Модель ошибок в гиперболической системе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Модель ошибок в гиперболической системе

Введение

Предмет исследования - комплексы и средства навигационных определений, а также многопараметрические фазометрические системы траекторных измерений, имеющие в своём составе каналы, способные в беззапросном режиме измерять угловые координаты и скорости изменения угловых координат движущихся объектов. Недостатком таких систем является то, что линии положения, на которых находится объект, считаются прямыми.

Таким образом, приемлемая точность измерения угловых координат сохраняется только при выполнении условия, когда дальность до объекта во много раз больше базы измерений. В статье рассматривается важный для практики случай, когда длина мерной базы соизмерима или даже больше расстояния до объекта. Для решения научных задач, поставленных в исследовании, были использованы методы функционального анализа, метрологии и радиотехнических измерений. Были исследованы возможности перехода к гиперболической системе, траекторных измерений (то есть к системе измерений, когда линии положения, на которых находится движущийся объект, являются гиперболами). Получены аналитические зависимости точности определения угловых координат при произвольных расстояниях до движущегося объекта в предположении, что линией положения является линия пересечения двух гиперболоидов вращения, образованных двумя взаимно перпендикулярными базами. Указанные аналитические зависимости позволяют не только априорно оценить точность, достоверность и надёжность получения навигационных параметров движущихся объектов, но и рассчитать научно-обоснованные ограничения работы комплексов измерительных средств.

Определение параметров движения летательного (космического) аппарата является ключевой задачей в ходе его позиционирования или управления полетом [1-2]. Модели, лежащие в основе алгоритмов траекторных измерений, используют понятие поверхностей (линий) положения - геометрических мест точек угловых координат вероятного местонахождения движущегося объекта. При измерении угловых координат применяются фазовый и амплитудный методы. При фазовом методе измеряется разность фаз сигналов, принятых в разнесённых пунктах. При амплитудном методе сигналы различных элементов антенны суммируются с учётом их фазовых соотношений, в результате чего амплитуда суммарного сигнала на выходе антенны становится функцией направления прихода волны [3-6].

1.Специфика фазовых методов измерений

В фазовых системах измерения угловых координат непосредственному измерению подлежит разность фаз Дц сигналов, принятых в точках, разнесённых на расстояние b :

Погрешность определения поверхностей (линий) положения оценивают отрезком нормали l между поверхностями (линиями) положения, соответствующими истинному и измеренному значениям радионавигационных параметров (РНП). Уравнение, связывающее измеряемые функции с координатами объекта можно записать в виде ц=ц ( x , y , z ) . В пределах рабочих зон радионавигационных станций (РНС) функция ц ( x , y , z ) непрерывна и дифференцируема, поэтому изменение скалярного поля РНП можно описать его градиентом grad ц , т.е. вектором, показывающим направление наискорейшего роста параметра ц .

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции ц=ц ( x , y , z ) координат x , y , z называется векторная функция с компонентами

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат

Если ц -- функция n переменных x1, . . . ,xn , то её градиентом называется n -мерный вектор

компоненты которого равны частным производным ц по всем её аргументам. Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.

Оператором градиента (обозначаемым обычно grad , или Ѓ¤) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом». Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения dx дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на dx .

Поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат xi , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку dx о -- это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, записанным в обычном базисе.

Градиент функции ц в точке перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности .

Производная функции ц по направлению равняется скалярному произведению градиента ц на единичный вектор :

Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

2.Свойства градиента

1. Производная функции ц в точке М0 по направлению вектора l имеет наибольшее значение, если направление вектора l совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно ¦grad ц ¦.

2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного вектору grad ц, равна нулю.

Для нахождения производной от функции ц = ц (x, y, z) в заданной точке М0 (x0, y0, z0) по направлению вектора l (lx , ly , lz ) используют формулу

Направляющие косинусы вектора l (lx , ly , lz )

Если 1--единичный вектор, направленный вдоль нормали к поверхности (линии) положения в сторону роста ц , то скалярное произведение

3.Модель ошибки траекторных измерений

Модуль градиента g = ¦grad ц ¦= ¦?ц /?l ¦позволяет связать погрешность измерения радионавигационного параметра Дц с погрешностью фиксации поверхностей (линий) положения Дl :

Из этого уравнения следует, что точность определения поверхностей (линий) положения увеличивается с ростом точности измерения и модуля градиента поля РНП.

Если функции ц = ц( x , y , z ) или ц = ц( x , y ,) заданы аналитически, то модуль градиента для поверхности положения

для линии положения

В разностно-дальномерных РНС измеряемым параметром является разность расстояний p = Dp = DA - DB объекта от антенны А и антенны В с расстоянием между ними (мерной базой) d (рисунок 1). Здесь линия положения--гипербола, которая находится в плоскости, проходящей через точки А, B и M, а Ш -- угол, под которым из точки расположения объекта М видна мерная база.

Рис. 1 Схема определения расстояния

В пространстве линией положения является линия пересечения двух гиперболоидов вращения, образованных двумя взаимно перпендикулярными базами.

Чаще всего ошибку определения местоположения объекта определяют в двух плоскостях. Например, по азимуту и углу места. Найдём модуль градиента линии положения на плоскости.Расстояние от точки М0 ( x 0 , y 0 ,) до пунктов A и B:

В этом случае измеряемая функция ц( x , y ,) = DA - DB и, соответственно, модуль градиента

Вычисляем частные производные

В этом случае модуль градиента

С учётом того, что

В случае трёхмерного пространства направление на объект определяют с помощью 4 - х антенн, расположенных на двух взаимно перпендикулярных базах (Рис. 2).

Рис. 2. Измерение направления на объект в пространстве

Угол ?1 определяет направление на объект в плоскости ОА2А4. Соответственно, угол ?2 определяет направление на объект в плоскости ОА1А3. Проекция линии визирования на плоскость А1А2А3А4, в свою очередь, дает возможность определить азимут (б) и угол места (в) объекта.

Заключение

Таким образом, продемонстрирована возможность повышения точности определения координат движущихся объектов в гиперболическом приближении, когда поверхности (линии) положения описываются гиперболоидами вращения.

Полученные аналитические зависимости точности определения угловых координат от направления на объект при произвольных расстояниях до объекта наблюдения, в частности, позволяют не только получить априорные оценки точности, достоверности и надёжности получения навигационных параметров движущихся объектов, но и рассчитать научно-обоснованные ограничения работы фазометрических комплексов траекторных измерений.

Библиография

фазометрический канал гиперболический

1.Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измерений. 2-е изд. М.: URSS: ЛИБРОКОМ, 2011. 416 с.

2.Аким Э.Л., Энеев Т.М. Определение параметров движения космического летательного аппарата по данным траекторных измерений // Космические исследования, 1963. Т.1, № 1. С. 5-50.

3.Сигов А.С., Нефедов В.И. Метрология, стандартизация и технические измерения. М: Высшая школа, 2008. 526 с.

4.Бакулев П.А., Степин В.М. Методы и устройства селекции движущихся целей. М.: Радио и связь, 2004. 280 с.

5.Денисенко А.Н. Сигналы с фазовой и частотной модуляцией. М.: Изд-во стандартов, 1994. 175 с.

6.Радиотехнические системы / Ю.П. Гришин, В.П. Ипатов, Ю.Н. Казаринов, Ю.А. Коломенский, Ю.Д. Ульяницкий. М.: Высшая школа, 1990. 496 с.

Размещено на Allbest.ru