занесены в табл.

Таблица. Значения мнимой и вещественной частей выражения при различных значениях .

Параметры	Числовые значения
	0	0,1	0,2	0,5	0,8	1,0	2,0	5
	2,725	2,025	-0,075	-14,775	-42,075	-67,275	-277,275	-1747,275
	0	10,445	19,45	23,425	-37,4	-133,15	-1706,3	-29465,75

На основании результатов табл. построен годограф Михайлова (рис.), откуда видно, что условия устойчивости соблюдены: годограф вектора Михайлова при изменении от 0 до ? начинается в точке 2,725 на положительной вещественной полуоси и последовательно обходит против часовой стрелки 3 квадранта и не обращается в нуль следовательно, АСР устойчива.

Амплитудно-фазовый критерий устойчивости Найквиста

Критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой линейной системы по виду АФХ той же системы, но в разомкнутом состоянии.

Условие устойчивости формулируется следующим образом: если разомкнутая система устойчива, то для обеспечения ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы не охватывала на комплексной плоскости точку с координатами (-- 1, j0). Если же АФХ устойчивой разомкнутой системы охватывает точку с координатами (-- 1; j0), то система в замкнутом состоянии будет неустойчивой.

АФХ для устойчивой и неустойчивой систем приведены на рис..

Рисунок 6. АФХ для устойчивой и неустойчивой систем .

Если разомкнутая АСР будет находиться на границе устойчивости, то это условие будет характеризоваться выражением

где: -- АФХ системы в разомкнутом состоянии, равная произведению АФХ объекта и регулятора.

Тогда, (*)

Если в показательной форме для объекта и регулятора будут иметь место следующие зависимости:

то для соблюдения равенства (*) необходимо:

и

или с учетом знака регулятора:

Если при сдвиге фаз входных и выходных колебаний на 180° амплитуда выходных колебаний будет больше амплитуды входных, то при замыкании в АСР возникнут расходящиеся колебания и система будет неустойчивой. В этом случае отношение будет больше единицы и АФХ разомкнутой АСР пересечет отрицательную действительную полуось на расстоянии от начала координат, большем единицы.

Если при сдвиге фаз входных и выходных колебаний на 180° амплитуды выходных колебаний будут меньше амплитуд входных, то при замыкании АСР возникнут затухающие колебания, а отношение возникнут затухающие колебания, а отношение будет меньше единицы. В этом случае АФХ разомкнутой АСР пересечет отрицательную действительную полуось на расстоянии от начала координат, меньшем единицы.

Выполнение работы

2. Определим устойчивость замкнутой АСР с помощью критерия Найквиста:

В разомкнутом состоянии передаточная функция АСР будет иметь вид:

АФХ системы после замены на будет иметь вид:

Для того чтобы избавиться от мнимости в знаменателе, необходимо умножить числитель и знаменатель на сопряженный множитель, тогда получим:

.

Определим вещественную и мнимую части АФХ:

Изменяя от 0 до , получим ряд точек, по которым может быть построена на комплексной плоскости АФХ системы.

Так как для данного примера построенная АФХ не охватывает точку с координатами (-- 1; j0), то система в разомкнутом состоянии будет устойчивой. Поскольку АСР в разомкнутом состоянии устойчива, то при указанном условии она и в замкнутом состоянии будет устойчива.

Рисунок 7.Годограф Найквеста.

Рисунок 8. Структурная схема системы автоматического регулирования частоты вращения паровой турбины.

Размещено на Allbest.ru

...